Gabarito - Sistemas Lineares - 2019-1 - P2

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CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Sistemas Lineares 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Sistemas Lineares 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
Gabarito – P2 (2019/1) 
 
Questões de múltipla escolha 
1 C 
2 C 
3 B 
4 C 
5 D 
 
 
Questão Discursiva nº 1 
 
Item (a): 
Os polos deste sistema são: 𝑧1 = 0,5 e 𝑧2 = 0,4. Como o sistema é causal e ambos os polos estão 
no interior do círculo unitário do plano complexo, então o sistema é estável. 
 
Item (b): 
Temos 
𝐻(𝑧) =
3𝑧−1
1 − 0,9𝑧−1 + 0,2𝑧−2
= 3𝑧−1 (
1
1 − 0,9𝑧−1 + 0,2𝑧−2
) = 
 
= 3𝑧−1 (
1
(1 − 0,5𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)
) = 3𝑧−1 (
𝐴
1 − 0,5𝑧−1
+
𝐵
1 − 0,4𝑧−1
) 
 
Resolvendo, por frações parciais: 
 
𝐴(1 − 0,4𝑧−1) + 𝐵(1 − 0,5𝑧−1) = 1 
 
{
𝐴 + 𝐵 = 1
0,4𝐴 + 0,5𝐵 = 0
⇒ {
𝐴 = 5
𝐵 = −4
 
 
Logo: 
 
𝐻(𝑧) =
15𝑧−1
1 − 0,5𝑧−1
−
12𝑧−1
1 − 0,4𝑧−1
 
 
A resposta ao impulso, portanto, é: 
 
𝒉[𝒏] = 𝟏𝟓(𝟎, 𝟓)𝒏−𝟏𝒖[𝒏 − 𝟏] − 𝟏𝟐(𝟎, 𝟒)𝒏−𝟏𝒖[𝒏 − 𝟏]. 
 
Item (c): 
A equação característica é: 𝑧2 − 0,9𝑧 + 0,2 = 0, de onde se tem: 𝑧1 = 0,5 e 𝑧2 = 0,4. 
 
Logo, 𝑦ℎ[𝑛] = 𝑘1(0,5)
𝑛 + 𝑘2(0,4)
𝑛. Pelas condições iniciais (𝒚𝒉[𝟎] = 𝟏 e 𝒚𝒉[−𝟏] = 𝟎), temos: 
 
{
𝑘1 + 𝑘2 = 1
2𝑘1 +
5
2
𝑘2 = 0
 ⇒ {
𝑘1 = 5
𝑘2 = −4
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Sistemas Lineares 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Sistemas Lineares 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
Portanto: 
 
𝒚𝒉[𝒏] = 𝟓. (𝟎, 𝟓)
𝒏 − 𝟒. (𝟎, 𝟒)𝒏. 
 
 
Questão Discursiva nº 2 (itens (a) e (b)) 
 
Item (a): 
As equações de estado são: 
 
𝑞1[𝑛 + 1] = 0,5𝑞1[𝑛] + 𝑞2[𝑛] + 0,1𝑥[𝑛] 
𝑞2[𝑛 + 1] = 0,2𝑞1[𝑛] 
𝑦[𝑛] = 𝑞1[𝑛] + 𝑥[𝑛] 
 
Iterando-as até 𝑛 = 3: 
 
𝑛 𝑞1[𝑛] 𝑞2[𝑛] 𝑥[𝑛] 𝑦[𝑛] 
0 0 0 1 1 
1 0,1 0 1 1,1 
2 0,15 0,02 1 1,15 
3 0,195 0,03 1 1,195 
 
Item (b): 
Temos 𝑧𝐼 − 𝐴 = [
𝑧 0
0 𝑧
] − [
0,5 1
0,2 0
] = [
𝑧 − 0,5 −1
−0,2 𝑧
]. Portanto, se det(𝑧𝐼 − 𝐴) = 0, temos: 
 
(𝑧 − 0,5)𝑧 − 0,2 = 0 ⇒ 𝑧2 − 0,5𝑧 − 0,2 = 0 ⇒ 𝑧1 ≅ 0,7623 𝑒 𝑧2 = −0,2623. 
 
Como |𝑧1|, |𝑧2| < 1, o sistema é estável.