Método de Cross - Estruturas Hiperestáticas

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INTRODUÇÃO 
O Processo de Cross, ou Método da Distribuição de Momentos (White et al. 1976), 
é um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores em vigas 
contínuas, pórticos planos, grelhas e até em pórticos espaciais. 
 
Este processo é baseado no Método dos Deslocamentos e só se aplica para 
estruturas sem deslocabilidades externas (do tipo translação), isto é, ele só se 
aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do 
tipo rotação. 
 
Apesar desta limitação, o método criado por Hardy Cross na década de 1930 
(“Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments,” Transactions, 
ASCE, Paper no. 1793, vol. 96, 1936) ainda é utilizado hoje para o cálculo de 
estruturas. 
Prof. Msc. Ronan Violin 
INTRODUÇÃO 
O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande pois possibilitou a 
solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que estruturas de 
concreto armado estavam se tornando muito comuns. 
 
O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas, com alto 
grau de hiperestaticidade. A aplicação prática do Processo de Cross diminuiu 
bastante pois atualmente se faz uso de programas de computador para a análise 
de estruturas, que geralmente utilizam o Método dos Deslocamentos (embora 
alguns programas utilizem o Processo de Cross como procedimento de análise de 
vigas contínuas). 
 
Apesar do uso do Método da Distribuição de Momentos ter caído nas últimas 
décadas, a sua apresentação neste livro tem um objetivo acadêmico, pois ele tem 
um apelo intuitivo muito forte e, por isso, serve para uma melhor compreensão do 
comportamento à flexão de estruturas reticuladas. 
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INTRODUÇÃO 
A estrutura começa com uma seção de apresentação de uma interpretação física 
do Processo de Cross, como foi introduzido de forma muito conveniente por White 
et al. As duas seções seguintes apresentam os dois pontos básicos que 
fundamentam o método: 
 
• A distribuição de um momento aplicado em um nó de um pórtico por parcelas de 
momentos fletores equilibrantes nas barras adjacentes. 
 
• A solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do Método dos 
Deslocamentos para uma estrutura que só tem rotações como deslocabilidades. 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
White, Gergely e Sexsmith (1976) apresentaram de forma brilhante um experimento 
físico que serve para entender intuitivamente o Processo de Cross. A Figura 8.1 
mostra imagens desse experimento. 
 
Pela Figura 8.1, o Método da Distribuição de Momentos pode ser entendido com a 
aplicação física de sucessivos travamentos e liberações de rotações nodais de uma 
viga contínua com três vãos. Inicialmente a viga tem todas as suas rotações nodais 
travadas (Figura 8.1-a). Em seguida se aplica uma carga concentrada na posição 
média do vão central (Figura 8.1-b). Como todos os nós têm as suas rotações 
artificialmente fixadas, o efeito inicial da carga só é sentido no vão central. Isto é, os 
dois vãos extremos não sofrem nenhuma deformação, portanto não apresentam 
momentos fletores. Nesta situação existe um desequilíbrio de momentos fletores 
nos dois nós intermediários (este desequilíbrio está sendo artificialmente 
equilibrado por momentos externos aplicados pelas travas que fixam as rotações). 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
Figura 8.1 – Experimento físico para interpretação física do Processo de Cross 
(imagens reproduzidas do livro de White, Gergely e Sexsmith, 1976). 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
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Se a rotação do segundo nó da esquerda para a direita for liberada, o nó gira até 
atingir uma situação de equilíbrio (Figura 8.1-c). Nesta situação os momentos 
fletores nas seções adjacentes desse nó têm que estar em equilíbrio pois a trava 
liberada não pode introduzir nenhum momento externo. O primeiro e o segundo 
vãos da viga se deformam em conseqüência da liberação da rotação, acarretando 
em uma modificação na distribuição de momentos fletores nos vãos. Enquanto isso 
o terceiro vão permanece indeformado e sem momentos fletores. 
 
No passo seguinte do processo, o segundo nó é travado novamente e o terceiro nó 
tem sua rotação liberada (Figura 8.1-d). O resultado é uma modificação da 
configuração deformada apenas nos dois vãos adjacentes ao nó liberado (o 
primeiro vão permanece com a deformação do passo anterior) e uma nova 
distribuição de momentos fletores nos vãos afetados. 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
Figura 8.1 – Experimento físico para interpretação física do Processo de Cross 
(imagens reproduzidas do livro de White, Gergely e Sexsmith, 1976). 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
A repetição desse processo de sucessivos passos de travamento de um nó e 
liberação de um outro nó vai acarretar em uma acomodação da viga em uma 
situação em que não é mais necessário travar as rotações nodais pois o equilíbrio 
de momentos fletores nos nós é atingido. Esta situação final é mostrada na Figura 
8.1-e. 
Figura 8.1 – Experimento físico para interpretação física do Processo de Cross 
(imagens reproduzidas do livro de White, Gergely e Sexsmith, 1976). 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
Pode-se salientar alguns aspectos importantes desse experimento: 
 
•Em cada passo do processo iterativo, apenas um nó tem a rotação liberada, sendo 
que todos os outros nós têm as rotações fixadas. 
 
•Quando um nó é equilibrado através da liberação de sua rotação, as barras 
adjacentes ao nó se deformam, ocorrendo uma redistribuição de momentos fletores 
nessas barras e afetando o equilíbrio dos nós adjacentes. 
 
•Após cada passo a rotação do nó liberado é fixada com o valor acumulado dos 
incrementos de rotação de todos os passos anteriores. 
 
•O equilíbrio de um nó que tem a sua rotação travada só é atingido artificialmente 
através da aplicação de um momento externo pela trava. 
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO MÉTODO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
MOMENTOS 
• Quando os momentos fletores nas seções adjacentes a um nó estão em 
equilíbrio, não é necessário travar o nó. Neste caso, a trava liberada não exerce 
nenhum momento externo no nó. 
 
Com base nesse experimento, pode-se adiantar dois pontos chaves do Processo 
de Cross: 
 
• O primeiro é a distribuição de momentos fletores nas barras adjacentes de um 
nó que tem a sua rotação liberada. A próxima seção faz uma análise dessa 
redistribuição de momentos fletores. 
 
• O outro ponto chave é o próprio processo iterativo e incremental de 
determinação das rotações nodais. 
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LINHA DE RACIOCÍNIO 
1. Grau de Deslocabilidade (Deslocabilidade Interna) 
2. Determinação dos Coeficiente de Rigidez (k) 
3. Determinação dos Coeficiente de Distribuição (d) 
4. Obtenção dos Momentos nodais (MEP´s) 
5. Compatibilização dos momentos nodais por meio das Iterações 
6. Determinação dos Momentos Fletores Compatibilizados 
7. Traçar o Diagrama de Momento Fletor 
8. Determinação das Reações de Apoio 
9. Traçar o Diagrama de Esforço Cortante 
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Determinação dos Coeficiente de Rigidez (k) 
O coeficiente K de uma barra, em um nó, é o valor do 
momento fletor que, se aplicado neste nó, provoca-lhe uma 
rotação unitária. 
No Processo de Cross, será necessária a obtenção doscoeficiente de rigidez das extremidades das barras que 
convergem para cada nó bloqueado da estrutura. 
Sendo os nós bloqueados, engastes perfeitos, as 
possibilidades de condições de extremidade de barras que 
surgirão com a aplicação do Processo de Cross são as 
apresentadas ao lado. 
Quando se emprega o processo de Cross, têm-se duas possibilidades para 
coeficiente de rigidez das barras (de comprimento L, módulo de elasticidade E e 
momento de inércia da seção transversal I), que são determinados para a 
extremidade contínua delas, pois é esta a que estará vinculada ao nó bloqueado 
(como será visto adiante): 
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Determinação dos Coeficiente de Rigidez (k) 
Barra engastada-engastada 
Barra engastada-apoiada 
Barra apoiada-engastada 
A 
B 
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Determinação dos Coeficiente de Distribuição (d) 
Seja um nó genérico para o qual converte uma 
quantidade n de barras, e que sofre uma rotação  
causada por um momento M, conforme esquematizado 
na figura ao lado. 
Cada extremidade de barra que chega ao nó também 
girará de  e absorverá uma parcela do momento M. A 
porcentagem que define essa parcela de M que 
vai ser absorvida por cada barra (genericamente, i), é 
denominada coeficiente de distribuição (di), a ser obtido 
para cada extremidade de barra que chega ao nó. 
Esse coeficiente é calculado dividindo-se o coeficiente 
de rigidez de cada barra (Ki) pelo somatório dos 
coeficientes de rigidez de todas as extremidades de 
barra que chegam ao nó bloqueado (Ki), ou seja: 
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Determinação dos Coeficiente de Transmissão (t) 
Seja um momento aplicado em uma extremidade de barra. Denomina-se t, a 
porcentagem deste momento que é propagada para a outra extremidade de barra, 
como ilustra a figura a seguir: 
Resumindo-se: 
• para extremidade engastada: t = 0,5; 
• para extremidade apoiada: t = 0,0. 
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Momentos nodais - Momentos de Engastamento Perfeito (MEP) 
Tabela 1 – Momentos de engastamento perfeito (MEP), pela Convenção de Grinter, para barras sujeitas a 
ações diversas. 
Fonte: acervo da autora, adaptado de SÜSSEKIND (1994). 
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Tabela 1 – Momentos de engastamento perfeito (MEP), pela Convenção de Grinter, para barras sujeitas a 
ações diversas. 
Fonte: acervo da autora, adaptado de SÜSSEKIND (1994). 
B 
Momentos nodais - Momentos de Engastamento Perfeito (MEP) 
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Desbloqueio e equilíbrio iterativo dos nós bloqueados até que M=0 
Primeiramente, com os MEPs obtidos para cada extremidade de barra que chega a 
um nó bloqueado, determina-se em qual dos nós bloqueados se tem o maior valor 
em módulo de M (basta somar todos os MEPs que chegam àquele nó 
bloqueado). 
Portanto, o processo iterativo começará naquele nó de maior M. Esse valor de 
momento é redistribuído às extremidades de barras que convergem para tal nó, 
multiplicando-se o valor de chega ao nó. O momento redistribuído tem seu sinal 
trocado, para que, após ser feito o equilíbrio nodal, o somatório de momentos 
neste nó se torne nulo, ou seja, para que, de fato, o nó seja equilibrado. 
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Desbloqueio e equilíbrio iterativo dos nós bloqueados até que M=0 
Aquele momento obtido pela multiplicação de M pelo coeficiente de distribuição 
de uma extremidade de barra que chega ao nó bloqueado (d) é transmitido para a 
outra extremidade desta barra, caso essa outra extremidade seja um engaste. Ou 
seja, pelo coeficiente de transmissão (t), ou propagação, o momento caminha para 
a outra extremidade da barra com metade do seu valor e mesmo sinal, pois o 
coeficiente de transmissão, neste caso, vale 0,5. Caso a outra extremidade seja 
um apoio, logicamente, nenhuma parcela de momento é transmitida para a 
mesma, já que esta não absorve momento fletor. 
Em seguida, parte-se para o próximo nó bloqueado com o maior valor em módulo 
de M e o procedimento é repetido, até que se tenham todos os nós bloqueados 
com M = 0. 
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Desbloqueio e equilíbrio iterativo dos nós bloqueados até que M=0 
Ao final, são somados os momentos originados de todos os equilíbrios, relativos a 
cada extremidade da barra. Com isso, ter-se-ão os valores dos momentos fletores 
reais atuantes em tais extremidades, podendo-se, a partir disso, realizar o traçado 
de tais esforços e obterem-se as reações apoio, os esforços cortantes, enfim, 
efetuar o cálculo completo de uma estrutura hiperestática reticulada plana. 
Perceba que, antes de se aplicar o Processo de Cross, cada nó possui um 
momento de desequilíbrio de valor M, pois os nós foram bloqueados e foram 
gerados engastes perfeitos, que não existem na estrutura real. Após todo o 
processo iterativo, tal momento se torna nulo. 
Ou seja, inicialmente, impõe-se M com a imposição dos bloqueios. Na medida em 
que os bloqueios vão sendo liberados, ou seja, que os movimentos vão sendo 
permitidos, e os momentos impostos M redistribuídos, a estrutura vai tendendo ao 
equilíbrio, chegando a um ponto em que não existam mais momentos impostos, de 
desequilíbrio, ou seja, os nós podem ser liberados sem causar momentos que se 
redistribuam à estrutura, que volta a ficar em estado real, sem nós bloqueados. 
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Exercício exemplo 1 
Para a viga apresentada a seguir, pede-se para traçar o diagrama de momento 
fletor utilizando-se o Processo de Cross. Considere EI constante. 
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Exercício exemplo 2 
Pede-se para traçar o diagrama de momento fletor, esforço cortante e esforço 
normal para pórtico apresentado a seguir (desenho sem escala), utilizando-se o 
Processo de Cross. Considere EI constante, ou seja, igual para todas as barras da 
estrutura. 
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