cinematica dos solidos

Prévia do material em texto

Cinemática dos Sólidos
Cinemática Vetorial da Rotação em 
Torno de Eixo Fixo
Prof. Dr. Fábio Sevegnani
Prof. Me. Umberto Ollitta Junior
Exemplo de aplicação 2)
2-) O sistema ilustrado, é composto por uma placa de dimensões 0,20 x
0,40 m, soldada ao eixo fixo AB. No instante ilustrado, o sistema gira em
torno do eixo fixo com velocidade angular 15 rad/s, que decresce a taxa
de 7 rad/s2. Quando observada do ponto B, a placa gira no sentido anti-
horário. Para o instante ilustrado, pedem-se:
a) o vetor velocidade angular;
b) o vetor aceleração angular;
c) o vetor velocidade do ponto C ( );
d) o vetor aceleração do ponto C ( ).
Exemplo de aplicação 2)
Primeiro passo:
- Enxergar o vetor velocidade angular
- Enxergar o vetor aceleração angular
Lembramos que:
O vetor velocidade angular e o vetor
aceleração angular têm a mesma
direção do eixo fixo de rotação
do sólido.

ω
Exemplo de aplicação 2)
Primeiro passo:
- Enxergar o vetor velocidade angular
- Enxergar o vetor aceleração angular
Lembramos que:
O vetor velocidade angular e o vetor
aceleração angular têm a mesma
direção do eixo fixo de rotação
do sólido.
Assim, já podemos enxergar a direção
destes vetores.
Exemplo de aplicação 2)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular. Quando observada
do ponto B, a placa gira no sentido anti-horário.
observador
Exemplo de aplicação 2)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular. Quando observada
do ponto B, a placa gira no sentido anti-horário.
observador
Exemplo de aplicação 2)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular.
Exemplo de aplicação 2)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular.
Exemplo de aplicação 2)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor aceleração angular, a partir do vetor
velocidade angular.
- Como o sólido está freando, os
vetores velocidade angular e aceleração
angular possuem sentidos contrários.
Exemplo de aplicação 2)
Segundo passo:
- Obter as coordenadas dos pontos de interesse.
- Os pontos de interesse serão
- Os pontos que definem o eixo fixo de
rotação (A e B neste exemplo)
- O ponto do qual as perguntas
são feitas (C neste exemplo)
Exemplo de aplicação 2)
Segundo passo:
- Obter as coordenadas dos pontos de interesse.
- Os pontos de interesse serão
- Os pontos que definem o eixo fixo de
rotação (A e B neste exemplo)
- O ponto do qual as perguntas
são feitas (C neste exemplo)
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Como o vetor velocidade angular aponta de A para B, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor”
para montar a fração que define sua
direção e sentido.
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Como o vetor velocidade angular aponta de A para B, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor”
para montar a fração que define sua
direção e sentido.
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando B – A:
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando B – A:
Calculando o módulo de B – A:
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Exemplo de aplicação 2)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Resposta a)
Exemplo de aplicação 2)
b) o vetor aceleração angular ;
Como o vetor aceleração angular aponta de B para A, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor” para montar a fração que define
sua direção e sentido.
Exemplo de aplicação 2)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
− + −
 =
0,4i 0,2j 0,2k
7.
0,489
Exemplo de aplicação 2)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
Resposta b)
− + −
 =
0,4i 0,2j 0,2k
7.
0,489
 = − + −
2
rad
5,72i 2,86j 2,86k
s
Exemplo de aplicação 2)
c) o vetor velocidade do ponto C ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
Exemplo de aplicação 2)
c) o vetor velocidade do ponto C ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
Exemplo de aplicação 2)
c) o vetor velocidade do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
c) o vetor velocidade do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
c) o vetor velocidade do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
c) o vetor velocidade do ponto C ;
Assim:
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (C –
B)
Lembrando que:
=  − + C Ca (C B) ω v
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (C –
B)
Lembrando que:
=  − + C Ca (C B) ω v
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (C –
B)
Lembrando que:
=  − + C Ca (C B) ω v
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por .
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (C –
B)
Lembrando que:
Desenvolvemos então o cálculo separadamente das parcelas de
aceleração tangencial ( ) e normal ( ):
=  − + C Ca (C B) ω v
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Assim:
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Assim:
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Por fim, devemos somar as duas parcelas de aceleração:
Exemplo de aplicação 2)
d) o vetor aceleração do ponto C ;
Por fim, devemos somar as duas parcelas de aceleração:
Exemplo de aplicação 3)
3-) A haste ABCD gira apoiada nas articulações A e D; no instante
ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s, que decresce à taxa
de 380 rad/s2. Quando observada do ponto D, a barra gira no sentido
horário. Para o instante ilustrado, pedem-se:
a) o vetor velocidade angular;
b) o vetor aceleração angular;
c) a velocidade do ponto B ( );
d) a aceleração do ponto B ( ).
Exemplo de aplicação 3)
Primeiro passo:
- Enxergar o vetor velocidade angular
- Enxergar o vetor aceleração angular
Lembramos que:
O vetor velocidade angular e
o vetor aceleração angular têm
a mesma direção do eixo fixo
de rotação do sólido.
Exemplo de aplicação 3)
Primeiro passo:
- Enxergar o vetor velocidade angular
- Enxergar o vetor aceleração angular
Lembramos que:
O vetor velocidade angular e
o vetor aceleração angular têm
a mesma direção do eixo fixo
de rotação do sólido.
Assim, já podemos enxergar
a direção destes vetores.
Exemplo de aplicação 3)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular. Quando observada
do ponto D, a barra gira no sentido horário.
Exemplo de aplicação 3)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular. Quando observada
do ponto D, a barra gira no sentidohorário.
Exemplo de aplicação 3)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular.
Exemplo de aplicação 3)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor velocidade angular.
Exemplo de aplicação 3)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor aceleração angular, a partir do vetor
velocidade angular.
- Como o sólido está freando, os
vetores velocidade angular e aceleração
angular possuem sentidos contrários.
Exemplo de aplicação 3)
Ainda no primeiro passo:
- Enxergar o sentido do vetor aceleração angular, a partir do vetor
velocidade angular.
- Como o sólido está freando, os
vetores velocidade angular e aceleração
angular possuem sentidos contrários.
Exemplo de aplicação 3)
Segundo passo:
- Obter as coordenadas dos pontos de interesse.
- Os pontos de interesse serão
- Os pontos que definem o eixo fixo de
rotação (A e D neste exemplo)
- O ponto do qual as perguntas
são feitas (B neste exemplo)
Exemplo de aplicação 3)
Segundo passo:
- Obter as coordenadas dos pontos de interesse.
- Os pontos de interesse serão
- Os pontos que definem o eixo fixo de
rotação (A e D neste exemplo)
- O ponto do qual as perguntas
são feitas (B neste exemplo)
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Como o vetor velocidade angular aponta de D para A, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor”
para montar a fração que define sua
direção e sentido.
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Como o vetor velocidade angular aponta de D para A, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor”
para montar a fração que define sua
direção e sentido.
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando A – D:
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Calculando A – D:
Calculando o módulo de A – D:
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Exemplo de aplicação 3)
a) o vetor velocidade angular ;
Por fim calculamos o vetor velocidade angular:
Resposta a)
Exemplo de aplicação 3)
b) o vetor aceleração angular ;
Como o vetor aceleração angular aponta de A para D, utilizamos a regra:
“cabeça do vetor menos rabo do vetor” para montar a fração que define
sua direção e sentido.
Exemplo de aplicação 3)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
Exemplo de aplicação 3)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
Exemplo de aplicação 3)
b) o vetor aceleração angular ;
Por fim calculamos o vetor aceleração angular:
Resposta b)
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
=  − =  −B Bv ω (B A) ou v ω (B D)
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
Escolhendo resolver pela opção:
=  − =  −B Bv ω (B A) ou v ω (B D)
=  −Bv ω (B A)
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Lembrando que o vetor velocidade de um ponto girante é
genericamente calculado por , onde O é qualquer ponto do
eixo fixo de rotação, temos:
Escolhendo resolver pela opção:
=  − =  −B Bv ω (B A) ou v ω (B D)
=  −Bv ω (B A)
− = − + − + −
− =
(B A) (0,3 0)i (0,2 0,2)j (0,12 0,12)k
(B A) 0,3i
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
=  −
= − + + 
B
B
v ω (B A)
v 75i 50j 30k (0,3i)
= − + + Bv 75i 50j 30k (0,3i)
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
=  −
= − + + 
B
B
v ω (B A)
v 75i 50j 30k (0,3i)
= − + + Bv 75i 50j 30k (0,3i)
=Bv zero
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
=  −
= − + + 
B
B
v ω (B A)
v 75i 50j 30k (0,3i)
= − + + Bv 75i 50j 30k (0,3i)
= −Bv zero 15k
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
=  −
= − + + 
B
B
v ω (B A)
v 75i 50j 30k (0,3i)
= − + + Bv 75i 50j 30k (0,3i)
= − +Bv zero 15k 9j
Exemplo de aplicação 3)
c) o vetor velocidade do ponto B ;
Colocando na ordem para escrever a resposta final:
Resposta c)
= −B
m
v 9j 15k
s
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (B –
A)
=  −Bv ω (B A)
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (B –
A)
Lembrando que:
=  −Bv ω (B A)
=  − + B Ba (B A) ω v
= +B tB nBa a a
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (B –
A)
Lembrando que:
=  −Bv ω (B A)
=  − + B Ba (B A) ω v
= +B tB nBa a a
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Lembrando que o vetor aceleração de um ponto girante é
genericamente calculado por
Como já utilizamos a opção , continuamos utilizando (B –
A)
Lembrando que:
Desenvolvemos então o cálculo separadamente das parcelas de
aceleração tangencial ( ) e normal ( ):
=  −Bv ω (B A)
=  − + B Ba (B A) ω v
= +B tB nBa a a
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração tangencial do ponto.
=  −
= − − 
tB
tB
a (B A)
a (300i 200j 120k) (0,3i)
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração tangencial do ponto.
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
=  −
= − − 
tB
tB
a (B A)
a (300i 200j 120k) (0,3i)
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração tangencial do ponto.
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
=  −
= − − 
tB
tB
a (B A)
a (300i 200j 120k) (0,3i)
= + −tBa zero 60k 36j
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração tangencial do ponto.
Como este produto vetorial é mais “curto” compensa mais resolver por
distributiva:
Assim:
=  −
= − − 
tB
tB
a (B A)
a (300i 200j 120k) (0,3i)
= + −tBa zero 60k 36j
= − +tB 2
m
a 36j 60k
s
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração normal do ponto.
= 
= − + +  −
nB B
nB
a v
a ( 75i 50j 30k) (9j 15k)
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração normal do ponto.
Este produto vetorial não é tão “curto”, mas ainda assim faremos por
distributiva:
= 
= − + +  −
nB B
nB
a v
a ( 75i 50j 30k) (9j 15k)
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração normal do ponto.
Este produto vetorial não é tão “curto”, mas ainda assim faremos por
distributiva:
= 
= − + +  −
nB B
nB
a v
a ( 75i 50j 30k) (9j 15k)
= − + − − − +nBa 675k zero 270i 1050j 750i zero
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Calculando a parcela de aceleração normal do ponto.
Este produto vetorial não é tão “curto”, mas ainda assim faremos por
distributiva:Assim:
= 
= − + +  −
nB B
nB
a v
a ( 75i 50j 30k) (9j 15k)
= − + − − − +nBa 675k zero 270i 1050j 750i zero
= − − −nB 2
m
a 1020i 1050j 675k
s
Exemplo de aplicação 3)
d) o vetor aceleração do ponto B ;
Por fim, devemos somar as duas parcelas de aceleração:
Somando termo a termo:
= +
= − + + − − −
B tB nB
B
a a a
a ( 36j 60k) ( 1020i 1050j 675k)
= − − −B 2
m
a 1020i 1086j 615k
s
Exercício para entrega 1-)
Semana 30/03 até 03/04
ATENÇÃO!
Os exercícios para entrega 1, 2 e 3 que seguem, deverão ser
desenvolvidos da seguinte maneira:
- Escolha um único exercício dentre os três apresentados;
- Resolva o exercício escolhido. O enunciado deve ser copiado e o
exercício deverá ser resolvido à mão;
- Quando as aulas retornarem, vocês entregarão este e os
exercícios das semanas seguintes ao seu professor.
Exercício para entrega 1-)
Semana 30/03 até 03/04
1-) O rotor de um motor elétrico encontra-se inicialmente em
repouso. Sete minutos após o motor ser ligado, o rotor gira com
frequência de 620 rpm. O movimento é uniformemente variado.
Qual o valor da aceleração angular do rotor?
Exercício para entrega 1-)
Semana 30/03 até 03/04
2-) O mecanismo ilustra uma correia que sincroniza o giro de duas
polias A e B de raios 0,0318m e 0,0191m respectivamente. A
correia está perfeitamente tensionada e desta forma não há
escorregamento entre a mesma e as polias. Durante um intervalo
de 3 segundos, a frequência de rotação da polia B aumenta
uniformemente de f0B=200rpm a f3B=380rpm. Calcular a
aceleração angular da polia A.
(Figura adaptada de BEER; JOHNSTON)
Exercício para entrega 1-)
Semana 30/03 até 03/04
3-) As placas ilustradas em anexo, estão soldadas ao eixo fixo AB.
O conjunto assim constituído, gira com velocidade angular
constante ω = 0,5 rad/s. A estrutura gira no sentido horário
quando é observada do ponto de vista de A. Calcular o vetor
velocidade angular do sólido em rad/s.