Topico 3 MF - Estatica dos Fluidos parte 2

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Estática dos Fluidos
Cap 3 – Estática dos Fluidos
Fox – Introdução à Mecânica dos Fluidos
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Pato Branco
Departamento de Engenharia Mecânica
Profª Geocris Rodrigues
Tópicos
Força• Hidrostática sobre Superfícies Submersas
Empuxo• e Estabilidade
Força Hidrostática sobre
Superfícies Submersas
Superfície• Submersa Plana: 
Considere a superfície superior de uma placa plana totalmente 
submersa em um líquido de forma arbitrária, onde:
𝒑𝟎 é a pressão absoluta 
acima do líquido;
𝒑𝒂𝒕𝒎 é a pressão 
atmosférica local.
𝒑𝒄 é a pressão no 
centróide da placa e é 
equivalente a pressão 
média sobre a 
superfície. 
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴 = න
𝐴
𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃 𝑑𝐴
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑝0𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න
𝐴
𝑦𝑑𝐴
Pela figura anterior, tem• -se que h é a distância vertical entre o 
ponto (de estudo) e a superfície livre e y é a distância entre o 
ponto e o eixo x.
Assim, a força hidrostática • 𝐹𝑅 agindo na superfície é:
Onde: 
න
𝐴
𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝑐 . 𝐴
𝑦𝑐 é a distância do centróide da placa até o ponto O.
Assim, a força hidrostática • 𝐹𝑅 agindo na superfície é:
𝐹𝑅 = 𝑝0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝑦𝑐𝐴
𝐹𝑅 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝑐)𝐴
Se a mesma pressão ambiente atua do outro lado da superfície, a •
força hidrostática 𝐹𝑅 líquida agindo na superfície é:
𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴
Assim, a força hidrostática • 𝐹𝑅 agindo na superfície é:
𝐹𝑅 = 𝑝0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝑦𝑐𝐴
𝐹𝑅 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝑐)𝐴
Para o caso acima, é sugerido que a força resultante, • 𝐹𝑅, passe pelo 
centróide da área.
Quando não for o caso, é necessário encontrar a coordenada • 𝑦𝑐𝑝, 
qual pode ser determinada pela soma dos momentos em torno do 
eixo x:
𝐹𝑅. 𝑦𝑐𝑝 = න
𝐴
𝑦𝑑𝐹 = න
𝐴
(𝑝0𝑦 + 𝜌. 𝑔. sin 𝜃 . 𝑦
2)𝑑𝐴
Assim: 
𝑦𝑐𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐼𝑥𝑥,0
Utilizando o teorema dos eixos paralelos, • 𝐼𝑥𝑥,0 pode ser:
𝐼𝑥𝑥,0 = 𝐼𝑥𝑥,𝐶 + 𝐴𝑦𝑐
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Onde • 𝐼𝑥𝑥,𝑐 é o momento de segunda ordem em relação ao 
eixo que passa no centróide e é paralelo ao eixo x, obtém-se 
então:
𝑦𝑐𝑝 = 𝑦𝑐 +
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥,𝑐
𝐹𝑅
Desconsiderando a pressão atmosférica e sabendo que:
Então:
𝑦𝑐𝑝 = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥,𝑐
𝑦𝑐 . 𝐴
Para 𝑥𝑐𝑝:
𝑥𝑐𝑝 = 𝑥𝑐 +
𝐼𝑥𝑦,𝑐
𝑦𝑐 . 𝐴
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Força Hidrostática sobre
Superfícies Submersas
A pressão atmosférica age em •
ambos os lados da estrutura, 
portanto pode ser subtraída.
Em uma superfície plana, as •
forças hidrostáticas formam um 
um sistema de forças paralelas.
Superfície Submersa Plana: 
a
b
𝐹𝐴 = 110,58 𝑘𝑁
Força Hidrostática sobre
Superfícies Submersas
Superfície• Submersa Curva
A intensidade da força resultante:
A soma de Fy ± W é uma adição vetorial, ou seja, soma as 
intensidades se ambas agem na mesma direção e as subtrai 
se elas agem em direções opostas.
Quando a superfície curva é um arco circular (um círculo completo ou
qual- quer parte dele), a força hidrostática resultante que age sobre a
superfície sempre passa através do centro do círculo.
Isso acontece porque as forças de pressão são normais à superfície, e
todas as retas normais à superfície de um círculo passam através do centro
do círculo. Assim, as forças de pressão formam um sistema de forças
concorrentes no centro, as quais podem ser reduzidas a uma única força
equivalente naquele ponto.
𝐹H
𝐹v
𝑅 = 1𝑚
𝑦
𝑥
𝛾 = 9800 𝑁/𝑚3 𝐹𝑅
Exemplo: Barragem
10 𝑚
1 𝑚
Área projetada horizontal e vertical
𝑐
𝑐𝑝
1/2𝑚
𝑐𝑝
𝐹𝑅
FR = ?
Linha de ação FR =?
Empuxo e Estabilidade
∀
𝐹𝐸 = 𝐹𝑖𝑛𝑓 − 𝐹𝑠𝑢𝑝 = 𝜌𝑓𝑔 𝑠 + ℎ 𝐴 − 𝜌𝑓𝑔𝑠𝐴 = 𝜌𝑓𝑔ℎ𝐴
𝐹𝐸 = 𝜌𝑓𝑔∀
Empuxo
Assim, concluímos que, para um corpo submerso, a força de 
empuxo do fluido é igual ao peso do fluido deslocado,
𝐹𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 = 𝜌𝑓𝑔∀
𝐹𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 = 𝛾𝑓∀
a • força de flutuação é independente da distância do corpo 
a partir da superfície livre. 
a • força de flutuação não depende da densidade do corpo 
sólido.
Empuxo
A relação anterior foi deduzida para uma geometria simples, 
mas é válida para qualquer corpo, independentemente da 
sua forma. Isso pode ser mostrado matematicamente por um 
balanço de forças em um sólido de forma arbitrária submerso 
em um fluido em repouso: 
Empuxo
𝐹𝑧 = න𝑑𝐹𝑧 = න
∀
𝜌𝑔𝑑∀ = 𝜌𝑔∀
Integrando sobre todo o volume do corpo submerso,
𝑑∀
Princípio de Arquimedes
Definição•
A força de empuxo (flutuação) sobre um corpo
imerso em um fluido é igual ao peso do fluido
deslocado pelo corpo, e age para cima no
centróide do volume deslocado.
• O peso e a força de flutuação devem ter a mesma
linha de ação para ter um momento nulo.
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Essa relação foi usada por Arquimedes no ano 220 a.C. para determinar o 
teor de ouro na coroa do Rei Hiero II. Por isso, é muitas vezes chamada 
de “Princípio de Arquimedes”. Nas aplicações técnicas mais correntes, a 
Equação é empregada no projeto de embarcações, peças flutuantes e 
equipamentos submersíveis.*
Empuxo
𝐹𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 = 𝑊
𝜌𝑓𝑔∀𝑠𝑢𝑏 = 𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑔∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∀𝑠𝑢𝑏
∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝜌𝑓
Para corpos flutuantes, o peso de todo o corpo deve ser igual à
força de flutuação, que é o peso do fluido cujo volume é igual 
ao volume da parte submersa do corpo flutuante. Ou seja:
Exemplo 1: Ar como fluido
Uma pessoa com 70 kg, com volume de 0,1 m3 , imersa no ar de 
densidade de 1,2 kg/m3. Determine a força de empuxo e a força 
peso. 
Exemplo 2: Ar e água
Um guincho é usado para abaixar pesos no mar (densidade = 
1.025 kg/m3) para um projeto de construção submarina. 
Determine a tensão no cabo do guincho devida a um bloco de 
concreto retangular de 0,4 m x 0,4 m x 3 m (densidade = 2.300 
kg/m3) quando ele é (a) suspenso no ar e (b) completamente 
imerso na água.
Estabilidade
Estabilidade
A linha de ação da força de empuxo age através do centróide do 
volume descolado.
c = centróide
CG = centro de gravidade
Centro de flutuação
ou 
Centro de carena
http://www.if.ufrgs.br/mpef/mef004/20021/Angelisa/porqueonavioflutua.html
http://www.if.ufrgs.br/mpef/mef004/20021/Angelisa/porqueonavioflutua.html
Corpos Submersos
Equilíbrio estável
𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑃𝑒𝑠𝑜
+ 𝐶
+ 𝐶G
𝐹𝐸
𝑊
Corpo Flutuante
A distância metacêntrica GM acima de G é uma medida da 
estabilidade: quanto maior, mais estável será o corpo 
flutuante.
• (Çengel 3-76) O casco de um barco tem o 
volume de 150m³, e a massa total do barco 
vazio é 8.560 kg. Determine quanta carga 
esse barco pode carregar sem afundar (a) 
em um lago e (b)na água do mar com uma 
densidade de 1,03. 
(Çengel) Uma pedra de granito de 170 kg (ρ=2700kg/m³) é solta em
um lago. Um homem mergulha e tenta erguer a pedra. Determine
quanta força o homem precisa aplicar para levantá-la do fundo do
lago. (ρ𝐻2𝑂=1000kg/m³). (resposta: 1050 N)
(Çengel 3-86) Um muro de arrimo contra um deslizamento de lama
deve ser construído colocando-se blocos de concreto retangulares de
0,8m de altura e 0,2 de largura (ρ=2700 kg/m³) lado a lado, como
mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o solo e os blocos de
concreto é f=0,3, e a densidade da lama é de cerca de 1800kg/m³.
Existe a preocupação de que os blocos de concreto deslizem ou
escapem da aresta esquerda inferior à medida que o nível de lama
suba. Determine a altura da lama na qual (a) os blocos superarão o
atrito e começarão a deslizar e (b) escaparão.
(Munson) A barragem mostrada na figura é construída de concreto
(γ=23,6kN/m³) e está simplesmente apoiada numa fundação rígida.
Determine qual é o mínimo coeficiente de atrito entre a barragem e a
fundação para que a barragem não escorregue. Admita que a água
não provoca qualquer efeito na superfície inferior da barragem.
Comprimento da barragem 1m. (R: μ=0,147). OBS.: Vale ressaltar
que a força resultante é aplicada na direção normal da superfície
submersa.
FOX 3.65 A comporta mostrada na figura tem 3 m de 
largura e, para fins de análise,pode ser considerada 
sem massa. Para qual profundidade de água esta 
comporta retangular ficará em equilíbrio como mostrado?
FOX 3.52 Uma comporta plana, de espessura uniforme, 
suporta uma coluna de água conforme mostrado. 
Determine o peso mínimo da comporta necessário para 
mantê-la fechada.