Aula 7 - Condutores, Lei de Ohm, Dielétrico

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Eletromagnetismo I
Condutores, Lei de OHM e Dielétricos
Prof. Dr. Hugo Vasconcelos
Corrente e densidade de corrente
Cargas elétricas em movimento constituem uma corrente.
𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
que tem unidade em 𝑎𝑚𝑝è𝑟𝑒 (𝐴)
Apesar da condução em metais ocorrer pelo movimento de elétrons, a
corrente é definida como o movimento de cargas positivas.
Por isso, o conceito de densidade de corrente 𝐽 será mais útil.
A densidade de corrente é expressa como uma quantidade vetorial 𝐽 (𝐴/𝑚2)
está relacionado à corrente 𝐼 por
𝐼 = 
𝑆
 𝐽 ∙ 𝑑 𝑆
Corrente e densidade de corrente
Existem três tipos de densidade de corrente: convecção, condução e
dispersão.
Dado o vetor densidade de corrente
 𝐽 = 10𝑅2𝑧 𝑎𝑅 − 4𝑅𝑐𝑜𝑠
2𝜙 𝑎𝜙 𝑚𝐴/𝑚
2: 
Exemplo:
(a) Calcule a densidade de corrente em 𝑃 𝑅 = 3, 𝜙 = 30𝑜, 𝑧 = 2 ;
 𝐽 = 180 𝑎𝑅 − 9 𝑎𝜙 𝑚𝐴/𝑚
2
Dado o vetor densidade de corrente
 𝐽 = 10𝑅2𝑧 𝑎𝑅 − 4𝑅𝑐𝑜𝑠
2𝜙 𝑎𝜙 𝑚𝐴/𝑚
2: 
Exemplo:
(b) Determine a corrente total que flui para fora da faixa circular
𝑅 = 3; 0 < 𝜙 < 2𝜋; 2 < 𝑧 < 2,8.
𝐼 =
10𝑅3𝑧2
2
2
2,8
2𝜋 = 3257,2 𝐴
A densidade de corrente pode ser relacionada à velocidade da densidade
volumétrica de carga em um ponto.
Corrente e densidade de corrente
Δ𝐼 =
Δ𝑄
Δt
= 𝜌𝑣Δ𝑆
Δ𝑥
Δ𝑡
Quando tomamos o limite com relação ao tempo,
Corrente e densidade de corrente
Δ𝐼 = 𝜌𝑣Δ𝑆𝑢𝑥
𝑢𝑥 representa o componente em 𝑥 da velocidade 𝑢.
Considerando agora a densidade de corrente,
𝐽𝑥Δ𝑆 = 𝜌𝑣Δ𝑆𝑢𝑥 𝐽𝑥 = 𝜌𝑣𝑢𝑥
De um modo geral,
 𝐽 = 𝜌𝑣𝑢
Essa é a corrente de convecção e 𝐽 ou 𝜌 𝑣 é a densidade de corrente de
convecção.
Uma densidade de corrente é dada em coordenadas cilíndricas como
 𝐽 = −106𝑧1,5 𝑎𝑧 A/m
2 na região 0 ≤ 𝑅 ≤ 20 𝜇𝑚. Para 𝑅 ≥ 20 𝜇𝑚, 𝐽 = 0.
Exemplo:
(a) Calcule a corrente total que atravessa a superfície 𝑧 = 0,1 𝑚 na direção 𝑎𝑧.
𝐼 = −39,7 𝜇𝐴
(b) Se a velocidade da carga é 2 × 106 𝑚/𝑠 em 𝑧 = 1 𝑚, calcule 𝜌𝑣.
𝜌𝑣 = −15,81 𝑘𝐶/𝑚
2
Uma densidade de corrente é dada em coordenadas cilíndricas como
 𝐽 = −106𝑧1,5 𝑎𝑧 A/m
2 na região 0 ≤ 𝑅 ≤ 20 𝜇𝑚. Para 𝑅 ≥ 20 𝜇𝑚, 𝐽 = 0.
Exemplo:
(c) Se a densidade volumétrica de carga em 𝑧 = 0,15 𝑚 é −2000 𝐶/𝑚3,
calcule a velocidade da carga.
𝑢 = 29,047 𝑚/𝑠
Uma densidade de corrente é dada em coordenadas cilíndricas como
 𝐽 = −106𝑧1,5 𝑎𝑧 A/m
2 na região 0 ≤ 𝑅 ≤ 20 𝜇𝑚. Para 𝑅 ≥ 20 𝜇𝑚, 𝐽 = 0.
Exemplo:
Condutores metálicos
Condutores metálicos
Nos condutores, um elétron sob a influência de um campo elétrico
 𝐹 = −𝑒𝐸
A velocidade média atingida é chamada de velocidade de deriva ( 𝑣𝑑), e está
relacionada à intensidade do campo elétrico pela mobilidade dos elétrons (𝜇𝑒).
𝑢𝑑 = −𝜇𝑒𝐸
Material 𝝁 𝑚2/𝑉 ∙ 𝑠
Alumínio 0,0012
Cobre 0,0032
Prata 0,0056
Condutores metálicos
Fazendo a substituição da velocidade de deriva 𝑢𝑑 = −𝜇𝑒𝐸 em 𝐽 = 𝜌𝑣𝑢,
obtemos:
 𝐽 = 𝜌𝑣𝑢 =𝜌𝑒(−𝜇𝑒𝐸) = −𝜌𝑒𝜇𝑒𝐸
𝜌𝑒 é a densidade de carga de elétrons livres e 𝜇𝑒 é a mobilidade de elétrons.
A relação entre 𝐽 e 𝐸 para um condutor metálico, é também especificada pela
condutividade 𝜎,
 𝐽 = 𝜎𝐸 𝜎 = −𝜌𝑒𝜇𝑒
𝜎 é medido em siemens por metro 𝑆/𝑚 ,
1 𝑆 = 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒/𝑉𝑜𝑙𝑡
Material 𝝈 𝑺/𝒎 × 𝟏𝟎𝟕
Alumínio 3,82
Cobre 5,80
Prata 6,17
Calcule a intensidade da densidade de corrente em uma amostra
de prata para a qual 𝜎 = 6,17 × 107 𝑆/𝑚 e 𝜇𝑒 = 0,0056 𝑚
2/𝑉 se:
Exemplo
(a) A velocidade de deriva é 1,5 𝜇𝑚/𝑠;
𝐽 = 16,52 𝑘𝐴/𝑚2
(b) A intensidade do campo elétrico é 1 𝑚𝑉/𝑚.
𝐽 = 61,7 𝑘𝐴/𝑚2
Calcule a intensidade da densidade de corrente em uma amostra
de prata para a qual 𝜎 = 6,17 × 107 𝑆/𝑚 e 𝜇𝑒 = 0,0056 𝑚
2/𝑉 se:
Exemplo
Condutores metálicos
Uma diferença de potencial 𝑉𝑎𝑏 entre as duas extremidades do cilindro
estabelecerá uma intensidade de campo elétrico
𝐸 =
𝑉𝑎𝑏
𝐿
 𝑎𝑧
A densidade de corrente estará relacionada ao campo pela
forma pontual da lei de Ohm, 𝐽 = 𝜎𝐸
Como a corrente está associada à densidade de corrente por
 𝐽 = (𝐼/𝑆) 𝑎𝑧
A forma pontual da lei de Ohm se torna
𝐼
𝑆
= 𝜎
𝑉𝑎𝑏
𝐿
𝑅 =
𝑉𝑎𝑏
𝐼
=
1
𝜎
𝐿
𝑆
(c) A amostra é um cubo de 2,5 𝑚𝑚 de lado tendo uma tensão de 0,4 𝑚𝑉
entre as faces opostas.
Calcule a intensidade da densidade de corrente em uma amostra
de prata para a qual 𝜎 = 6,17 × 107 𝑆/𝑚 e 𝜇𝑒 = 0,0056 𝑚
2/𝑉 se:
Exemplo
(d) A amostra é um cubo de 2,5 𝑚𝑚 de lado conduzindo uma corrente total de
0,5 𝐴.
𝐽 = 80 𝑘𝐴/𝑚2
Calcule a intensidade da densidade de corrente em uma amostra
de prata para a qual 𝜎 = 6,17 × 107 𝑆/𝑚 e 𝜇𝑒 = 0,0056 𝑚
2/𝑉 se:
Exemplo
Dielétricos
Dizemos que o material está polarizado pelo campo elétrico, o que significa que
os dipolos são alinhados.
𝑃 = 𝜒𝑒𝜖0𝐸
O vetor polarização 𝑃 se alinha com o campo elétrico e 𝜒𝑒 é a susceptibilidade
elétrica do material.
A polarização cria um campo elétrico oposto
no interior do material, onde o efeito
resultante é uma diminuição do campo.
As linhas de fluxo permanecem as mesmas e
podemos relacionar a densidade de fluxo com
a polarização
𝐷 = 𝜖0𝐸 + 𝑃
Dielétricos
Combinando as duas equações,
𝐷 = 𝜖0𝐸 + 𝜒𝑒𝜖0𝐸 = 𝜖0 1 + 𝜒𝑒 𝐸 = 𝜖0𝜖𝑟𝐸 = 𝜖𝐸
onde 𝜖 é a permissividade do material relacionada à permissividade do espaço
livre pelo fator 𝜖𝑟, denominada permissividade relativa ou constante dielétrica.
𝜖𝑟 = 1 + 𝜒𝑒
Uma placa de material dielétrico tem uma constante dielétrica
relativa de 3,8 e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme de
8 𝑛𝐶/𝑚2. Se o material for sem perdas, calcule:
Exemplo
(a) 𝐸;
𝐸 = 237,88 𝑉/𝑚
(b) 𝑃;
Uma placa de material dielétrico tem uma constante dielétrica
relativa de 3,8 e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme de
8 𝑛𝐶/𝑚2. Se o material for sem perdas, calcule:
Exemplo
Condições de Fronteira
Queremos avaliar como os campos se comportam na fronteira entre um par de
dielétricos ou entre um dielétrico e um condutor.
 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑𝐿
+ 
𝑏
𝑐
𝐸 ∙ 𝑑𝐿
+ 
𝑐
𝑑
𝐸 ∙ 𝑑𝐿
+ 
𝑑
𝑎
𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 0
Calculamos uma integral de linha de 𝐸 ao redor de um caminho retangular
fechado,
Condições de Fronteira
 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 
0
Δ𝑤
𝐸𝑇1 𝑎𝑇 ∙ 𝑑𝐿 𝑎𝑇 = 𝐸𝑇1Δ𝑤
 
𝑏
𝑐
𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 
Δℎ/2
0
𝐸𝑁1 𝑎𝑁 ∙ 𝑑𝐿 𝑎𝑁 + 
0
−Δℎ/2
𝐸𝑁2 𝑎𝑁 ∙ 𝑑𝐿 𝑎𝑁 = − EN1 + EN2
Δh
2
 
𝑐
𝑑
𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 
Δ𝑤
0
𝐸𝑇2 𝑎𝑇 ∙ 𝑑𝐿 𝑎𝑇 = −𝐸𝑇2Δ𝑤
 
𝑑
𝑎
𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 
−Δℎ/2
0
𝐸𝑁2 𝑎𝑁 ∙ 𝑑𝐿 𝑎𝑁 + 
0
Δℎ/2
𝐸𝑁2 𝑎𝑁 ∙ 𝑑𝐿 𝑎𝑁 = EN1 + EN2
Δh
2
Condições de Fronteira
Somando os resultados para cada
segmento, vemos que as componentes
normais se cancelam e temos,
𝐸𝑇1 = 𝐸𝑇2
A componente tangencial da intensidade do campo elétrico tem que ser contínua
através da fronteira.
Podemos obter uma segunda condição de
fronteira pela aplicação da lei de Gauss,
 𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
 𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 = 
𝑇𝑜𝑝𝑜
𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 + 
𝐵𝑎𝑠𝑒
𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 + 
𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝐷 ∙ 𝑑 𝑆
O membro esquerdo da lei de Gauss se torna,
Condições de Fronteira
Fazendo a caixa pequena o
suficiente, um fluxo insignificante
passará através da lateral, nos
deixando apenas com o fluxo
através do topo e da base,
 
𝑇𝑜𝑝𝑜
𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐷𝑁1 𝑎𝑁 ∙ 𝑑𝑆 𝑎𝑁 = 𝐷𝑁1Δ𝑆
 
𝐵𝑎𝑠𝑒
𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐷𝑁2 𝑎𝑁 ∙ 𝑑𝑆(− 𝑎𝑁) = −𝐷𝑁2Δ𝑆
Condições de Fronteira
Somando as soluções anteriores,
𝐷𝑁1 − 𝐷𝑁2 Δ𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑠𝑑𝑆 = 𝜌𝑠Δ𝑆
O lado direito da lei de Gauss, a
carga envolvida, é
Assim chegamos a segunda condição de fronteira,
𝐷𝑁1 − 𝐷𝑁2 = 𝜌𝑠
Condições de Fronteira
A expressão geral para esta condição de fronteira:
 𝑎21 𝐷𝑁1 − 𝐷𝑁2 = 𝜌𝑠
onde 𝑎21 é o vetor unitário normal do meio 2 para o meio 1.
Condições de Fronteira
Exemplo Considere que o campo 𝐸1 seja conhecido para um dos dielétricos do par
mostrado na Figura e que queiramos determinar o campo 𝐸2 no outro dielétrico e também os
ângulos que os campos em cada dielétrico fazem com a normal à superfície.
𝐸1 = 3 𝑎𝑥 + 4 𝑎𝑦 + 5 𝑎𝑧 (𝑉/𝑚)
Exemplo Considere que o campo 𝐸1 seja conhecido para um dos dielétricos do par
mostrado na Figura e que queiramos determinar o campo 𝐸2 no outro dielétrico e também os
ângulos que os campos em cada dielétrico fazem com a normal à superfície.
𝐸1 = 3 𝑎𝑥 + 4 𝑎𝑦 + 5 𝑎𝑧 (𝑉/𝑚)
Bibliografia
HAYT JR, William H; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
8.ed. Porto Alegre: AMGH, 2003.