APS - Sinais e Sistemas circuito R_C

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Engenharia Elétrica
Aplicações da transformada de Laplace em um sistema de circuito elétrico R-C.
São Paulo
2019
APS-Aplicações da transformada de Laplace em um sistema de circuito elétrico R-C.
Resumo
O trabalho consiste em implementar o método da transformada de Laplace em um sistema operacional que pode ser usado com a vantagens para resolver sistemas de equações diferenciais lineares. Desta forma, a equação pode ser transformada em uma equação algébrica de uma variável complexa, cuja solução seja obtida pela anti-transformação em diversos sistemas que sejam eles: elétrico, hidráulico, mecânico etc. Aplicação utilizada para estudo desse método envolve um circuito de elétrico R-C podendo ser descritas diretamente em domínio de Laplace para obter a solução em domínio das frequências complexas e caso se necessário anti- transformar resultando em uma solução em domínio do tempo.
Palavras Chaves: Laplace, equação, domínio.
Sumário
1.Introdução.......................................................................................................................5
1.1 Definições de Transformada de Laplace..................................................................................5
1.2 Diagrama de Pólos e Zeros.......................................................................................................6
1.3 Transformada de Laplace de funções elementares...................................................................6
2. Circuito elétrico R – C...................................................................................................8
3. Conclusão.....................................................................................................................10
4.Referência Bibliográfica...............................................................................................11
1.Introdução
	
	O conteúdo usado para calcular a evolução de quaisquer sistemas em gerais são as ferramentas matemática de equação diferenciais. O objetivo da aplicação é encontrar uma equação para circuito elétrico e obter a análise do comportamento do sistema de controle que dispõe de componentes físicos conectados ou relacionado de maneira a comandar, dirigir dinamicamente ou regular ativamente. Para isso, deve-se resolver a equação diferencial podendo caracterizar determinado sistema e obter informações relevantes e prever os possíveis comportamentos do circuito há se estudado e onde transformada de Laplace é muito bem aplicada na análise da tensão de circuitos elétricos, cuja modelagem envolve este tipo de equação diferencial.
	
1.1 Definições de Transformada de Laplace
	A transformada de Laplace é de importância fundamental para a análise e projeto de sistemas em engenharia, é básica para a solução de problemas de valores iniciais que permite o uso da técnicas gráficas (diagrama de pólos e zeros) para prever o comportamento do sistema sem a necessidade de resolver explicitamente as equações diferenciais associadas, onde permite obter a componente transitória e como a de um regime permanente quando se resolve uma equação diferencial. 
Figura 1: Equação de Transformada de Laplace
Onde t designa uma variável real no domínio original e s = σ + jω indica uma variável complexa no domínio transformado (plano s; figura --) com j = √-1. O sinal (-) no limite inferior só será utilizado quando for necessário.
Figura 1: Plano Complexo S
1.2 Diagrama de Pólos e Zeros
	Antes de anti-transformar F(s) para obter f(t), pode-se estudar a função complexa F(s) no domínio transformado. Na análise de F(s) deve ser feita no plano s, os polos com (x) de F(s) são obtidos quando se anula o denominador e os zeros (0) são obtidos quando se anula o numerador. Desta forma, se F(s) for uma função do tipo: 
Então, zeros (0) F(s)=N(s)=0 e polos (X) F(s)=D(s)= 0
	Disposição dos polos da função transformada F(s) no diagrama de polos e zeros (plano s) permite o comportamento do sistema sem a necessidade de anti-transformar F(s),
1.3 Transformada de Laplace de funções elementares
	Note que a condição de existência para transformada de Laplace da função Heaviside implica na necessidade de s>0. O gráfico da função de Heaviside versus tempo e seu respectivo diagrama de polos e zeros abaixo.
Função de Heaviside ou de degrau unitário H(t):
Figura 2: Função de Heaviside
Figura 2: H(t) degrau unitário
Análise em domínio das frequências as etapas necessárias para a solução usando o método de Laplace, segue o quadro abaixo:
Figura 3: Etapas do método de Laplace
2. Circuito elétricos R-C
	Como o objetivo é relacionar uma implementação em um sistema real para que se aplica a transformada de Laplace no circuito elétrico resultando em uma equação diferencial. Por esse motivo vamos usar um circuito elétrico R-C e utilizando uma lei de conservação a fim de obter uma informação física (corrente, carga elétrica, etc). Os circuitos série são estudados através da lei das tensões (malhas), onde:
 = 
Os circuitos paralelos são analisados com a lei das correntes (nós) tal que:
Tabela 1: Relações entre tensão e corrente nos elementos simples nos domínios original e transformado:
 
Utilizando a informações anteriores para elaboração da equação resultante em domínio de Laplace, vamos fazer a análise de um circuito elétrico R-C série com o capacitor que está carregado com um carga q(0) = q0. Sabendo que o circuito está com interruptor em t=0 e a fonte de tensão v(t)= V0.H(t), aplicado ao circuito, iniciaremos a analise de diagrama de polos e zeros para corrente e seguiremos com a corrente i(t) e os gráficos v(t) x t e i(t) x t.
Pela análise da lei das tensões de Kirchhoff: 
Figura 4: Circuito R-C
 		(1)	
Aplicando a Transformada de Laplace à equação integral acima, temos:
	(2)
	 	(3)
Após a determinação da equação de Laplace, a análise de I(s) mostra que:
Zeros: não tem
Polos: s = -1/RC = (-1/RC,0) (com polos simples)
Figura 5: diagrama de polos e zeros para a corrente.
Usando a tabela anterior, 
A seguir, temos os gráficos de v(t) x t e i(t) x t
Figura 6: v(t) x t e i(t) x t
3. Conclusão
A motivação de usar o método de transformada de Laplace para a solução do circuito elétrico é proporcionar a maneira de reduzir um problema que envolvendo derivadas ou integral para um processo composto de multiplicação e divisão por polinômios na variável do domínio de transformada. Depois que a solução é obtida no domínio do transformada pode ser revertida para solução original pelo método da anti-transformada trazendo um caminho mais fácil para problema.
4. Referências bibliográficas:
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. 2. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2007. Disponível em Biblioteca Virtual Universitária
OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Ramid. Sinais e sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice-Hall, c2010. Disponível em Biblioteca Virtual Universitária
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno - 4ª edição. Pearson 800 ISBN 9788587918239. Disponível em Biblioteca Virtual Universitária.
PHILLIPS-HARBOR - Sistemas de Controle e Realimentação, ed. Markons books Disponível em Biblioteca Virtual Universitária.
Sestokas F., Bruno. Apostila de Cálculo aplicado a engenharia, 2. ed. 2001