RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - teoria das estruturas

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Métodos de Energia - 7.1
CAPÍTULO VII – MÉTODOS DE ENERGIA
7.1. INTRODUÇÃO
Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões
internos. As tensões internas, causadas por forças axiais, forças cortantes, momentos fletores e
momentos torsores (atuando separadamente ou em qualquer combinação), provocam
deformações internas. O efeito acumulado das deformações internas em um elemento
estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua
superfície. Pode-se determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utili zando-se
as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou, quase sempre de um
modo mais conveniente utilizando-se princípios de energia. Além disso, os conceitos de
energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais, na resolução para
forças e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas.
Quando um sistema elástico não solicitado é carregado por um conjunto de forças
externas o seu comportamento é governado pelo princípio geral de conservação de energia. O
trabalho feito pelas forças externas (Ue) é inteiramente convertido em energia associada ao
sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial
(Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode
ser desprezada e teremos como resultado:
Ue = Ui
7.2. Teorema de Clapeyron
Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os
deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de
cada uma das forças.
Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado
instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia entre 0 e 1 e Pi é o
valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são
colocados sob a forma α.δi.
Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou
seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o
incremento de trabalho será
Pn
δ1
δi
δn
P1
Pi
∑ ∑
= =
==
n
i
n
i
iiii dPdPdU
1 1
. ααδαδα
TEORIA DAS ESTRUTURAS
Métodos de Energia - 7.2
O trabalho total realizado por todas forças é
ENERGIA TOTAL DE DEFORMAÇÃO CEDIDA
AO CORPO PELO SISTEMA DE FORÇAS
Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos “generalizado” ou seja Pi pode ser força ou momento
e δi deslocamento linear ou angular.
A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:
TEOREMA DE CLAPEYRON:
“A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos
Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo
deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço
considerado”.
7.2.1. Energia de deformação de barras sob esforços simples
a) Tração e compressão
 Energia de deformação em um trecho de comprimento dx
i
n
i
ii
n
i
i PdPU δααδ
α
∑∑ ∫
== =
==
11
1
0 2
1
i
n
i
iMU ϕ∑
=
=
12
1
N
dx
δ
dδ
N
δdNdU .
2
1=
x
x
x
x
x
AE
N
dUdx
AE
N
dxd
..2
,
.
.
2
===εδ
AE
LN
UcteActeNou
A
dxN
E
U
l
x
x
..2
,
.2
1 2
0
2
==== ∫
δdNdU .
2
1=
δ
N
Métodos de Energia - 7.3
b) Cisalhamento - distr ibuição uniforme
δ=γ.L
dδ=γ.dx
Ou, em função da tensão de cisalhamento,
Para distribuição não uniforme,
Seção retangular: k= 6/5
Seção circular: k= 10/9
c) Flexão
δ
LQ
Q
Q
dx
GA
Q
dxQdQdU
..2
..
2
1
.
2
1 2=== γδ
GA
Q
G
A
Q
.
,., === γγττ
dx
AG
Q
U
L
∫= 0
2
.2
∫=
L
G
dxA
U
0
2
.2
..τ
dx
AG
Qk
U
L
∫= 0
2
.2
.
ds
dx
dϕ
ρ
x
x
Métodos de Energia - 7.4
d) Torção
e) Esforços simples combinados
ϕdMdU .
2
1=
EI
Mdxds
d =≈=
ρρρ
ϕ 1,
dx
IE
M
dUdx
EI
M
d
zz ..2
,
2
==ϕ
∫=
l
z
dx
IE
M
U
0
2
..2
T
A B
B'
r
dx
γ
dϕ
∫⋅=
⋅=
=∴===
=====∴=
⋅=
L
P
P
PP
P
PP
I
dxT
G
U
IG
dxT
dU
IG
dxT
d
dx
d
IG
T
IGT
IG
rT
GIG
T
rdx
d
drdx
dTdU
0
2
2
.
2
1
.
.
2
1
.
.
.
,..
.
.
.
..
.
2
1
ϕϕθθ
τγγθϕϕγ
ϕ
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=
L
P
L
z
LL
I
dxT
GI
dxM
EA
dxQk
GA
dxN
E
U
0
2
0
2
0
2
0
2 .
2
1.
2
1..
2
1.
2
1
Métodos de Energia - 7.5
7.3. Teorema de Castigliano
“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema com relação a uma força é igual
ao deslocamento do ponto de aplicação da força na direção e sentido desta força”.
Seja um corpo elástico solicitado por um sistema de forças externas e apoiado de forma a não
permitir movimento de corpo rígido.
Seja U a energia de deformação devido à ação
das forças externas.
Suponha que seja dado um incremento dPi à
força Pi.
A energia potencial sofrerá um acréscimo correspondente
Mudando a ordem de aplicação das forças, aplica-se inicialmente a força dPi que produzirá o
deslocamento dδi do ponto de aplicação de dPi na direção de dPi. O trabalho realizado pela
força dPi será
Após isso aplica-se todo o sistema de forças externas, o trabalho realizado será
Pelo princípio de conservação de energia, tem-se
Aplicações:
a) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço:
Pn
δ1
δi δn
P1
Pi
i
i
dP
P
U
UdUU ⋅
∂
∂+=+
ii ddP δ⋅⋅2
1
iiii dPddPU δδ ⋅+⋅⋅+ 2
1
Sem o fator 1/2 pois δi não é provocado
por dPi
i
i
iiiii
i
P
U
ddPdPUdP
P
U
U
δ
δδ
=
∂
∂
⋅++=⋅
∂
∂+ .
2
1
. Infinitésimo de 2ª ordem
E fica provado o teorema de Castigliano
x
P
M0
δ
L
Métodos de Energia - 7.6
Cálculo da flecha e da rotação:
b) Calcular o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga
- Cálculo das reações de apoio:
- Cálculo dos esforços nas barras:
Equilíbrio dos nós:
Nó B
∫=
−=
∂
∂−=
∂
∂−−=
L
x
x
EI
dxM
U
M
M
x
P
M
MxPM
0
2
0
0
2
.
1,.
( ) ( )
( ) ( )




+⋅=
⋅−⋅−−⋅=⋅
∂
∂⋅⋅=
∂
∂=




+⋅=
⋅−⋅−−⋅=⋅
∂
∂⋅=
∂
∂=
∫∫
∫∫
LM
LP
EI
dxMxP
EI
dx
M
M
M
EIM
U
LMLP
EI
dxxMxP
EI
dx
P
M
M
EIP
U
LL
L
o
L
.
2
.1
1.
11
2
.
3
.1
.
1
.2
2
1
0
2
0
0
0 00
2
0
3
0
0
θ
θ
δ
δ
3L/4
L
P A B
C D
1
2
3
4 5
α
HC
RC RD
cos α = 0,8
sen α = 0,6
CDDC
DCV
CH
R
P
RLPLRM
RRF
PHF
==∴⋅⋅==
==
==
∑
∑
∑
4
.3
4
3
.,0
,0
,0
N2
N1
N1 = N2 = 0
Métodos de Energia - 7.7
Nó A
Nó C
Cálculo da energia de deformação do sistema
Barra Ni Li Ai
1 0 L A 0
2 0 (3L)/4 A 0
3 P L A (P2L)/A
4 (3P)/4 (3L)/4 A (27P2L)/(64A)
5 -(5P)/4 (5L)/4 A (125P2L)/(64A)
Poderíamos resolver este problema igualando as energia interna e externa:
c) Cálculo do deslocamento de um ponto em que não existe uma carga concentrada aplicada.
N1=0
N4
α
N5
P
4
.5
0cos.0
5
5
P
N
NPFH
−=
=+∴=∑ α
4
.3
5
3
4
5
0sen.0
4
54
P
PN
NNFV
=⋅⋅=
=+∴=∑ α
HC
N4
RC
N3
4
.3
4
3
P
RN
PHN
C ==
==
i
ii
A
LN .2
EA
LP
EA
LP
P
U
EA
LP
U
A
LP
EA
LN
E
U
n
i i
ii
.
375,3
.64
..216
.
128
216
64
125
64
27
1
.
.2
1.
.2
1
2
1
22
==
∂
∂=
⋅=




 ++⋅⋅=⋅= ∑
=
δ
EA
LP
UU
EA
LP
U
ClapeyrondeteoremaPU
ei
i
e
.
64
216
.
128
216
)(
2
1
2
⋅=∴=
⋅=
⋅⋅=
δ
δ
Métodos de Energia - 7.8
Calcular a flecha no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga
uniformemente distribuída.
Para a utilização do teorema de Castigliano é necessária a existência de uma carga
concentrada aplicada no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento.
Quando não existe tal carga concentrada, deve-se aplicá-la (carga fictícia) e depois
fazê-la igual a zero.
7.4. Teorema de Menabréa (teorema do trabalho mínimo)
Aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.
"As incógnitas hiperestáticas assumem, nas estruturas isostáticas correspondentes, valores que
tornam mínimo o trabalho armazenado".
x
L
A B
q
RA RB
EI
Lq
EI
Lq
X
Lq
X
LP
X
Lq
EI
xqxPxLq
EI
dx
xxqxPxLq
EI
P
M
EI
M
P
U
EI
dxM
U
x
P
MxqxPxLq
M
xq
xRM
PLq
RR
L
L
x
L L
xx
x
x
AxBA
.384
..5
128
1
48
1.
168
.
86
.
86
.1423232
.1
22
.
2
.
2
..2
2
.2
2,
2
.
2
2
,
2
.
2
.
2
..
2
.
.,
22
.
44
434
2/
0
433
2/
0
2
2/
0
2/
0
2
2
2
=



 −⋅=




−+=






⋅−⋅+⋅⋅=




⋅





−+⋅=
∂
∂
⋅⋅=
∂
∂=⋅=
=
∂
∂
−+=
−=+==
∫
∫ ∫
δ
δ
δ
δ
δ
RA RB
MA
HA
Considera-se estrutura isostática
correspondente de uma estrutura
hiperestática dada, aquela que resulta da
supressão de vínculos da estrutura dada
Vinícius
Highlight
Vinícius
Highlight
Vinícius
Highlight
Métodos de Energia - 7.9
Aplicações:
a) Viga mono-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Tomando a incógnita hiperestática RB da estrutura isostática correspondente:
b) Viga bi-engastada submetida a carregamento uniformemente distribuído
RB
q
x
LqR
X
LqLR
dx
xq
xRdx
R
M
EI
M
R
U
x
R
Mxq
xRM
B
B
L
B
L
BB
B
B
.
8
3
42
.
3
.
2
.
.0
,
2
.
.
43
0
3
2
0
2
⋅=
−=⋅



−=⋅
∂
∂⋅==
∂
∂
=
∂
∂−=
∫∫
q
RB
q
x
MB
∫
∫
∫
=
∂
∂⋅=
∂
∂
=
∂
∂⋅=
∂
∂
=
−=
∂
∂=
∂
∂−−=
L
BB
L
BB
L
BB
BB
M
M
EI
M
M
U
R
M
EI
M
R
U
EI
dxM
U
M
M
x
R
Mxq
MxRM
0
0
0
2
2
0
0
,
2
1,,
2
.
.
Métodos de Energia - 7.10
c) Determinar as reações de apoio de viga de seção uniforme com o carregamento indicado
Estrutura isostática correspondente
12
.
,
2
.
:Re
0
32
.
2
.
).1(
2
.
.0
0
422
.
3
.
.
2
.
.0
2
32
0
2
423
0
2
Lq
M
Lq
R
ssimultâneaequaçõesdesistemaosolvendo
Lq
LM
LR
dx
xq
MxR
M
U
LqLMLR
dxx
xq
MxR
R
U
BB
B
B
L
BB
B
BB
L
BB
B
==
=⋅−+−=−



−−==
∂
∂
=⋅−−=



−−==
∂
∂
∫
∫
q
L/2 L/2
A
B
C
q
L/2 L/2
A
RB
C
x RCRA
LqR
LqLqRLqLRLLq
xqxRxLq
dx
xxqxRxLq
EI
x
R
MxqxRxLq
M
RLq
R
xq
xRM
dx
R
M
EI
M
dx
R
M
EI
M
R
U
EI
dxM
U
B
BB
L
B
L
B
B
B
B
AA
L L
B
L
BB
⋅⋅=
−=∴=⋅+⋅+⋅−
=





⋅+⋅+⋅−=



−⋅



−−⋅=
−=
∂
∂−−=
−=−=
⋅
∂
∂⋅⋅=⋅
∂
∂⋅==
∂
∂=
∫
∫ ∫∫
8
5
16
.
6
.
6
0
1648382
.
0
423232
.
22
.
2
.
2
..2
0
2
,
2
.
2
.
2
..
22
.
,
2
.
.
20,
2
433
2/
0
4332/
0
2
2
2
0
2/
00
2
Métodos de Energia - 7.11
d) A viga em balanço BC é ligada ao cabo de aço AB como indicado. Sabe-se que o cabo de
aço inicialmente está esticado sem apresentar tensões. Determinar a tração no cabo
provocada pela carga distribuída.
4 incógintas (reações de apoio) e 3 equações (equações da estática para estruturas planas)
Liberando o vínculo A a aplicando RA como carga eposteriormente aplica-se o teorema de
Menabréa.
A energia de deformação da estrutura é a soma da energia de deformação do cabo (UT) com a
a energia de deformação da viga (UV).
L=6m
L1=3m
W410x46,1
I = 156,1x106 mm4
RA
 RC
 HC
 MC
A
B
C
kNR
vemvaloresosdosubstituin
EI
L
EA
LEI
Lq
R
EI
Lq
EI
LR
EA
L
R
LqLR
EIEA
LR
dxx
xq
xR
EIEA
LR
R
U
R
U
R
U
UUU
x
R
Mxq
xRM
EI
dxM
U
EA
LR
R
U
EA
LR
U
A
A
A
A
AA
L
A
A
A
V
A
T
A
VT
A
A
L
V
A
A
TA
T
88,43
,
3
1
8
.
0
8
.
3
.
423
.1.
.
2
.
.
1.
0
0,
,
2
.
.,
2
.
.
,
2
.
3
1
443
1
43
1
0
2
1
2
0
2
11
2
=












+
⋅=∴=−+⋅




⋅−⋅+=



−⋅+=
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂+=
=
∂
∂−==
=
∂
∂
=
∫
∫
Métodos de Energia - 7.12
7.5. Teoremas de Betti-Maxwell (teoremas de reciprocidade)
Seja um corpo elástico com uma força P1 aplicada em A e outra força P2 aplicada em B.
Aplicando inicialmente P1 em A, o trabalho realizado será (δA1 = deslocamento do
ponto A na direção de P1 devido a P1). Aplicando-se, posteriormente P2 em B, P2 realizará o
trabalho . A força P1 realizará também um trabalho pois, ao ser aplicada a força P2 o
ponto A sofrerá um deslocamento δA2 (deslocamento do ponto A devido a uma força aplicada
em B) resultando em um trabalho igual a P1.δA2 (sem o fator 1/2 porque δA2 não é provocado
por P1). Assim, o trabalho total armazenado será
Invertendo a ordem de aplicação das forças, encontra-se
Como o trabalho total independe da ordem de aplicação das forças, U1 = U2
P1.δA2 = P2.δB1
- teorema de Betti
"Em uma estrutura, isostática ou hiperestática, solicitada sucessivamente por dois
sistemas de forças, P1 e P2, a soma dos produtos dos deslocamentos das forças P1 pelos
deslocamentos correspondentes devidos às forças P2 é igual à soma dos produtos dos esforços
P2 pelos deslocamentos correspondentes devidos aos esforços P1".
P1.δA2 = P2.δB1
P1
P2
A
B
112
1
AP δ⋅⋅
222
1
BP δ⋅⋅
2122111 2
1
2
1
ABA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
1222112 2
1
2
1
BBA PPPU δδδ ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Métodos de Energia - 7.13
Fazendo P1 = P2 , a expressão fica
δA2 = δB1
- teorema de Maxwell
"O deslocamento do ponto A originado pela força aplicada no ponto B é igual ao
deslocamento do ponto B originado pela mesma força, mas aplicada no ponto A".
Se P1 = P2 , então δB1 = δA2
7.6. Recalques de apoio
Neste tópico serão mostrados alguns exemplos de estruturas em que o apoio sofre, por algum
motivo, um deslocamento.
Exemplos:
a) Quando a viga está descarregada, a folga entre o apoio central e a superfície inferior da
viga de madeira mostrada na figura é 36 mm. Determinar a reação no apoio central qunado a
viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 12 kN/m. E=11 GPa
A
P1
δB1
P1
A B
δB1
L/2 L/2
δ0
q
150mm
250mm
L = 6 m
RB
q
22
.
,
2
.
.
2
.
2
2
2/
0
2
0
B
AA
L
B
RLq
R
xq
xRM
EI
dxM
U
R
U
−=−=
⋅=
−=
∂
∂
∫
δ
Métodos de Energia - 7.14
b) Calcular as reações de apoio da estrutura abaixo:
kNR
valoresosdosubstituin
L
Lq
EIR
LRLq
EI
LqLRLq
EI
xqxRxLq
EI
dx
xxqxRxLq
EI
x
R
MxqxRxLq
M
B
B
BB
L
B
L
B
B
B
8,27
,
48
384
..5
.
24
.
192
..5
2
1
64
.
24
.
24
.
2
1
4
.
3
.
3
..
2
1
22
.
2
.
2
..2
2
,
2
.
2
.
2
..
3
4
0
34434
0
2/
0
433
0
2/
0
2
0
2
=




⋅



+−=




−⋅=



−−⋅=




−−⋅−=−
⋅



−⋅



−−⋅=−
−=
∂
∂−−=
∫
δ
δ
δ
δ
L
k
P
x
( )
x
R
M
xPRM
=
∂
∂
−= .
R
( ) ( )
3
3
3333
3
0
0
22
.
3
1
1
.
3
3
.
3
1
0
3
.
3
.
3
1
...
1
0,
2
.
,
2
1
Lk
EI
P
RP
Lk
EI
R
EI
LP
EI
L
k
R
EI
LP
EI
LR
k
R
L
PR
EIk
R
dxxxPR
EIk
R
R
U
UUU
EI
dxM
U
k
R
U
L
VM
L
VM
+
=∴=



 +
=



+∴=−+
−+=−+==
∂
∂+=
==
∫
∫
Métodos de Energia - 7.15
c) Calcular as reações de apoio
d) Calcular as reações de apoio
q
A C
B
k1
k2
RA RC
RBL/2 L/2
I = 60,89 x 10-6 m4
E = 200 GPa
L = 6 m
k1 = 1,4 MN/m
k2 = 2,1 MN/m
kNR
EI
L
kk
kk
EI
Lq
R
EI
Lq
EI
L
kk
R
k
R
k
RLqLRLlq
EI
k
R
k
RxqxRxLq
EI
k
R
k
R
dx
xxqxRxLq
EIR
U
x
R
Mxq
x
R
x
Lq
M
xq
xRM
RLq
R
B
BB
BBB
BB
L
B
BB
L
B
B
B
xB
x
Ax
B
A
11,7
48.
384
..5
384
..5
48
11
0
1688686
.1
0
423232
.1
22
.
2
.
2
..2
0
2
,
2
.
22
.
2
.
.,
22
.
3
21
21
443
21
21
433
21
2/
0
433
21
2/
0
2
2
2
=




−
+
=∴=



−+
=++



⋅−⋅−⋅−
=++





⋅−⋅−⋅−
++



−



−−==
∂
∂
−=
∂
∂
−⋅−⋅=
−=−=
∫
δ0
qo
L
k
L
xqo .
x
E = 210 GPa
I = 20 x 106 m4
L = 5 m
qo = 3 kN/m
δo = 5 mm
k = 1,2 MN/m
R
Métodos de Energia - 7.16
7.7. Princípio dos trabalhos virtuais
"O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas"
Força virtual: é uma força "fictícia" que não altera o estado de tensões, deformações,
deslocamentos, esforços internos, etc de uma estrutura real.
Esforço interno virtual: esforço externo produzido por um carregamento virtual.
Trabalho virtual de uma força externa: produto da força (virtual) pelo deslocamento (real) de
seu ponto de aplicação.
Trabalho virtual das forças internas: trabalho (virtual) produzido pelos esforços internos
virtuais (os deslocamentos são reais).
Seja a viga bi-apoiada
deseja-se calcular a flecha em C.
Aplicando em C uma carga virtual unitária (estacarga, conforme já foi dito, não altera o
estado de deformação nem os esforços internos na viga)
O trabalho virtual das forças externas será:
NR
EI
L
k
EI
Lq
R
EI
Lq
EI
L
k
R
L
L
qLR
EIk
R
dxx
L
xq
xR
EIk
R
R
U
x
R
M
L
xq
xR
xx
L
q
xRM
o
o
o
o
o
L
o
o
oo
82,918
3
1
30
.
30
.
3
1
563
.1
.
6
.
.
1
,
6
.
.
32
.
3
4
43
53
0
3
3
=




+
+−
=
−=



+




⋅−+=



−+−=−=
∂
∂
=
∂
∂−=⋅⋅−=
∫
δ
δ
δ
A B
δ
C
δ.PU e =
Métodos de Energia - 7.17
O trabalho virtual das forças internas será
dϕ e dy são devidos ao carregamento real
Normalmente pode-se fazer algumas simplificações
- Em peças que não trabalhem fundamentalmente a tração ou compressão, a parcela
correspondente ao esforço normal pode ser desprezada sem erro considerável.
- Normalmente pode-se desprezar também as deformações relativas ao esforço cortante.
Tais simplificações devem ser analisadas com critério para evitar possíveis erros grosseiros.
A B
C
1=P
4
.LP
DMF
DEC
VA
VB
∫∫ +=
LL
i dyVdMU 00 ϕ
real real
virtual
virtual
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
+++=
+=
==
+=
==
L
P
LL
o
L
LL
o
ie
L
i
dx
GI
TT
dx
GA
VV
kdx
EI
MM
dx
EA
NN
geralcasonoou
dx
GA
VV
kdx
EI
MM
PUU
dx
GA
VV
kdx
EI
MM
U
dx
EA
kQ
dydx
EI
M
d
000
0
0
,,
1,
,
δ
δ
ϕ
Métodos de Energia - 7.18
Aplicações
1) Calcular o deslocamento horizontal do apoio D do quadro da figura. EI = 2,0x104 tf.m para
todas as barras.
Diagrama de momentos fletores
Barra 1: M1 = HA.x1 = 5.x1
Barra 2: M2 = HA.3 - VA.x2 = 15 - 3.x2
Como se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio D, deve-se aplicar, naquele
ponto, uma carga virtual unitária e utilizar o princípio dos trabalhos virtuais.
C
Cálculo das reações de apoio:
tVtV
VM
VVF
tHF
BA
DA
BAV
Ax
3,3
5.350
0
50
==
=×∴=
=∴=
=∴=
∑
∑
∑
5t
3m
5m
A
B C
HA
VA VB
x1
x2
1
2
3
15
A
B
HA
VA
x1
x2
1
2
3
P=1
VB
Métodos de Energia - 7.19
Momentos fletores
2) Calcular a flecha e a rotação na extremidade da viga em balanço com carga uniformemente
distribuída.
1,0 === ABA HVV
33.
2
.
1
2
11
==
=
A
A
HM
Barra
xHM
Barra
3
( )
mm
x
x
x
EI
dx
EI
x
dx
EI
xx
dx
EI
MM
D
D
D
H
H
H
88,7
2
.9
.45
3
.51
3..315..5
5
0
23
0
3
5
0
3
0
=














−+





=
−+== ∫∫∫
δ
δ
δ
DMF
q
x
2
. 2xq
M −=
L
2
. 2xq
M −=
M = -P.x = -x
P = 1
Para cálculo da flecha aplica-
se uma carga virtual unitária
enquanto que para o cálculo
da rotação aplica-se um
momento fletor virtual
unitário (sempre no ponto em
que se deseja realizar o
cálculo.M = 1
M = -1
Métodos de Energia - 7.20
Cálculo da flecha:
Cálculo da rotação:
EI
Lqx
EI
q
xdx
EI
xq
dx
EI
MM
L
LL
8
.
422
.. 4
0
4
0
2
0
=⋅=== ∫∫δ
EI
Lq
dx
EI
xq
dx
EI
MM LL
6
.
2
.. 3
0
2
0
=== ∫∫θ