Movimento circular uniformemente variado

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Física 
 
 
 
 
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE 
VARIADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................................................2 
Objetivos ..........................................................................................................................................2 
Conceitos .........................................................................................................................................2 
Movimento retilíneo uniformemente variado .............................................................................2 
Movimento circular uniformemente variado ..............................................................................3 
Exercícios .........................................................................................................................................5 
Gabarito ...........................................................................................................................................5 
Resumo ............................................................................................................................................6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 
Nesta aula, iremos dar prosseguimento aos nossos estudos sobre movimento 
circular. Dessa vez, iremos nos aprofundar no movimento circular uniformemente 
variado (MCUV), por meio de alguns exemplos práticos e com a resolução de alguns 
exercícios ao final da apostila. 
 
Objetivos 
 
• Discutir movimento circular uniformemente variado 
• Abordar a diferença entre MCU e MCUV 
• Resolver problemas envolvendo MCUV 
 
Conceitos 
 
Vimos anteriormente que movimento circular e uniforme é aquele no qual não 
existe aceleração tangencial. Diferente disso, o MCUV acontece quando existe a 
presença de tal aceleração, alterando o módulo da velocidade angular do objeto em 
movimento. Veremos que existe uma grande ligação entre o movimento retilíneo 
uniformemente variado e o movimento circular e uniformemente variado. 
 
Movimento retilíneo uniformemente variado 
 
O MRUV é um movimento em linha reta onde existe a presença de aceleração, 
alterando a velocidade à medida que o deslocamento acontece. Os principais 
parâmetros e suas expressões matemáticas são: 
 
Aceleração 
 
v
a
t

=

 
 
Cuja unidade no SI é m/s² 
 
Velocidade 
 
0v v at= +
 
 
 
3 
 
Sendo V0 a velocidade inicial e a unidade de v no SI m/s. Também podemos encontrar 
a velocidade a partir do espaço: 
 
2
0 2v v a s= + 
 
 
Onde 
s
é o espaço percorrido pelo movimento. 
 
Espaço 
 
2
0 0
1
2
s s v t at= + +
 
 
Sendo a unidade de espaço no SI o metro. 
 
Movimento circular uniformemente variado 
 
Semelhante ao MRUV, o MCUV possui aceleração angular juntamente com 
aceleração centrípeta. Isso causa uma alteração não só na direção da velocidade 
vetorial, mas também no seu módulo, podendo estar aumentando ou diminuindo 
dependendo do sinal da aceleração. A seguir, iremos aprender as expressões 
matemáticas para o cálculo de suas grandezas, comparando-as com as expressões 
para o MRUV. 
 
Aceleração 
 
MRUV MCUV 
v
a
t

=

 
m
t



=

 
 
Onde 

 é a velocidade angular e 
m
 a aceleração angular média. A relação entre a 
aceleração escalar e a aceleração angular é: 
 
a R = 
 
 
Sendo que a unidade de medida a aceleração angular passa a ser rad/s². 
 
Velocidade 
 
MRUV MCUV 
 
4 
 
0v v at= +
 
Ou 
2
0 2v v a s= + 
 
0 t  = + 
 
Ou 
2 2
0 2   = + 
 
 
Onde 

 é o espaço angular percorrido no movimento circular. 
 
Espaço 
 
 
MRUV MCUV 
2
0 0
1
2
s s v t at= + +
 
2
0 0
1
2
t t   = +  + 
 
 
Sendo a unidade de 

 no sistema internacional medida em rad. 
 
A partir das equações acima, podemos perceber a equivalência entre elas. A 
distância, velocidade linear e aceleração nas equações de MRUV são substituídas pelo 
ângulo percorrido, velocidade angular e aceleração angular nas equações para MCUV. 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um “motorzinho” de dentista gira com frequência de 2000 Hz 
até a broca de raio 2 mm encostar no dente do paciente, 
quando após 1,5 s, passa a ter frequência de 500 Hz. 
Determine o módulo da aceleração escalar média neste 
intervalo de tempo. 
 
Como temos todos os valores menos a aceleração, basta 
utilizarmos a fórmula da velocidade angular: 
0
2
2 500 2 2000 1,5
1,5 3000
2000 rad/s
t  
  
 
 
= + 
 = + 
= −
= −
 
 
Utilizando a relação entre velocidade angular e escalar, 
temos: 
2
2000 0,002
4 m/s
a R
a
a



= 
= − 
= −
 
 
5 
 
Exercícios 
 
1. Determine o valor da aceleração centrípeta, sabendo que o carro faz a trajetória 
circular com uma velocidade escalar constante igual 20,0 m/s e o raio da trajetória 
é igual a 100 m. 
 
2. A velocidade angular de um móvel em trajetória circular é diminuída de 30.π rad/s 
para 20. π rad/s em um intervalo de tempo igual à 2s. Sabendo que o raio do círculo 
mede 0,5m e o movimento é uniformemente variado; determine a aceleração 
escalar deste móvel. 
 
3. O gráfico a seguir representa a velocidade angular, em função do tempo, de uma 
polia que gira ao redor de um eixo. 
 
 
 
Com base nas informações contidas no gráfico, determine a aceleração angular 
desta polia e a quantidade de volta que ela dá no intervalo de tempo entre 0 e 40s. 
 
Gabarito 
 
1. Sabendo da velocidade e do raio, podemos utilizar a fórmula da aceleração 
centrípeta para encontrá-la, bastando apenas substituir os valores. 2
2
2
20
100
4 m/s
c
c
c
v
a
R
a
a
=
=
=
 
 
Portanto, a aceleração centrípeta será 4 m/s². 
 
 
6 
 
2. Primeiramente, devemos utilizar a fórmula da velocidade angular para 
encontrarmos a aceleração angular. Portanto: 
0
20 30 2
2 10
5 rad/s
t  
  
 
 
= +
=  + 
= −
= −
 
Agora, usando da relação entre velocidade angular e linear, temos: 
2
5 0,5
2,5 m/s
a R
a
a
= 
= − 
= −
 
 
Portanto, a aceleração linear é 2,5 m/s². 
 
 
3. Do gráfico, temos a velocidade inicial e a final em um tempo t (que 
escolheremos t =40). Portanto: 
0
2
80 0 40
80
40
2 rad/s
t  
 
 
 
= +
= + 
=
=
 
Agora, utilizaremos a fórmula do deslocamento, tal que teremos: 
2
0 0
2
1
2
1
0 40 2 40
2
1600 rad
t t   
 
 
= + + 
= + − + 
=
 
Dividindo o resultado por 
2
, temos que o número de voltar foi de 800. 
 
Resumo 
 
Movimento retilíneo uniformemente variado 
O MRUV é um movimento em linha reta onde existe a presença de aceleração, 
alterando a velocidade à medida que o deslocamento acontece. 
 
Aceleração: 
v
a
t

=

 
 
7 
 
Velocidade: 
0v v at= +
 ou 
2
0 2v v a s= + 
 
Espaço: 
2
0 0
1
2
s s v t at= + +
 
 
Movimento circular uniformemente variado 
MCUV é um movimento circular com aceleração tangencial constante e 
velocidade tangencial variável, juntamente com aceleração angularconstante e 
aceleração tangencial possivelmente variada. 
Aceleração angular média: 
m
t



=

 
Velocidade angular média: 
0 t  = + 
 ou 
2 2
0 2   = + 
 
Espaço angular médio: 
2
0 0
1
2
t t   = +  + 