Apostila Circuitos Elétricos Cap. 9

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CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Potência instantânea 
 
 
 
( ) ( ) ( )p t v t i t
 
 
 
 
 
 
2. Potência média 
 
 
 
0
0
1
( )
t T
t
P p t dt
T

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Valores eficazes de corrente e tensão 
 
 
Método para comparar a potência média dissipada num resistor 
alimentada por forma de onda diferente. 
 
 
 
0
I
R
 
( ) cos( )
p
I t I t  
R
 
 
 
2
1 0
P RI
 P2 = P1 se 
( ) cos( )
p
i t I t  
 
 
0
2
p
I I
 
 
Verificação: 
 
 Potência no resistor alimentado por CC 
 
2
1 0
P RI
 
rede
linear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
 Potência no resistor alimentado por CA 
 
 
 
2 2 2 2
2
1
( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )
2
1 cos2( )
2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R I
t
 
 
    
  
 
 
 
 
1 2
P P
  2
2
0
2
p
R I
R I 
 
 
 
0 0
2
2
p
p
I
I I I  
 
 
 
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a 
p
I
dissipa a mesma 
potência que uma corrente constante de valor 
2
pI
 sobre um resistor. 
 
 
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza 
 
 
0
0
0
0
2
2 2
2
1
( )
2
1
( )
t Tp
rms t
t T
rms t
I
P R R I R i t dt
T
I i t dt
T


 
   
 



 
 
 
Obs.: para senoide 
2
p
rms
I
I 
, 
2
p
rms
V
V 
 
 
 
 
4. Potência em elementos passivos 
 
 
4.1. Caso geral (impedância qualquer) 
 
v i
   
 
 
( ) cos
p
v t V t
 
 
0
p p
p
V VV
I I
Z ZZ
 



     
 
 
( ) cos( )
p
i t I t  
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )
p p
p t v t i t V t I t     
1 1
( ) cos( ) cos(2 )
2 2
p p
p t V I t t t           
,ora 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B   
 
 1 1
( ) cos( ) cos(2 )
2 2
p p p p
p t V I V I t     
 
( ) cos( ) cos(2 )
rms rms rms rms
p t V I V I t    ,ora 
 
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B  
 
 
 ( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t t       
 
 ( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I t      
 
 
 
 potência instantânea na potência instantânea na 
 parte resistiva de 
Z
 parte reativa de 
Z
 
 
 Potência média: 
0
1
( ) cos( )
T
rms rms
P p t dt V I
T
 
, [ W ] 
 
 Potência reativa: 
Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. 
sin( )
rms rms
Q V I  
V

I

Z Z 
 4.2. Circuito resistivo 
 
 Tensão e corrente em fase. 
 
0
v i
    
. 
 
 
 ( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I t 
 
 
 
0
1
1 cos(2 )
T
R rms rms
P V I t dt
T
 
 
 2
2 rms
R rms rms rms
V
P V I RI
R
  
 
 
0
R
Q 
 
 
 
 4.3. Circuito exclusivamente indutivo 
 
 
0 90 90
v i
         
 
( ) sin(2 )
rms rms
p t V I t 
 
0
L
P 
 
 2
2 rms
L rms rms L rms
L
V
Q V I X I
X
  
 
 
 
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo 
 
0 90 90
v i
         
 
( ) sin(2 )
rms rms
p t V I t  
 
0
C
P 
 
 2
2 rms
C rms rms C rms
C
V
Q V I X I
X
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Potência aparente e fator de potência 
 
 
a) Potência aparente: 
 
rms rms
S V I
, [VA] potência desenvolvida pela fonte. 
 
b) Fator de potência: 
 
Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem 
entre a tensão e a corrente. 
cos( ) cos( )
p v i
F      [adimensional] 
Como a função coseno é uma função par, 
cos( ) cos( )
v i i v
     . 
Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada 
em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se 
a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. 
 
 Fluxo da potência num circuito: 
 
 
F
o
n
t
e
R
L
C
Carga
 
 
 Relações adicionais: 
 
cos( )P S 
 
sin( )Q S 
 
2 2S P Q 
 
tan( )
Q
P
 
 
 
 
 
6. Potência complexa 
 
 
 
 
 
 
v
i   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos( ) cos( )
rms rms rms rms v i
P V I V I     
 
 cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV I       
 
 ( )v ijrms rmsP V I e
 
 
 
 v ij jrms rmsP V e I e
 
 
 
 
*
P V I
 

 
 
 P S
 
 Definindo a potência complexa *
S V I S 
 
 
 
 Portanto 
 P S
 
 
 ImQ S S P jQ  
 
 
S S
 
 
cos( )
p
F 
 
 
 
 Conservação da potência complexa: 
 
 
*
S V I
 

 
 
* *
1 2S V I I
  
 
 
* *
1 2
S V I V I
   
 
 
1 2
S S S 
 
I

V

1I

2I

rms iI I 


rmsV V v

 Z Z 
 Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para 
determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar 
todas as potências complexas de cada elemento. 
 
 
 Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência 
complexa): 
 
 
 
0 
 carga indutiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Relações adicionais: 
 
V Z I
 

 
2
* *
2 rms
rms
I
S V I Z I I S Z I
Y
   
    
 
 
* 2
*
2
* *
rms
rms
VV
V S Y V
Z Z


   
 
 
7. Correção do fator de potência 
 
 
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem 
alterar a energia útil absorvida pela carga. 
 
 
S
P
Q

S
P
Q

'
Q'
S'
 
 
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 
atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz 
a) Determinar a corrente da carga 
b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da 
ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da 
capacitância requerida. 
c) Calcular a nova corrente da carga. 
 
Solução: 
a) 3
3
500 10
36,2
13,8 10
rms
S
I A
V

  

 
 
 
b)
3
1 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA          
 
300 400k j k 
 
 
300P kW
 
' cos(0,9) 25,84Q arc  
 
 
400Q kVAR
 
' 333,33
cos( ')
P
S kVA 
 
 
' 'sin( ') 145,3Q S kVAR  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência reativa do capacitor: 
' 254,7
C
Q Q Q kVAR   
 
 
 
S
P
Q

'
Q'
S'
Potência complexa no capacitor: 
 *
CC CS V I P
  
 
0
C C
jQ
 
 
 
V

C
 
 
 
 *
CC
C
V I jQ
 

 
 
* 2
* *
C C
C
C C
CC
VV
V jQ jQ
ZZ


  
 
 *1 1
C C
Z Z
jc jc 
  

 
2
2
C
C
Q
C
f V
 
 
 
 
 3
3
254,7 10
3,55
2 60 13,8 10
C F

  
  
 
 
 c) 3
3
' 333,33 10
' 24,15
13,8 10
S
I A
V

  

 
 
 
 
8. Transferência máxima de potência 
 
 Objetivo: obter 
L
Z
de modo que a potência ativa na carga seja máxima. 
SV

L L LZ R jX 
S S SZ R jX 
A
B
 
8.1 Carga puramente resistiva  
L L
Z R
 
 
 
SV

LR
SZ
LI

 
 
 S S
L
S S LS L
V V
I
R jX RZ R
 

 
 
 
 
2 2( )
S
L
S L S
V
I
R R X

 
 
 
 Potência na carga: 
 
2
2
2 2( )
L S
L L L
S L S
R V
P R I
R R X
 
 
 
max 0L
L
L
dP
P se
dR

 
 
2 2
L S S S
R R X Z  
 
 
 
8.2 Carga com RL fixo e XL variável 
 
 
SV

LR
SZ
LI

A
B
LjX
 
 
( ) ( )
S
L
S L S L
V
I
R R j X X



  
 
 
 
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
V
I
R R X X



  
 
 
 
 
Potência na carga: 
 
 
2
2
2 2
max
( ) ( )
L S
L L L L S L
S L S L
R V
P R I P se X X
R R X X
   
  
 
 
 
2
max 2( )
L S
L
S L
R V
P
R R


 
 
8.3 Carga com RL variável e XL fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SV
LR
SZ
A
B
LjX
 
 
 
 
 
 
 
 
   
2 2
S
L
S L S L
V
I
R R X X

  
 
 
 
   
2
2 2
L S
L
S L S L
R V
P
R R X X

  
 ; 
max
0L
L
L
dP
P se
dR

 
 
 então 
 
22
L S S L
R R X X  
 
 
 
8.4 Carga com RL variável e XL variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
2
2 2
L S
L
S L L S
R V
P
R R X X

  
 
 
 Fazendo 
L
X
variar: 
maxL
P
para
L S
X X 
. 
SV

LR
SZ
LjX
 Então: 
 
2
2
' L S
L
S L
R V
P
R R


. 
 
 Em seguida, fazendo 
L
R
variar: 
max
'
0L
L L S
L
dP
P se R R
dR
  
. 
 Então: *
L S S S
Z R jX Z  
.