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1a lista de exercícios de Física 4 (MCG240)
2019/1
Engenharia (Núcleo Comum) – Campus UFRJ-Macaé
Prof. Bernardo M. Tavares
Capítulo 1: Ondas Eletromagnéticas 
Questão 1 – Maxwell introduziu a corrente de deslocamento I d para corrigir uma inconsistência
na lei de Ampère. (a) Escreva a lei de Ampère-Maxwell e discuta o significado físico da corrente de
deslocamento. (b) Agora obtenha as equações de Maxwell para o eletromagnetismo na ausência de
cargas e correntes (i. e no vácuo) na forma local (diferencial) a partir das versões globais (integrais).
Questão 2 – A correção na lei de Ampère permitiu a Maxwell prever, no século XIX, que deveriam
existir ondas eletromagnéticas, com velocidade de propagação idêntica a da luz, unindo assim ótica
e o eletromagnetismo. Vamos obter as equações de onda para os campos E⃗ e B⃗ se propagando
no vácuo. Para tanto (a) demonstre a identidade ∇⃗ x (∇⃗ x V⃗ )=∇⃗ (∇⃗⋅V⃗ )–∇ 2V⃗ onde
V⃗=E⃗ ou B⃗ . (b) Aplique a identidade nas equações de Maxwell, na forma diferencial e no
vácuo, para desacoplar os campos elétrico e magnético. (c) Mostre que as novas equações
diferenciais parciais obtidas são, na realidade, equações de onda para os campos eletromagnéticos
vetoriais, sendo c=1/√μ0 ϵ0 a velocidade da onda. 
Questão 3 – Mostre que o campo escalar complexo f ( r⃗ , t)=A p e
i ( k⃗⋅r⃗−ω t )+AR e
−i ( k⃗⋅r⃗+ω t ) é
solução da equação de onda 3D, sendo ω a frequência angular, k o número de onda e A P , AR
são as amplitudes complexas das ondas progressiva e regressiva respectivamente. (b) Mostre que a
parte real dessa onda plana geral também é solução da equação de onda 3D. Ao tomar a parte real,
use A P=A0 P e
iδP e A R=A0R e
iδ R , sendo A0 P , A0 R as amplitudes reais e δP ,δR as
diferenças de fase. 
Questão 4 – Escreva os campos elétrico e magnético reais para uma onda plana monocromática, de
amplitude E0 , frequência angular ω e ângulo de fase zero, que esteja: (a) viajando no
sentido x negativo e polarização na direção z ; (b) viajando a partir da origem para o ponto (1,1,1)
com polarização paralela ao plano xz. Em ambos casos desenhe um esboço das ondas e obtenha os
componentes cartesianos explícitos de k⃗ e n^ , isto é, dos vetores de onda e polarização
respectivamente. 
Questão 5 – Vamos agora deduzir o teorema de Poynting para o eletromagnetismo seguindo o
seguinte roteiro: (a) mostre que a potência fornecida a uma carga q sujeita a uma força de Lorentz
pode ser escrita por P=q ( E⃗⋅v⃗ ) . (b) mostre que a generalização dessa potência para uma
distribuição volumétrica é P=∫( E⃗⋅⃗J )dV onde J⃗ é a densidade volumétrica de corrente. (c)
Use a lei de Ampère-Maxell para substituir a densidade de corrente na potência obtida no ítem
anterior, bem como a lei de Faraday apropriadamente para mostrar que:
P= − d
dt [∫ 12 (ϵ0 E2+ B
2
μ0 )dV ] − ∮ ( E⃗×B⃗μ0 )⋅d A⃗ (d) Levando-se em conta que P é uma
potencia (energia mecânica por tempo) fornecida ao sistema eletromagnético, mostre por fim que: 
d
dt [ (∫umec+uEM )dV ]+∮ S⃗⋅d A⃗ = 0 que é a versão global do teorema de poynting, onde
uEM≡
1
2 (ϵ0 E2+ B
2
μ0 ) ; S⃗≡ E⃗×B⃗μ0 são a densidade de energia eletromagnética e o vetor de
Poynting respectivamente. 
Questão 6 – Uma onda plana eletromagnética tem um campo elétrico paralelo ao eixo y e um vetor
de Poynting dado por S⃗ (x ,t )=100 cos2(kx−ω t) x^ , , sendo k = 10 rad/m e ω = 3 x 10 rad/s.⁹ rad/s.
Todas as unidades neste exercício estão no SI. (a) Quais são a direção e o sentido de propagação da
onda? (b) Determine o comprimento de onda e a frequência da onda. (c) Obtenha os campos
elétrico e magnéticos vetoriais em função de x e t. 
R: (a)+x; (b) 0,68m , 3×109 s−1 ; (c) (194 V /m )cos (kx−ωt ) j^ ; (647 nT )cos(kx−ω t)k^
Questão 7 – Os campos elétricos de duas ondas harmônicas eletromagnéticas, de frequências
angulares ω1 e ω2 são dados por E⃗1=E01cos (k1 x−ω1 t) y^ e E⃗2=E02 cos(k2 x−ω2t+δ) y^ .
respectivamente. Para o campo elétrico resultante dessas duas ondas, determine (a) o vetor de
Poynting instantâneo e (b) a média temporal do vetor de Poynting. 
R: (a) 1μ0 c [
E⃗1=E01cos
2 (k1 x−ω1 t )+2 E01 E02cos
2 (k1 x−ω1 t )cos(k2 x−ω2 t+δ)+E01 cos
2(k2 x−ω2 t) ] (b) 12μ0 c [
E01
2 −E02
2 ] i^
Questão 8– Um astronauta está solto no espaço, a 20 m da nave, em linha reta Ele carrega um laser
de 1 kW de potência. Sua massa total (incluindo o traje e o laser) é de 95 kg. Quanto tempo ele
levará para chegar a nave, caso aponte o laser no sentido oposto a nave (em linha reta)? R: 9,4h
Questão 9 – Na figura ao lado o feixe de um laser com 4,6 W de
potência e largura (diâmetro) D = 2,6 mm é apontado pra cima,
perpendicularmente a uma das faces circulares de um cilindro
perfeitamente refletor (com diâmetro d < D). O cilindro é mantido
suspenso pela pressão de radiação do laser. A densidade do cilindro é 1,2
g/cm3. Qual é a altura H do cilindro? R: 4,91×10−7m
Questão 10 – A intensidade da luz do Sol ao atingir a Terra é de
aproximadamente 1300 W/m2. (a) Se a luz do Sol atingir um absorvedor
perfeito, que pressão irá exercer? (b) E sobre um refletor perfeito? (c) A
que fração da pressão atmosférica isso equivale? 
R: (a) 4,3×10−6 N /m2 , (b) 8,64×10−6 N /m2 , (c) 8,3×10−11atm