lista P2 - algebra linear - 2019-I

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Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática
MAT 138 � Noções de Álgebra Linear
3
a
Lista (Profa. Lana Mara Rodrigues dos Santos)
Atualizada em: 28 de abril de 2019
1) Encontre um vetor não-nulo u com ponto inicial P (−1, 3,−5) tal que:
(a) u tem a mesma direção e sentido que v = (6, 7,−3).
(b) u tem a mesma direção, mas sentido oposto a v = (6, 7,−3).
2) Sejam u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8) e w = (6,−1,−4). Determine:
(a) 6u+ 2v
(b) −3(v − 8w)
(c) (2u− 7w)− (8v + u)
3) Determine u, v ∈ R4 tais que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenada de v é igual a 3 e
u+ v = (1, 2, 3, 4).
4) Encontre todos os escalares a, b e c tais que:
(a) a(1, 2, 0) + b(2, 1, 1) + c(0, 3, 1) = (0, 0, 0)
(b) a(1, 2, 0) + b(2, 1, 1) + c(−1, 4,−2) = (0, 0, 0)
5) Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
(a) Existem escalares a e b tais que w = au+ bv, para w = (7,−11, 2)? Justifique.
(b) Existem escalares a e b tais que w = au+ bv, para w = (2,−5, 4)? Justifique.
(c) Determine o conjunto de vetores w do R3 tais que w = au+ bv, para a e b reais.
6) Determine:
(a) x e y de modo que x(3, 4) + y(4, 5) = (10, 20).
(b) x, y e z de modo que x(1, 2, 5) + y(3, 7, 2) + z(0, 1, 3) = (4, 8, 15).
7) Mostre que:
(a) Se a(5, 8) + b(3, 7) = (0, 0) então a = 0 e b = 0.
(b) (2, 4) + b(1, 2) = (0, 0) não implica necessariamente a = 0 e b = 0.
8) Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
(a) Escreva w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
(b) O vetor t = (2,−5, 4) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Por que?
(c) Encontre condições sobre x, y, z de modo que (x, y, z) seja uma combinação linear de u e v.
(d) Escreva o vetor nulo como combinação linear deu e v.
(e) Escreva o vetor nulo como combinação linear de u, v e w.
(f) Escreva o vetor nulo como combinação linear de u, v e t.
(g) Compare os resultados obtidos em (8e) e (8f) com o que foi obtido em (8b) e (8c).
9) Sejam os vetores u = (−1, 2, 1), v = (1, 2, 0) e w = (−2,−1, 0). Escreva os vetores v1 = (−8, 4, 1), v2 = (0, 2, 3)
e v3 = (0, 0, 0) como combinação linear de u, v, e w.
10) Para qual valor de k o vetor u = (1,−2, k) é combinação linear dos vetores v = (3, 0,−2) e w = (2,−1,−5)?
11) Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços do R3.
(a) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y − 3z = 0}
(b) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + 2z = 4}
(c) {(x, y, z) ∈ R3 : ax+ by + c = 0}, em que a, b e c números reais.
(d) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y − 3z ≤ 0}
(e) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x2 + y + z = 0}
12) Seja W o subespaço do definido por W = {(x, y, z, t) ∈ R4/x+ 2y − z = 0 e t = 0}. Pergunta-se:
(a) (−1, 2, 3, 0) pertence a W?
(b) (3, 1, 4, 0) pertence a W?
(c) Determine dois vetores que geram W . Eles são os únicos? Se não, apresente outros!
13) Mostre que os conjuntos {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e {(−1,−2, 3), (3, 3,−4)} geram o mesmo subespaço do R3.
14) Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços de R4.
(a) W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4;x− y − 3z = 0} ;
(b) W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4;x− y + 2z = 0 e t = 0} .
15) Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços de R3.
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3;x− 2y = 0}
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3;x+ z = 0 e x− 2y = 0}
(c) U ∩ V
16) Encontre um vetor em R3 que gere a interseção de V e W , em que V é o plano xy e W é o espaço gerado
pelos vetores (1, 2, 3) e (1,−1, 1).
17) Determine [S], em que S = {(1,−2, 5, 4), (2, 3, 1,−4), (3, 8,−3,−5)}.
18) Mostre que o plano yz, isto é W = {(0, b, c), b, c ∈ R} pode ser gerado por:
(a) {(0, 1, 1), (0, 2,−1)}
(b) {(0, 1, 2), (0, 2, 3), (0, 3, 1)}
19) Verifique se o vetor (1, 2, 3) poder ser obtido como combinação linear dos vetores (0, 1, 2) e (1, 0, 1).
20) Verifique se os conjuntos são linearmente independente ou linearmente dependente.
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(a) {(1, 3), (2, 6)}
(b) {(2,−1, 3)}
(c) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}
(d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}
(e) {(2, 1, 1, 0), (1, 0, 2, 1), (−1, 2, 0,−1)}
(f) {(0, 1, 0,−1), (1, 1, 1, 1), (−1, 2, 0, 1), (1, 2, 1, 0)}
21) Para cada item abaixo, determine os valores de k para que os conjuntos sejam linearmente independente ou
linearmente dependente.
(a) S1 = {(1, 1, 2), (−1, 2, 3), (k,−1, 1)}
(b) S2 = {(−1, 0, 7), (−4, 5,−3k), (0, 4,−2), (2k, 3, 1)}
22) Mostre que:
(a) Se u, v, w são L.I. então u+ v, u+ w, v + w são L.I.
(b) Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é L.D.
(c) Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D. então A é L.D.
23) Consideremos no espaço vetorial R2 os vetores u = (1− a, 1+ a) e v = (1+ a, 1− a), onde a 6= 0. Mostre que
{u, v} é L.I.
24) Quais dos seguintes conjuntos formam uma base de R3? Nestes casos, escreva um vetor genérico (x, y, z) do
R3 como combinação linear dos elementos desse conjunto.
(a) S1 = {(1, 0, 1), (0,−1, 2), (−2, 1,−4)}
(b) S2 = {(2, 1,−1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)}
(c) S3 = {(2, 3,−1), (−2, 1, 1), (2, 0, 1)}
25) Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2,−1, 1) geram o R3. Encontre uma
base dentre esses vetores.
26) Determine uma base e a dimensão dos subespaços vetoriais.
(a) U = {(x, y) ∈ R2;x− y = 0}.
(b) W = {(x, y, z, t) ∈ R4;x− y = 0, x+ t = z}.
27) Sendo u = (1, 2), encontre um vetor v tal que {u, v} seja base do R2.
28) Determine uma base do R4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, 0) e (1, 1, 2, 1).
29) Determine se b =

4
3
5
7
 é combinação linear das colunas de A =

1 2 0 1
0 1 2 1
1 2 1 3
0 1 2 2
. O que se pode concluir a
respeito do sistema linear representado pela equação matricial AX = b, em que X é um vetor coluna.
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30) Verifique como o posto da matriz A =
0 1 11 2 2
1 2 1

varia com t.
31) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do R4:
(a) U = {(x, y, z, t) ∈ R4;x− y = 0, x+ 2y + t = 0}.
(b) W = {(x, y, z, t) ∈ R4; 2x− y + z = 0}.
32) Sejam os subespaços U = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 : y − 2z = 0}. Determine uma base e
a dimensão dos subespaços U, V, U ∩ V e U + V .
33) Seja um espaço V de dimensão 5. Responda as perguntas abaixo, justificando sua resposta:
(a) Um conjunto de vetores de V com 8 vetores, pode ser LI?
(b) Um conjunto de vetores de V com 5 vetores, pode ser LD?
(c) Se S é um conjunto LD, pode existir um conjunto que contenha S e que seja LI?
34) Seja W o subespaço do R4 gerado pelos vetores (1,−2, 5,−3), (2, 3, 1,−4) e (3, 8,−3,−5).
(a) Encontre uma base e a dimensão de W .
(b) Estenda a base de W a uma base do R4.
(c) Faça agora o caminho inverso. Encontre os vetores da base canônica do que geram W . Qualquer
combinação de três vetores da base canônica do vai gerar W?
35) Sejam B = {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 1), (1, 0, 1, 0)} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4; 2x+ y − z + 3t = 0}.
(a) B é um conjunto linearmente independente? Justifique.
(b) Escreva o vetor v = (1, 0, 5, 1) como combinação linear dos vetores de B.
(c) O vetor v do item (b) pertence a W?
(d) Usando apenas as respostas dos itens (a), (b) e (c) e sem fazer qualquer conta adicional é possível
garantir que B é uma base de W? Justifique!
(e) Encontre uma base para o subespaço W .
36) Determine:
(a) Um subconjunto do R3 com 3 de vetores e que não é base do R3.
(b) Um conjunto do R3 linearmente independente e que não é base do R3.
(c) Um conjunto de vetores do R3 que gera o R3 mas não é base do R3.
37) Determinar as coordenadas do vetor v = (6, 2) em relação às bases:
(a) {(3, 0), (0, 2)}
(b) {(1, 2), (2, 1)}
(c) {(1, 0), (0, 1)}
38) Seja B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1)} uma base de R3. Determine as coordenadas de v em relação a B se:
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(a) v = (2,−3, 4)
(b) v = (3, 5, 6)
(c) v = (1,−2, 1)
39) Determine as coordenadasdo vetor u = (4, 5, 3) de R3 em relação às seguintes bases:
(a) canônica;
(b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)};
(c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
40) Considere o espaço vetorial R2. A matriz da mudança da base γ = {(1, 1), (−2, 2)}, para a base α = {v1, v2}
é dada por
[
1 0
4 −2
]
.
(a) Determine a base α.
(b) Determine o vetor u ∈ R2 tal que [u]α =
[
1
2
]
.
41) Considere a seguinte matriz de mudança de base [I]ββ′ =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1

. Encontre:
(a) [v]β, onde [v]β′ =
 −12
3

(b) [v]β′ , onde [v]β =
 −12
3

42) Encontre a reta de ajuste linear de mínimos quadrados dos quatro pontos (0, 1), (2, 0), (3, 1) e (3, 2).
43) Um empresário em rápida expansão descobre que nos cinco primeiros meses do ano as vendas (em milhares
de reais) foram R$ 4,00, R$ 4,40, R$5,20, R$ 6,40 e R$ 8,00. O empresário coloca estes dados num gráfico
e conjectura que, pelo resto do ano, a curva de vendas pode ser aproximada por uma parábola. Encontre o
polinômio quadrático de melhor ajuste de mínimos quadrados para a curva de vendas e use-o para projetar
as vendas no último mês do ano.
44) A tabela exibe o número de bactérias existentes em uma cultura (por unidade de volume) após x horas.
Deseja-se estimar o número de bactérias em t = 3, 7 horas.
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 37 65 92 132
(a) Calcule um polinômio interpolador P1 usando 2 pontos da tabela e calcule P1(t).
(b) Calcule um polinômio interpolador P2 usando 3 pontos e calcule P2(t).
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Gabarito
1) (a) (12, 14,−6)
(b) (−6,−7, 3)
2) (a) (−10, 6,−4);
(b) (132,−24,−72)
(c) (−77, 8, 94)
3) Devemos ter u − (1, 1, 1, 1) e v = (0, 1, 2, 3) para
que a igualdade seja satisfeita.
4) (a) a = b = c = 0
(b) a = −3c, b = 2c, c ∈ R
5) (a) Sim. w = 3u− v
(b) não
(c) {(x, y, z) ∈ R3 : z = 16x+ 10y}
6) (a) x = 30y = −20
(b) x = 49/16, y = 5/16 e z = −5/16
7) (a) A matriz
(
5 8
3 7
)
é invertível. Portanto, a
equação AX = 0 tem única solução.
(b) b = −2a para todo a ∈ R}.
8) (a) w = 3u− 1v
(b) Não.
(c) c = 16a+ 10b
(d) 0 = 0u+ 0v
(e) 0 = 3u− v − w, dentre outras infinitas pos-
sibilidades.
(f) 0 = 0u+ 0v + 0t
(g)
9) v1 = u +
11
3 v +
16
3 w, v2 = 3u − 113 v − 103 w, v3 =
0u+ 0v + 0w.
10) k = −8
11) (a) sim
(b) não
(c) sim
(d) não
(e) não
12) (a) sim
(b) não
(c)
13) Ambos geram o espaço vetorial {(x, y, z) ∈ R3 :
x = 5y + 3z}
14) (a)
(b)
15) (a) {(2, 1, 0), (0, 0, 1)}
(b) {(2, 1,−1)}
(c) {(2, 1, 0), (0, 0, 1)}
A resposta não é única.
16) {(2, 5, 0)}.
17) [S] = {(x, y, z, t) ∈ R4;−17x+ 9y + 7z = 0}.
18) (a)
(b)
19) não
20) (a) linearmente dependente
(b) linearmente dependente
(c) linearmente dependente
(d) linearmente independente
(e) linearmente dependente
21) (a) somente para k = 8 o conjunto é linearmente
dependente.
(b) qualquer que seja k o conjunto é linearmente
dependente.
22) (a)
(b)
(c)
23)
24) (a) Não é base.
(b) (x, y, z) = −y(2, 1,−1)+(2y−x)(−1, 0, 1)+
(x− y + z)(0, 0, 1).
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(c) (x, y, z) = 116(x+4y−2z)(2, 3,−1)+ 116(−3x+
4y + 6z)(−2, 1, 1) + 14(x+ 2z)(2, 0, 1)
25)
26) (a) dimU=1, B = {(1, 1)}
(b) dimW=2, B = {(1, 1, 1, 0), (−1,−1, 0, 1)}
27) Por exemplo, v = (2, 3).
28) B = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 3), (0, 0, 0, 1)}
29) b = −26a1 + 13a2 − 7a3 + 4a4 em que a1, ..., a4
são as colunas da matriz A.
30) t = 1, posto(A) = 1; t = −2, posto(A) = 2. Para
t 6∈ {−2, 1}, posto(A) = 3.
31) (a) BU = {(1, 0, 1,−1), (0, 1, 0,−2)}, dimU = 2.
(b) BW = {(1, 2, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}, dimW
= 3.
32) BU = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)}, dim = 2;
BV = {(1, 0, 0), (0, 2, 1)}, dim = 2;
BU∩V = {(0, 2, 1)}, dim = 1.
dim(U + V ) = dim(U) + dim(V )− dim(U ∩ V ),
então dim(U + V ) = 3. Logo, U + V = R3.
33) (a) não
(b) sim
(c) não
34) (a) B = {(1,−2, 5,−3), (2, 3, 1,−4)}, dim=2
(b) {(1,−2, 5,−3), (2, 3, 1,−4), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}
(c) não
35) (a) sim
(b) v = 1(1, 2, 1,−1)+2(0,−1, 2, 0)+0(−1, 0, 1, 0)
(c) sim
(d) não
(e) Bw = {(1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 3, 1)}
36) (a) {(1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0)}
(b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
(c) {(1, 0), (0, 1), (1, 2)}
37) (a) [(6, 2)]B =
[
2
1
]
(b) [(6, 2)]B =
[
−2/3
10/3
]
(c) [(6, 2)]B =
[
6
2
]
38) (a) [(2,−3, 4)]B =
 −21
4

(b) [(2,−3, 4)]B =
 −311
6

(c) [(2,−3, 4)]B =
 0−1
1

39) (a) [(4, 5, 3)]C =
 45
3

(b) [(4, 5, 3)]C =
 31
0

(c) [(4, 5, 3)]C =
 41/11−10/11
3/11

40) (a) α = {(−3, 5), (1,−1)}
(b) u = (−1, 3)
41) (a) [v]β =
 2−3
−1

(b) [v]β′ =
 11
−4
 .
42) y =
2
3
+
1
6
x
43) y(x) = 0, 2(20 − x + x2). Como y(12) = 30, 4, o
valor procurado é R$30.400,00.
44) (a) Usando os 2 últimos pontos, P1(x) = 40x−
28 e P1(3, 7) = 120.
(b) Usando os 3 últimos pontos, P2(x) = 50 −
5.5x+ 6, 5x2 e P2(3, 7) = 118, 635.
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