lista_geral_02 - limite

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Cálculo II
Lista 02
Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti
1. Calcule o limite lim(x,y)→(0,1) 3x
4(y−1)4
(x4+y2−2y+1)3
caso exista.
Encaminhamentos. Proponha caminhos lineares e parabólicos para (x, y)
se aproximar de (0, 1).
2. Calcule se possível o limite lim(x,y,z)→(3,1,−5) (x+2y+z)
3
(x−3)(y−1)(z+5)
.
Encaminhamentos. Utilize equações paramétricas para definir o caminho
retilíneo tal como (x− 3) = kt, (y − 1) = bt e (z + 5) = ct, .
3. Determine lim(x,y)→(0,1)f(x, y), sabendo que: lim(x,y)→(2,−2)
[
x2−y2
x+y
f(x, y) + ln
(
x2+2xy+y2
x+y
+ 1
−2
Encaminhamentos. Utilize as propriedades de limites.
4. Verifique se a função definida abaixo é contínua em (0, 1).
f(x, y) =
{
x4−(y−1)4
x2+(y−1)2
se (x, y) 6= (0, 1)
0 se (x, y) = (0, 1).
Encaminhamentos. Atente-se para a definição de continuidade.
5. Determine, caso exista, o valor de b para que a função definida abaixo seja
contínua.
f(x, y) =
{
x2y2
x4+y4
se (x, y) 6= (0, 0)
b se (x, y) = (0, 0).
Encaminhamentos. Através de caminho verifique se é possível determinar
o valor do limite. Se não, f não será contínua, se sim, prove que o valor
encontrado é o valor do limite e em seguida defina b com base no valor
encontrado.
6. Determine a equação de um plano que seja tangente ao parabolóide z =
x2 + y2 em P (1,−1, 2).
1
7. Seja f(x, y) = (x2 + y2)γ
(
x
y
)
onde γ é uma função definida em R dife-
renciável. Desta forma, verifique que: x∂f
∂x
+ y ∂f
∂y
= 2f
8. Verifique que fxy = fyx para:
(a) f(x, y) = 1
x
(b) f(x, y) = xcos(y) + ex
9. Verifique que f(x, y) = ex−y2 é diferenciável.
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