07_Resist mat II_Eng Mecânica_Aimorés_Métodos de Energia_Parte 3_Trabalho e energia em razão de uma única carga

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Curso de Eng. Mecânica
R e s i s t ê n c i a d o s M a t e r i a i s I I
P r o f . : D a n i e l G o m e s
d a n i e l . j a n u a r i o @ p r o f . u n a . b r
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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
UNIDADE 07:
MÉTODOS DE ENERGIA-
TRABALHO E ENERGIA EM RAZÃO DE UMA 
ÚNICA CARGA
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Conservação de Energia
Trabalho de uma Força Axial
Conforme visto anteriormente, trabalho feito por uma força axial P é igual à
energia de deformação armazenada no corpo:
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 10 .
x
e dxPU
  210 2
1.1 kxdxxkU xe  
11.2
1 xPU e 
Na deformação elástica (P = K.x )
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Conservação de Energia
Trabalho de um Momento Fletor
Um momento (conjugado) M realiza trabalho quando promove um deslocamento
infinitesimal angular dq ao longo de sua linha de ação:
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 10 .
q qdMU e
  210 2
1.1 qqqq kdkU e  
11.2
1 qMU e 
Na deformação elástica ( M = K.q );
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Conservação de Energia
Trabalho de um Torque
De maneira similar, um torque T realiza trabalho quando promove um
deslocamento infinitesimal angular df ao longo de sua linha de ação:
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 10 .
f fdTU e
  210 2
1.1 ffff kdkU e  
11.2
1 fTU e 
Na deformação elástica ( T = K.f );
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Conservação de Energia
Se uma carga for aplicada vagarosamente a um corpo, considerando
apenas a energia mecânica, ou seja, desprezando as outras formas de energia:
- como a energia associada ao calor, ruídos, vibrações, reações químicas,
energia cinética, etc.
Então, a carga tenderá a deformar esse corpo na forma de trabalho externo (Ue)
que, de acordo com a conservação de energia, se transforma inteiramente
em trabalho interno denominado energia de deformação (Ui) armazenada no
corpo.
6
ie UU 
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A equação de conservação de energia é utilizada para determinar o deslocamento
(ou inclinação) de determinado ponto da estrutura, onde uma única carga (força
concentrada, momento fletor ou torque) é aplicada.
Conservação de Energia
Aplicado a Vigas
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Trabalho externo (Ue) realizado pela carga P:
1º caso: Determinar o deslocamento d da viga, onde a carga P é aplicada
d.
2
1 PU e 
Equação de conservação de energia:
Energia de deformação (Ui) devida ao momento
fletor:
dx
EI
MU
L
i 
0
2
2
dx
EI
MP
L

0
2
2
.
2
1 d
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Conservação de Energia
Aplicado a Vigas
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Trabalho externo (Ue) realizado pelo momento
MO :
2º caso: Determinar o deslocamento angular q, onde o momento MO é aplicado:
Equação de conservação de energia:
Energia de deformação (Ui) devida ao momento
fletor :
dx
EI
MU
L
i 
0
2
2
q.
2
1
Oe MU 
dx
EI
MM
L
O 
0
2
2
.
2
1 q
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Conservação de Energia
Aplicado a Treliças
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3º caso: Determinar o deslocamento d da treliça, onde a carga P é aplicada
d.
2
1 PU e 
  ni
i
ii
i EA
LFU 1
2
2
  ni
i
ii
EA
LFP 1
2
2
.
2
1 d
Trabalho externo (Ue) realizado pela carga P:
Equação de conservação de energia:
Energia de deformação (Ui) de uma treliça de n
barras:
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Conservação de Energia
Restrições:
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A equação de conservação de energia é bastante limitada, pois pode ser
utilizada somente se:
- A estrutura estiver submetida a uma única força concentrada ou
a um único momento;
O deslocamento pode ser calculado apenas:
- No ponto e na direção da força concentrada ou do momento (conjugado)
Apesar dessas restrições, a equação de conservação de energia, serve como
introdução aos métodos de energia mais gerais como o Teorema de
Castigliano e o Princípio do Trabalho Virtual
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Exemplo 01
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A treliça de três barras da figura abaixo está sujeita a uma força horizontal de 5
kip. Se a área da seção transversal de cada barra é de 0,2 pol², qual o
deslocamento horizontal no ponto B? (E = 29000 ksi)
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Exemplo 01- Solução
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Determinação das forças normais nas barras, utilizando o método dos nós:
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Exemplo 01- Solução
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Energia de deformação da treliça:
Caso mais comum – barra prismática e carga
axial constante:
EA
LPU i 2
2

EA
LN
EA
LN
EA
LNU BCBCACACABABi 222
222

  ni
i
ii
i EA
LFU 1
2
2
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Exemplo 01- Solução
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Aplicando o princípio da conservação de energia:
ie UU 
  ni
i
ii
EA
LFP 1
2
2
.
2
1 d
EAEAEAB 2
)4()77,5(
2
)46,3()5(
2
)2()89,2()5(
2
1 222 d
polB 0979,0d
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Exercício proposto 01
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As barras da treliça mostradas na figura são feitas de aço e têm as áreas das
seções transversais mostradas na figura. Usando E = 200 GPa, determine o
deslocamento vertical do nó C provocado pela aplicação da força de 210 kN.
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Exercício proposto 02
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Determine o deslocamento do ponto B na viga de aço A-36 (E = 200 GPa)
provocado pela aplicação da força de 40 kN. I = 97,7 x 106 mm4
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Exercício proposto 03
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Determine a inclinação na extremidade B da viga de aço A-36 (E = 200 GPa)
provocado pela aplicação do momento de 6 kN m. I = 80 x 106 mm4
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Exercício proposto 04
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A barra de aço BC com 20 mm de diâmetro está fixada na alavanca AB e
engastada em C. A alavanca uniforme de aço tem 10 mm de espessura e
30 mm de largura. Usando o princípio da conservação de energia, determine o
deslocamento do ponto A e o ângulo de torção do ponto B. Use L = 600 mm,
E= 200 GPa e G= 77,2 GPa.
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Referências Bibliográficas
BEER, Ferdinand Pierre et al. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. São
Paulo: Makron Books, 2007. (disponível no acervo)
BUDYNAS, Richard G.; NISBETT, J. Keith. Elementos de máquinas
de Shigley: projeto de engenharia mecânica. 8. ed. Porto Alegre:
AMGH, 2011.
HIBBELER, R.C.. Resistência dos Materiais. 5ª Ed São Paulo:
Prentice Hall do Brasil, 2004. (disponível no acervo)
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