Lista_1_Ariane

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática
Primeira Lista de Exerćıcios - Equações Diferenciais Ordinárias I - 2025/I
Estes exerćıcios foram selecionados pela professora Ariane, que gentilmente forneceu tal seleção. Lista
atualizada em 28 de fevereiro de 2025. Tais exerćıcios podem ser encontrados no livro.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, Livros Técnicos e Cient́ıficos, 9a edição, 2010.
1) Determine, em cada item a seguir, a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear.
(a) x2 d
2y
dx2
+ x
dy
dx
+ 2y = senx
(b) (1 + y2)
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ y = ex
(c)
d4y
dx4
+
d3y
dx3
+
d2y
dx2
+
dy
dx
+ y = 1
(d)
dy
dx
+ xy2 = 0
(e)
d2y
dx2
+ sen(x+ y) = senx
(f)
d3y
dx3
+ x
dy
dx
+ (cos2 x)y = x3
2) Verifique, em cada caso, que a função dada é uma solução da equação diferencial.
(a) y′′ − y = 0 y1(x) = ex, y2(x) = cosh x
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0 y1(x) = e−3x, y2(x) = ex
(c) xy′ − y = x2 y = 3x+ x2
(d) y(4) + 4y(3) + 3y = x y1(x) = x/3, y2(x) = e−x + x/3
(e) 2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0; y1(x) = x1/2, y2(x) = x−1
(f) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0, x > 0; y1(x) = x−2, y2(x) = x−2 lnx
(g) y′′ + y = secx, 0 0.
(a) x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0
(b) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0
5) Em cada um dos itens a seguir, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não
linear. Derivadas parciais são denotadas por ı́ndices.
(a) uxx + uyy + uzz = 0
(b) uxx + uyy + uux + uuy + u = 0
1
(c) uxxx + 2uxxyy + uyyy = 0
(d) ux + uux = 1 + uxx
6) Em cada caso, verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
(a) uxx + uyy = 0; u1(x, y) = cos x cosh y e u2(x, y) = ln(x2 + y2)
(b) α2uxx = ut; u1(x, t) = e−σ2t senx e u2(x, t) = e−α2λ2t sen(λx), em que α e λ são constantes reais.
(c) a2uxx = utt; u1(x, t) = sen(λx) sen(λat) e u2(x, t) = sen(x− at), em que λ e a são constantes reais.
(d) α2uxx = ut, u = (π/t)1/2e−x2/4α2t, t > 0
7) Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
(a) y′ + 3y = x+ e−2x
(b) y′ + y = xe−x + 1
(c) xy′ + 2y = sen(x)
(d) y′ + 2xy = 2xe−x2
(e) 2y′ + y = 3x
8) Encontre a solução do problema de valor inicial.
(a) y′ − y = 2xe2x e y(0) = 1
(b) y′ +
2
x
y =
cos(x)
x2
e y(π) = 0
(c) y′ − 2y = e2x e y(0) = 2
(d) x3y′ + 4x2y = e−x e y(−1) = 0
(e) xy′ + (x+ 1)y = x e y(ln(2)) = 1
9) Determine a solução do problema de valor inicial y′ +
1
2
y = 2 cos x e y(0) = −1.
10) Determine a solução do problema de valor inicial y′ +
1
4
y = 3 + 2 cos(2x) e y(0) = 0.
11) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
(a) y′ =
x2
y
(b) y′ =
x2
y
(1 + x3)
(c) y′ + y2 senx = 0
(d) y′ =
3x2 − 1
3 + 2y
(e) y′ =
cos2 x
cos2(2y)
(f) xy′ =
√
1− y2
(g)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
(h)
dy
dx
=
x2
1 + y2
12) Encontre a solução do problema de valor inicial e determine o intervalo em que a solução está definida.
(a) y′ = (1− 2x)y2 e y(0) = −1
6
(b) xdx+ ye−xdy = 0 e y(0) = 1
(c) y′ =
x(x2 + 1)
4y3
e y(0) = − 1√
2
(d) y2
√
1− x2dy = arcsenxdx e y(0) = 1
13) Resolva as equações diferenciais
(a)
dy
dx
=
y − 4x
x− y
2
(b)
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y
(c)
dy
dx
=
3y2 − x2
2xy
14) Suponha que M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição
x = r cos θ, y = r sin θ leva a uma equação separável.
15) Em cada caso, determine um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial existe.
(a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x e y(1) = 2
(b) x(x− 4)y′ + y = 0 e y(2) = 1
(c) (4− x2)y′ + 2xy = 3x2 e y(1) = −3
16) Determine a região no plano xy em que as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções
são satisfeitas.
(a) y′ =
x− y
2x+ 5y
(b) y′ =
√
1− x2 − y2
(c) y′ =
ln |xy|
1− x2 + y2
(d) y′ = (x2 + y2)3/2
(e)
dy
dx
=
1 + x2
3y − y2
(f)
dy
dx
=
(cotx)y
1 + y
17) Considere o problema de valor inicial y′ = y1/3 e y(0) = 0.
(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Se existe, encontre-a.
(b) Existe uma solução que contém o ponto (2, 1)? Se existe, encontre-a.
(c) Considere todas as soluções posśıveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de
valores que essas soluções tem em x = 2.
18) (a) Verifique que ambas as funções y1(x) = 1 − x e y2(x) = −x2
4
são soluções do problema de valor
inicial
y′ =
−x+ (x2 + 4y)1/2
2
e y(2) = −1.
Onde essas soluções são válidas?
(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz a unicidade do
Teorema de Existência e Unicidade de Solução.
(c) Mostre que y = cx+ c2, em que c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencial no item
(a) para x > −2c. Se c = −1, a condição inicial também é satisfeita e obtemos a solução y = y1(x).
Mostre que não existe escolha de c que forneça a segunda solução y = y2(x).
19) (a) Mostre que ϕ(x) = e2x é uma solução de y′ − 2y = 0 e que y = cϕ(x) também é soluçã dessa
equação para qualquer valor da constante c.
(b) Mostre que ϕ(x) =
1
x
é uma solução de y′ + y2 = 0 para x > 0, mas que y = cϕ(x) não é solução
dessa equação, a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equação no item (b) é não linear, enquanto
a no item (a) é linear.
20) Mostre que se y = ϕ(x) é uma solução de y′ + p(x)y = 0, então y = cϕ(x) também é solução para
qualquer valor da constante c.
3
21) Seja y = y1(x) uma solução de y′+p(x)y = 0 e seja y = y2(x) uma solução de y′+p(x)y = g(x). Mostre
que y = y1(x) + y2(x) também é solução da equação não homogênea anterior.
22) Considere o problema de valor inicial: {
y2 + 2x3y′ = 0
y (x0) = y0
. (1)
Determine:
a) a famı́lia a 1-parâmetro de soluções da equação y2 + 2x3y′ = 0. Exiba uma solução singular para
esta equação;
b) valores para x0 e y0 de forma que (1) tenha única solução e determine tal solução;
c) valores para x0 e y0 de forma que (1) tenha infinitas soluções;
d) valores para x0 e y0 de forma que (1) não possua soluções.
23) a) Determine, por inspeção, uma famı́lia a 1-parâmetro de soluções da equação diferencial xy′ = y.
Verifique que cada membro da famı́lia é uma solução do problema de valor inicial xy′ = y, y(0) = 0.
b) Explique o item (a) determinando uma região R no plano xy para a qual a equação diferencial
xy′ = y teria uma única solução que passasse por um ponto (x0, y0) em R.
c) Verifique se a função definida por partes
y(x) =
{
0, x 0;
c) y (x0) = y0, x0 > 0, y0 > 0.
25) Sejam p(x) e q(x) funções cont́ınuas em um intervalo I e seja n ∈ Z. A equação diferencial y′+p(x)y =
q(x)yn é chamada de Equação de Bernoulli.
(a) Resolva a Equação de Bernoulli para os casos particulares n = 0 e n = 1.
(b) Mostre que, se n ̸= 0 e n ̸= 1, então a substituição v = y1−n reduz a Equação de Bernoulli a uma
equação linear.
26) Resolva a EDO x2y′ + 2xy − y3 = 0, para x > 0.
27) Nos casos a seguir determine se a equação é exata. Se for, encontre a solução.
(a) (2x+ 3) + (2y − 2)y′ = 0
(b) (2x+ 4y) + (2x− 2y)y′ = 0
(c) (3x2 − 2xy + 2)dx+ (6y2 − x2 + 3)dy = 0
(d) (2xy2+ 2y) + (2x2y + 2x)y′ = 0
(e) (ex sen y + 3y)dx− (3x− ex sen y)dy = 0
(f)
(y
x
+ 6x
)
dx+ (−2 + ln x)dy = 0
(g)
xdx
(x2 + y2)3/2
+
ydy
(x2 + y2)3/2
= 0
4
28) Considere a equação diferencial (xy2 + bx2y)dx+ (x+ y)x2dy = 0. Encontre o valor de b para o qual a
equação dada é exata. Resolva a equação para o valor de b encontrado anteriormente.
29) Mostre que µ(x, y) =
1
xy3
é um fator integrante da equação diferencial x2y3+x(1+y2)y′ = 0, tornando-a
uma equação exata. Resolva a equação.
30) Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial y′ = e2x + y − 1.
31) Considere a equação (
5x2y + 6x3y2 + 4xy2
)
dx+
(
2x3 + 3x4y + 3x2y
)
dy = 0.
a) Mostre que a equação não é exata.
b) Multiplique a equação por xnym e determine valores para n e m que tornam a equação resultante
em exata
c) Use a solução da equação exata resultante para resolver a equação original.
d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
32) Resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
(a)
dy
dx
=
x3 − 2y
x
(b)
dy
dx
=
2x+ y
3 + 3y2 − x
, y(0) = 0
(c)
dy
dx
= −2xy + y2 + 1
x2 + 2xy
(d)
dy
dx
=
4x3 + 1
y(2 + 3y)
(e)
dy
dx
= −2xy + 1
x2 + 2y
(f) (x2 + y)dx+ (x+ ey)dy = 0
(g)
dy
dx
= 1 + 2x+ y2 + 2xy2
(h) (ex + 1)
dy
dx
= y − yex
(i)
dy
dx
= e2x + 3y
(j)
dy
dx
=
3x2 − 2y − y3
2x+ 3xy2
(k)
dy
dx
+
2y2 + 6xy − 4
3x2 + 4xy + 3y2
= 0
(l) x
dy
dx
+ (x+ 1)y = e2x
(m)
(
2x
y
− y
x2 + y2
)
dx+
(
x
x2 + y2
− x2
y2
)
dy = 0
(n)
dy
dx
=
x
x2y + y3
(o)
dy
dx
=
x+ y
x− y
(p)
dy
dx
=
3x2y + y2
2x3 + 3xy
33) Uma equação diferencial da forma
dy
dx
= q1(x)+q2(x)y+q3(x)y
2 é conhecida como Equação de Riccatti.
Suponha que é conhecida alguma solução particular y1(x) desta equação. Uma solução mais geral
contendo uma constante arbitrária pode ser obtida pela substituição y(x) = y1(x) +
1
v(x)
. Mostre que
v(x) satisfaz a equação linear de primeira ordem
dv
dx
= −(q2 + 2q3y1)v − q3.
34) Encontre a solução geral de cada equação diferencial, sendo conhecida uma solução particular.
(a) y′ = 1 + x2 − 2xy + y2, y1(x) = x
5
(b) y′ = − 1
x2
− y
x
+ y2, y1(x) =
1
x
(c)
dy
dx
=
2 cos2(x)− sen2(x) + y2
2 cos(x)
, y1(x) = sen(x)
35) Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famı́lias de curvas indicadas, onde k é um
parâmetro real.
a) 2x2 + y2 = k, b) y = kx4, c) y = ekx, d) y2 = kx.
36) Mostre que as trajetórias ortogonais para a famı́lia de curvas x2+ y2 = kx, sendo k um parâmetro real,
satisfazem (
2yx−1
)
dx+
(
y2x−2 − 1
)
dy = 0.
Encontre as trajetórias ortogonais resolvendo a equação anterior. Esboce a famı́lia de curvas, junta-
mente com suas trajetórias ortogonais. [Dica: tente multiplicar a equação por xnym como no Problema
6.]
6