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UFPR - Departamento de Matema´tica CMA311 Ca´lculo III - Eng. Ambiental - 2019 Profa. Ana Gabriela Mart´ınez LISTA N0 1: Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem.. 1. Classifique as seguintes equac¸o˜es segundo a ordem e a linearidade: (a) x2y′′ + 5xy3 = 3xy′; (b) y′ + 3x3y + y′′ = cosx; (c) y′′ + ty′ = √ y; (d) (cos x3) y′′ − 3x2y′′′ = y; (e) x3(x2 − 1)y′ + cos(2pix) y = 0; (f) y′′′ + 4y = t 2 + 1 y′ . 2. Verifique que as seguintes func¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es das e.d.o. correspondentes: (a) y(x) = c cosx de y′ − y tg(x) = 0. (b) x(t) = (t+ k)e−3t de x′ + 3x = e−3t, onde k denota uma constante. (c) y(t) = t t− 1 e´ soluc¸a˜o da e.d.o. t 2y′ + y2 = 0, para todo t > 1. (d) y(x) = tg(x3) e´ soluc¸a˜o da e.d.o. y′ = 3x2 + 3x2y2 , para todo x ∈]− (pi 2 )1/3, (pi 2 )1/3[. 3. Determine qual ou quais das func¸o˜es y1(x) = x 2, y2(x) = x 3 e y3(x) = e −x sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o: (x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0. 4. Encontre a soluc¸a˜o geral da e.d.o. linear de primeira ordem para x > 0, xy′(x) + 2y(x) = cos x. Observe que a equac¸a˜o possue infinitas soluc¸o˜es. Grafique, com a ajuda de algum software computacional, essas soluc¸o˜es para diferentes valores da constante de integrac¸a˜o C. 5. Encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes e.d.o. lineares de primeira ordem: (a) xy′ + 2y = x2 − x+ 1 (b) y′ − 2 x y = x (c) (x2 + 9)y′ + xy = 0. (Aqui pode usar tambe´m separac¸a˜o de varia´veis). (d) y′ + 4 x y = 2 x3 . (e) xy′ + 2y = sinx. (f) x(x− 1)y′ + y = x2(2x− 1). (g) y′ + 3x2y = e−x 3+x. (h) y′ + 4 x y = 2 x3 . 6. (a) Considere a equac¸a˜o diferencial de primeira ordem linear: y′(x) + p(x)y = 0. Mostre que se y1(x) e y2(x) sa˜o duas soluc¸o˜es da e.d.o. anterior, enta˜o z(x) = c1y1(x) + c2y2(x) e´ tambe´m soluc¸a˜o da mesma equac¸a˜o.[ Esta propriedade e´ conhecida pelo nome de Princ´ıcio da superposic¸a˜o]. (b) O resultado anterior ainda permanece va´lido se trocarmos a equac¸a˜o linear homogeˆnea pela na˜o homogeˆnea: y′(x) + p(x)y = g(x)? 7. Considere as equac¸o˜es diferenciais lineares: y′(x) + p(x)y = 0; y′(x) + p(x)y = q(x). Suponha que y1(x) e´ soluc¸a˜o da homogeˆnea e que yp(x) e´ soluc¸a˜o da na˜o homogeˆnea. Mostre enta˜o que cy1(x) + yp(x), para c constante real, e´ tambe´m soluc¸a˜o da e.d.o. na˜o homogeˆnea. 8. Use a te´cnica da separac¸a˜o de varia´veis para resolver as seguintes equac¸o˜es e/ou P.V.I.: (a) y′ = yx (b) e−y(1 + y′) = 1. (c) (1 + ex)yy′ = ex; y(0) = 1. (d) (1 + x2) dy + y dx = 0; y(1) = 1. Observac¸a˜o: Ao resolver as equac¸o˜es separa´veis, tome cuidado com indefinic¸o˜es das func¸o˜es que aparecem na integrac¸a˜o, por exemplo ao dividir por uma func¸a˜o que possa se anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a func¸a˜o logaritmo na˜o esta´ definida para nu´meros negativos, considere log(|y|) quando for o caso. 9. Mostre que as seguintes equac¸o˜es sa˜o Exatas e encontre a soluc¸a˜o geral. (a) 2xy − sinx+ (x2 + ey)dy dx = 0. [Resp:x2y + cosx+ ey = cte]. (b) 3x2 + 4xy + (2x2 + 2y)y′ = 0. [Resp:x3 + 2x2y + y2 = c]. (c) y2 + cosx+ (2xy + ey) dy dx = 0. [Resp: xy2 + sinx+ ey = c]. (d) 2xy + y3 + (x2 + 3xy2)y′ = 0. [Resp: x2y + xy3 = c]. (e) 2(xy2 − 1 x3 ) + (2x2y − 1 y2 ) dy dx = 0. [Resp: x2y2 + 1/x2 + 1/y = c]. 10. Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial: ex 3 + sin y + x 3 cos(y)y′ = 0. (a) Mostre que a equac¸a˜o diferencial na˜o e´ exata e que µ(x) = x2 e´ um fator integrante. (b) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o. (c) Encontre a soluc¸a˜o particular que passa pelo ponto (1, pi). [Resp: e x3 3 + x3 sin(y) = e/3]. 11. Determine o fator integrante que transforma a`s seguintes equac¸o˜es diferenciais em Exatas e calcule a soluc¸a˜o geral em cada caso. (a) y + (2x− yey)y′ = 0. [Resp: µ(y) = y e´ fator integrante. Soluc¸a˜o impl´ıcita:y2x− y2ey + 2yey − 2ey = C.] (b) 1− x2y + x2(y − x)y′ = 0. [Resp: µ(x) = 1/x2 e´ fator integrante. Soluc¸a˜o: y2/2− 1/x− xy = C] 12. Uma func¸a˜o f(x, y) se diz homogeˆnea de grau n se verifica que f(tx, ty) = tnf(x, y). Mostre que as seguintes func¸o˜es sa˜o homogeˆneas: (a) f(x, y) = x2 + y2 − xy, (b)f(x, y) = x+ y, (c)f(x, y) = x3 + 2xy2 + 2y3. 13. Uma equac¸a˜o diferencial se diz homogeˆnea se e´ da forma y′ = f(x, y) g(x, y) , onde f(x, y) e g(x, y) sa˜o func¸o˜es homogeˆneas do mesmo grau. Toda equac¸a˜o homogeˆnea pode ser reduzida a uma e.d.o de varia´veis separa´veis introduzendo uma mudanc¸a de varia´veis do tipo v = y x . Resolva as seguintes e.d.o. homogeˆneas: (a) y′ = 2xy 3x2 − y2 , (b) 4x− 3y + y ′(2y − 3x) = 0 (c) 4x2 − xy + y2 = y′(xy − x2 − 4y2), (c) 2xy′(x2 + y2) = y(y2 + 2x2). 14. Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem e´ dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma y′ + p(x)y = q(x)yα; α 6= 0, 1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear atrave´s da mudanc¸a de varia´vel v = y1−α. Resolva as seguintes e.d.o: (a) y′ + 3y = 5y3, (b) xy′ + y = y2 lnx. (c) y′ + y x = x2y4, (d) 4xy′ + 3y = −ex x4 y5. Resp: (a) y(x) = [5/3 + ce6x]−1/2, (b) y(x) = [1 + lnx+ c]−1, (c) y(x) = [x3(c− lnx3)]−1/3, (d) y(x) = [x3(c+ ex)]−1/4. 15. Resolver os seguintes Problemas de Valores Iniciais: (a) x+ y cosx = −y′ sinx; y(pi/2) = 2. (b) x+ ye−xy′ = 0; y(0) = 1. (c) y′ = y3 1− 2xy2 ; y(0) = 1. 16. Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial, y′(x) = f(x, y(x)), y(x0) = y0 tem uma soluc¸a˜o. (a)f(x, y) = √ y2 − 4, (b) f(x, y) = 2xy y − x2 , (c) f(x, y) = √ xy, (d) f(x, y) = y2 x2 + y2 . Observac¸a˜o: Lembre que uma equac¸a˜o diferencial e´ dita autoˆnoma quando a varia´vel independente na˜o aparece expl´ıcitamente na equac¸a˜o. Em geral uma e.d.o. autoˆnoma de primeira ordem pode ser escrita na forma F (y, y′) = 0 ou na forma y′ = f(y) (*). Os zeros da func¸a˜o f em (*), isto e´ os valores de c tais que f(c) = 0 sa˜o chamados de pontos de equilibrio ou estaciona´rios. Nestes casos a func¸a˜o constante y(x)=c e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o autoˆnoma que e´ chamada soluc¸a˜o de equilibrio. 17. Considere a seguinte equac¸a˜o: dy dt = y2 − 1 (a) Ache todas as soluc¸o˜es de equil´ıbrio, isto e´ as soluc¸o˜es constantes. (b) Ache a soluc¸a˜o do problema de valor inicial com y(0) = 0. (c) Qual e´ o maior intervalo de tempo no qual e´ poss´ıvel definir a soluc¸a˜o do item anterior? (d) Qual e´ o valor da soluc¸a˜o no instante t = 1? 18. A seguir encontra-se o campo de direc¸o˜es da e.d.o. de primeira ordem na˜o linear y′ = (y2 − y − 2)(1− y)2: Determine qual sera´ o comportamento da soluc¸a˜o do P.V.I. no longo termo quando, (a) 0 < y(0) < 1, (b) 1 < y(0) < 2 (c) y(0) = 2 (d) y(0) > 2. (e) Indique as soluc¸o˜es de equilibrio. 19. Para as seguintes equac¸o˜es autoˆnomas, desenhe o campo de direc¸o˜es e esboce algumas soluc¸o˜es: (a) y′ = 2− y, (b) y′ = y − y2, (c) y′ = 1− y2. Determine tambe´m as soluc¸o˜es de equilibrio e classifique estas soluc¸o˜es como assinto´ticamente esta´veis, insta´veis ou semiesta´veis. 20. Considere a equac¸a˜o log´ıstica: dy dt = r ( 1− y K ) y, com taxa de crescimento intr´ınseco r = 1 e n´ıvel de saturac¸a˜o K = 1. (a) Ache todas as soluc¸o˜es de equil´ıbrio. (b) Ache a soluc¸a˜o do problema de valor inicial com y(0) = 3. (c) Qual e´ o maior intervalo de tempo no qual e´ poss´ıvel definir a soluc¸a˜o do item anterior? 21. Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem atrave´s de uma substituic¸a˜o que permita reduzir a ordem da equac¸a˜o: (a) y′′ + (y′)2 = 0, (b) y′′ + y(y′)3 = 0, (c) y′′ = (y′)3 + y′ (d) x2y′′ + 2xy′ = 1, x > 0, (e) yy′′ + (y′)2 = 0, (f) (1 + x2)y′′ + 2xy′ = 2x−3. 22. Importante: Resolver os problemas 1 ate´ 6; 8; 10; 11 e 22 da pa´gina 75/76do livro [1]. Aqui e´ conveniente revisar os teoremas de existeˆncia e unicidade para e.d.o’s lineares de primeira ordem (Teorema 2.4.1 do livro) e para e.d.o’s de primeira ordem na˜o lineares (Teorema 2.4.2 do livro do Boyce). [1] Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W. E. Boyce & R. C. DiPrima, 9◦ Ed. Wiley, 2008.. O pdf do livro esta´ no site. ================
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