APS 2017 - LAJE EM BALANÇO

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ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 
“CÁLCULO DE LAJE DE CONCRETO ARMADO EM BALANÇO” 
NOMES RA TURMA 
Ribeirão Preto – São Paulo 
20 de Novembro de 2017 
1 
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 
“CÁLCULO DE LAJE DE CONCRETO ARMADO EM 
BALANÇO” 
Trabalho apresentado ao 7/8º 
semestre do curso de graduação em 
Engenharia Civil da Universidade Paulista, 
como critério para avaliação da disciplina de 
Atividade Prática Supervisionada com o 
tema: “Cálculo de laje de concreto armado em 
balanço”, sob orientação acadêmica. 
Orientador(a): Profª Dra. Elizabeth 
Oshima de Aguiar. 
Ribeirão Preto – São Paulo 
20 de Novembro de 2017 
2 
 
LISTA DE IMAGENS 
 
 
IMAGEM 1 - Imóvel disposto de laje em balanço. ....................................................... 5 
IMAGEM 2 - Detalhe da laje em balanço. ................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 4
2. DESENVOLVIMENTO .......................................................................................... 5
3. MEMORIAL DE CÁLCULO .................................................................................. 6
3.1. Coeficiente adicional (γn) (conforme tabela 13.1 NBR 6118:2003) ........................................ 6 
3.2. Altura útil (d) para lajes em balanço (conforme NBR 6118:1978) .......................................... 6 
3.3. Cargas: ..................................................................................................................................... 6 
3.4. Carregamento uniforme distribuído: ...................................................................................... 7 
3.5. Carregamento vertical concentrado: ...................................................................................... 7 
3.6. Reações: .................................................................................................................................. 7 
3.6.1. No engaste para o carregamento vertical: ...................................................................... 7 
3.6.2. No engaste para a força horizontal: ................................................................................ 8 
3.6.3. Momento total: ............................................................................................................... 8 
3.7. Cálculo da armadura principal negativa: ................................................................................. 8 
3.8. Verificação de As,principal e As,mín.: ..................................................................................... 9 
3.9. Cálculo de armadura secundária negativa: ............................................................................. 9 
3.10. Disposições construtivas: .................................................................................................... 9 
3.11. Detalhamento da armadura: ............................................................................................. 10 
3.12. Verificação da flecha (Conforme NBR 6118:2003 Item 17.3): .......................................... 11 
4. PLANTA DE FORMA E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS ...................... 14
5. FOTO DOS INTEGRANTES DO GRUPO NO LOCAL ...................................... 15
6. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 16
 REFERÊNCIAS .................................................................................................. 17 
4 
1. INTRODUÇÃO
O trabalhado apresentado a seguir, tem como principal objetivo demonstrar os 
cálculos realizados para dimensionamento de uma laje em balanço, que é o tema 
proposto da Atividade Prática Supervisionada (APS) do segundo semestre de 2017. 
 Devido à grande dificuldade de encontrar uma laje em balanço sem 
revestimento, ainda em fase de construção, solicitamos a nossa orientadora a 
possibilidade de visitarmos e realizar a coleta dos dados de uma laje com 
revestimento, por isso utilizamos de modelo uma marquise já pronta. 
 Marquises são estruturas em balanço que podem ser formadas por vigas e 
lajes em balanço, ou apenas laje, (como a utilizada). Normalmente elas são projetadas 
com a função de cobertura e proteção para 'halls' de entradas. Sua estrutura depende 
do vão do balanço e da carga aplicada, por isso, calcular a flecha na extremidade da 
laje torna-se imprescindível. 
 O trabalho foi desenvolvido de acordo com as recomendações pré-definidas 
pelo roteiro da APS. 
5 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
 
Para a realização deste trabalho encontramos um imóvel residencial em Bonfim 
Paulista (SP) cuja as características eram semelhantes ao que procurávamos, laje em 
balanço. 
Como não tínhamos autorização para adentrarmos a residência, realizamos 
fotografias e por meio desta, estimamos o tamanho da laje em balanço. 
 
 
IMAGEM 1 - Imóvel disposto de laje em balanço. 
 
 
IMAGEM 2 - Detalhe da laje em balanço. 
 
Tomamos como referência a porta (0,9 metros de largura cada folha) e a mureta 
de vidro (0,9 metros de altura), estimamos que a laje possua: 
2,10 x 1,00 x 0,13 m (comprimento x largura x espessura) 
6 
 
3. MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
Dados: 
 Concreto: C-25 
 Aço: CA-50 (Ø ≥ 6,3 mm) 
 Cobrimento: 2 cm (2,5 cm conforme tabelas 6.1 e 7.2 NBR 6118) 
 
3.1. Coeficiente adicional (γn) (conforme tabela 13.1 NBR 6118:2003) 
 
𝛾𝑛 = 1,95 − 0,02 × ℎ 
𝛾𝑛 = 1,95 − 0,02 × 13 
𝛾𝑛 = 1,3 
 
3.2. Altura útil (d) para lajes em balanço (conforme NBR 6118:1978) 
𝑑 =
𝑙𝑥
Ψ2 × Ψ3
 
𝑑 =
100
0,5 × 17
 
𝑑 = 11 𝑐𝑚 
 
∴ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (ℎ) = 11 + 2 = 13 𝑐𝑚 
 
3.3. Cargas: 
 
• Permanentes: 
 
𝑔𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 = 0,1 × 25 = 2,5 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑔𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1,0 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑔𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 = 0,1 × 26 × 0,9 = 2,34 𝐾𝑁/𝑚
2 (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑁𝐵𝑅 6120: 1980) 
 
 
 
 
7 
• Variáveis:
𝑞𝑢𝑠𝑜 = 3,0 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑞𝑣𝑒𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = 2,0 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑞ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 0,8 𝐾𝑁/𝑚² 
3.4. Carregamento uniforme distribuído: 
𝑔 = 𝑔𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 + 𝑔𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 2,5 + 1,0 = 3,50 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑝 = 𝑔 + 𝑞 = 3,5 + 3,0 = 6,50 𝐾𝑁/𝑚² 
3.5. Carregamento vertical concentrado: 
Na extremidade, será considerada uma mureta de vidro (2,6 KN/m² conforme 
NBR 6120/80) com 0,90 metros de altura, uma carga variável vertical de 2,0 KN/m² e 
horizontal de 0,8 KN/m². 
𝑔𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 = 2,6 × 0,9 = 2,34 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑝1 = 𝑔𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 + 𝑞𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 + 𝑞ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 2,34 + 2,0 + 0,8 = 5,14 𝐾𝑁/𝑚² 
3.6. Reações: 
3.6.1. No engaste para o carregamento vertical: 
• Reação de apoio:
𝑟 = 𝑝 × 𝑙 + 𝑝1 = 6,5 × 1 + 5,14 = 11,64 𝐾𝑁/𝑚² 
• Momento fletor:
𝑚 =
𝑝 × 𝑙²
2
+ 𝑝1 × 𝑙 =
6,5 × 1²
2
+ 5,14 × 1 = 8,39 𝐾𝑁. 𝑚/𝑚 
8 
 
3.6.2. No engaste para a força horizontal: 
 
• Reação horizontal: 
 
𝑟 = 0,8 𝐾𝑁/𝑚 
 
• Momento devido à força horizontal: 
 
𝑚 = 0,8 × 0,9 = 0,72 𝐾𝑁. 𝑚/𝑚 
 
3.6.3. Momento total: 
 
𝑀𝑘 = 8,39 + 0,72 = 9,11 𝐾𝑁. 𝑚/𝑚 
 
3.7. Cálculo da armadura principal negativa: 
 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑛 × 𝛾𝑓 × 𝑀𝑘 
 
𝑀𝑑 = 1,3 × 1,4 × 9,11 = 16,58 𝐾𝑁. 𝑚 = 1658𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 × 𝑑²
𝑀𝑑
=
100 × 11²
1658
= 7,3 
 
∴ 𝐾𝑠 = 0,024 (𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 1.1 𝑁𝐵𝑅 6118: 2003) 
 
𝐴𝑆,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 =
𝐾𝑠 × 𝑀𝑑
𝑑
 
 
𝐴𝑆,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 =
0,024 × 1658
11= 3,617
𝑐𝑚2
𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑗𝑒
 
 
 
 
 
9 
 
3.8. Verificação de As,principal e As,mín.: 
 
𝐴𝑆,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 × 𝑏 × ℎ =
0,15
100
× 100 × 13 = 1,95
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
𝐴𝑆,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 > 𝐴𝑆,𝑚í𝑛 ∴ 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴𝑠 = 3,617
𝑐𝑚2
𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑗𝑒
 
 
3.9. Cálculo de armadura secundária negativa: 
 
𝐴𝑆2,𝑚í𝑛 ≥ {
0,2 × 𝐴𝑆,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 0,2 × 3,617 = 0,723 𝑐𝑚
2/𝑚
0,5 × 𝜌𝑚í𝑛 = 0,5 × 1,95 = 0,975 𝑐𝑚
2/𝑚
0,90 𝑐𝑚2/𝑚
 
Adotaremos 0,975 cm²/m 
 
3.10. Disposições construtivas: 
 
Ø𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 ≤
ℎ
8
 =
130
8
= 16,25 𝑚𝑚 
 
6,3 𝑚𝑚 ≤ Ø𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 ≤ 16,25 𝑚𝑚 
 
• Espaçamento máximo: 
 
𝐴𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 → 𝑆𝑚í𝑛. {
2 × ℎ = 2 × 13 = 26 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
 
 
𝐴𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 → 𝑆𝑚í𝑛. = 33 𝑐𝑚 
 
• Espaçamento mínimo: 
 
𝑆𝑚í𝑛. = 10 𝑐𝑚 
 
Usualmente adotamos 10 cm, pois a NBR 6118:2014 não especifica. 
 
10 
 
• Comprimento mínimo da barra principal: 
 
Armadura principal longitudinal negativa é L = 1,5 x L. 
Sendo L o balanço e 1,5 o prolongamento (ancoragem na laje continua à laje 
em balanço) 
𝐿 = 1,5 × 100 = 150 𝑐𝑚 
 
𝐿 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 100 + 150 = 250 𝑐𝑚 
 
3.11. Detalhamento da armadura: 
 
• 𝐴𝑠, 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 3,617 𝑐𝑚² 
 
𝑙𝑦
𝑠
=
210
13
= 16 
 
∴ 16 Ø 8 mm com 13 cm de espaçamento (As, efetivo = 3,87 𝑐𝑚2) 
 
 
• 𝐴𝑠, 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑎 = 0,975 𝑐𝑚² 
 
𝑙𝑥
𝑠
=
100
30
= 3 
 
∴ 3 Ø 6,3 mm com 30 cm de espaçamento (As, efetivo = 1,04 𝑐𝑚2) 
 
 
• 𝐴𝑠, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 = 20% × 𝐴𝑠, 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 0,2 × 3,617 = 0,7234 𝑐𝑚² 
 
𝑙𝑦
𝑠
=
210
33
= 6 
 
∴ 6 Ø 6,3 mm com 33 cm de espaçamento (As, efetivo = 0,95 𝑐𝑚2) 
 
11 
3.12. Verificação da flecha (Conforme NBR 6118:2003 Item 17.3): 
𝑀𝑟 =
𝛼 × 𝑓𝑐𝑡 × 𝐼𝑐
𝑦𝑡
𝑓𝑐𝑡 = 0,21 × 𝑓𝑐𝑘
2
3 = 0,21 × 25
2
3 = 1,7955 𝑀𝑃𝑎 = 0,1796 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
𝐼𝑐 =
100 × 13³
12
= 18308,34 𝑐𝑚4 
𝑀𝑟 =
𝛼 × 𝑓𝑐𝑡 × 𝐼𝑐
𝑦𝑡
=
1,5 × 0,1796 × 18308,34
6,5
= 758,81 
𝑀𝑟 = 758,81 < 𝑀𝑎 = 392,5 ∴ ℎá 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑠 
Quando há fissuras devemos utilizar um momento de inercia equivalente 
𝐼𝑒𝑞 = (
𝑀𝑟
𝑀𝑎
) × 𝐼𝑐 + [1 − (
𝑀𝑟
𝑀𝑎
)
3
] × 𝐼2 
𝐼2 =
𝑏𝑥³
3
+ 𝛼𝑒 × 𝐴𝑠 × (𝑑 − 𝑥)² 
𝛼𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
210000
4760 × 25
1
2
= 8,824 
𝐾𝑐 =
100 × 11²
1,4 × 392,5
= 22,02 ∴ 𝐾𝑠 = 0,023 
𝐴𝑠 =
0,023 × 1,4 × 392,5
11
= 1,15 𝑐𝑚2 
∴ Ø6,3 𝑚𝑚 𝑐𝑜𝑚 26 𝑐𝑚 (𝐴𝑠, 𝑒𝑓. : 1,20 𝑐𝑚2) 
12 
• Linha neutra x
𝑏𝑥²
2
− 𝛼𝑒 × 𝐴𝑠 × (𝑑 − 𝑥) = 0
100𝑥²
2
− 8,824 × 1,20 × (11 − 𝑥) = 0 
50𝑥2 − 10,59𝑥 − 116,5 = 0 
Aplicando na fórmula de Baskara, temos: 
𝑥 =
−𝑏 ∓ √𝑏2 − 4 × 𝑎 × 𝑐
2 × 𝑎
𝑥 =
−10,59 ∓ √10,592 − 4 × 50 × (−116,5)
2 × 50
= 1,424 𝑐𝑚 
Voltando ao momento de inércia no estádio II, temos: 
𝐼2 =
100 × 1,424³
3
+ 8,824 × 1,2 × (11 − 1,424)2 = 1067,24 
Logo calculamos o momento de inércia equivalente: 
𝐼𝑒𝑞 = (
758,81
392,5
) × 18308,34 + [1 − (
758,81
392,5
)
3
] × 1067,24 
𝐼𝑒𝑞 = 28750,72 𝑐𝑚4 
• Flecha imediata (fi):
Para laje do tipo 2B, temos um lâmbda: 
13 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
2,1
1
= 2,1 ∴ 𝛼 = 6,50 
𝑓𝑖 =
𝛼
100
×
𝑏
12
×
𝑝 × 𝑙𝑥4
𝐸𝑐 × 𝐼
𝑝 = 𝐹𝑑 = 𝐹𝑔 + Ψ3 × 𝐹𝑞 
𝑝 = 𝐹𝑑 = 5,84 + 0,3 × 3,8 = 6,98 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑓𝑖 =
6,50
100
×
100
12
×
6,98 × 10−4 × 1004
2100 × 28750,72
= 6,262 × 10−4 𝑐𝑚 
• Flecha total (ft):
𝑓𝑡 = 𝑓𝑖 × (1 + 𝛼𝑓) 
𝛼𝑓 =
∆𝜉
1 + 50 × 𝜌′
𝜌′ =
𝐴𝑠′
𝑏 × 𝑑
=
1,2
100 × 11
= 1,091 × 10−4 
𝛼𝑓 =
2 − 0,68
1 + (50 × 1,091 × 10−4)
= 1,252 
𝑓𝑡 = 6,262 × 10−4 × (1 + 1,252) = 1,41 × 10−3𝑐𝑚 
• Flecha limite:
𝑓𝑙𝑖𝑚 =
2 × 𝑙
250
=
2 × 100
250
= 0,8 𝑐𝑚 
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4. PLANTA DE FORMA E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Vista frontal 
Vista frontal (detalhe) 
Vista lateral 
Vista lateral (detalhe) 
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5. FOTO DOS INTEGRANTES DO GRUPO NO LOCAL
16 
6. CONCLUSÃO
 Do objetivo do trabalho proposto, foram realizados os cálculos necessários, 
de acordo com a norma, para detalhamento das armaduras negativas e construtivas 
para sustentação da laje em balanço do imóvel em questão, assim como a verificação 
da flecha desta mesma laje tanto a curto prazo quanto a longo prazo de sua utilização. 
Conforme apresentado, encontramos para a laje em balanço uma flecha limite de 0,8 
cm (conforme NBR-6118:2014), ou seja, comparado com a flecha total de 0,00141 
cm, podemos dizer que essa estrutura estará segura estando a aproximadamente a 
longo prazo 600% abaixo do valor limite de flecha. 
 Podemos então considerar a laje utilizada como engastada na laje interna, 
sendo o esquema estático: engastamento de um lado e livre do outro, onde a 
armadura principal utilizada é negativa para reprimir a força de tração que ocorre 
acima da linha neutra. 
Contudo, adicionamos armadura construtiva na parte inferior da laje com a 
finalidade de suportar qualquer eventual fissura que possa ocorrer, como apresentado 
no memorial de cálculo, podendo ocorrer fissuras de até 1,424 cm da parte inferior 
para a parte superior. 
17 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
Estruturas de Concreto: Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120. Cargas 
para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980.