curso de vibrações - modulo V

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Vibrações Mecânicas
Universidade Federal de São João Del Rei
Departamento de engenharia mecânica
Vibrações Mecânicas
Prof. : Fabiano Bianchini Batista
Aula : Vibração não-amortecida e 
forçada harmonicamente para sistemas 
com 1 GDL: excitação pela massa
1. Introdução
� Vibração forçada: ocorre quando há uma força externa excitando
o sistema durante a vibração.
� O tipo de excitação externa depende da natureza da força
aplicada. Ela pode ser: periódica (harmônica ou não), não-periódica
(de curta ou longa duração e tendo uma forma definida), ou
aleatória;aleatória;
� Vibração forçada harmonicamente: quando a natureza da força de
excitação é harmônica. A resposta do sistema é uma resposta
harmônica.
� Exemplos de excitação harmônica: vibração produzida por uma
máquina rotativa desbalanceada, as oscilações de uma chaminé alta
provocada por emissão de vórtices (redemoinhos) sob vento
constante, movimento vertical de um automóvel sobre a superfície
senoidal de uma estrada.
Exemplos de tipos de forças de excitação:
1. Harmônica (senoidal) 2. Periódica arbitrária
3. Impacto 4. Não periódica e arbitrária
Se a natureza da força externa, F(t), é harmônica, a resposta também
será harmônica. Esta força pode ter as seguintes formas:
( ) ( )0 i tF t F e ω θ+=
( ) ( )cosF t F tω θ= +( ) ( )0 cosF t F tω θ= +
( ) ( )0senF t F tω θ= +
onde Fo é a amplitude da força, ω é a frequência de excitação, e θ é
o ângulo de fase da excitação (depende do valor de F(t) em t = 0),
geralmente considerado igual a 0.
2. Equação de movimento
Para um sistema massa-mola sob vibração forçada, a equação de
movimento pode ser obtida pela segunda lei de Newton:
ou
( ) ( ) ( )cosomx t kx t F tω+ =��
Equação diferencial não-homogênea
ou
Solução: ( ) ( ) ( )h px t x t x t= +
homogênea particular
Quando é válido o princípio da superposição: 
sistemas lineares
Equação diferencial homogênea( ) ( ) 0mx t kx t+ =��
Solução homogênea:
Vibração livre (ou natural) não amortecida
( ) ( ) ( )1 2cos senh n nx t C t C tω ω= +
frequência natural
C1 e C2: obtidos das condições iniciais
( ) ( )cosoF t F tω=
Solução particular:
( ) ( ) ( )cosomx t kx t F tω+ =��Equação do movimento:
(Força de excitação harmônica)
( ) ( )cosx t X tω= Também é harmônica e 
F(t)
Solução particular: ( ) ( )cospx t X tω= Também é harmônica e tem a mesma frequência ω
constante que representa a máxima amplitude de xp(t)
Derivando xp, tem-se: ( ) ( )2 cospx t X tω ω= −��
Substituindo na equação de movimento e resolvendo para X, tem-se:
( ) ( ) ( )2 cos cos cosom X t k X t F tω ω ω ω   − + =  
( ) ( ) ( )cosomx t kx t F tω+ =��
( ) ( )2ω ω ω − + =( ) ( )2cos cosoX t m k F tω ω ω − + = 
0
2
FX
k mω
=
−
e, portanto: ( ) ( )0 2 cosp Fx t tk m ωω= −
Solução total: ( ) ( ) ( )h px t x t x t= +
( ) ( ) ( ) ( )01 2 2cos sen cosn n Fx t C t C t tk mω ω ωω= + + −
Considerando as condições iniciais: x(t = 0) = x0 e ẋ(t = 0) = ẋ0,
obtém-se:obtém-se:
0
1 0 2
FC x
k mω
= −
−
0
2
n
xC
ω
=
�
e
Assim:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2cos sen cosn n
n
F x F
x t x t t t
k m k m
ω ω ω
ω ω ω
    
= − + +    
− −    
�
Exemplo de uma resposta total:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2cos sen cosn n
n
F x F
x t x t t t
k m k m
ω ω ω
ω ω ω
    
= − + +    
− −    
�
3 - Análise das respostas de acordo com ω e ωn
0 0 0 0
0
2 2 2 2 22
21 1 1 1
est
n
n n
F F F F
F k k k kX
k mk m
kk k
m
δ
ω ω ωω ω ω
ω ω ω
= = = = = =
−    
− − −
− −   
   
estδ : representa a deflexão da mola sob uma força F0 estática, por
isso é também conhecida como deflexão estática.isso é também conhecida como deflexão estática.
2
1
est
n
X δ
ω
ω
=
 
−  
 
2
1
1est
n
X
δ ω
ω
=
 
−  
 
est
X
δ
fator de amplificação (ou ampliação, ou coeficiente de
amplitude) - representa a razão entre a amplitude dinâmica e a
amplitude estática.
2
1
1est
X
rδ = −
n
r
ω
ω
=
razão de frequências - representa a razão entre a frequência de
excitação e a frequência natural.
2
1
1est
n
X
δ ω
ω
=
 
−  
 
2
1
1est
X
rδ = −
nω ω=
Através desta figura pode-se analisar os
seguintes tipos de resposta para o sistema:
nω ω>
nω ω<
Caso 1: 0 1
n
ω
ω
< <
Denominador 
positivo
2
1
1est
n
X
δ ω
ω
=
 
−  
 
nω ω>
A resposta harmônica xp está em 
fase com a força de excitação 
( ) ( )cospx t X tω=
E, a resposta total dada por:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2cos sen cosn n
n
F x F
x t x t t t
k m k m
ω ω ω
ω ω ω
    
= − + +    
− −    
�
pode também ser expressa como:
( ) ( ) ( )2cos cos
1
est
nx t A t t
δ
ω α ω
ω
ω
 
 
 
= − +  
  
−   
  ω ω>
A e α podem ser determinados pelas condições iniciais
nω
  
  
nω ω>
1 22 2f T
T
pi
ω pi pi
ω
= = ⇒ =
2
1
1est
n
X
δ ω
ω
=
 
−  
 
Denominador 
negativo
1
n
ω
ω
> nω ω<Caso 2:
2
1
est
n
X δ
ω
ω
=
 
− 
 
se
A resposta harmônica xp está defasada de 
180° com a força de excitação 
( ) ( )cospx t X tω= −
n
ω
ω
→∞ 0X →
A resposta harmônica xp em uma 
frequência muito alta é próxima de zero
n 
então
E, a resposta total dada por:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2cos sen cosn n
n
F x F
x t x t t t
k m k m
ω ω ω
ω ω ω
    
= − + +    
− −    
�
pode também ser expressa como:
( ) ( ) ( )2cos cosestnx t A t tδω α ω
ω
 
 
 
= − −  
  ω ω<
A e α podem ser determinados pelas condições iniciais
1
n
ω
ω
 
  
−  
  n
ω ω<
1
n
ω
ω
=Caso 3:
2
1
1est
n
X
δ ω
ω
=
 
−  
 
Denominador é nulo
X torna-se infinito
fenômeno conhecido como ressonância
e considerando um caso particular onde x0 = 0 e ẋ0 = 0 (por
Para a resposta total dada por:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2cos sen cosn n
n
F x F
x t x t t t
k m k m
ω ω ω
ω ω ω
    
= − + +    
− −    
�
Análise das respostas quando ω e ωn se aproximamCaso 4:
e considerando um caso particular onde x0 = 0 e ẋ0 = 0 (por
simplicidade e sem perda de generalidade), tem-se:
( ) ( ) ( )0 02 2cos cosnF Fx t t tk m k mω ωω ω
   
= − +   
− −   
Ou: ( ) ( ) ( )( )0 2 cos cos nFx t t tk m ω ωω
 
= − 
− 
( ) 0 22 sen sen2 2
n nFx t t t
k m
ω ω ω ω
ω
− +     
=      
−     
( ) 0 22 sen sen2 2
n nFx t t t
k m
ω ω ω ω
ω
− +     
=      
−     
Considerando:
e
0
0 0
F
F fm
k= =
nω ωε
−
= e 2 2 2
2 n
m
kk m
m
ω ω ωω
= =
− −
−
Obtém-se:
( ) ( )02 22 sen sen 2
n
n
f
x t t t
ω ω
ε
ω ω
  + 
=    
−   
2
ε =
Batimento
Fenômeno que ocorre quando a frequência forçante é próxima,
mas não exatamente igual, à frequência natural
Neste caso, pode escrever que:
2
nω ω ω
+
�
logo:logo:
( ) ( )02 22 sen sen 2
n
n
f
x t t t
ω ω
ε
ω ω
  + 
=    
−   
( ) ( )( ) ( ) ( )
02 sen sen
n n
f
x t t tε ω
ω ω ω ω
 
=   
− + 
( ) ( ) ( )0 sen sen
2
f
x t t tε ω
ωε
 
=  
 ( ) 22
n
n
ω ω
ε ω ω ε
−
= ⇒ − =
( ) ( ) ( )02 sen sen
2 2
f
x t t tε ω
ε ω
 
=  
 
Como ω >> ε, a curva sen(ωt) será modulada pela curva sen(εt)
(envelope), caracterizando acurva que representa o fenômeno
de batimento.
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0sen sen , onde e 22 n
f
x t t t f F mε ω ε ω ω
ωε
 
= = = − 
 
τb = 2pi/2ε = 2pi/(ωn-ω) : período de batimento (tempo entre dois pontos de amplitude zero, ou máxima).
ωb = (ωn-ω) : frequência de batimento
Ressonância
Verifica-se que quando:
nω ω→
tem-se que: ( ) 2 0nt tε ω ω = − → 
nω ω= 2
1
1est
n
X
δ ω
ω
=
 
−  
 
∞
Análise nos limites:
Logo: ( )sen t tε ε→
Assim:
( ) ( ) ( )0 sen sen
2
f
x t t tε ω
ωε
 
=  
 
( ) ( )0 sen
2
f
x t t tω
ω
 
=  
 
Fenômeno que caracteriza a
ressonância. A amplitude da
vibração cresce linearmente de
forma ilimitada
x(t)
0
Assim, o 
aumento de 
amplitude na 
ressonância não é 
instantâneo, mas 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0sen sen sen sen
2 2 2 2
est est n
n
n
f F k t
x t t t t t t t t
m m
δ δ ω
ω ω ω ω
ω ω ω
    
= = = =    
     
instantâneo, mas 
sim, é um 
aumento linear 
com o tempo. 
0.4
1.01
1.6
r
r
r
=
=
=