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MBA Executivo
Administração Financeira
Professor Ricardo Chaib
 Matemática Financeira
Introdução
A Matemática Financeira pode ser definida como um conjunto de técnicas utilizadas no estudo da evolução do dinheiro ao longo do tempo.
Normalmente utilizamos a Matemática Financeira no estudo de investimentos (aplicações) e financiamentos (empréstimos)
Valor do Dinheiro no Tempo
Se um amigo lhe pedisse R$100,00 para lhe pagar os mesmos R$100,00 daqui a um ano, o que você acharia ?
Valor do Dinheiro no Tempo
Com certeza, por melhor que fosse seu amigo, a proposta não seria vista com bons olhos !!!
Alguns pontos vêm a mente :
Será que ele vai me pagar ?
Será o poder de compra dos R$100,00 daqui a um ano o mesmo ?
Se eu permanecesse com os R$100,00 poderia aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos !!
Valor do Dinheiro no Tempo
 Em outras palavras ...
Dinheiro tem um custo associado ao tempo 
Valor do Dinheiro no Tempo
 Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro.
Ao transportar dinheiro no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em :
Inflação
Risco de Crédito
Taxa Real de Juros (Gerar riqueza)
Valor do Dinheiro no Tempo
VF = VP + J
Valor do Dinheiro no Tempo
Considerando a variação do dinheiro no tempo, existe uma regra básica da matemática financeira que deverá ser sempre respeitada.
Nunca some valores em datas diferentes
Fluxo de caixa
Fluxo de caixa é um esquema que representa as entradas e saídas de caixa ao longo do tempo. Deve existir pelo menos uma saída e pelo menos uma entrada.
Fluxo de caixa convencional:
uma entrada e várias saídas, ou
uma saída e várias entradas.
Fluxo de caixa não convencional:
várias entrada e várias saídas.
Fluxo de caixa
Exemplo de representação de fluxo de caixa
Exemplo de representação de fluxo de caixa
Fluxo de caixa
Juros Compostos
	No regime de juros compostos, os juros produzidos em um período de capitalização e não pagos são integrados ao capital no início do período seguinte, para produzirem novos juros, ou seja, os juros incidem sobre o capital inicial e sobre os próprios juros.
Juros Compostos
t0
t1
t2
t3
Montante 0
Montante 1
Montante 2
Montante 3
M0 x i x 1
Montante 0
Montante 1
Montante 2
Montante 3
M0 x i
M1 x i
M2 x i
Juro Simples
Juro Composto
M0 x i x 2
M0 x i x 3
Juros Compostos
Juros Compostos
VF = VP + J
VF = VP + J
A diferença entre a capitalização simples e a capitalização composta está na "velocidade" com que o espaço vazio da caixa é preenchido. 
Juros Compostos
Equações dos juros compostos
No regime de juros compostos, é indiferente que os juros sejam pagos a cada período de capitalização ou no final do prazo da operação financeira.
	Equação básica dos juros compostos
Juros Compostos
Equações deduzidas da equação básica do Montante
Básica
Juros Compostos
Exemplo de cálculo.
Calcular o montante de um capital de R$ 100.000 aplicado durante 6 meses, à taxa de juros compostos de 2% a.m.
Forma de cálculo:
VF = VP (1 + i)n
VF = 100.000 x (1 + 0,02)6
VF = 100.000 x 1,1261624
VF = R$ 112.616,24
Taxas
Taxas proporcionais
Taxas proporcionais são típicas do sistema de capitalização linear (juros simples). 
EXEMPLO. 1% a.m. é proporcional a 3% a.t., que é proporcional a 6% a.s., que é proporcional a 12% a.a.
Taxas
Taxas equivalentes
Duas taxas ia e ib são ditas equivalentes se, aplicadas sobre o mesmo capital inicial VP pelo mesmo prazo n, gerarem montantes iguais.
Taxas
Taxa nominal e taxa efetiva
Taxa nominal é a taxa de juro contratada, onde o período de referência não coincide com o período de capitalização. Ex: 12,00% ao ano capitalizados mensalmente.
Taxa efetiva é a taxa de juro do período de capitalização, que efetivamente será paga ou recebida. O período de referência coincide com o período de capitalização.
Taxas
Taxa real
Taxa real: É a taxa de juro aparente descontada pela taxa de inflação do período da operação.
Taxas
Exemplo
Considerando que a poupança paga 6,00% ao ano capitalizados mensalmente, determine a taxa nominal e efetiva para o período de um ano. Qual será a taxa real caso a inflação seja de 3,00%?
Respostas  Taxa Nominal = 6,00%
		 Taxa Efetiva = 6,17%
		 Taxa Real = 3,08%
Series Uniformes
É toda sequência finita ou infinita de entradas ou saídas de caixa.
Esses fluxos podem ser chamados de prestações, amortizações, entre outros.
Series Uniformes
Series Uniformes - Postecipada
São séries de parcelas iguais e consecutivas sem entrada, ou seja, a primeira parcela acontece no período imediatamente seguinte à operação efetuada de “empréstimo”. Ex: Crédito pessoal, compra de carro, etc ...
Series Uniformes - Postecipada
VF = Valor Futuro	 VP = Valor Presente
A = Parcela / Anuidade	/ PMT	 i = Taxa de Juros
n = Número de Parcelas
Series Uniformes - Postecipada
Exemplo
Qual o valor presente de um financiamento de 3 parcelas mensais postecipadas de R$ 400,00 cuja a taxa de juros é de 3,00% ao mês?
	Resp.: R$ 1.131,44
Series Uniformes - Perpétua
Estas séries também chamadas infinita, tem este nome devido a possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc...
Series Uniformes - Perpétua
Exemplo
A empresa Gama possui um fluxo de caixa mensal constante no valor de R$ 11.880,00. Considerando uma taxa de juros de 1,32% ao mês, qual o valor presente dos fluxos dessa empresa? Como você interpreta esse resultado?
Resp.: R$ 900.000,00. 
O valor encontrado é o 	valor da empresa.
DESCONTO BANCÁRIO / SERIES UNIFORMES ANTECIPADAS 
EXTRA
Series Uniformes - Antecipada
São séries de parcelas iguais e consecutivas com entrada, ou seja, a 1a parcela é paga ou aplicada na data zero. Ex : Financiamentos
Series Uniformes - Antecipada
VF = Valor Futuro	 VP = Valor Presente
A = Parcela / Anuidade	/ PMT	 i = Taxa de Juros
n = Número de Parcelas
Descontos
Tem como definição a operação de resgate de um título (nota promissória, duplicata, cheque, etc.) antes de seu vencimento.
Para que ocorra o pagamento antecipado, é necessário que haja uma recompensa, ou seja, o desconto.
Desconto = Valor Nominal – Valor Descontado
Descontos
Os descontos podem ser feitos tanto pelo regime simples como pelo regime composto.
Para ambos os regimes há dois tipos de descontos:
Desconto “por dentro” ou racional: é calculado sobre o valor presente do título.
Desconto “por fora” ou bancário ou comercial: é calculado sobre o valor nominal do título. O modelo de desconto bancário é o mais utilizado.
Desconto Bancário
Neste caso, a taxa de desconto irá incidir sobre o montante final.