Lista 1 de derivadas Professora Maria Claudia

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Figura 1:
Primeira Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral da Prova 3
Prof. Ma Cláudia
Aluno:
01) Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(a) y = 3 + 4x2 − 2x3 ; (1, 5)
(b) y =
2x
x+ 1
; (1, 1)
(c) y =
ex
x
; (1, e)
(d) y = secx ; (pi
3
, 2)
(e) y = ex cosx ; (0, 1)
(f) y =
8√
4 + 3x
; (4, 2)
(g) y = sen(senx) ; (pi, 0)
(h) y = x2e−x ; (1, 1/e)
(i) y =
ln x
x
; (1, 0)
(j) y = 4
√
x (1, 1)
(k) y = x−√x ; (1, 0)
02) Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, sua altura ( em
metros) depois de t segundos é dada por y = 10t− 4, 9t2. Encontre a velocidade quando
t = 2.
2
2
03) Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade de
10m/s, sua altura em metros após t segundos é dada por H = 10t− 1, 86t2.
(a) Encontre a velocidade da pedra após um segundo.
(b) Encontre a velocidade da pedra quanto t = a.
(c) Quando a pedra atinge a superfície?
(d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
04) A tabela mostra a estimativa da porcentagem da população da Europa que usa
telefones celulares.
Ano 1998 1999 2000 2001 2002 2003
P 28 39 55 68 77 83
(a) Encontre a taxa média do crescimento do número de celulares:
(i) de 2000 a 2002 (ii) de 2000 a 2001 (iii) de 1999 a 2000
(b) Estime a taxa média de crescimento em 2000 tomando a média de duas taxas médias
da variação.
05) Use o gráfico dado para estimar o valor de cada derivada. Esboce então o gráfico de
f ′.
(a) f ′(3) (b) f ′(−2) (c) f ′(−1) (d) f ′(0)
(e) f ′(1) (f) f ′(2) (g) f ′(3)
06) O gráfico de f é dado. Diga, explicando quais, os números em que f não é de-
rivável.
(a)
(b)
(c)
(d)
3
Figura 2:
Figura 3:
Figura 4:
4
Figura 5:
07) Encontre a derivadas das funções abaixo, usando a definição:
(a) f(x) = x+
√
x (b) g(t) = 1/t (c) 5t− 9t2
08) Mostre a curva y = 6x3 + 5x− 3 não tem reta tangente com inclinação 4.
09) Em quais números a seguinte função g é derivável?
g(x) =


−1− 2x se x < −1
x2 se − 1 ≤ x ≤ 1
x se x > 1
Dê uma fórmula para g′ e esboce os gráficos de g e g′.
10) Para quais valores de x a função f(x) = |x2 − 9| é derivável? Ache uma fór-
mula para f ′.
11) Suponha que f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 e g′(5) = 2. Encontre os valores
de
(a) (fg)′(5) (b) (f/g)′(5) (c) (g/f)′(5)
12) Diferencie implicitamente como se pede:
(a) Encontre
dy
dx
de sen(x+ y) = y2 cosx
(b) Encontre
d2y
dx2
de x4 + y4 = 16
5
13) Encontre
dy
dx
derivando implicitamente.
(a) x2 + y3 = 1
(b) x3 + x2y + 4y2 = 6
(c) y5 + x2y3 = 1 + yex
2
(d) x2y2 + x.seny = 1
(e) 4cosx.seny = 1
(f)
√
xy = 1 + x2y
14) Use a diferenciação implícita para encontrar
dx
dy
em x4y2 − x3y + 2xy3 = 0.
15) Use a diferenciação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto dado.
(a) x2 + xy + y2 = 3 ; (1, 1)
(b) x2 + 2xy − y2 + x = 2
(c) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2 ; (0, 1/2) (Essa curva representa um cardióide, pesquise
essa curva e a desenhe para conhecimento).
(d) x2/3 + y2/3 = 4 ; (−3√3, 1) (Essa curva representa um astroide, pesquise essa curva
e a desenhe para conhecimento).
(e) 2(x2 + y2)2 = 25 (x2 − y2) ; (3, 1) (Essa curva representa uma lemniscata, pesquise
essa curva e a desenhe para conhecimento).
(f) y2 (y2 − 4) = x2 (x2 − 5) ; (0,−2) (Essa curva é conhecida como curva do diado,
pesquise-a e a desenhe para conhecimento).
16) Use a diferenciação logarítmica para a derivada de função.
(a) y = (2x+ 1)5 (x4 − 3)6 (b) y = sen
2x.tg4x
(x2 + 1)2
(c) y = xx (d) y = xsenx
(e) y =
√
x2 (f) y = (senx)lnx
(g) y = (cosx)x (h) y = (ln x)cosx
17) Encontre y′ e y”.
6
(a) y = x2. ln(2x) (b) y =
ln x
x2
(c) y = x4ex (d) y =
x
3 + ex
(e) y = 2x− 5x3/4
18) Derive a função.
(a) f(x) = 3, 14444 (b) f(x) = x3 − 4x+ 6
(c) y = x−3/4 (d) f(x) =
x2 − 2√x
x
(e) g(u) =
√
2u+
√
3u (f) H(x) = ex+1 + 1
(g) y =
√
x.ex (h) F (x) =
1− x.ex
x+ ex
(i) f(θ) =
sec θ
1 + sec θ
(j) h(θ = cos sec θ + eθ cot gθ
(k) y =
x
2− tgx (l) y =
senx
x2
(m) y = xex cos secx (n) T (x) =
1
3
√
x2 + x+ 1
(o) g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
(p) H(x) = (2x+ 1)5 (x3 − x+ 1)4
(r) y =
(
x2 + 1
x2 − 1
)3
(s) F (z) =
√
z
z2 + 4
(t) G(y) =
(y − 1)4
(y2 + 2y)5
(u) f(t) = 3
√
1 + tgx
(v) y = e−5x cos 3x (w) y =
√
1− x2arcsenx
7
(x) y = cos
(
1− e2x
1 + e2x
)
(y) y = x.arctag (x2 − x)
(z) y = cot g2 (senθ) (A) y = ln (sen2x)
(B) F (x) = log5 (x.e
x) (C) y = 5
√
ln x
(D) y = ln 5
√
x (E) y = ln |2− x− 5x2|
(F) y = ln (x4sen2x) (G) y =
√
x. ln x
(H) y = ln (e−x + xe−x) (I) F (y) = y. ln (1 + ey)