Análise Combinatóriaa

Prévia do material em texto

- Análise Combinatória - 
Prof. Klynger Ponte 
 
Os problemas de contagem são frequentes no nosso cotidiano. Estão presentes, 
por exemplo, quando pensamos nas possibilidades de combinação de roupas, 
de planejamento de pratos em cardápios ou de combinações de números em um 
jogo de loteria. A análise combinatória é o campo de estudo que desenvolve 
métodos para fazer a contagem, de modo eficiente, do número de elementos de 
um conjunto. Associada à probabilidade e à estatística, a Análise combinatória 
constitui um poderoso instrumento de antecipação de resultados nos campos 
industrial, comercial, científico ou governamental. 
 
Muitos problemas de análise combinatória devem ser resolvidos com uma multiplicação 
de números naturais consecutivos, como 1𝑥2𝑥3 ou 5 𝑥 4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1. Nesses exemplos, 
multiplicamos os números naturais de 1 𝑎𝑡é 𝑛, sendo no primeiro caso 𝑛 = 3 e, no 
segundo, 𝑛 = 5. Em geral, produtos do tipo 1 . 2 . 3 . . . . . (𝑛 – 1) . 𝑛 são escritos com a 
notação de fatorial (!). Dado um número natural 𝑛 (𝑛 > 1), define-se 𝑛 fatorial ou fatorial 
de n (indicado por 𝑛!) como sendo o produto dos 𝑛 números naturais consecutivos, 
escritos desde 𝑛 𝑎𝑡é 1. 
EXEMPLO 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
 
 
 
 
O cálculo de 𝑛! fica complicado a medida que o número 𝑛 aumenta. Por isso, podemos 
interromper (truncar) a qualquer momento, desde que colocado o símbolo ! depois do 
número. 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa quer viajar de Porto Alegre a Recife, passando por São Paulo. Sabendo 
que há 3 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Porto Alegre e 4 
roteiros diferentes para chegar a Recife partindo de São Paulo, de quantas maneiras 
possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? 
 
 
 
 
 
 
Se um evento é composto por duas (ou mais) etapas sucessivas e independentes de tal 
maneira que o número de possibilidades na primeira etapa é m e o número de 
possibilidades na segunda etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento 
ocorrer é dado pelo produto 𝑚 . 𝑛. 
 
Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos 
qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos, diferindo apenas 
pela ordem dos elementos. Para determinar o número de permutações em um grupo 
com n elementos, basta calcular o fatorial desse n. 
 
EXEMPLO 
Gui, Bussunda e JowJow vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras essa 
fotografia pode ser tirada: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
 
 
São palavras obtidas a partir de outra, quando se trocam as posições de suas letras, 
não importando se essas palavras tenham sentido ou não. 
EXEMPLO Quantos são os anagramas da palavra AMOR? 
A M O R = 4 letras não repetidas 
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas 
 
 
Para os cálculos de permutação de n elementos, dos quais k são repetidos, utilizaremos 
a seguinte fórmula, onde n é o número total de elementos a ser permutados e 
𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 os elementos repetidos. 
 
 
 
 
São agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, isto é, qualquer 
mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento. Por exemplo, ao formar 
números naturais de 3 algarismos distintos escolhido entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, 
estaremos arranjando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o número 246 é diferente 
de 642. Note que os algarismos são os mesmos, mas diferem pela ordem. Dado um 
conjunto de n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados de p a 
p, (𝑛 ≥ 𝑝) a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre 
os 𝑛 existentes. 
 
 
 
OS ELEMENTOS DOS ARRANJOS DIFEREM PELA ORDEM! 
Geralmente usamos arranjo nos problemas envolvendo senhas, formação de números, 
grupos de pessoas com cargos, placas, números de telefone. 
 
 
 
 
 
São agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos, isto é, mudanças 
na ordem dos elementos não alteram o agrupamento. Por exemplo, ao formar conjuntos 
de números naturais de 3 algarismos distintos, escolhido entre os algarismos 2, 4, 6, 7 
e 8, estaremos combinando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o conjunto {2, 4, 6} 
é igual ao conjunto {6, 4, 2}. Note que a ordem dos algarismos mudou, mas o conjunto 
é o mesmo, ou seja, os elementos não diferem pela ordem. 
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos 
de A, tomados p a p, ( n p), qualquer subconjunto de A formado por p elementos. 
 
 
 
 
OS ELEMENTOS DAS COMBINAÇÕES NÃO DIFEREM PELA ORDEM! 
Geralmente usamos combinação nos problemas envolvendo conjuntos, figuras planas, 
grupos de pessoas sem cargos, loterias. 
ATENÇÃO!!! 
Não confunda quando usar a permutação, o arranjo ou a combinação. Como exemplo, 
vamos considerar o conjunto das vogais {A, E, I, O, U}. 
1. De quantas maneiras podemos alinhar as 5 vogais? 
A E I O U ou A I E U O ou O A I E U 
Repare que estamos trabalhando com todos os elementos do grupo, ou seja, formando 
outras configurações a partir da troca de posição dos elementos. Nesse caso usamos a 
PERMUTAÇÃO. 
2. Quantos subconjuntos de 3 vogais distintas podemos formar? 
{A, E, I} ou {A, I, E} ou {I, E, A} 
Repare que estamos escolhendo apenas uma parte do grupo de vogais para formar 
subconjuntos com 3 vogais distintas e, quando permutados dentro do agrupamento, 
NÃO forma uma nova configuração, ou seja, os agrupamentos NÃO DIFEREM pela 
ordem dos elementos no grupo. Nesse caso, usamos a COMBINAÇÃO. 
3. Quantos anagramas de 3 vogais distintas podemos formar? 
AEI ou AIE ou IEA 
Repare que estamos escolhendo apenas uma parte do grupo de vogais para formar 
anagramas com 3 vogais distintas e, quando permutadas dentro do agrupamento, 
FORMA uma nova configuração, ou seja, os agrupamentos DIFEREM pela ordem dos 
elementos no grupo. Nesse caso, usamos o ARRANJO. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (G1 - ifce 2019) Certo departamento de uma empresa tem como funcionários exatamente 
oito mulheres e seis homens. A empresa solicitou ao departamento que enviasse uma 
comissão formada por três mulheres e dois homens para participar de uma reunião. O 
departamento pode atender à solicitação de ______ maneiras diferentes. 
a) 
840.
 
b) 
720.
 
c) 
401.
 
d) 
366.
 
e) 
71.
 
 
2. (Eear 2019) Com os algarismos 
2, 3, 4, 5, 6
 e 
7
 posso escrever ____ números pares de 
quatro algarismos distintos. 
a) 
120
 
b) 
180
 
c) 
240
 
d) 
360
 
 
3. (Famerp 2018) Lucas possui 
6
 livros diferentes e Milton possui 
8
 revistas diferentes. Os 
dois pretendem fazer uma troca de 
3
 livros por 
3
 revistas. O total de possibilidades distintas 
para que essa troca possa ser feita é igual a 
a) 
1.040.
 
b) 
684.
 
c) 
980.
 
d) 
1.120.
 
e) 
364.
 
 
4. (Ueg 2019) Um ovo de brinquedo contém no seu interior duas figurinhas distintas, um 
bonequinho e um docinho. Sabe-se que na produção desse brinquedo, há disponível para 
escolha 
20
 figurinhas, 
10
 bonequinhos e 
4
 docinhos, todos distintos. O número de maneiras 
que se pode compor o interior desse ovo de brinquedo é 
a) 
15.200
 
b) 
7.600
 
c) 
3.800
 
d) 
800
 
e) 
400
 
 
5. (Uerj 2019) Seis times de futebol disputaram um torneio no qual cada time jogou apenas 
uma vez contra cada adversário. A regra de pontuação consistia em marcar 
0
 ponto para o 
time perdedor,3
pontos para o vencedor e, no caso de empate, 
1
 ponto para cada time. A 
tabela mostra a pontuação final do torneio. 
 
Times A B C D E F 
Pontos 
9
 
6
 
4
 
2
 
6
 
13
 
 
O número de empates nesse torneio foi igual a: 
a) 
4
 
b) 
5
 
c) 
6
 
d) 
7
 
 
 
6. (Espm 2018) A senha bancária da dona Maria era 
753213
 seguida pelas letras 
D, D
 e 
B,
 
nessa ordem. Acontece que ela só se lembrava da parte numérica, esquecendo-se 
completamente da sequência de letras. A caixa eletrônica apresentou os 
4
 botões mostrados 
na figura abaixo, que ela deveria pressionar exatamente 
3
 vezes, podendo repeti-los, um para 
cada letra da senha. 
 
 
 
Se ela fizer as escolhas aleatoriamente, a probabilidade de acertar a senha será: 
a) 
9
32
 
b) 
5
16
 
c) 
1
4
 
d) 
3
8
 
e) 
3
16
 
 
7. (Ueg 2018) O número de anagramas que se pode formar com a palavra ARRANJO é igual a 
a) 
21
 
b) 
42
 
c) 
5.040
 
d) 
2.520
 
e) 
1.260
 
 
8. (Epcar (Afa) 2018) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, 
sendo: 
3
 pretos, 
2
 vermelhos e 
1
 branco.Considerando que uma maneira de isso ocorrer se 
distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros 
ocuparem as dez vagas é igual a 
a) 
12.600
 
b) 
16.200
 
c) 
21.600
 
d) 
26.100
 
 
9. (Upe-ssa 1 2018) A prova final de Geografia de uma escola é composta de 
10
 itens com 
alternativas do tipo “verdadeiro ou falso”. De quantas maneiras diferentes um estudante poderá 
responder esta prova, de forma que ele só assinale apenas uma alternativa em cada questão? 
a) 
20
 
b) 
64
 
c) 
256
 
d) 
512
 
e) 
1024
 
 
10. (Eear 2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 
10
 militares. Para disputar o 
campeonato, esses militares podem formar _____ duplas diferentes. 
a) 
34
 
b) 
35
 
c) 
44
 
d) 
45
 
 
11. (Unigranrio - Medicina 2017) Resolvendo a adição 
8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8C C C C C C C     
 encontramos como resultado: 
a) 
64
 
b) 
247
 
c) 
256
 
d) 
260
 
e) 
264
 
 
12. (Upe-ssa 2 2017) Nos jogos escolares do sertão, dez equipes disputam um campeonato 
de queimado. Cada equipe enfrenta as demais uma única vez. 
 
Quantos jogos compõem esse campeonato de queimado? 
a) 
10
 
b) 
20
 
c) 
45
 
d) 
50
 
e) 
100
 
 
13. (Uece 2017) O número de cordas determinadas por 
12
 pontos distintos colocados sobre 
uma circunferência é 
a) 
54.
 
b) 
66.
 
c) 
72.
 
d) 
78.
 
 
14. (Ueg 2017) Uma comissão será composta pelo presidente, tesoureiro e secretário. Cinco 
candidatos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais votado será o presidente, o 
segundo mais votado o tesoureiro e o menos votado o secretário. 
 
Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa comissão poderá ser formada? 
a) 
120
 
b) 
60
 
c) 
40
 
d) 
20
 
e) 
10
 
 
15. (Ufjf-pism 3 2017) Para concorrer à eleição a diretor e a vice-diretor de uma escola, há 
8
 
candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, o de vice-
diretor. Quantas são as possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa 
escola? 
a) 
15
 
b) 
27
 
c) 
34
 
d) 
56
 
e) 
65
 
 
16. (Unigranrio - Medicina 2017) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em 
que as consoantes aparecem juntas, mas em qualquer ordem? 
a) 
120
 
b) 
720
 
c) 
17.280
 
d) 
34.560
 
e) 
86.400
 
 
 
17. (Unisinos 2017) Quantos são os números formados por dois algarismos em que ambos 
são ímpares e diferentes? 
a) 
30
 
b) 
25
 
c) 
24
 
d) 
20
 
e) 
15
 
 
18. (Pucsp 2017) Uma pessoa dispõe das seguintes cores de tinta: amarela, azul, verde, 
vermelha e branca, e irá utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão pintadas a tampa, a 
lateral e uma lista na lateral, de modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma cor ou 
cores diferentes. O número de maneiras distintas de pintar esse pote é 
a) 
100
 
b) 
80
 
c) 
60
 
d) 
40
 
 
19. (Ucs 2016) Um supermercado está selecionando, entre 15 candidatos que se 
apresentaram, 3 funcionários para desempenhar a função de “caixa”. 
 
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha? 
a) 5 
b) 45 
c) 215 
d) 360 
e) 455 
 
20. (Ueg 2016) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ utilizando sua caneta de quatro 
cores distintas, de tal forma que nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O número 
de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é 
a) 64 
b) 24 
c) 12 
d) 4 
 
21. (Imed 2016) O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de 
verão, em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra 
VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: 
a) 
120.
 
b) 
240.
 
c) 
360.
 
d) 
540.
 
e) 
720.
 
 
22. (Unisc 2016) Newton possui 
7
 livros distintos, sendo 
3
 de Álgebra, 
2
 de Cálculo e 
2
 de 
Geometria. O número de maneiras diferentes que Newton pode organizar esses livros em uma 
estante, de forma que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos, é 
a) 
24
 
b) 
36
 
c) 
56
 
d) 
72
 
e) 
144
 
 
 
 
 
 
23. (Enem 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de 
sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data 
escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão 
marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por 
a) 
9!
2!
 
b) 
9!
7! 2!
 
c) 
7!
 
d) 
5!
4!
2!

 
e) 
5! 4!
4! 3!

 
 
24. (Espcex (Aman) 2019) Considere o conjunto de números naturais 
{1, 2, ,15}.
 Formando 
grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos 
termos é ímpar é 
a) 
168.
 
b) 
196.
 
c) 
224.
 
d) 
227.
 
e) 
231.
 
 
25. (G1 - ifce 2019) Certo departamento de uma empresa tem como funcionários exatamente 
oito mulheres e seis homens. A empresa solicitou ao departamento que enviasse uma 
comissão formada por três mulheres e dois homens para participar de uma reunião. O 
departamento pode atender à solicitação de ______ maneiras diferentes. 
a) 
840.
 
b) 
720.
 
c) 
401.
 
d) 
366.
 
e) 
71.
 
 
26. (Ufrgs 2019) Uma caixa contém 
32
 esferas numeradas de 
1
 a 
32.
 O número de maneiras 
distintas de retirar 
3
 esferas da caixa, ordenadas como primeira, segunda e terceira, em que a 
esfera com o número 
8
 seja pelo menos a terceira a ser retirada é 
a) 
27.
 
b) 
96.
 
c) 
2000.
 
d) 
2018.
 
e) 
2790.
 
 
 
 
 
27. (Ufjf-pism 3 2018) Em uma festa havia 
21
 pessoas presentes. Ao chegarem, 
cumprimentaram com um aperto de mão uma única vez cada umadas outras pessoas. 
Quantos apertos de mão ocorreram ao todo? 
a) 
42
 
b) 
84
 
c) 
105
 
d) 
210
 
e) 
420
 
 
28. (G1 - ifpe 2018) Os alunos do curso de Computação Gráfica do campus Olinda estão 
desenvolvendo um vídeo com todos os anagramas da palavra CARNAVAL. Se cada anagrama 
é mostrado durante 
0,5 s
 na tela, a animação completa dura 
a) menos de 
1
 minuto. 
b) menos de 
1
 hora. 
c) menos de meia hora. 
d) menos de 
10
 minutos. 
e) mais de 
1
 hora. 
 
29. (Uefs 2018) Daniela tem 
5
 pulseiras diferentes e as utiliza necessariamente colocando-as 
uma após a outra. Ela pode usar todas as pulseiras em apenas um braço ou distribuí-las entre 
os braços direito e esquerdo. Daniela considera como um arranjo diferente tanto o braço em 
que as pulseiras são colocadas quanto a ordem como elas são distribuídas. As figuras 
mostram três arranjos diferentes que Daniela pode fazer. 
 
 
 
O número de arranjos diferentes que Daniela pode fazer usando todas essas pulseiras é 
a) 
240.
 
b) 
360.
 
c) 
480.
 
d) 
600.
 
e) 
720.
 
 
30. (Unigranrio - Medicina 2017) Considere 
5
 pontos distintos sobre uma reta 
r
 e 
4
 pontos 
distintos sobre uma reta 
s,
 de forma que 
r
 seja paralela a 
s.
 O número de triângulos com 
vértices nesses pontos é igual a: 
a) 
10
 
b) 
12
 
c) 
20
 
d) 
50
 
e) 
70
 
 
31. (Espm 2017) Em uma competição de vôlei de praia participaram 
n
 duplas. Ao final, todos 
os adversários se cumprimentaram uma única vez com apertos de mãos. Sabendo-se que 
foram contados 
180
 apertos de mãos, podemos concluir que 
n
 é igual a: 
a) 
8
 
b) 
9
 
c) 
10
 
d) 
11
 
e) 
12
 
 
 
32. (ifsul 2017) O número de anagramas distintos que podemos formar com o termo DIREITO é 
a) 
5.040
 
b) 
2.520
 
c) 
120
 
d) 
7
 
 
33. (Pucrs 2017) O número de anagramas da palavra 
PRÊMIO
 nos quais as três vogais ficam 
juntas é igual a 
a) 
2! 3!
 
b) 
3! 3!
 
c) 
3! 4!
 
d) 
3! 6!
 
e) 
6!
 
 
34. (Fgv 2017) O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos 
consecutivos iguais em sua composição é igual a 
a) 
6.581.
 
b) 
9.590.
 
c) 
18.621.
 
d) 
27.930.
 
e) 
30.951.
 
 
35. (Udesc 2016) A Câmara de Vereadores de uma cidade é composta por 
13
 vereadores, sendo 
que 
6
 destes são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 
7
 restantes 
são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão 
especial a ser formada por exatamente 
5
 vereadores, de forma que haja pelo menos dois 
representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e 
o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade 
de comissões distintas que pode ser constituída é igual a: 
a) 
945
 
b) 
500
 
c) 
620
 
d) 
810
 
e) 
310
 
 
36. (G1 - ifpe 2016) O auditório do IFPE, campus Vitoria de Santo Antão, tem formato 
retangular e dispõe de quatro aparelhos de ar-condicionado, sendo um ar-condicionado 
instalado em cada uma das suas quatro paredes. Em todos os eventos, pelo menos um 
aparelho deve estar ligado para a refrigeração do ambiente. 
 
De quantos modos diferentes este auditório pode ser refrigerado? 
a) 
4
 
b) 
16
 
c) 
8
 
d) 
64
 
e) 
15
 
 
37. G1 - ifpe 2016) Uma urna contém 
10
 bolas, sendo 
3
 bolas pretas iguais, 
3
 bolas brancas 
iguais, 
2
 bolas verdes iguais e 
2
 bolas azuis iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se 
extrair, uma a uma, as 
10
 bolas da urna, sem reposição? 
a) 
25.200
 
b) 
10!
 
c) 
144
 
d) 
3.600
 
e) 
72.000
 
38.(G1 - ifsp 2016) João trocou os móveis de seu quarto e, junto ao novo guarda-roupa, há 
também uma sapateira. João possui 
7
 pares de sapato do tipo social, 
3
 pares de tênis 
esportivos e 
3
 pares de chinelos. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta a 
quantidade de disposições possíveis para os calçados, desde que os calçados de mesmo tipo 
fiquem juntos, lado a lado. 
a) 
181.440.
 
b) 
209.350.
 
c) 
709.890.
 
d) 
920.870.
 
e) 
1.088.640.
 
 
39. (Enem 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha 
composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou 
minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe 
que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula 
em uma senha. 
 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
 
 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
a) 
2 210 26
 
b) 
2 210 52
 
c) 
2 2 4!10 52
2!
 
 
d) 
2 2 4!10 26
2! 2!
 

 
e) 
2 2 4!10 52
2! 2!
 

 
 
40. (Upf 2016) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os 
quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando 
A
 a 
B
 é: 
 
 
a) 
40.320
 
b) 
6.720
 
c) 
256
 
d) 
120
 
e) 
56
 
 
41. (Efomm 2016) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais 
juntas é 
a) 
40320.
 
b) 
38160.
 
c) 
37920.
 
d) 
7200.
 
e) 
3600.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42. (Ebmsp 2016) 
 
 
Na figura, a malha é formada por quadrados do mesmo tamanho cujos lados representam ruas 
de determinado bairro onde o deslocamento de veículos só é permitido no sentido leste ou 
norte e ao longo das ruas representadas pelas linhas. 
 
Nessas condições, o menor percurso para ir de 
P
 até 
R,
 sem passar por 
Q,
 pode ser feito por 
um número máximo de formas distintas igual a 
a) 
115
 
b) 
75
 
c) 
54
 
d) 
36
 
e) 
15
 
 
43. (Enem 2ª aplicação 2016) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte 
desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que 
a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um 
segmento tenham cores diferentes. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? 
a) 
6
 
b) 
12
 
c) 
18
 
d) 
24
 
e) 
72
 
 
44. (Unisinos 2016) A bandeira a seguir está dividida em 
4
 regiões. Cada região deverá ser 
pintada com uma cor, e regiões que fazem fronteira devem ser pintadas com cores diferentes. 
 
 
 
Sabendo que dispomos de 
6
 cores, de quantas maneiras distintas podemos pintar essa 
bandeira? 
a) 
20.
 
b) 
24.
 
c) 
120.
 
d) 
600.
 
e) 
720.
 
45. (Eear 2016) Considere os algarismos 
1, 2, 3, 4, 5
 e 
6.
 A partir deles, podem ser criados 
_____ números pares de quatro algarismos distintos. 
a) 
60
 
b) 
120
 
c) 
180
 
d) 
360
 
 
46. (Uece 2015) A turma K do Curso de Administração da UECE é formada por 
36
 alunos, 
sendo 
22
 mulheres e 
14
 homens. O número de comissõesque podem ser formadas com 
alunos desta turma, tendo cada comissão três componentes e sendo assegurada a 
participação de representantes dos dois sexos em cada comissão, é: 
a) 
5236.
 
b) 
6532.
 
c) 
3562.
 
d) 
2635.
 
 
47. (Pucsp 2015) No vestiário de uma Academia de Ginástica há exatamente 
30
 armários, 
cada qual para uso individual. Se, no instante em que dois alunos dessa Academia entram no 
vestiário para mudar suas roupas, apenas 
8
 dos armários estão desocupados, quantas opções 
eles terão para escolher seus respectivos armários? 
a) 
14
 
b) 
28
 
c) 
48
 
d) 
56
 
e) 
112
 
 
48. (Pucrj 2015) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é: 
a) 2520 
b) 5040 
c) 10080 
d) 20160 
e) 40320 
 
49. (Upe 2015) A vendedora de roupas está arrumando os cabides da vitrine de uma loja. Ela 
deve pendurar 
5
 camisas, 
3
 bermudas e 
2
 casacos na vitrine, de modo que cada peça fique 
uma do lado da outra sem sobreposição. Quantas são as disposições possíveis nessa 
arrumação, de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado na 
vitrine? 
 
a) 
30
 
b) 
120
 
c) 
1.440
 
d) 
4.320
 
e) 
8.640
 
 
50. (Ueg 2015) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, antes de sair do apartamento, 
escolhe colocar uma roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 
7
 roupas e 
3
 coleiras, 
todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para 
passear com a Kika? 
 
a) 
10
 
b) 
21
 
c) 
35
 
d) 
42