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DETERMINANTES PROFESSOR: ESP. HÁLLYSSON DUARTE DETERMINANTE Quando nos referirmos ao determinante , isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A = [aij]. Det A ou |A| ou det [aij] Então det [ a ] = a det 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 = 𝑎11𝑎22 - 𝑎12𝑎21 Det 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 Propriedades: i) Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são nulos, det A = 0. ii) det A = det A`. Daí inferimos que as propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas. iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante. iv) Uma vez trocada de posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é zero. vi) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. vii) O det (A + B) ≠ det A + det B viii) O det (A * B) = det A * det B Exemplo: Calcule o determinante pelo Teorema de Laplace |A| = 1 −2 3 2 1 −1 −2 −1 2 Logo temos que Δ𝑖𝑗 = (-1)i+j Δ𝑖𝑗 (−2)Δ12+1Δ22 + (−1)Δ32 Logo o det = 5 Exemplo: B = 1 −2 3 2 1 −1 −2 −1 2 . (1) + L3 Exemplo: C = −1 2 3 −4 4 2 0 0 −1 2 2 5 −3 0 3 1 Multiplicar a coluna 2 por -4 e adicionar com a coluna 1 DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE Dada uma matriz A, lembramos que o cofator ∆𝑖𝑗 do elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz é −1 𝑖+𝑗 det 𝐴𝑖𝑗 , onde 𝐴𝑖𝑗 é a submatriz de A, obtida extraindo-se a i-ésima linha e a i-ésima coluna. Com esses cofatores podemos formar uma nova matriz A, denominada de Matriz dos cofatores de A. 𝐴 = [∆𝑖𝑗] Exemplo: A = 2 1 0 −3 1 4 1 6 5 ∆11= (−1) 1+1 1 4 6 5 = −19 ∆12= (−1) 1+2 −3 4 1 5 = 19, . . . 𝑒𝑡𝑐. Então, 𝐴 = −19 19 −19 −5 10 −11 4 −8 5 MATRIZ ADJUNTA Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de Matriz adjunta de A à transposta da matriz dos cofatores de A. adj A = 𝐴′ Adj A = −19 −5 4 19 10 −8 −19 −11 5 Teorema: A . 𝐴′ = A . (adj A) = (det A)𝐼𝑛 A . 𝐴′ = −19 0 0 0 −19 0 0 0 −19 = -19 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B talque A * B = B * A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n. Escrevemos A-1 para a inversa de A. Exemplo 1: Seja A = 2 3 1 4 . Então A-1 = 4 5 −3 5 −1 5 2 5 pois A . A-1 = In ou A-1 . A= In (verifique) Exemplo 2: Seja A = 6 2 11 4 determine a sua inversa. MATRIZ INVERSA Observações: i) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversível (Isto é, existem A-1 e B-1 ), então A . B é inversível e (AB)-1 = B-1 . A-1. ii) Se A é uma matriz quadra e existe uma matriz B tal que BA = I, Então A é a inversível, ou seja A-1 existe e, além disso B = A-1 . iii) Nem toda a matriz tem inversa Exemplo: A = 0 2 0 1 Suponhamos agora que Anxn tenha inversa, isto é, existe A -1 tal que A . A-1 = In . Usando o determinante temos det(A . A-1) = det A . det A-1 e det In Então: det A . det A-1 = 1 Suponhamos agora que Anxn tenha inversa, isto é, existe A -1 tal que A . A-1 = In . Usando o determinante temos det(A . A-1) = det A . det A-1 e det In Então: det A . det A-1 = 1 Teorema 1: Toda matriz A Mn satisfaz A * adjA = (detA) In Teorema 2: Toda matriz A Mn inversível satisfaz A -1 = 1 𝑑𝑒𝑡𝐴 . 𝑎𝑑𝑗𝐴 A regra de Cramer é um teorema em, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752). REGRA DE CRAMER GABRIEL CRAMER Grabriel Cramer - Filho do médico Jean Isaac Cramer, tinha dois irmãos. Em 1722 obteve na Universidade de Genebra o título de doutor por seu trabalho na área da acústica. Em 1724 tornou-se professor de matemática e de filosofia da Universidade de Genebra. Propôs apresentar as aulas não apenas em latim, como era normal na época, mas também em francês. DEFINIÇÃO No denominador o determinante da matriz dos coeficientes (det A ≠ 0), e no numerador aparece o determinante da matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes. Lembre-se que esse método somente se aplica a um sistema linear de n equações e n incógnitas e quando o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo. OBSERVAÇÃO: 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏𝟓 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎 𝟑𝒙 − 𝒛 = 𝟏 EXEMPLO: Solução: x = 2, y = -1 e z = 5 PERGUNTAS?
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