Exercícios de Econometria I

Prévia do material em texto

Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2018
Lista de Exercícios 2
Questão 1
Considere o modelo
ln(crimes) = β1 + β2ln(matricula) + εi
que relaciona o número anual de crimes em um campus universitário (crimes)
ao número de estudantes matriculados (matricula).
a) Qual o sinal esperado de β2?
b) Qual a interpretação para o comportamento de β2?
c) Teste: H0 : β2 = 1 contra Ha : β2 > 1 a nível de significância de 5%
usando o seguinte resultado (erros padrões entre parênteses):
ln(crimes) = −6, 6
(1,03)
+ 1, 3
(0,11)
ln(matricula) n = 200
d) Podemos usar o resultado de (c) para inferir que o crime é um problema
maior em campus maiores?
Questão 2
Suponha que queiramos estimar o modelo
Yi = β1 + β2Xi + �i
Usando n observações, encontramos o seguinte modelo
Yi = βˆ1 + βˆ2Xi
Justifique, com uma breve prova, se as seguintes assertivas são verdadeiras
ou falsas.
a)
∑n
i=1
(
Yi −
_
Y
)2
<
∑n
i=1(βˆ1 + βˆ2Xi −
_
Y )2
b)
∑n
i=1
ˆ
Y i =
∑n
i=1 Yi
c)
∑n
i=1
ˆ
Y iXi =
∑n
i=1 YiXi
d) Estimando o modelo Yi + 1 = α1 + α2Xi + ui leva a um αˆ2 �= βˆ2 do
modelo descrito acima.
1
Questão 3
Considere o seguinte modelo de regressão, onde tanto X quanto Y não
assumem valores nulos.
1
Yi
= β1 + β2
1
Xi
+ ui
a) É um modelo de regressão linear?
b) Qual o comportamento de Y quando X tende a infinito?
c) Forneça a expressão dos estimadores de M.Q.O. de β1 e β2.
Questão 4
Suponha que você tenha yi = α + βxi + εi onde yi é o salário de alguém
recém-graduado e xi é o salário conseguido por ele em seu útlimo estágio antes
de graduar-se. Nossa amostra contém 100 graduados. Também admitimos que
εi˜N
(
0, σ2
)
e que εi e xi são independentes para cada (i, j) em {1, ..., n}
2.
Queremos estimar o intercepto e a inclinação de M.Q.O.e então testar:
i.)se existe uma relação linear entre o salário de estagiário e o salário de
graduado. β = 0?
ii) se existe um intercepto ou não.α = 0?
Para responder as seguintes questões, você sabe que:∑
yi = 700.000
∑
xi = 200.000
∑
xiyi = 130.000.000
a) Dê a fórmula dos estimadores de M.Q.O.da inclinação e do intercepto
(não precisa provar)
b) Prove que a distribuição de αˆ, βˆ dado (x1, ..., xn) segue uma distribuição
normal.
c) Qual a média e variância de cada um deles?
d) Suponha que σ2 = 25 é dado. Dê um intervalo de 5% de confiança para
α e β.
e) Faça um teste de α = 0 contra α �= 0 com um nível de 5%. Rejeitamos
ou aceitamos α = 0?
f) Faça um teste de β = 0 contra β �= 0 com um nível de 5%. Rejeitamos ou
aceitamos β = 0?
Questão 5
Suponha que a relação entre yi , custo para uma firma e xi, razão entre o
preço previsto e o atual tem a seguinte forma:
yi = x
2
i + 1+ θi
2
Temos uma amostra de 300 firmas, com
∑
x2i ,
∑
yixi = 160. Também
admitimos que θi ∼ N
(
0, σ2
)
e que E [θi|xi] = 0. Mas um econometrista
descuidado usou a regressão de yi em xi sem o intercepto, ou seja, ele usou
yi = βxi + εi.
a) Encontre o estimador βˆ de M.Q.O. que esse econometrista encontraria.
b) Dado xi, qual deveria ser o valor estimado (previsto) de yˆdi (d de des-
cuidado) que esse econometrista encontraria?
c) Se o modelo do econometrista fosse verdadeiro, qual seria o erro yi− yˆdi e
qual seria sua esperança condicional em xi.
d) Encontre o valor verdadeiro do erro sistêmico yi − yˆdi , que é a diferença
do verdadeiro valor do custo yi e o que o econometrista previria dado xi.
e) Qual a esperança do erro sistêmico dado xi?
f) Prove que essa esperança condicional é positiva, seja qual for o valor de
xi. Compare com sua resposta em (c).
Suponha agora que o econometrista ache que o verdadeiro modelo seja:
yi = β0 + β1x
2
i + θi
g) Item extra: Se ele utilizasse os estimadores de M.Q.O., βˆ1 seria um es-
timador não viesado de β? Se não for, então dê uma hipótese suficiente para
torná-lo não viesado.
3