Av2 - Álgebra Linear e Vetorial

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1)
Um conceito importante que é associado as transformações lineares é o de núcleo de uma transformação. A respeito desse conceito analise as seguintes afirmações considerando U e V espaços vetoriais e T: V → U:
I – O núcleo de uma transformação T é o subconjunto de V cujos elementos são associados ao vetor nulo de U pela transformação T.
II – Se uma transformação T for invertível então .
III – Se uma transformação linear tem núcleo não trivial então ela é injetora.
Assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas a afirmação I está correta.
b)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
Alternativa assinalada
c)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
d)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
e)
Todas as afirmações estão corretas.
2)
A ideia de transformação linear pode ser associada a função, em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Dentre as propriedades das transformações lineares é que essas podem ser classificadas em sobrejetoras, injetoras e bijetores.
Sabendo disso, analise as seguintes afirmações classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando U e V espaços vetoriais:
() Uma transformação é sobrejetora se para cada u pertencente a U existe v pertencente a V, tal que u = T(v).
() Uma transformação é bijetora se para todo v1, v2 pertencentes a V com v1 ≠ v2 temos T(v1) ≠ T(v2).
() Uma transformação é injetora se, e somente se, T(v + w) = T(v) + T(w).
Assinale a alternativa que apresente a sequência correta com relação ao julgamento das afirmações:
Alternativas:
a)
V – V – V.
b)
V – V – F.
c)
V – F – F.
Alternativa assinalada
d)
F – F – V.
e)
F – F – F.
3)
Em algumas situações é necessário realizar a mudança de base e essa mudança auxilia na otimização de resoluções de operações vetoriais. A respeito desse conceito analise as seguintes afirmações:
I – Um caso especial de mudança de base no espaço tridimensional é a mudança de base devido à rotação.
II – A mudança transformação de base é definida como: T(αv) = αT(v).
III – A matriz mudança de base de B a é denotada por .
Assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas a afirmação I está correta.
b)
Apenas a afirmação II está correta.
c)
Apenas a afirmação III está correta.
d)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
e)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
Alternativa assinalada
4)
Um conceito importante no estudo de Álgebra Linear e Vetorial é o de  independência linear. A respeito desse conceito, considere o seguinte conjunto de vetores do espaço vetorial V = R²: A = {(2, -1), (3, 5)} e avalie as seguintes asserções:
I – O conjunto de vetores é linearmente independente.
PORQUE
II – O sistema obtido pelo conjunto de vetores possui solução única chamada de trivial (α1 = α2 = 0).
Assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Alternativa assinalada
b)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
c)
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d)
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e)
As asserções I e II são proposições falsas.
5)
Uma ferramenta importante para a análise de transformações lineares são os conceitos de autovalor e autovetor.
Sabendo disso, considere a seguinte transformação T: R²→R², tal que e assinale a alternativa que forneça o autovetor associado ao autovalor :
Alternativas:
a)
V8 = {(a, a) | a ≠ 0}.
Alternativa assinalada
b)
V8 = {(-a, a) | a ≠ 0}.
c)
V8 = {(a, 2a) | a ≠ 0}.
d)
V8 = {(-2a, a) | a ≠ 0}.
e)
V8 = {(2a, a) | a ≠ 0}.