Cinemática da Rotação em Eixo Fixo

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Cinemática dos Sólidos
Cinemática Escalar da Rotação em 
Torno de Eixo Fixo
Prof. Dr. Fábio Sevegnani
Prof. Me. Umberto Ollitta Junior
Grandezas e equações cinemáticas
escalares do sólido girante
- θ, ω e α são grandezas do sólido girante e
consequentemente, todos os pontos compartilham estas
grandezas.
- Porém, cada ponto possui sua posição S, sua velocidade
v e sua aceleração a, que variam em função do raio.
- Analogamente à cinemática linear temos:
- S = posição linear → θ = coordenada angular (rad)
- v = velocidade linear → ω = velocidade angular (rad/s)
- at = aceleração tangencial → α = aceleração angular
(rad/s2)
Equações
Equações cinemáticas para o Movimento Uniforme (MU)
Movimento Uniforme 
Linear
Movimento Uniforme 
Angular
S = S0 + v.t θ = θ0 + ω.t
v = constante ω = constante
a = 0 α = 0
Equações
Equações cinemáticas para o Movimento
Uniformemente Variado (MUV)
Movimento Uniformemente 
Variado Linear
Movimento Uniformemente 
Variado Angular
S = S0 + v0.t + ½. a.t
2 θ = θ0 + ω0.t + ½. α.t
2
v = v0 + a.t ω = ω0 +α.t
a = constante α = constante
v2 = v0
2 + 2.a.ΔS
Equação de Torricelli
ω2 = ω0
2 + 2.α.Δθ
Equação de Torricelli
Equações
Equações que determinam as grandezas do ponto
girante:
S = θ . R
Onde:
S = posição linear do ponto (m)
θ = coordenada angular do sólido (rad)
v = ω . R
Onde:
v = velocidade linear do ponto (m/s)
ω = velocidade angular do sólido (rad/s)
Equações
Equações que determinam as grandezas do ponto
girante:
at = α . R
Onde:
at = aceleração tangencial do ponto (m/s
2)
α = aceleração angular do sólido (rad/s2)
Equações
Equações que determinam as grandezas do ponto
girante
A aceleração total de um ponto é a soma vetorial da parcela
tangencial e da parcela normal ou centrípeta. A soma algébrica
deve ser feita pela regra do paralelogramo.
Onde: anP = ω
2 . R
Só existirá a parcela de aceleração tangencial quando o sólido
estiver acelerando ou freando.
A parcela de aceleração normal ou centrípeta existirá sempre que
o sólido estiver em movimento.
R
atP
anP
aP
P
2 2 2
P tP nPa a a= +
2 2
P tP nPa a a= +
Equações
Quando dois corpos giram de forma sincronizada, ou seja, sem
escorregamento, os pontos de contato possuem a mesma
velocidade.
Exemplo: Engrenagens girando sincronizadas.
vPA = vPB = vPC
Sabendo que a velocidade de um
ponto girante é dada por: v = ω . R
ωA.RA = ωB.RB = ωC.RC
Conclusão:
Os corpos girantes de raios menores devem girar
proporcionalmente mais rápido para acompanhar os de maior
raio.
Equações
Relação entre ϴ e n
ϴ = 2.π.n
Onde: n = número de voltas
Relação entre ω e f
ω = 2.π.f
Onde: f = número de voltas por tempo (cuidar com a
unidade de tempo)
Exemplo de aplicação 1) – rotação 
em torno de eixo fixo escalar
O rotor do motor elétrico ilustrado tem frequência de 1.800 rpm
no instante em que é desligado. O rotor para após 70 segundos.
Uma pedra de esmeril de raio R = 25 cm gira acoplada ao rotor.
Sabendo que o movimento é uniformemente retardado, pedem-
se:
a) a aceleração angular do rotor;
b) o número de voltas desenvolvidas
até a parada do rotor;
c) a velocidade de um ponto
periférico da pedra de esmeril 20
segundos após o motor ser desligado.
Exemplo de aplicação 1)
Interpretando o enunciado, obtemos as seguintes informações:
“O rotor de um motor elétrico tem frequência de 1.800 rpm no
instante em que é desligado....”. Logo: f0 = 1800rpm;
“O rotor para após 70 segundos .... Sabendo que o movimento é
uniformemente retardado....”. Logo, o rotor está freando em
movimento uniformemente variado (M.U.V.) e ω = 0 após 70
segundos (parada).
A frequência de rotação inicial de 1.800 rpm nos leva ao cálculo da
velocidade angular inicial:
Exemplo de aplicação 1)
Construindo o esboço de um gráfico de modo a facilitar o
entendimento, temos:
Exemplo de aplicação 1)
Desenvolvimento:
a) α=? Dispomos de três equações para o MUV, que são:
(1ª)
(2ª)
(3ª)
O número de voltas (n→ Δθ) é incógnita e não será obtida neste
primeiro equacionamento.
Assim, para o cálculo de α só nos resta a segunda equação.
Resposta a)
Exemplo de aplicação 1)
Desenvolvimento:
b) n=?
O número de voltas não é obtido diretamente em uma equação
cinemática. A incógnita passa a ser a variação de coordenada
angular (Δθ).
Substituindo os valores na 3ª eq. (Eq. de Torricelli) temos:
Partindo da variação de coordenada angular calculamos então o
número de voltas.
Resposta b)
Exemplo de aplicação 1)
Desenvolvimento:
c) vP=? para t = 20s
Calculamos a velocidade angular do rotor para o instante 20
segundos.
Calculamos então a velocidade do ponto P no instante 20
segundos.
Resposta c)
Exemplo de aplicação 2) – rotação 
em torno de eixo fixo escalar
Um ventilador, parte do repouso e acelera uniformemente
atingindo frequência de rotação de 900 rpm em 200 voltas. Desse
instante em diante, a frequência permanece constante, de 900
rpm. Sabendo que R = 20 cm, calcular:
a) A aceleração angular (α).
b) O tempo necessário para que o
ventilador atinja a velocidade de regime.
c) A velocidade do ponto A,
10 segundos após o início do movimento.
d) A aceleração do ponto A,
10 segundos após o início do movimento.
e) O tempo necessário para que 400
voltas sejam dadas.
R
A
Exemplo de aplicação 2)
Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes
informações:
“Um ventilador, ..., parte do repouso...”. Logo: ;
“... e acelera uniformemente...”. Logo, o trecho de aceleração
ocorre em MUV.
“... atingindo frequência de rotação de 900 rpm em 200 voltas.
Desse instante em diante, a frequência permanece constante de
900 rpm, ou seja, o ventilador entra em regime.” Logo: f = 900 rpm
e n = 200 voltas.
0 0f 0 e ω 0= =
Exemplo de aplicação 2)
Antes de iniciarmos os cálculos do exercício, lembramos que a
frequência de rotação e o número de voltas não entram
diretamente nos cálculos. Devemos, portanto, calcular a
velocidade angular (ω) a partir da frequência (f), e a variação de
coordenada angular (ϴ), a partir do número de voltas (n). Assim:
Δθ n.2. Δθ 200.2. 1.256 rad=  =  =
2. .f 2. .900 rad
ω ω ω 94,2
60 60 s
 
= = =
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvendo um esboço de um gráfico para facilitar o
entendimento do exercício, temos:
M
.U
.V
.
M.U.
f (rpm)
900
t (s)t200
0
(rad/s)ω
94,2
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvimento:
a) α=? Dispomos de três equações para o MUV, que são:
(1ª)
(2ª)
(3ª)
Não é dada nenhuma informação de tempo no enunciado do
exercício. Dessa forma, para o cálculo da aceleração angular (α) só
nos resta a terceira equação (Equação de Torricelli). Substituindo
os valores e calculando, temos:
Resposta a)
2 2
0
2
2
ω ω 2. .Δθ
rad
94,2 0 2. .1256 3,53
s
= + 
= +   =
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvimento:
b) t 200 voltas = ?
Veja que a pergunta do item b é: “o tempo necessário para que o
ventilador atinja a velocidade de regime”. Observamos no gráfico
que a velocidade de regime é atingida ao final da volta número
200. Dessa forma, nossa incógnita passa a ser esta: (t 200 voltas).
Calculada a aceleração, podemos utilizar as outras equações para
o cálculo do tempo. Assim:
Resposta b)0
200voltas 200voltas
ω ω .t
94,2 0 3,53.t t 26,68s
= + 
= + =
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvimento:
c) vA (t=10s) = ?
Primeiramente devemos calcular velocidade angular para t = 10 s.
Assim:
Então calculamos a velocidade do ponto A, antes transformando o
raio para metros (R = 0,2 m):
Resposta c)
10 0 10
10 10
ω ω .t
rad
ω 0 3,53.10 ω 35,3
s
= + 
= + =
A(10) 10 A A(10) A(10)
m
v ω .R v 35,3 . 0,2 v 7,06
s
= = =
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvimento:
d) aA (t=10s) = ?
Calculamos a aceleração tangencial do ponto A (atA) e a aceleração
normal do ponto A(anA) separadamente. Assim:
Substituindo na equação a seguir, temos:
Resposta d)
tA A tA 2
2 2
nA 10 A 2
m
a .R a 3,53.0,2 0,706
s
m
a ω .R 35,3 .0,2 249,22
s
=  = =
= = =
2 2 2 2 2
A tA nA A A 2
m
a a a a (0,706) (249,22) a 249,22
s
= + = + =
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvimento:
e) t400voltas = ?
Devemos observar que, do total de 400 voltas, 200 serão
realizadas em MUV, e as 200 restantes serão desenvolvidas em
MU, conforme podemos verificar no gráfico.
M
.U
.V
.
M.U.
t (s)t200
0
(rad/s)ω
94,2
t400
Exemplo de aplicação 2)
Desenvolvimento:
Sabemos portanto que o tempo necessário para completar as 200
primeiras voltas foi de 26,68s. Devemos agora calcular o tempo
necessário para as 200 voltas restantes que serão realizadas em
MU Assim:
Então:
0θ θ ω.t
Δθ ω.t 1256 94,2.t t 13,33s
= +
= = =
400voltas 200voltas(MUV) 200voltas(MU) 400voltas
400voltas
t t t t 26,68 13,33
t 40,01s
= + = +
=
Resposta e)
Exemplo de aplicação 3) – rotação 
em torno de eixo fixo escalar
O mecanismo de três engrenagens é utilizado para transmissão de
movimento. A engrenagem A é acionada por um motor elétrico que
gira com frequência de rotação de 250 rpm constantes no sentido
horário. Sabendo que RA = 0,24 m, RB = 0,16 m e RC = 0,32 m,
calcular:
a) A velocidade angular de cada
uma das engrenagens.
b) A aceleração angular de cada
uma das engrenagens.
c) A velocidade de um ponto
periférico da engrenagem C.
d) A aceleração de um ponto periférico da engrenagem B.
e) O número de voltas realizadas por cada uma das engrenagens
num intervalo de 5 segundos.
Exemplo de aplicação 3)
Este exercício se baseia no conceito de corpos que giram de forma
sincronizada. O sincronismo de giro das engrenagens A, B e C se dá
pelo engrenar entre uma e outra. A engrenagem A é a engrenagem
motora do sistema, pois está acoplada ao motor elétrico e está
engrenada em B, transmitindo o movimento de rotação. A
engrenagem B, por sua vez, está engrenada em C.
Além disso, o sincronismo de giro entre as três engrenagens é
garantido pelo engrenamento perfeito entre elas que não permite
escorregamento entre os corpos girantes. Assim, o conceito
cinemático fundamental do exercício é de que como não há
escorregamento entre os corpos girantes, as velocidades dos pontos
de contato de uma engrenagem com a outra são iguais. Então as
velocidades dos pontos periféricos de cada uma das engrenagens são
iguais:
A B CP P P
v v v= =
Exemplo de aplicação 3)
Observe que os sentidos de rotação são inversos de uma
engrenagem para a outra. A engrenagem A gira no sentido
horário, a engrenagem B no anti-horário e a engrenagem C no
horário. Essa é uma característica cinemática de corpos que giram
sincronizados, por contato direto. Sempre ocorrerá a inversão de
sentido de rotação entre um e outro, em razão do ponto de
contato.
Exemplo de aplicação 3)
a)
Partindo do conceito fundamental já explicado e sabendo que a
velocidade de um ponto periférico é dada por:
Calculando ωA :
Substituindo os valores:
P sólido Pv ω .R=
A B CP P P
A A B B C C
v v v
ω .R ω .R ω .R
= =
= =
A
A A
2. .f 2. .250 rad
ω ω 26,17
60 60 s
 
= = =
B C26,17.0,24 ω .0,16 ω .0,32= =
B C
rad rad
ω 39,25 ω 19,63
s s
= =
Resposta a)
Resposta a)
A B Cω ?;ω ?;ω ?= = =
Exemplo de aplicação 3)
b)
Se
Então:
Todo o conjunto está em movimento uniforme
Resposta b)
A B C?; ?; ? =  =  =
A B Cω cte ω cte ω cte= = =
A B Czero zero zero =  =  =
Exemplo de aplicação 3)
c)
d)
Como a aceleração angular da engrenagem C é nula, a parcela de
aceleração tangencial (atPC ) também é nula. Então:
Resposta c)
CP
v ?=
C C CP C C P P
m
v ω .R v 19,63 . 0,32 v 6,28
s
= = =
CP
a ?=
C C
2 2
P tPa a= C C
2 2
nP Pa a+ C
2
nPa= C
2
Pa C
2
nPa=
C C
2
C C
2
P P 2
ω .R
m
a 19,63 . 0,32 a 123,31
s
=
= = Resposta d)
Exemplo de aplicação 3)
e)
Lembrando que partindo da velocidade periférica do ponto (vP) e
integrando chegamos à posição (S), temos:
Integrando, temos:
Como S = θ . R, temos:
Resposta e)
A B Cn ?;n ?;n ?= = =
A B CP P P
v v v= =
A B CP P P
S S S= =
A A B B C CΔθ .R Δθ .R Δθ .R= =
A A B B C Cn .2. .R n .2. .R n .2. .R =  =  A
n .2. A B.R n .2.=  B C.R n .2.=  C.R
A A B B C Cn .R n .R n .R= = B C20,84.0,24 n .0,16 n .0,32= =
B Cn 31,26voltas n 15,63voltas= =