Função Spline

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Função Spline
Alunos:
Gabriela Dias Cunha
Carolina Frauches
Rodolfo dos Santos Ramos
Lucas Guimaraes
Professor: Weslley Assis
Função Spline
 É uma técnica de aproximação que consiste em se dividir o intervalo de interesse em vários subintervalos e interpolar, da forma mais suave possível, nestes subintervalos com polinômios de grau pequeno.
Definição: Sejam uma subdivisão do intervalo [a,b].
 Uma função Spline de grau p com nós nos pontos (xi ,fi)(i=0,m) é uma função sp(x) com as propriedades:
 
a) em cada subintervalo [xi,xi+1] (i=0,m-1), sp(x) é um polinômio de grau p. 
b) sp(x) é contínuo em [a,b] e tem derivada contínua em [a,b] até ordem p. 
Spline Interpolante
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), sendo então essa função g(x) usada em substituição a função f(x).
A interpolação e usada quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, ou quando as operações de diferenciação e integração são difíceis.
A Spline interpolante é a função sp(x) tal que sp(xi)=f(xi) (i=0,m). 
Aplicações:
 Spline, usadas em desenhos de engenharia, são réguas flexíveis, de madeira ou plástico, que podem ser curvadas de forma a passar por um dado conjunto de pontos (xi,fi) chamados nós. Apesar de ser usada desde o século passado, só no fim da década de 60 foi desenvolvida a formulação matemática deste problema. Tal formalização possibilitou o desenvolvimento de vários sistemas computadorizados que utilizam aproximações gráficas de funções como CAD/CAM e TURBO GRAFIX.
Aplicações:
Obs: Ducks são pesos que são fixados nas áreas de interesse causando a deformação da estrutura de madeira ou plástico resultando assim na curva.
SPLINE LINEAR
Ache a função spline linear que interpola a tabela abaixo:
 
X0
X1
X2
X3
x
0
5
7
8
f(x)
0
2
-1
-2
Exemplo
De Acordo com a definição:
S1= f(x0) (x1-x)/(x1-x0) +f(x1) (x-x0)/(x1-x0) = 
0 (x-5)/(0-5) + 2 (x-0)/(5-0) = 2,5x , [0,5]
S2= f(x1) (x2-x)/(x2-x1) + f(x2) (x-x1)/(x2-x1) = 
2 (x-7)/(5-7) - 1(x-5)/(7-5) = -1,5x + 9,5 , [5,7]
analogamente temos que:
S3= -1(x-8)/(7-8) - 2(x-7)/(8-7) = -x+6 , [7,8]
SPLINE QUADRÁTICAS
A diferença entre spline linear e quadrática está na função de união dos pontos, que deve ser quadráticas.
O objetivo do spline quadrático é determinar um polinômio de segundo grau para cada intervalo de pontos.
fi(x)= aix² + bix +ci 
Spline quadráticas
Para n+1 pontos dados (i = 0,1,2,3..., n) existem n intervalos e, portanto, 3n constantes indeterminadas : ai, bi e ci. Portanto, criamos 3n equações para calcular essas incógnitas : 
Dos valores da função e dos polinôios adjacentes que devem ser iguais aos pontos interiores:
		ai – 1 x²i – 1 + bi-1xi-1 + ci- 1 = f (xi-1)
		ai x²i – 1 + bixi-1 + ci = f (xi-1)
Spline QUADRÁTICAS
A primeira e a última função devem passar pelos pontos extremos. Com isso, temos duas equações adicionais:
		aix²0 + bix0 + ci = f(x0)	
		anx²n + bnxn + cn = f(xn)
Spline quadráticas
As primeiras derivadas nos pontos interiores devem sempre ser iguais. Isto é, como a função de ajuste é de segundo grau, sua derivada terá a forma
f’(x) = 2ax + b
Portanto, a condição geral será
2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi
A última condição supõe que a segunda derivada seja nula no primeiro ponto
a1 = 0
Spline quadráticas
Usando os dados usado para resolver spline linear e d1=0
D1=D2 = 2 (y2-y1)/(x2-x1) – d1
D2= 2 (2-0)/(5-0) – 0 = 0,8
D3=2 (-1-2)/(7-5) – 0,8 = 3,8
D4 = 2 (-2+1)/(8-7) – 3,8 = 1,8
Spline quadráticas
S1(x) = ((0,8-0)/2(5-0))*(x-0)² + 0*(x-0) + 0 =0,08x² , [0,5]
S2(x) = ((-3,8-0,8)/2(7-5))*(x-5)² + 0,8*(x-5) + 2 = -1,15x² + 12,3x -289,5 , [5,7]
S3(x) = ((1,8+3,8)/2(8-7))*(x-7)² - 3,8*(x-7) - 1 = 2,8x² - 9,4x + 162,8 , [7,8]
Spline Cubica
A função Spline cúbica interpolante de f(x) pode ser escrita em cada subintervalo como:
 
(n+1) pontos ⇒ n subintervalos ⇒ 4n constantes desconhecidas
Spline Cubica
As 4n equações para determinar as 4n constantes são: 
- O valor das Splines cúbicas tem que ser igual nos nós interiores; 
 - A primeira e a última spline têm que passar nos nós finais; 
 
- A primeira derivada nos nós interiores tem de ser igual; 
 - A segunda derivada nos nós interiores tem de ser igual; 
 - A segunda derivada é nula nos nós finais (spline natural).
Exemplo
Ajustar Spline cúbicos aos dados. Utilizar os resultados para estimar o valor em x=5. 
Xi
3
4,5
7
9
Yi
2,5
1
2,5
0,5