A matemática hindu (1)

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A matemática hindu
Bárbara Stowner dos Santos
O século V marca o fim da matemática grega em sua forma clássica.1
Nos quatrocentos anos seguintes, aproximadamente, a Europa e o norte da África viram bem pouca atividade matemática.
Na Europa Ocidental, no norte da África e no Oriente Médio, a invasão dos bárbaros fragmentou o Império Romano. As condições sociais resultantes não favoreciam a atividade intelectual.
O Império Romano do Oriente ainda era forte e muito sujeito à influência da cultura grega, os estudiosos de Bizâncio2(Cidade da Grécia Antiga, atual Istambul) preservaram cópias dos manuscritos matemáticos antigos, mas só ocasionalmente alguém mostrava interesse real por seu conteúdo.
O advento do Islã no sétimo século, atacando e conquistando todo o norte da África, a maior parte do Oriente Médio e partes da Europa Ocidental. Foi só depois de o Império Islâmico começar a se estabilizar politicamente que as boas condições para a pesquisa matemática puderam ser encontradas.
Condições para o desenvolvimento matemático
1*Em meados séc V, para concentrar-se na defesa da península italíca, Roma retirou-se da Britania, como era então denominada a região da inglaterra. Bárbaros germanicos invadiram as ilhas e delas varreram a cultura greco-romana que ali durara cinco séculos. A Gália, que fora conquistada por César entre 58 e 51a.c., também foi perdida: em 486, Clóvis, chefe dos francos, destituiu o ultimo governador provincial e proclamou-se rei da região. Na peninsula ibérica, barbaros visigodos, alanos, suevos e vândalos puseram fim a multissecular presença romana e o território voltou ao primitivismo. com a própria Roma em mão bárbaras, apenas o império romano do oriente, liderado por constantinopla, manteve a chama da cultura classica.
2*Bizâncio foi uma cidade da Grécia Antiga, fundada por colonos gregos em 658 a.C., A cidade veio a se tornar o centro do Império Bizantino, a parte oriental do Império Romano que falava o idioma grego, da Antiguidade tardia até a Idade Média, sob o nome de Constantinopla. Foi conquistada pelos turcos otomanos, em 1453, e passou a fazer parte do Império Otomano; em 1930 seu nome foi mudado novamente, e passou a se chamar Istambul.
Durante esse período apagado na Europa e norte da África, a tradição matemática na Índia cresceu e floresceu. 
Há um pequeno número de matemáticos hindus cujo nome sabemos e cujos textos podemos estudar. O mais antigo é Aryabhata, que produziu seu trabalho matemático no começo do século VI d.C. No século VII, os mais importantes matemáticos são Brahmagupta e Bhaskara, que estão entre os primeiros a reconhecer e trabalhar com números negativos. 
Provavelmente, o mais importante matemático da Índia medial foi outro Bhaskara, que viveu no século XII (para distinguir entre eles, muitos historiadores falam em Bhaskara I e II).
Em quase todos os casos, os textos matemáticos disponíveis são parte de livros mais extensos sobre astronomia.
Equanto isso, na Índia...
Durante esse período apagado na Europa e norte da África, a tradição matemática na Índia cresceu e floresceu (quando a matemática grega começava a se desenvolver já havia uma tradição matemática na Índia, é provável que tenha recebido alguma influência de astrônomos babilônios). 
Mohejo Daro.
Sistema posicional de numeração na base dez.
A numeração, que chamamos em geral de hindu, é apenas uma combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga: 1)base decimal; 2)notação posicional; e 3)uma forma cifrada para cada um dos dez numerais. Nenhum desses se deveu originalmente aos hindus, mas foi devido a eles que os três foram ligados pela primeira vez para formar o sistema moderno de numeração.
Por volta de 3000 a.C., quando os egípcios e sumérios construíam as bases de suas civilizações, um povo igualmente desenvolvido habitou o norte da India, em Mohejo Daro. Suas cidades dispunham de ruas pavimentedas, redes de água e esgoto, piscinas públicas e banheiros nas residências. Os campos eram irrigados, uma escrita própria fora criada e um intenso comércio estimulava a economia da região. Mas, perto de 2000 a.C., tribos indo-européias da ásia central, os arianos, invadiram o norte da India e destruíram a civilização de Mohejo Daro.
Espalhando-se pela India, os arianos contruíram uma civilização avançada na filosofia, artes e nas ciências mas que, também, dividiu-se em um odioso sistema de castas que perdura até hoje.
Mais tarde a India foi invadida pelos persas, depois pelos Macedônios de Alexandre, e os estrangeiros sempre trouxeram calguma contribuição cultural e cientifica.
A mais famosa invenção matemática na Índia é seu sistema de numeração decimal. De um sistema anterior, eles conservaram nove símbolos, para os números de 1 a 9. Introduziram o valor por posição e criaram um símbolo, um ponto ou pequeno circulo para denotar um lugar vazio. O resultado foi o sistema de numeração que usamos ainda hoje.
A história desse passo tão marcante é ainda obscura. Parece provável que tenha havido alguma influencia da China, onde um ábaco decimal era usado.
Sistema de numeração chinês no séc III a.c.
Por volta do ano 600 os matemáticos da Índia estavam usando um sistema com valores posicionais baseado em potência de dez. Também tinham desenvolvido métodos para fazer aritmética com tais números.
Os matemáticos Hindus dedicaram uma parte de suas obras para explicar o sistema decimal e dar regras para cálculos. A conveniência do novo sistema parece ter sido um poderoso argumento a seu favor, e ele se espalhou rapidamente para outros países.
Um manuscrito escrito na Síria em 622 menciona esse novo método de cálculo. Há evidencia de que o sistema estava em uso no Camboja e na China algum tempo depois. Pelo nono século, o novo sistema de numeração era conhecido em Bagdá, e de lá foi transmitido para a Europa.
Trigonometria: da “corda” para o “seno”
A trigonometria grega usava a noção de “corda“ de um ângulo. A um ângulo central β em um círculo, ligava-se o segmento de reta determinado pelas interseções do ângulo com o círculo. Este era chamado a corda de β, porem em muitos casos o segmento certo a considerar não é a corda, mas sim, a metade da corda do dobro do ângulo. Assim os matemáticos da Índia deram a esse segmento o nome de “meia-corda”. Esse nome foi traduzido para o latim (passando pelo árabe) erroneamente como “sinus”, dando origem ao nome seno. 
A passagem de corda a seno tornou a trigonometria muito mais simples do que antes.
Da Índia veio também uma importante contribuição para a trigonometria. Os astrônomos gregos inventaram a trigonometria para ajuda-los a descrever os movimentos dos planetas e astros. Os astrônomos da Índia provavelmente aprenderam essa teoria de Hiparco, um predecessor de Ptolomeu.
Aryabhata, por exemplo, trabalhou com um círculo de raio 3.438 para construir uma tabela de senos (por que 3.438? Porque ele queria que a circunferência do círculo estivesse tão perto quanto possível de 21.600 = 360 x 60. Isso faria uma unidade de comprimento no circulo corresponder a um minuto de arco). Para cada ângulo, a tabela dava o comprimento do seno desse ângulo, isto é, de certo segmento de reta relacionado com esse círculo. Assim, o seno de 90 graus era dado como 3.438. Para aplicar a tabela a um circulo com raio diferente, usava-se proporcionalidade para ajustar os valores.
Aryabhata (476 d.C.)
Sua Obra mais conhecida Aryabhatiya é um pequeno volume escrito em verso, sobre astronomia e matemática.
Aryabhatiya x Os Elementos.
Um terço da obra é sobre matemática. 
Nomeia as potência de dez até a décima.
Dá instruções quanto a raízes quadradas e cúbicas de inteiros.
Contém regras de mensuração (a metade delas estava errada): A área do triangulo é dada corretamente como a matade do produto da base pela altura, mas também o volume da pirâmide é dado equivocadamente pela mesma regra. A área do círculo é dada corretamente como produto da circunferência pela metade do raio, mas o volume da esfera é incorretamente dado. Ladoa lado aprecem regras corretas e incorretas.
Progressão aritmética: contém regras para achar a soma dos termos da P.A, e determinar o número de termos, dados o primeiro termo, a razão e a soma dos termos.
Regra de Três.
Juros composto.
Os nomes de vários matemáticos hindus anteriores são conhecidas, mas nada de sua obra. quanto a isso a posição de Aryabhatiya de Ariabhata na india é semelhante à de Os elementos de Euclides na grécia, cerca de oito séculos antes.
Ambos são sumários de resultados anteriores, compilados por um unico autor.
Os elementos é uma sintese bem ordenada de matematica pura, com alto grau de abstração, uma estrutura lógica clara e uma evidente intenção pedagógica.
Já o Aryabhatiya é uma cuta obra descritiva, em 123 estrofes metrificadas, destinadas a fornecer regras de calculo usadas na astronomia e na matematica, sem nenhum espirito lógico ou metologiua dedutiva.
Brahmagupta
Viveu por volta do ano 630. Escreveu sobre Astronomia, Aritmética, Álgebra e Geometria e deixou para posteridade um importante teorema sobre os quadriláteros incritíveis, que celebrizou seu nome. Tal teorema, generalização da fórmula de Herão, diz que, se a, b, c, e d são os lados de uma quadrilátero inscritível e se p= (a+b+c+d), então a área s do quadrilátero é dada pela expressão:
	S = 
A aritmética sistematizada dos números negativos e do zero, Encontra-se pela primeira vez em sua obra. Embora os gregos já tivessem um conceito do nada, eles nunca interpretaram como um número, como fizeram os hindus. No entanto, Brahmagupta equivocou-se ao afirmar que 0÷0=0
Um aspecto interessante é que, os hindus, diferentemente dos gregos, consideravam as raízes irracionais dos números como números. Isso era de enorme utilidade na álgebra, e os matemáticos indianos têm sido muito elogiados por terem dado este passo; mas é preciso lembrar que a contribuição hindu neste caso foi resultado de inocência lógica mais do que visão matemática.
Brahmagupta foi o primeiro a dar uma solução geral1 da equação linear diofantina ax+by=c, onde a, b e c saõ inteiros.
Para que essa equação tenha soluções inteiras, o máximo divisor comum de a e b deve dividir c; e brahmagupta sabia que se a e b são primos entre si, todas as soluções da equação são dadas por x=p+mb, y=q-ma, onde m é um inteiro arbitrário.Ele sugeriu também a equação diofantina quadrática x2=1+py2, que erradamente é creditada a Jonh Pell (1611-1685) mas que aparece pa primeira vez no problema do gado de Arquimedes.
Curiosamente, a equação de Pell foi resolvida para alguns casos pelo conterrâneo de Brahmagupta, Bhaskara (1114 a cerca de 1185).
1O próprio Diofante só deu uma solução particular de uma equação indeterminada.
Mahavira 850 d.c.
Depois de Brahmagupta, a matemática da índia passou por quase dois séculos de estagnação, somente vindo a surgir ali outro nome de importância por volta do ano 850, com Mahavira, que escreveu sobre Aritmética, Álgebra e Geometria. A estas alturas, a cultura árabe já florescia e a matemática hindu passou a fluir para o resto do mundo, levada por mercadores e sábios do Islã.
Bhaskara (1114 a cerca de 1185)
O mais importante matemático do século doze. Foi ele quem preencheu alhumas lacunas da obra de Brahmagupta, dando uma solução geral da equação de Pell e considerando o problema da divisão por zero.
Na obra Vija-Ganita de Bhaskara que achamos pela primeira vez a afirmação de que o quociente da divisão por zero é infito.
Foi também o último matemático mediaeval importante da Índia, e sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores.
Em seu tratado mais conhecido, o Lilavati*, que compilava os problemas de Brahmagupta e outros, acrescentando observações próprias novas.
*Segundo Fyzi, poeta da corte do imperador mogul Akbar, conta que Lilavati ra filha de bhaskara. Ela estava em idade de casar, por isso bhaskara calculou seu horóscopo para descobrir a data mais propícia para o casamento (até depois do renascimento, muitos matemáticos ganhavam a vida fazendo horóscopos). Bhaskara que tinha uma evidente vocação para o espetáculo, pensou ter bolado uma idéia magnífica para tornar sua previsão mais dramática. Ele fez umfro numa xícara e colocou-a para flutuar numa bacia de água, preparando tudo de forma que a xícara afundasse no momento fatídico.
Infelizmente, a anciosa Lilavati estava inclinada sobre a bacia esperando a xícara afundar. Uma pérola de seu vestido caiu na xícara e bloqueou o orifício, por isso a xícara não afundou, e a pobre lilavati nunca pode se casar. Para animar a filha, haskara escreveu um livro de matemática para ela.
O Lilavati
O Lilavati contém numerosos problemas sobre os tópicos favoritos dos hindus: equações lineares e quadráticas, tanto determinadas quanto indeterminadas, simples mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríades pitagóricas, problemas diofantinos e outros.
Apresentou corretamente as regras para calcular a área do circulo e o volume da esfera.
Como muitos dos problemas apresentados por Bhaskara no Lilavati provém de fontes hindus anteriores, não é surprendente que o autor tenha seus melhores momentos ao tratar a análise indeterminada. Com relação à equação de Pell, Bhaskara deu soluções paraticulares para os cinco casos p = 8, 11, 32, 61 e 67.
Ramanujan
Bhaskara morreu pelo fim do século doze, e por város séculos houve poucos matemático na Índia de importância comparável. No entanto Srinivasa Ramanujan (1887-1920), o gênio hindu do século vinte tinha a mesma incrível habilidade manipulativa em aritmética e álgebra que se encontra em Bhaskara.
Sem formação acadêmica, realizou contribuições substanciais nas áreas da análise matemática, teoria dos números, séries infinitas, frações continuadas, etc.
Sua história é relatada no filme intitulado The Man Who Knew Infinity ("O homem que viu o infinito").
Há uma conhecida anedota acerca de Ramanujan que mostra seu espírito dedicado à matemática. Estando hospitalizado em Londres, foi visitado por G.H. Hardy que viera de táxi e comentou que número do mesmo era 1729. Ramanujan disse que era um belo número, pois se tratava do menor número natural representado, de duas formas diferentes, pela soma de dois cubos: 1729 = 10^3 + 9^3 = 1^3 + 12^3.
A Índia possui caracteristicas peculiares em seu desenvolvimento matemático, mesmo quando tomava emprestado dos gregos, eles adaptava o material ao seu estilo, embora tivessem interesses em comuns com os chineses não compartilhavam da fascinação por boas aproximações, e também, muito embora tinham uma visão extremamente algébrica como os msepotâmicos, tendiam a evitar a numeração sexagesimal.
Em resumo, os matemáticos hindus, adotaram e desenvolveram somente os aspectos que lhes agradaram.
Na matemática moderna há pelo menos duas coisas a lembrar que a matemática deve seu desenvolvimento á ìndia como a muitos outros países: a trigonometria da função seno e nosso sistema de numeração para os inteiros, chamado de indo-arábico, indicando sua origem na Índia e sua transmissão através dos árabes.
Referências
Berkinghoff, William P.
Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professres e entusiastas/William P. Berkinghoff, Fernando Q. Gouvêa; tradução Elza Gomide, Helena Castro. - São paulo: Bluncher, 2010.
Boyer, Carl B.
História da matemática/ Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F. Gomide - 2º ed. - São Paulo: Edgard Bluncher, 1996.
Garbi, Gilberto G.
A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática / Gilberto Geraldo Garbi. - 5° ed. - São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.