Vamos analisar a questão passo a passo. A solução particular dada é y = x e^x. Queremos encontrar a equação diferencial não homogênea que admite essa solução. Primeiro, calcule as derivadas de y: y = x e^x y' = derivada de x e^x = e^x + x e^x = e^x (1 + x) y'' = derivada de y' = derivada de e^x (1 + x) = e^x (1 + x) + e^x = e^x (2 + x) Agora, vamos testar as alternativas, substituindo y, y' e y'' para ver qual equação é satisfeita. Alternativa A: y'' - 3y' = 2x e^x - e^x Substituindo: y'' - 3y' = e^x (2 + x) - 3 * e^x (1 + x) = e^x (2 + x - 3 - 3x) = e^x (-1 - 2x) = -e^x (1 + 2x) O lado direito é 2x e^x - e^x = e^x (2x - 1) Não são iguais, pois -e^x (1 + 2x) ≠ e^x (2x - 1) Alternativa B: y'' - 3y' + 4y = 2x e^x Substituindo: y'' - 3y' + 4y = e^x (2 + x) - 3 * e^x (1 + x) + 4 * x e^x = e^x (2 + x - 3 - 3x + 4x) = e^x (2 + x - 3 - 3x + 4x) Simplificando: 2 + x - 3 - 3x + 4x = (2 - 3) + (x - 3x + 4x) = (-1) + (2x) = 2x -1 Então, y'' - 3y' + 4y = e^x (2x -1) O lado direito da equação é 2x e^x = e^x (2x) Não são iguais, pois falta o -1. Alternativa C: não está completa na questão. Alternativa D: y'' - 6y' + 16y = e^{2x} Substituindo y = x e^x, não combina com e^{2x}, pois y e suas derivadas são múltiplos de e^x, não e^{2x}. Alternativa E: y'' - 3y' + 4y = 2x e^x - e^x Substituindo: y'' - 3y' + 4y = e^x (2 + x) - 3 e^x (1 + x) + 4 x e^x = e^x (2 + x - 3 - 3x + 4x) = e^x (2x -1) O lado direito é 2x e^x - e^x = e^x (2x -1) São iguais! Portanto, a alternativa correta é a letra E.