Aula_3

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Cinemática dos Sólidos
Cinemática Vetorial da Rotação em 
Torno de Eixo Fixo
Prof. Dr. Fábio Sevegnani
Prof. Me. Umberto Ollitta Junior
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Deduzimos as equações da cinemática vetorial do sólido girante
por analogia às equações escalares já desenvolvidas para a
velocidade do ponto e a aceleração do ponto.
Equação escalar da velocidade de um ponto girante
Equação vetorial da velocidade de um ponto girante
P
P
V = ω . R
V = ω x (P - O)
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da velocidade de um ponto girante
Onde:
é o vetor velocidade do ponto de interesse (P).
é o vetor velocidade angular do sólido.
P é o ponto de interesse (ponto do qual desejamos calcular a
velocidade).
O é qualquer ponto pertencente ao eixo fixo de rotação do sólido.
PV = ω x (P - O)
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
P
P
V = ω . R
V = ω x (P - O)
A velocidade do ponto P, transforma-se no vetor velocidade do
ponto P.
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
P
P
V = ω . R
V = ω x (P - O)
A velocidade angular do sólido transforma-se no vetor velocidade
angular do sólido.
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
O produto escalar transforma-se no produto vetorial (x ou ^)
P
P
V = ω . R
V = ω x (P - O)
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
P
P
V = ω . R
V = ω x (P - O)
O raio escalar transforma-se na subtração das coordenadas dos
pontos de interesse (P) e de um ponto pertencente ao eixo fixo de
rotação (O).
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação escalar da aceleração de um ponto girante
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
2 2 2
p tp np
2
tp np
P tP nP
P
P
PP
a = a + a
mas: a = α . R e a ω . R
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
mas: V = ω x (P - O)
Então: a = α x (P - O) + ω x V
=
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
tp tP
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
a = α . R a α x (P - O)→ =
A parcela de aceleração tangencial é calculada da mesma maneira
porém agora com a base vetorial envolvida.
- A aceleração angular transforma-se no vetor aceleração angular.
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
tp tP
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
a = α . R a α x (P - O)→ =
A parcela de aceleração tangencial é calculada da mesma maneira
porém agora com a base vetorial envolvida.
- A aceleração angular transforma-se no vetor aceleração angular.
- O raio escalar transforma-se na subtração das coordenadas dos pontos de
interesse (P) e de um ponto pertencente ao eixo fixo de rotação (O).
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
tp tP
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
a = α . R a α x (P - O)→ =
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
2
np nP
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
a ω . R a ω x [ω x (P - O)]= → =
A parcela de aceleração normal é calculada da mesma maneira
porém agora com a base vetorial envolvida.
- A velocidade angular ao quadrado transforma-se no produto vetorial da
velocidade angular por ela mesma.
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
2
np nP
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
a ω . R a ω x [ω x (P - O)]= → =
A parcela de aceleração normal é calculada da mesma maneira
porém agora com a base vetorial envolvida.
- A velocidade angular ao quadrado transforma-se no produto vetorial da
velocidade angular por ela mesma.
- O raio escalar transforma-se na subtração das coordenadas dos pontos de
interesse (P) e de um ponto pertencente ao eixo fixo de rotação (O).
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Equação vetorial da aceleração de um ponto girante
P tP nP
P
2
np nP
PP
a = a + a
a = α x (P - O) + ω x [ω x (P - O)]
a ω . R a ω x [ω x (P - O)]
Forma mais simplificada que utilizaremos
a = α x (P - O) + ω x V
= → =
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Vetor velocidade angular
O vetor velocidade angular possui:
- A mesma direção do eixo fixo de rotação do sólido
- Seu sentido é definido pela regra da mão direita
- Seu cálculo é desenvolvido pela equação: ˆω = ω . b 
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Vetor aceleração angular
O vetor aceleração angular possui:
- A mesma direção do eixo fixo de rotação do sólido
- Seu sentido é definido pela condição cinemática de aceleração
ou frenagem do sólido.
- Quando o sólido acelera, os vetores velocidade e aceleração angular
possuem mesmo sentido.
- Quando o sólido freia, os vetores velocidade e aceleração angular possuem
sentidos contrários.
- Seu cálculo é desenvolvido pela equação: ˆα = α . b 
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Observação do vetor velocidade angular
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Observação do vetor aceleração angular
Condição de aceleração do sólido
Rotação em torno de eixo fixo 
vetorial
Observação do vetor aceleração angular
Condição de frenagem do sólido
Exemplo de aplicação 1)
A figura ilustra uma estrutura composta por placas soldadas ao eixo fixo
AB, que gira em torno deste, com velocidade angular ω = 5 rad/s, que
cresce a taxa de 4 rad/s2. Quando observada do ponto B, a estrutura gira
no sentido horário. Pedem-se:
a) o vetor velocidade angular;
b) o vetor aceleração angular;
c) o vetor velocidade do ponto D;
d) o vetor aceleração do ponto D.
Exemplo de aplicação 1)
Primeiro passo:
- Enxergar o vetor velocidade angular
- Enxergar o vetor aceleração angular (quando existir, (no MU não
existe))
Lembramos que:
O vetor velocidade angular e o vetor
aceleração angular têm a mesma
direção do eixo fixo de rotação
do sólido.
ω

Exemplo de aplicação 1)
Primeiro passo:
- Enxergar o vetor velocidade angular
- Enxergar o vetor aceleração angular (quando existir, (no MU não
existe))
Lembramos que:
O vetor velocidade angular e o vetor
aceleração angular têm a mesma
direção do eixo fixo de rotação
do sólido.
Assim, já podemos enxergar a direção
destes vetores.
observador
Exemplo de aplicação 1)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular. Quando observada
do ponto B, a estrutura gira no sentido horário.
observador
Exemplo de aplicação 1)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular. Quando observada
do ponto B, a estrutura gira no sentido horário.
Exemplo de aplicação 1)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular
Exemplo de aplicação 1)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor aceleração angular, a partir do vetor
velocidade angular.
- Como o sólido está acelerando, os
vetores velocidade angular e aceleração
angular possuem o mesmo sentido.
Exemplo de aplicação 1)
Segundo passo:
- Obter as coordenadas dos pontos de interesse.
- Os pontos de interesse serão
- Os pontos que definem o eixo fixo de
rotação (A e B neste exemplo)
- O ponto do qual as perguntas
são feitas (D neste exemplo)
Exemplo de aplicação 1)
Segundo passo:
- Obter as coordenadas dos pontos de interesse.
- Os pontos de interesse serão
- Os pontos que definem o eixo fixo de
rotação (A e B neste exemplo)
- O ponto do qual as perguntas
são feitas (D neste exemplo)
Lembrando que: P ( x ; y ; z )
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Como o vetor velocidade angular aponta de B para A, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor”
para montar a fração que define sua
direção e sentido.
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Como o vetor velocidade angular aponta de B para A, utilizamos a regra:“cabeça do vetor menos rabo do vetor”
para montar a fração que define sua
direção e sentido.
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando A – B:
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando A – B:
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando A – B:
Calculando o módulo de A – B:
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Exemplo de aplicação 1)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Exemplo de aplicação 1)
b) o vetor aceleração angular ;
Como o vetor aceleração angular também aponta de B para A,
utilizamos a regra: “cabeça do vetor menos rabo do vetor” para montar
a fração que define sua direção e sentido.
Exemplo de aplicação 1)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
Exemplo de aplicação 1)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Assim:
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Uma outra forma de realizar o produto vetorial é pelo método
distributivo, que em algumas situações é mais rápido e mais prático que
por matriz. A forma de resolução do produto vetorial fica a critério do
aluno.
Regra:
- Girando no sentido horário o produto vetorial
é positivo.
- Girando no sentido anti-horário o produto
vetorial é negativo.
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Regra:
- Girando no sentido horário o produto vetorial
é positivo.
- Girando no sentido anti-horário o produto
vetorial é negativo.
Exemplo:
i x j = +k (sentido horário)
j x i = -k (sentido anti-horário)
k x i = +j (sentido horário)
i x k = -j (sentido anti-horário)
ATENÇÃO! → i x i =0 j x j =0 k x k =0
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
= −Dv 0,712k
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
Lembrar! j x j = 0
= − +Dv 0,712k zero
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
= − + −Dv 0,712k zero 0,534j
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
= − + − −Dv 0,712k zero 0,534j 0,609i
Exemplo de aplicação 1)
c) o vetor velocidade do ponto D ;
Colocando na ordem para apresentar a resposta final, temos:
= − − −D
m
v 0,609i 0,534j 0,712k
s
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (D –
A)
Lembrando que:
=  − + D Da (D A) ω v
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (D –
A)
Lembrando que:
=  − + D Da (D A) ω v
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (D –
A)
Lembrando que:
=  − + D Da (D A) ω v
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (D –
A)
Desenvolvemos então o cálculo separadamente das parcelas de
aceleração tangencial ( ) e normal ( ):
=  − + D Da (D A) ω v
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Assim:
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
= −  −tDa (3,196j 2,394k) (0,178i 0,203j)
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
Colocando na ordem, temos:
= −  −tDa (3,196j 2,394k) (0,178i 0,203j)
= − + − −tDa 0,568k zero 0,426j 0,486i
= − − −tD 2
m
a 0,486i 0,426j 0,568k
s
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Assim:
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
= + + − + − +nDa 2,436k zero 2,848i 0,486j 1,602i zero
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Desenvolvendo o produto vetorial pelo método distributivo, temos:
Somando i, j e k e colocando na ordem, temos:
= + + − + − +nDa 2,436k zero 2,848i 1,827j 1,602i zero
= − + +nD 2
m
a 4,452i 1,827j 2,436k
s
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Por fim, devemos somar as duas parcelas de aceleração:
Exemplo de aplicação 1)
d) o vetor aceleração do ponto D ;
Por fim, devemos somar as duas parcelas de aceleração: