Esboços de graficos (EXEMPLOS)
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Esboços de graficos (EXEMPLOS)


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0.2 Esboço de gráficos
Nota 1. No estudo de sinais de f \u2032 e f \u2032\u2032 podemos usar o seguinte fato que é uma
consequência do Teorma do Valor Intermediário: se uma função g é contínua
num intervalo aberto I (podendo este ser a reta toda ou uma semi-reta) e não
existirem zeros de g em I, então o sinal de g não muda em I, para sabermos
qual é o mesmo, basta tomarmos um valor de x qualquer em I, podemos escolher
x de modo que o cálculo de g(x) seja simples.
A seguir, esboçaremos os gráficos de algumas funções e, para tal, seguiremos
sempre o mesmo roteiro.
Exercício 6. Esboce o gráfico de
f(x) = x4 + 4x3.
Solução.
Domínio: Como não foi especificado o domínio D d f , fica subentendido
que ele é o maior subconjunto de R para o qual a regra x4 + 4x3 é válida, ou
seja, D = R.
Interseção com os eixos coordenados: A interseção com o eixo y cor-
responde a fazermos x = 0, ou seja, se x = 0, y = f(0) = 0. Portanto ela ocorre
em (0, 0). A interseção com o eixo x corresponde a fazermos y = 0, portanto,
temos que resolver 0 = f(x) = x4+4x3 = x3(x+4), ou seja, x = 0 ou x = \u22124,
o que corresponde aos pontos (0, 0) e (\u22124, 0).
Simetrias: Note que f(x) = x4 + 4x3 é um polinômio onde aparecem
potências par e ímpares, portanto não é nem para nem ímpar.
Assíntotas: Note que
lim
x\u2192±\u221e
(x4 + 4x3) = +\u221e,
em particular, f não pode possuir valor máximo global.
Regiões de crescimento de decrescimento de f : Note que f é derivável
em todo o seu domínio, portanto o seus pontos críticos são os zeros de f \u2032(x).
Mas
f \u2032(x) = 4x3 + 12x2 = 4x2(x+ 3) = 0
se, e somente se, x = 0 ou x = \u22123, portanto estes são os únicos pontos críticos
de f . Note que o sinal de f \u2032 é dado pelo sinal de x + 3, portanto, f \u2032(x) < 0
se x < \u22123 e f \u2032(x) > 0 se x > \u22123. Portanto, f é decrescente em (\u2212\u221e,\u22123) e
crescente em (3,\u221e). Portanto, pelo Teste da Derivada Primeira, em x = \u22123
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temos um mínimo local, como f é derivável em todos os pontos e só tem um
mínimo local, ele deve ser global. Portanto, f(\u22123) = \u221227 é valor mínimo global
de f . Como f \u2032(x) não muda de sinal quando passamos por x = 0, este não nem
máximo nem mínimo local.
Concavidade: Note que f \u2032\u2032(x) existe para todo x \u2208 D e
f \u2032\u2032(x) = 12x2 + 24x = 12x(x+ 2) = 0,
se, e somente se, x = 0 ou x = \u22122. Note que f \u2032\u2032(x) > 0 em (\u2212\u221e,\u22122) \u222a
(0,\u221e) e f \u2032\u2032(x) < 0 em (\u22122, 0), portanto, o gráfico é côncavo para cima em
(\u2212\u221e,\u22122) \u222a (0,\u221e) e côncavo para baixo em (\u22122, 0). Como a concavidade f
muda ao passarmos pelos pontos x = \u22122 e x = 0, os pontos (0, 0) e (\u22122,\u22128)
são pontos de inflexão do gráfico.
Esboço do gráfico:
-
\ufffd
- \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
Figura 1: Gráfico de f(x) = x4 + 4x3.
Exercício 7. Esboce o gráfico de
f(x) =
x
x\u2212 1
.
Domínio: Como não foi especificado o domínio D de f , fica subentendido
que ele é o maior subconjunto de R para o qual a regra xx\u22121 é válida, ou seja,
D = {x \u2208 R : x 6= 1} = R\u2212 {1}.
Interseção com os eixos coordenados: Quando x = 0, temos y = 0,
portanto a interseção do gráfico com o eixo dos y ocorre em (0, 0). Quando
y = 0, temos 0 = f(x) = xx\u22121 , o que implica que x = 0, portanto a interseção
do gráfico com o eixo dos x também ocorre em (0, 0).
Simetrias: Note que o domínio de f não é simétrico em relação à origem,
pois x = \u22121 está em D enquanto x = 1 não está em D, portanto enm faz
sentido em falarmos se f é para ou ímpar.
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Assíntotas: Note que
lim
x\u21921\u2212
x
x\u2212 1
= \u2212\u221e e lim
x\u21921+
x
x\u2212 1
=\u221e,
portanto a reta x = 1 é uma assíntota vertical. Além disso, não temos nem
máximo nem mínimo globais. Por outro lado,
lim
x\u2192±\u221e
x
x\u2212 1
= lim
x\u2192±\u221e
1
1\u2212 1/x
= 1,
portanto a reta y = 1 é uma assíntota horizontal.
Regiões de crescimento de decrescimento de f : Note que f é derivável
em todo o seu domínio e
f \u2032(x) =
x\u2212 1\u2212 x
(x\u2212 1)2
= \u2212
1
(x\u2212 1)2
< 0,
portanto f é sempre decrescente.
Concavidade: Note que f \u2032\u2032(x) existe para todo x \u2208 D e
f \u2032\u2032(x) =
2
(x\u2212 1)3
,
portanto, f \u2032\u2032(x) > 0 se x > 1 e nesta região o gráfico é côncavo para cima e
f \u2032\u2032(x) < 0 se x < 1 e nesta região o gráfico é côncavo para baixo. Note que
ao passarmos por x = 1 o sinal de f \u2032\u2032(x) muda, mas este não é um pnnto de
inflexão, pois f sequer está definida em x = 1 (e por definição num ponto de
inflexão f tem que ser contínua).
Esboço do gráfico:
-
\ufffd \ufffd
-
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
Figura 2: Gráfico de f(x) = xx\u22121 .
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Exercício 8. Esboce o gráfico de
f(x) =
1
x2 \u2212 9
.
Domínio: Como não foi especificado o domínio D de f , fica subentendido
que ele é o maior subconjunto de R para o qual a regra 1x2\u22129 é válida, ou seja,
D = {x \u2208 R : x 6= ±3} = R\u2212 {\u22123, 3}.
Interseção com os eixos coordenados: Quando x = 0, temos y = \u22121/9,
portanto a interseção do gráfico com o eixo dos y ocorre em (0,\u22121/9). Quando
y = 0, temos 0 = f(x) = 1x2\u22129 , que não tem solução, portanto não há interseção
do gráfico com o eixo dos x.
Simetrias: Note que o domínio de f é simétrico em relação à origem e
f(\u2212x) = f(x), para todo x \u2208 D, portanto f é par.
Assíntotas: Note que
lim
x\u2192±3+
1
x2 \u2212 9
=\u221e e lim
x\u2192±3\u2212
1
x2 \u2212 9
= \u2212\u221e,
portanto as retss x = ±3 são assíntotas verticais. Em particular, f não
possui máximo nem mínimo globais. Por outro lado,
lim
x\u2192±\u221e
1
x2 \u2212 9
= 0,
portanto a reta y = 0 é uma assíntota horizontal.
Regiões de crescimento de decrescimento de f : Note que f é derivável
em todo o seu domínio e
f \u2032(x) =
\u22122x
(x2 \u2212 9)2
= 0,
se, e somente se, x = 0. Portanto, x = 0 é o único ponto crítico de f . Note
que o sinal de f \u2032 é o mesmo que o sinal de \u2212x, portanto, f \u2032(x) > 0 se x < 0 e
f \u2032(x) < 0 se x > 0, portanto, f é crescente se x < 0 e decrescente se x > 0 e
pelo Teste da Derivada Primeira, x = 0 é um ponto de máximo local.
Concavidade: Note que f \u2032\u2032(x) existe para todo x \u2208 D e
f \u2032\u2032(x) =
6(x2 + 3)
(x2 \u2212 9)3
,
portanto, f \u2032\u2032(x) > 0 nunca se anula e o seu sinal é o sinal de x2 \u2212 9. Portanto,
f \u2032\u2032(x) < 0 se |x| < 3 e f \u2032\u2032(x) > 0 se |x| > 3. Em paricular, o gráfico é côncavo
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para cima em (\u2212\u221e,\u22123)\u222a (3,\u221e) e côncavo para baixo em (\u22123, 3). Note que ao
passarmos por x = ±3 o sinal de f \u2032\u2032(x) muda, mas estes pontos não são pontos
de inflexão, pois f sequer está definida em x = ±3.
Esboço do gráfico:
-
\ufffd
- \ufffd \ufffd
\ufffd
-
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
Figura 3: Gráfico de f(x) = 1x2\u22129 .
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Exercício 9. Esboce o gráfico de
f(x) = x+ 3x2/3
Solução.
Domínio: Como não foi especificado o domínio D de f , fica subentendido
que ele é o maior subconjunto de R para o qual a regra x + 3x2/3 é válida, ou
seja, D = R.
Interseção com os eixos coordenados: A interseção com o eixo y cor-
responde a fazermos x = 0, ou seja, se x = 0, y = f(0) = 0. Portanto ela ocorre
em (0, 0). A interseção com o eixo x corresponde a fazermos y = 0, portanto,
temos que resolver 0 = f(x) = x + 3x2/3 = x2/3(3 + x1/3), ou seja, x = 0 ou
x = \u221227, o que corresponde aos pontos (0, 0) e (\u221227, 0).
Simetrias: Note que f(x) não é par nem ímpar (basta notar, por exemplo,
que f(1) = 4 e f(\u22121) = 2, portanto, f(1) 6= ±f(\u22121)).
Assíntotas: Como D = R, não temos assíntotas verticais. Por outro lado,
lim
x\u2192±\u221e
(x+ 3x2/3) = lim
x\u2192±\u221e
x(1 + 3x\u22121/3) = ±\u221e,
em particular, f não máximo nem mínimo globais.
Regiões de crescimento de decrescimento de f : Note que f é derivável
em todo o seu domínio, exceto em x = 0. Como x = 0 faz parte do domínio de
f e f \u2032(0) não existe, então x = 0 é um ponto crítico de f . Os demais pontos
críticos são zeros de f \u2032(x). Mas
f \u2032(x) = 1 +
2
x1/3
=
x1/3 + 2
x1/3
= 0,
se, e somente se, x = \u22128, portanto os únicos pontos críticos de f são x = 0
e x = \u22128. Note que f \u2032(x) > 0 em (\u2212\u221e,\u22128) \u222a (0,+\u221e) e f \u2032(x) < 0 em
(\u22128, 0). Portanto f é crescente em (\u2212\u221e,\u22128) \u222a (0,+\u221e) e decrescente em
(\u22128, 0). Portanto, pelo Teste da Derivada Primeira, x = 0 é um mínimo local