Exercícios de Matemática Computacional

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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL: PRIMEIRO BIMESTRE: EDGARD JAMHOUR 
QUESTÃO 1: Indique as afirmativas verdadeiras. 
( ) O número Pi não pode ser representado de forma exata em sistemas numéricos de base 2, independente do número de bits 
utilizado. 
( ) Números inteiros podem ser representados de forma exata em sistemas numéricos de base 2, desde que utilize-se um 
número de bits suficientes. 
( ) Muitos números fracionários, como o 0.1, não podem ser representados de forma exata em sistemas de base 2, 
independente do número de bits utilizados. 
( ) Computadores representam números fracionários num modelo denominado “ponto flutuante” (IEEE 754). Esse modelo segue 
a forma SINAL*MANTISSA * 2 
EXPOENTE
. Sendo que 1 bit é usado para representar o SINAL, a MANTISSA é sempre um valor maior que 
1 e o EXPOENTE é um número inteiro. 
( ) O número 33.123 em ponto flutuante é representado da seguinte forma: 0.517547 * 2
6
, onde 0.517547 é a MANTISSA e 6 é o 
expoente. 
QUESTÃO 2: O Matlab utiliza, por default, 64 bits para representar números em ponto-flutuante, sendo que um bit é usado para 
SINAL, 11 bits para representar o EXPOENTE e 52 bits para representar a MANTISSA. Identifique o tipo de erro nas operações 
abaixo. 
( ) (10^310)/(10^300) = Inf 
( ) 10^300/(10^300*10^-10) = 1.0000e+10 
( ) (10^-320)/(10^-300) = 9.9999e-21 
( ) (10^-160 * 10^-160)/(10^-300) = 9.9999e-21 
( ) 10^-324 = 0 
( ) 10^309 = Inf 
( ) (10^-319*10^-4) = 9.8813e-324 
( ) (10^-320*10^-4)/10^-323 = 0 
1. Overflow 
2. Underflow 
3. Truncamento 
4. Sem erro 
5. n.d.a. 
 
QUESTÃO 3: Você testou dois método iterativos A e B para encontrar o resultado aproximado de X* correspondente ao valor 
exato X. Considerando as afirmações abaixo indique as afirmações corretas. 
1) O método A apresentou erro absoluto aproximadamente constante, tendo encontrado 990 para o valor exato 1000 e 90 para o 
valor exato 100. 
2) O método B apresentou erro relativo aproximadamente constante, tendo encontrado 9 para o valor exato 10 e 0.9 para o valor 
exato 1. 
( ) O método A apresenta também erro relativo constante. 
( ) O método B não apresenta erro absoluto constante, pois o erro absoluto cresce quando o valor de X cresce. 
( ) O método A irá se comportar melhor que B para valores grandes de X. 
( ) O método B irá se comportar melhor que A para valores pequenos de X. 
QUESTÃO 4: Considerando as curvas f(x) e sua derivada f’(x) na figura abaixo, indique as afirmativas verdadeiras.
 
( ) A função f(x) possui uma raiz no intervalo entre -4 < x < -2. 
( ) O teorema de Bolzano indica que se f(a)*f(b) < 0, então existe uma e apenas uma raiz no intervalo [a,b]. 
( ) Se f(a)*f(b) < 0, e f’(x) < 0 no intervalo [a,b], então existe apenas uma raiz no intervalo [a,b]. 
( ) Se f(a)*f(b) < 0, f(a) < f(b), e f’(x) > 0 no intervalo [a,b], então existe apenas uma raiz no intervalo [a,b]. 
( ) Se f(a) > f(b), e f’(x) > 0 no intervalo [a,b], então não existe raiz no intervalo [a,b]. 
QUESTÃO 5: Classifique os métodos de determinação de raízes em problemas com uma única incógnita. 
( ) Recebe como entrada um intervalo [a,b], sendo que f(a)*f(b) <0. 
( ) Método iterativo para determinação de x, tal que f(x) = 0. 
( ) Utilize a derivada da função f(x) em relação a x. 
( ) Pode ser aplicado em cenários onde f(x) é o resultado de medições de um 
experimento feito em diferentes condições representadas por x. 
( ) Pode utilizar como critério de convergência encontrar x tal que abs(f(x)) < e, 
onde e é um número pequeno. 
( ) Pode utilizar como critério de convergência reduzir o intervalo [a,b] até que 
abs(b-a) < e. 
1. Bisseção 
2. Posição Falsa 
3. Newton-Raphson 
4. Secante 
5. Todos os métodos 
6. Métodos 1 e 2 
7. Métodos 3 e 4 
8. Métodos 1, 2 e 4 
9. Outra combinação de 
alternativas 
10. n.d.a. 
 
QUESTÃO 6: Considere as seguintes afirmações sobre os sistemas de equações lineares: A x = b: 
1) Se o número de equações for menor que o número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções. 
2) Se o número de equações for maior que o número de incógnitas, o sistema não tem solução. 
3) Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, o sistema tem apenas uma solução. 
( ) Afirmação 1 
( ) Afirmação 2 
( ) Afirmação 3 
1. Sempre verdadeiro 
2. Sempre falso 
3. Verdadeiro se det(A) =0 
4. Verdadeiro se det(A) 0 
5. n.d.a. 
 
QUESTÃO 7: Indique qual a representação no formato A x = b do seguinte sistema de equações: 
 
 
 
 
a) [
𝑅1 𝑅4 𝑅6
𝑅4 𝑅2 𝑅5
𝑅6 𝑅5 𝑅3
] . [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
𝑉1
0
𝑉2
] 
b) [
−𝑅2 (𝑅5 + 𝑅2 + 𝑅3) −𝑅5
−𝑅4 −𝑅5 (𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅6)
(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4) −𝑅2 −𝑅3
] . [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
𝑉2
𝑉1
] 
c) [
(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4) −𝑅2 −𝑅3
−𝑅2 (𝑅5 + 𝑅2 + 𝑅3) −𝑅5
(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4) −𝑅5 (𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅6)
] . [
𝑉1
𝑉2
𝑉3
] = [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] 
d) n.d.a 
 
QUESTÃO 8: Classifique os métodos de para solução de sistemas de equações lineares. 
( ) Método de Gauss 
( ) Método de Gauss-Jordan 
( ) Fatoração L.U. 
( ) Método de Jacobi 
( ) Método de Gauss-Siedel 
1. Método direto: encontra a solução exata, caso exista. Os erros introduzidos 
acontecem apenas por truncamento em operações computacionais. 
2. Método indireto ou iterativo: encontra soluções aproximadas, que reduzem a 
distância em relação a solução exata, na medida que o processo iterativo é 
repetido. 
3. N.d.a 
 
QUESTÃO 9: Em relação aos métodos de eliminação de Gauss para resolução de sistemas lineares A.x=b, indique as alternativas 
verdadeiras: 
( ) O método de Gauss consiste em transformar a matriz aumentada [Ab] em uma matriz triangular superior transformando em 
zeros os elementos abaixo diagonal. A matriz aumentada consiste em inserir o vetor b como uma coluna adicional no lado direito de 
A. 
( ) Substituir uma linha da matriz aumentada Ab pelo resultado da soma desta linha com outra linha da matriz não altera o 
resultado do sistema de equações. 
( ) Multiplicar uma linha da matriz aumentada Ab por uma constante não altera o sistema de equações. O mesmo acontece se a 
multiplicação for feita apenas nos elementos correspondentes a matriz A. 
( ) O método de pivoteamento parcial muda a ordem das linhas antes das operações de eliminação para garantir que o elemento 
da diagonal usado como pivô seja sempre o menor possível. Isso é feito para garantir que durante a transformação da matriz Ab em 
triangular os elementos gerados não sejam muito grandes e provoquem erros de truncamento ou overflow. 
( ) O método de eliminação de Gauss-Jordan é similar ao método de Gauss, mas transforma a matriz Ab em triangular inferior ao 
invés de triangular superior . 
QUESTÃO 10: Em relação ao método de decomposição L.U indique as afirmativas corretas: 
( ) A decomposição LU consiste em encontrar duas matrizes triangulares tal que L.U = A. 
( ) Para usar a decomposição LU para resolver sistemas de equações lineares, deve-se resolver dois sistemas: L.y=b, para 
encontrar y e U.x=b para encontrar x. 
( ) A matriz U pode ser determinada transformando-se a matriz A em triangular superior através do método de eliminação de 
Gauss. 
( ) O determinante de uma matriz triangular, seja superior ou inferior, consiste no produto dos elementos de sua diagonal. O 
determinante da matriz A corresponde ao produto dos elementos da diagonal da matriz U. 
( ) O método de decomposição LU é vantajoso para resolver sistemas de equações lineares quanto deseja-se encontrar os valoresde xi correspondentes a diversos sistemas A xi = bi, onde A é constante, mas bi é variável. 
QUESTÃO 11: Em relação aos métodos iterativos para resolução de sistemas lineares indique as afirmações corretas: 
A) Sistema de equações no formato A.x=b 
 
B) Sistema na forma de Jacobi 
 
 
( ) Uma iteração no método de Jacobi consiste em calcular o vetor Xk+1 a partir de um valor conhecido Xk substituindo-se os 
valores de X por Xk do lado esquerdo do sistema B. 
( ) A convergência do método de Jacobi acontece quando os valores de todos os elementos de Xk+1 e Xk são muito próximos. 
( ) Para que este método possa ser utilizado, é necessário escolher de forma arbitrária um valor inicial para Xk, usualmente 
denominado de X0. 
( ) Como um sistema de equações lineares pode possuir diversas soluções, o resultado encontrado pelo método de Jacobi 
depende do valor inicial escolhido para X0. 
( ) O método de Gauss-Seidel acelera a convergência em relação ao método de Jacobi calculando o vetor Xk+1 usando elementos 
de Xk e Xk+1. Por exemplo, x1k+1 é calculado usando [x2k … xnk], x2k+1 é calculado usando [x1k+1 x3k… xnk] , x3k+1 é calculado usando 
[x1k+1 x2k+1 x4k… xnk], e assim sucessivamente. 
 
 
QUESTÃO 12: Indique as afirmativas verdadeiras sobre um sistema de equações não lineares: f1(x1,x2,..,xn) = 0, f2(x1,x2,..,xn) = 
0, ..., fm(x1,x2,...,xn) = 0, onde as equações são linearmente independentes. 
( ) Se m = n, o sistema tem sempre apenas uma solução. 
( ) Se m < n, o sistema tem infinitas soluções. 
( ) Se m = n, o sistema pode ter nenhuma, uma ou múltiplas soluções. 
( ) Caso m > n, o sistema pode ter nenhuma, uma ou múltiplas soluções. 
QUESTÃO 13: Considere o seguinte exemplo de sistema de equações lineares correspondentes a um Robot manipulador com 3 
graus e liberdade. 
 
( ) As variáveis do sistema correspondem aos ângulos 1, 2 e 3. 
( ) É possível representar o sistema de equações no formato A.x = b, onde x = [1, 2 e 3] e b = [x, y , z]. 
( ) O sistema pode ser reescrito no formato f1(1, 2 3) = 0, f2(1, 2 3) = 0 e f3(1, 2 3) = 0, ou ainda, F(1, 2 3)=[ 0 0 0 ], onde 
F(1, 2 3)=[f1(1, 2 3) f2(1, 2 3) f3(1, 2 3)]
T
 é o vetor formado pelas equações do sistema. 
( ) O gradiente de uma função corresponde a derivada parcial da função em relação a cada uma de suas variáveis. Por exemplo, o 
gradiente da função f1(1, 2 3) é um vetor com três elementos f1 = [ f1/1 f1/2 f1/3]
T
. 
( ) Denomina-se matriz Jacobiana a matriz formada pelos gradientes de cada uma das funções do sistema de equações não linear: 
J = [ f1
T
 ; f2
T
, f3
 T
 ]. Para esse sistema, a dimensão da matriz jacobiana é 3 X 3. 
QUESTÃO 14: Indique as afirmativas verdadeiras relativas ao uso do método de Netwon para resolver o sistema de equações da 
questão 13. 
( ) O objetivo do método de Newton é encontrar as raízes do vetor de equações F(1, 2 3)=[f1(1, 2 3) f2(1, 2 3) f3(1, 2 3)]
T
 
. Isto é encontra o valor do vetor X = [1, 2 3] tal que F(1, 2 3)=[0 0 0]
T
. 
( ) O método de Newton é iterativo, consiste em calcular o valor Xk+1 a partir de XK de forma que F[Xk] gere elementos mais 
próximos a zero do que F[Xk+1]. 
( ) A forma iterativa do método de Newton é Xk+1=XK - J(Xk)
-1
F(Xk), onde J(Xk) é o valor da matriz jacobiana obtido substituindo-se 
[1, 2 3] por Xk. Os elementos da matriz J(Xk) são constantes. 
( ) Os sistemas Xk+1=XK - J(Xk)
-1
F(Xk) e J(Xk)( Xk+1-XK) = -F(Xk) são equivalentes. Contudo o formato Xk+1=XK - J(Xk)
-1
F(Xk) é mais simples 
de resolver computacionalmente. 
( ) O sistema J(Xk)( Xk+1-XK) = -F(Xk) pode ser colocado na forma A x = b, e ( Xk+1-XK) pode ser calculado resolvendo-se um sistema de 
equações lineares. 
( ) Para que este método possa ser utilizado, é necessário escolher de forma arbitrária um valor inicial para Xk, usualmente 
denominado de X0. 
( ) Como um sistema de equações não-lineares pode possuir diversas soluções, o resultado encontrado pelo método de Newton 
depende do valor inicial escolhido para X0.