Lista de exercícios de sequências, conjuntos e funções

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Faculdade de Computac¸a˜o
Fundamentos de Teoria da Computac¸a˜o - 2015/1
Lista de Exerc´ıcios L3 - conjuntos, func¸o˜es e sequencias
1. (F) Considere A e B dois subconjuntos de um conjunto universo U . Quais das assertivas abaixo
sa˜o verdadeiras? Justifique sua resposta, usando infereˆncia lo´gica, me´todo direto ou tabela de
pertineˆncia.
(a) A ∪ (B −A) = A ∪ B;
(b) Se A ∩ B = A enta˜o B ⊆ A;
(c) A ∩ B ⊆ A;
(d) (A− B) ⊆ A;
(e) A ∩ (B −A) = ∅;
(f) A ∪ (A ∩B) = A.
2. (M) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U . Mostre que A ⊆ B se e somente
se B ⊆ A.
3. (F) Usando tabela de pertineˆncia, prove que (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
4. (F) Determine se cada um dos conjuntos S abaixo e´ conta´vel ou inconta´vel. Para aqueles que
forem conta´veis, exiba uma func¸a˜o bijetora entre o conjunto dos nu´meros naturais e S.
(a) S e´ o conjuntos dos inteiros pares e maiores que 10;
(b) S = {x ∈ Z : x < 0 e x e´ par }.
(c) S e´ o conjunto dos inteiros mu´ltiplos de 10;
5. (F) Usando a definic¸a˜o das func¸o˜es piso e teto, prove que ⌊−x⌋ = −⌈x⌉.
6. (F) Prove ou disprove cada um das seguintes afirmac¸o˜es:
(a) ⌈⌊x⌋⌉ = ⌊x⌋, para todo nu´mero real x;
(b) ⌊2x⌋ = 2 ⌊x⌋, quando x e´ um nu´mero real;
(c) ⌈x⌉ + ⌈y⌉ − ⌈x+ y⌉ = 0 ou 1, quando x e y sa˜o nu´meros reais;
7. (F) Qual o valor do somato´rio duplo abaixo?
2∑
i=1
3∑
j=1
ij
8. (F) Qual o valor da soma dos termos da progressa˜o geome´trica?
8∑
j=0
3.2j
1
9. (M) Vimos em sala uma te´cnica para encontrar uma fo´rmula fechada para
n∑
k=1
(2k − 1), uti-
lizando o fato de que k2 − (k − 1)2 = 2k − 1. Utilizando a mesma te´cnica utilizada em sala
encontre uma fo´rmula fechada para
n∑
k=1
k2.
Dica: k3 − (k − 1)3 = 3k2 − 3k + 1.
10. (F) Seja n um inteiro. Prove que
⌊n
2
⌋
=


n
2
, se n e´ par
(n−1)
2
, caso contra´rio.
Usando a ide´ia do resultado anterior, prove que
⌈
n
2
⌉
=
⌊
n+1
2
⌋
para todo inteiro n.
2