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Classificação dos movimentos Classificação quanto a trajetória. Conforme a trajetória, os movimentos podem ser: 1- Movimento retilíneo: é quando a trajetória consiste em uma reta. A equação desta trajetória em um plano cartesiano é a seguinte: y = ax + b, sendo a e b duas constantes. Vejamos um exemplo: 2- Movimento parabólico: é quando a trajetória consiste em uma parábola. Neste caso a equação da trajetória é a seguinte: y = ax² + bx + c, sendo a, b e c três constantes e a ≠ 0. Vejamos um exemplo: 3- Movimento circular: é quando a trajetória consiste em uma circunferência. Neste caso, a equação da trajetória é a seguinte: (x – a)² + (y – b)² = c², sendo a,b e c três constantes, a e b as duas coordenadas do centro da circunferência e c ≠ 0, sendo o raio da circunferência. Vejamos um exemplo: De acordo com o gráfico ao lado, um corpo qualquer tem uma massa de 2 kg, em movimento retilíneo, e sua velocidade vai variando no tempo. ! Neste caso as parábolas ficam em forma de U, com a concavidade voltada para cima. ! 4- Existem outras formas que a trajetória pode apresentar, como por exemplo, trajetória elíptica, trajetória hiperbólica, etc. Classificação quanto a função horária dos espaços: s = f(t) Quando dizemos que a função horária dos espaços é polinomial, podemos afirmar que de acordo com o seu grau de movimento, ela pode ser classificada em: – Movimento Uniforme (MUV): sua função horária do primeiro grau é representada por: s = f (t), esta é uma função do tipo: s = at + b, sendo a e b duas constantes e a ≠ 0. Movimento Uniformemente Variado (MUV): sua função horária do segundo grau é representada por: s = at² + bt + c, sendo a, b e c três constantes e a ≠ 0. Classificação quanto ao sinal da velocidade escalar instantânea Através do sinal da velocidade escalar instantânea, podemos classificar os movimentos em: a) Movimento Uniforme Progressivo – O sentido do movimento do corpo coincide com o sentido fixado como positivo para a trajetória; a velocidade do móvel é positiva; os espaços aumentam em relação à origem. b) Movimento Uniforme Retrógrado (ou regressivo) – O móvel anda contra a orientação da trajetória; a velocidade é negativa; os espaços diminuem algebricamente em relação à origem. Vejamos um exemplo destes dois movimentos: A figura ao lado mostra um objeto que está em movimento uniforme em uma trajetória circular. ! Em um brinquedo que apresenta uma queda livre vertical, a partir do seu repouso, sua trajetória será para baixo, realizando assim um MUV (movimento retilíneo variado). ! VA > 0 ⇒ o movimento de A é progressivo. VB < 0 ⇒ o movimento de B é retrógrado. Classificação quanto ao valor absoluto da velocidade escalar instantânea Através do valor absoluto da velocidade escalar instantânea, podemos classificar os movimentos em: a) Movimento acelerado: é o movimento variado, onde o valor total da velocidade aumenta conforme o tempo. O movimento será progressivo e acelerado, quando V > 0 e y > 0. Já o movimento será retrógrado e acelerado, quando V < 0 e y < 0. b) Movimento retardado: é o movimento variado, onde o valor total da velocidade diminui conforme o tempo. O movimento será progressivo e retardado, quando V > 0 e y < 0. Já o movimento será retrógrado e retardado, quando V < 0 e y > 0. Esquematicamente temos: Movimento de Translação O planeta Terra não permanece paralisado, pelo contrário, realiza diversos movimentos no espaço, e um dos mais importantes é o de translação. Translação é um movimento que a Terra executa em torno do Sol de forma elíptica. Durante108 mil quilômetros por hora. Para a conclusão do movimento de translação, são necessários - segundo os astrônomos - 365 dias e 6 horas (um ano). Portanto, tal movimento é responsável pela sucessão dos anos, além de influenciar diretamente na composição das estações do ano (primavera, verão, outono e inverno), pois em alguns períodos do movimento, a Terra modifica sua posição em relação ao Sol, alterando a intensidade de luz e calor que incide no planeta. Voltando para o deslocamento desse movimento, a Terra viaja a uma velocidade de cerca de a sucessão dos anos, o movimento em questão permitiu que a humanidade se organizasse a partir das referências estipuladas pelos astrônomos e construísse calendários que favoreceram a padronização do tempo, facilitando o desenvolvimento das atividades humanas. Existem anos com uma duração diferenciada, que são conhecidos de anos bissextos, compostos por 366 dias. Como um ano possui 365 dias e 6 horas, o homem passou a acumular as horas que restaram, a cada quatro anos soma-se 24 horas (tendo em vista que 6.4 = 24) ou 1 dia. Vale ressaltar que esse dia extra é acrescentado no mês de fevereiro. Aceleração e Velocidade vetorial Vetor Posição Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor. O vetor é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido. =P-O Velocidade Vetorial Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições e nos instantes e , respectivamente. Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo: # Observação: O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo pelo vetor . Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero ( ), a velocidade calculada será a velocidade instantânea. então: Aceleração Vetorial Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade em um instante e velocidade em um instante posterior , sua aceleração média será dada por: Observação: Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor ( ) por um número escalar positivo, . Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero ( ). Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial: Rotação com Eixo Fixo De acordo com a Segunda Lei de Newton, quando aplicamos uma força sobre um objeto que contém massa, este adquire aceleração. Para um corpo em movimento circular, isto é, para um corpo em rotação, podemos determinar sua posição e velocidade em função de variáveis como o ângulo e a velocidade angular, além do raio da trajetória. Vejamos a figura acima, nela temos um corpo de massa m que está preso a um eixo central, que gira em uma trajetória circular cujo raio vale R. Vamos analisar esse movimento. Ainda com relação à figura acima, suponhamos que uma força de intensidade F atue sempre na direção da velocidade tangencial v do corpo de massa m. Podemos escrever a Segunda Lei de Newton para os módulos das grandezas:Como a velocidade linear de um movimento circular é dada por v = ω.R, podemos escrever a equação acima da seguinte forma: Multiplicando ambos os lados por R, teremos: Sabendo que o quociente entre a velocidade angular e o tempo nos fornece a aceleração angular, temos: F.R=m.R2.α Lembrando que a força é perpendicular ao raio da trajetória, vemos que F.R = M é o módulo do torque exercido pela força F em relação ao centro do movimento circular. Temos como resultado: M = m.R2.α ⟹ M = I.α Onde I = m.R2. A equação M = I.α relaciona o módulo do torque M com a aceleração angular α e com a quantidade I que representa a inércia rotacional do objeto. A quantidade I é conhecida como o momento de inércia do corpo e a sua unidade no SI é kg.m2. Nesse exemplo, chegamos à conclusão de que o momento de inércia relaciona-se tanto com a massa, como também com o raio da trajetória circular. A equação do momento de inércia permite calcular o momento de qualquer corpo, sendo assim, podemos dizer que a equação do momento de inércia (M = I.α) é equivalente a Segunda Lei de Newton para objetos sujeitos a torque. Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único elemento de sua imagem. Repare que, nos exemplos estudados nas seções desse capítulo, para cada valor do parâmetro t, existe um único vetor posição (t) que determina a posição da partícula em cada instante. Desse modo, podemos entender essa correspondência como uma função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e cuja imagem é um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função vetorial ou uma função de valor vetorial . O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudarmos movimentos de partículas no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, precisamos de um terno ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas coordenadas. Da mesma forma, a posição de uma partícula que se desloca no espaço será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y = g(t) e z = h(t) que definem a posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j , k os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação vetorial (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k. Se uma partícula se desloca no espaço com trajetória descrita por este vetor, então o caminho percorrido por ela durante o seu movimento define uma curva no espaço ou uma curva espacial cuja parametr ização é dada pe la equação anterior. Se considerarmos a função vetorial ! (t) = < f(t), g(t), h(t) > , então ! (t) é um vetor de posição do ponto P(f(t), g(t), h(t)) sobre uma curva C. Assim, qualquer função vetorial ! define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor ! (t) em movimento, como é ilustrado na figura ao lado. ! Equação Vetorial da Reta No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-inclinação. Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir. Considere uma reta L, um ponto # ( # ) pertencente a L e um vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de # e de P , respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais considerado, ro = # e r = # MOVIMENTO PLANO EM GERAL O movimento plano geral pode ser decomposto em dois movimentos, sendo um de translação e outro de rotação. Vamos tomar o ponto A como referência e seja B outro ponto qualquer do corpo rígido. A relação entre as posições rA e rB desses dois pontos do corpo rígido é dada por # A figura mostra estes vetores, o referencial fixo xy e o móvel x’y’, preso em A mantendo-se em qualquer instante paralelo ao referencial fixo. # Figura 5.6 - Vetores posição dos pontos A e B Derivando podemos relacionar as velocidades entre os pontos A e B # onde # corresponde velocidade relativa de B em relação a A. Aqui vale também a observação feita anteriormente, uma vez que a velocidade vB/A é de fato a velocidade de B em relação ao referencial móvel x´y´. Vamos analisar a derivada do vetor posição relativa. Seja # O movimento de B neste referencial x´y´ é circular. Conforme mostrado no item anterior, resulta igual a: # Portanto, a relação entre as velocidades de A e B dada é igual a # Lembrando que os eixos dos referenciais são sempre paralelos, todos os vetores podem ser escritos no referencial fixo xy. Para se obter a relação entre as acelerações dos pontos A e B, derivamos a equação. # A partir dos resultados obtidos no item anterior, podemos escrever # onde # Assim, é possível obter a posição, a velocidade e a aceleração de um ponto B qualquer de um corpo rígido a partir dos correspondentes vetores de um ponto A, cujo movimento seja dado. As equações expressam estas relações para um movimento plano qualquer. Podem ser aplicadas, é óbvio, para os casos particulares de translação, onde os vetores velocidade angular e aceleração angular são nulos, e de rotação em torno de um eixo fixo que passe por A, onde os vetores velocidade e aceleração deste ponto são nulos. EQUAÇÕES VETORIAIS DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Vetor Posição Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor. O vetor # é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido # Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições # e # nos instantes # e # , respectivamente. Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo: # Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero ( # ), a velocidade calculada será a velocidade instantânea. Então: # Aceleração Vetorial Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade # em um instante # e velocidade # em um instante posterior # , sua aceleração média será dada por: # # Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero ( # ).# Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial: # Aceleração e Velocidade Vetoriais Vetor Posição Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor. O vetor ! é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido. ! ! =P-O Velocidade Vetorial Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições ! e ! nos instantes ! e ! , respectivamente. Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo: ! ! Observação: O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo ! pelo vetor ! . O EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (EI) se constitui em um importante conceito aplicável à Mecânica das Rotações. Este conceito se origina em considerações estritamente cinemáticas como explicarei a seguir. A figura abaixo representa um sistema de referência SR que gira em torno da sua origem e simultaneamente se traslada em relação ao sistema de referência SR'. # Então pontos solidários ao sistema SR possuem simultaneamente, em relação ao sistema SR', duas velocidades lineares. Em alguns pontos estão representas as duas velocidades: por setas verdes, com a mesma orientação e intensidade, as velocidades devida à translação de SR; por setas vermelhas estão representadas as velocidades devidas à rotação em torno da origem. As setas vermelhas possuem intensidades proporcionais à distância que o ponto considerado se encontra da origem do sistema SR (por onde passa o eixo de rotação) e estão cruzadas (são perpendiculares) com o raio vetor que vai da origem de SR até o ponto considerado. # A velocidade que um particular ponto solidário a SR possui em relação a SR' é a composição das duas velocidades (soma vetorial) representadas em verde e vermelho. Esta composição resulta em um campo de velocidades em relação a SR' representado em cada ponto por um seta laranja na figura abaixo. Este campo de velocidades mostra (e isto é possível de se provar rigorosamente) que o sistema SR está, neste instante representado, apenas girando em torno de um eixo indicado na figura por EI. Este eixo, em torno do qual neste instante (instantaneamente) o sistema SR apenas gira é denominado EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (EI). # Se tivermos um corpo RÌGIDO se trasladando em relação a um determinado sistema de referência enquanto gira em torno de um eixo que é trasladado junto com o corpo então decorre do que acima foi exposto que sempre é possível se encontrar um eixo em torno do qual, instantaneamente (em um particular instante), o corpo APENAS gira. Nem sempre é simples localizar tal eixo. O caso particular, onipresente nos textos de Física Geral que tratam da Dinâmica do Corpo Rígido, é o do corpo que rola sem deslizar (esfera, cilindro, disco, ...) sobre uma superfície rígida. Neste caso o EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO passa pela região de contato do corpo com a superfície de rolamento. Entretanto o conceito de EI pode ser aplicado a qualquer movimento que se constitua em uma translação superposta a uma rotação e esta abordagem simplificará os cálculos que envolvem as ações exercidas sobre o corpo (forças e torques) e suas relações com as grandezas cinemáticas de interesse. Alguns exemplos adicionais de corpos em rotação que se trasladam e o seu respectivo EI: - Um corpo que apenas execute translação tem o seu EI no infinito. - A roda de um automóvel (modelada como um corpo rígido) que patina em uma arrancada violenta tem o seu EI entre o eixo da roda e a pista de rolamento. - A roda de um automóvel (modelada como um corpo rígido) que em uma frenagem (sem freio ABS) desliza sobre a pista sem ser bloqueada completamente tem o seu EI abaixo da pista de rolamento. MOVIMENTO GERAL O movimento geral de um corpo rígido no espaço pode ser decomposto em movimentos simples elementares independentes constituídos por movimentos de rotação e translação. O movimento de um corpo rígido pode ser caraterizado por um dos seguintes movimentos-tipo: -Movimento plano: Todas as partículas se deslocam em planos paralelos. -Movimento em torno de um ponto fixo: O corpo efectua a designada precessão em torno de um ponto fixo (por exemplo, o pião a girar em torno de um ponto de contacto com o solo). -Movimento de rotação e deslizamento (movimento roto-translatório): Os pontos do eixo de rotação deslocam-se sobre ele, permanecendo sobre essa direcção (exemplo: movimento de um parafuso ou movimento helicoidal). Sejam A e B duas partículas de um corpo rígido. O vector posição pode ser obtido da seguinte maneira: # # Portanto, a velocidade num ponto qualquer, B, de um corpo rígido com um movimento geral é dado por: # Portanto, a aceleração num ponto qualquer, B, de um corpo rígido em movimento (geral) é dado por: # AS equações de velocidade e de aceleração de um corpo rígido em movimento geral mostra que esse movimento é equivalente, num dado instante, à soma de uma translação, na qual todas as partículas do corpo têm a mesma velocidade e a mesma aceleração que a partícula de referência A, e um movimento (de rotação) no qual a partícula A se considera fixa.
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