Lista 1 edo

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Universidade Federal do Ceará
Centro de Ciências
Departamento de Matemática
2019.1
Lista 1 de Exercícios para a AV1
Teorema de Existência e Unicidade, Equações Separáveis e Equações Homogêneas
Dados de Identificação
Disciplina: Séries e Equações Diferenciais - CB0681
Professor: Victor Gomes
1. Decida quais das seguintes equações diferenciais são separáveis:
(a)
dy
dx
= xy;
(b)
dy
dx
= 1 + x2;
(c)
dy
dx
=
x
y
;
(d)
dx
dt
= x+ t;
(e)
dy
dx
=
x+ y
x2 + 1
;
(f)
dx
dt
= x(1 + t2)
2. Verifique que a função dada é solução da equação dada:
(a) x(t) = tan t,−pi
2
< t <
pi
2
, e
dx
dt
= 1 + x2;
(b) y(x) = − 2
x2 + 1
e
dy
dx
= xy2;
(c) x(t) = 4 e
dx
dt
= t(x2 − 16);
(d) y(x) = 1, x > 0, e
dy
dx
=
y2 − 1
x
;
(e) y = x
x2
2 e
dy
dx
= xy.
3. Determine um região do plano xy para qual a equação diferencial teria uma única solução
passando por um ponto (x0, y0) na região, utilizando o Teorema de Existência e Unicidade
de Soluções:
(a)
dy
dx
= y
2
3 ;
(b)
dy
dx
=
√
xy;
(c) x
dy
dx
= y;
(d)
dy
dx
− y = x;
(e) (4− y2)y′ = x2;
(f) (1 + y3)y′ = x2;
(g) (x2 + y2)y′ = y2;
(h) (y − x)y′ = y + x;
(i)
dy
dx
= x3 cos y;
(j)
dy
dx
= (x− 1)e yx−1 .
4. Verifique que y = cx é uma solução para a equação diferencial xy′ = y para todo valor do
parâmetro c. Encontre pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial (PVI)
xy′ = y, y(0) = 0.
Observe que a função definida por partes
y =
{
0, x < 0
x, x ≥ 0
satisfaz a condição y(0) = 0. Ela é solução para o PVI?
5. Considere a equação diferencial
dy
dx
= 1 + y2.
(a) Determine uma região do plano xy tal que a equação tenha uma única solução
passando por um ponto (x0, y0) da região.
(b) Formalmente, mostre que y = tanx satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
y(0) = 0.
(c) Explique por que y = tanx não é uma solução para o problema de valor inicial
dy
dx
= 1 + y2, y(0) = 0,
no intervalo (−2, 2).
(d) Explique por que y = tanx é uma solução para o PVI da parte c) no intervalo
(−1, 1).
6. Determine, caso existam, as soluções constantes.
(a)
dy
dx
= xy2;
(b)
dx
dt
= x2 − x;
(c)
dx
dt
= t(1 + x2);
(d)
dy
dx
=
x
y
;
(e)
dy
dx
= x(y2 + y − 2);
(f)
dy
dx
=
y2 + 2y
x
, x > 0.
7. Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
dy
dx
= sin 5x;
(b)
dy
dx
= (x+ 1)2;
(c) dx+ e3xdy = 0;
(d) dx− x2dy = 0;
(e) (x+ 1)
dy
dx
= x+ 6;
(f) ex
dy
dx
= 2x;
(g) xy′ = 4y;
(h)
dy
dx
+ 2xy = 0;
(i)
dy
dx
=
y3
x2
;
(j)
dy
dx
=
y + 1
x
;
(k)
dy
dx
=
1 + 2y2
y sinx
;
(l)
dy
dx
= e3x+2y4;
(m) exy
dy
dx
= e−y + x−2x−y;
(n) sec2 xdy + cosec ydx = 0;
(o) (ey + 1)2e−ydx+ (ex + 1)3e−xdy = 0;
(p) (ex + e−x)
dy
dx
= y2
(q)
8. Resolva os seguintes PVI’s:
(a)
dy
dx
= ey e y(0) = 1;
(b)
dy
dx
= y2 − 4 e y(1) = 2;
(c)
dy
dx
= 3x2 e y(0) =
1
2
;
(d)
dy
dx
= y2 − 4 e y(0) = 1
9. Suponha que V = V (p), p > 0, satisfaça a equação
dV
dp
= − V
γp
, γ constante. Admitindo
que V = V1, V1 > 0, para p = p1, mostre que V γp = V γ1 p1, para todo p > 0.
10. Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando
for o caso.
(a) x3 + 2xy2 − y4
x
;
(b)
√
x+ y(4x+ 3y);
(c)
x3y − x2y2
(x+ 8y)2
;
(d) cos
x2
x+ y
;
(e) sin
x
x+ y
;
(f)
lnx3
lny3
;
(g) lnx2 − 2lny
11. Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
(a) (x− y)dx+ xdy = 0;
(b) xdx+ (y − 2x)dy = 0;
(c) (x+ y)dx+ xdy = 0;
(d) ydx = 2(x+ y)dy;
(e)
dy
dx
=
y − x
y + x
;
(f) 2x2ydx = (3x3 + y3(dy;
(g) (x4 + y4)dx− 2x3ydy = 0;
(h)
dy
dx
=
y
x
+
x2
y2
+ 1;
(i)
dy
dx
=
y
x
ln
y
x
;
(j) (x2 + xy − y2)dx− xydy = 0
12. Resolva os PVI’s:
(a) xy2
dy
dx
= y3 − x3, y(1) = 2;
(b) (x2 + 2y2)dx = xydy, y(−1) = 1;
(c) 2x2
dy
dx
= 3xy + y2, y(1) = −2;
(d) xydx− x2dy = y√x2 + y2dy, y(0) = 1;
(e) (y2 + 3xy)dx = (4x2 + xy)dy, y(1) = 1;
(f) y3dx = 2x3dy − 2x2ydx, y(1) = √2;
(g)
dy
dx
− y
x
= cosh
y
x
, y(1) = 0, onde cosh é o cosseno hiperbólico.
13. Suponha que M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a
substituição x = vy transforma a equação em uma com variáveis separáveis.
14. Suponha que M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a
substituição x = r cos θ e y = r sin θ leva a uma equação separável.
15. (Questão Desafio: Envolve conteúdo das primeiras aulas de Cálculo Vetorial. Está na
lista pelo contexto.) Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n. Mostre que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf.
Dica: Se uma função é homogênea de grau n, sua derivada é homogênea de grau n− 1.
“-Você realmente não entende, não é? – Disse. – Eu não quero tudo o que eu quiser. Ninguém
quer. Não realmente. Que graça teria ter tudo o que se deseja? Em um piscar de olhos e sem
o menor sentido. E daí? ”"
(Neil Gaiman, em Coraline)