06_Resist mat II_Eng Mecânica_Aimorés_Métodos de Energia_Parte 2_Energia de deformação para tensões de cisalhamento

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
UNIDADE 06:
MÉTODOS DE ENERGIA -
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA TENSÕES 
DE CISALHAMENTO
1
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA
Energia de Deformação Elástica
Para Tensões de Cisalhamento
2
Relembrando;
A densidade de energia de deformação, semelhante à tensão normal, para um
estado de tensão em cisalhamento puro pode ser estabelecida:
G
Gdu xyxyxyxyxyxyi
xy
2
2
2
12
2
1
0


 
 dVGU
xy
i 2
2
 dVuUdV
dUu ii
Dentro do regime linear e elástico (xy = G xy );
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Energia de Deformação Elástica
Para Momento de Torção
3
Considere um eixo circular sob momento torçor T, a energia de deformação
elástica será:
Fazendo dV = dA.dx;
J
T  
  dVGJ
TdV
G
U xyi 2
222
22

   


L
A
L
A
i dxdAGJ
TdxdA
GJ
TU
0
2
2
2
0
2
22
22


L
i dxGJ
TU
0
2
2
Caso mais comum – eixo prismático e torque constante:
GJ
LTU i 2
2

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Exemplo 01
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Um eixo circular consiste em duas partes BC e CD do mesmo material e do
mesmo comprimento, mas com seções transversais diferentes. Determine a
energia de deformação do eixo em termos da relação n entre os dois diâmetros.
Aplicando a equação de energia de
deformação elástica para torção:
GJ
LT
n
nU i 22
1 2
4
4
OBS: O aumento no diâmetro da parte BC resulta em uma diminuíção da capacidade de
absorção de energia do eixo todo !
   
 JnG
LT
GJ
LTU i 4
2
12
2
12
22

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Exercício proposto 01
5
Para o eixo de aço estrutural A-36 (G = 75 GPa , E = 200 GPa, sE = 250 MPa)
e diâmetro de 60mm, determine:
a) A energia de deformação por
torção;
b) A densidade de energia de
deformação correspondente.
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Energia de Deformação Elástica
Para Cargas Transversais
6
Considere o elemento prismático sob cisalhamento V, a energia de deformação
elástica será:
 


 dxdA
It
VQ
G
dV
G
U xyi
22
2
1
2

   







L
A
L
A
i dxdAt
Q
I
A
GA
VdxdA
t
Q
GI
VU
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
22

L
i dxGA
VCU
0
2
2
Fator de forma
(adimensional)
It
QV

A
dA
t
Q
I
AC
2
2
2
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Energia de Deformação Elástica
Para Cargas Transversais
7
O fator de forma para cisalhamento:
- Depende apenas do formato da seção transversal;
- É único para cada seção transversal específica
Fonte: BUDYNAS, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley: projeto de
engenharia mecânica . 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011
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Exemplo 02
8
Determine a energia de deformação elástica devido ao cisalhamento da viga em
balanço, supondo que ela seja submetida à carga uniforme distribuída w.
Considerar EI e G constantes.
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Exemplo 02 - Solução
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Determinação do esforço
cortante interno:
Aplicando a equação de energia de
deformação elástica para carga transversal:
GA
Lw
GA
LwU i 5
2,0 3232 
xwV
xwVFy

 0:0
 


LL
i dxGA
wxdx
GA
VCU
0
2
0
2
2
2,1
2

L
i dxxGA
wU
0
2
26,0
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Exemplo 02 - Solução
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Relação entre a energia de cisalhamento pela energia de deformação de flexão:
 
    G
E
L
a
aELw
GaLw
EILw
GALw
U
U
fi
Ci
2
4
12
152
232
52
32
3
2
40
5
40
5





Como G = E / 2(1+n) e 0 ≤ n ≤ 0,5 (usando n = 0,5), então E = 3G:
 
 
2
2 




L
a
U
U
fi
Ci
Para Vigas longas e esbeltas a energia de
deformação devida ao cisalhamento é
desprezível quando comparada com a energia de
deformação provocada pela flexão.
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Exercício proposto 02
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Para a viga W200 X 86 de aço estrutural A-36 (G = 75 GPa , E = 200 GPa,
sE = 250 MPa), determine:
a) A energia de deformação total (axial e por flexão);
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Referências Bibliográficas
BEER, Ferdinand Pierre et al. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. São
Paulo: Makron Books, 2007. (disponível no acervo)
BUDYNAS, Richard G.; NISBETT, J. Keith. Elementos de máquinas
de Shigley: projeto de engenharia mecânica. 8. ed. Porto Alegre:
AMGH, 2011.
HIBBELER, R.C.. Resistência dos Materiais. 5ª Ed São Paulo:
Prentice Hall do Brasil, 2004. (disponível no acervo)
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