PLI-0,1

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Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 1 
 Universidade Católica de Moçambique 
 Faculdade de Gestão de Turismo e Informática 
Av. 25 de Setembro, 725 
C.P 336 Pemba - Moçambique 
Tel: (+258) 27 22 19 69 Fax: (+258) 27 22 17 20 
E-mail: fgti@ucm.ac.mz 
 
Departamento de Ciências Económicas 
 
Curso de Contabilidade e Auditoria 
Cadeira: Investigação Operacional II 3o Ano/1o Semestre 
 
UNIDADE II: PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA 
2.0. INTRODUÇÃO 
O termo programação inteira, refere-se ao estudo dos problemas de 
programação linear (PL) nos quais o domínio de todas as variáveis do problema é 
restritamente de valores inteiros, portanto, a Programação Linear Inteira (PLI) é um 
caso particular dos problemas de programação linear. 
Por exemplo, se considerarmos modelos lineares de problemas de produção 
ou transporte de certos artigos onde o produto a ser transportado são garrafas, 
tubos, automóveis ou mesmo se quisermos afectar máquinas, homens, veículos a 
determinadas actividades, de certeza a solução óptima desses problemas não 
deverá conter números fraccionários, i.é, necessariamente teremos que ter 
quantidades inteiras. 
A abordagem comum dos problemas de programação linear, tem sido de 
usar o método simplex analítico ou gráfico para resolver o problema de 
programação linear ignorando a restrição de que as variáveis devem ser inteiras. 
Tendo-se obtida a solução óptima inicial, procura-se arredondar para os dois 
valores inteiros mais próximos caso estes não forem inteiros. Se os valores inteiros 
pertencerem ao conjunto solução então, está encontrada a solução do problema de 
programação linear inteira, caso contrário o solução toma-se não viável e procura-
se uma nova solução até encontrar a solução óptima inteira. 
 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 2 
Um problema de programação linear inteira pode apresentar as seguintes 
situações: 
i. Todas as varáveis de decisões são inteiras: são problemas denominados 
Problemas de Programação Linear Inteira Pura – PLIP; 
ii. Parte das varáveis de decisões são inteiras: são problemas denominados 
Problemas de Programação Linear Inteira Mista – PLIM; 
iii. Todas as varáveis de decisões são binárias: são problemas denominados 
Problemas de Programação Linear Inteira Binária – PLIB; 
iv. Parte das varáveis de decisões são binárias: são problemas 
denominados Problemas de Programação Linear Inteira Binária Mista – 
PLIBM. 
Todo o problema de programação linear tem a seguinte estrutura: 
Maximizar (ou Minimizar) 



n
j
jj xcZ
1
 
Sujeito à 










njZx
mibxa
j
n
j
ijij
,...,3,2,1
,...,3,2,1
0
1
 
Admite-se que em vez de max possa se usar min e em vez de 

 possa se 
usar 

 respectivamente. 
2.1. FORMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS PLI 
Inicialmente, pode-se propor a solução de problemas de programação linear 
inteira por arredondamento ao final da aplicação de um método de programação 
linear, como por exemplo, pelo método gráfico ou Simplex. 
Para tanto, deve-se ignorar, temporariamente, a restrição que impõe que as 
variáveis de decisão devam ser inteiras. Caso a resposta não seja um número 
inteiro, deve-se arredondá-la. Um dos maiores problemas desta forma de resolver 
problemas de PLI é que o arredondamento pode não redundar em uma solução 
óptima. 
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Outra abordagem é o método de bifurcação de limite que, pela avaliação das 
soluções viáveis, escolhe-se a melhor, ou seja, para problemas de maximização, a 
maior; para os de minimização, a menor. Um dos maiores entraves para a 
aplicação deste método é de ser impraticável para problemas reais que geralmente 
envolvem várias variáveis de decisão. 
Deve-se considerar algumas observações: 
i. O número de soluções em um problema de PLI é finito, mas isto não implica 
que seja fácil de resolver; 
ii. Num problema de PLIB com n variáveis há 2n soluções, por isso, para 
alguns problemas, fica impossível enumerar todas as soluções; 
iii. Os melhores algoritmos não podem garantir a solução de todos os 
problemas, mesmo relativamente pequenos ( < 100 variáveis); 
iv. Para os valores que são suficientemente grandes para que o 
arredondamento não introduza erros significativos, pode-se até pensar neste 
artifício matemático; 
2.1.1. MÉTODO DE ARREDONDAMENTO 
Exemplo 2.1.1: A empresa Coca Cola de Moçambique, produz dois tipos de 
refresco: em lata e em garrafa. Cada lata vendida produz um lucro de 7 u.m e cada 
garrafa produz um lucro de 6 u.m. Os detalhes das quantidades em termos de 
matéria-prima necessária e a capacidade máxima diária estão apresentados na 
tabela. 
 
Matéria-prima 
Tipos de refresco 
Disponível 
Em lata Em garrafa 
Matéria-prima 1 
Matéria-prima 2 
2 
6 
3 
5 
12 
30 
 
a) Formule o modelo matemático como problema de programação linear inteira 
(PLI). 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 4 
b) Sabendo que x1 e x2 são o número de latas e garrafas produzidas 
respectivamente, resolva o problema de tal modo que se determine o 
número de latas e de garrafas que devem ser produzidas para maximizar o 
lucro diário. 
c) Encontre a solução binária. 
Resolução 
a) Max 
21 67 xxZ 
 
Suj à 









0
21
21
3056
1232
Zx
xx
xx
i
 
 
b) Vamos resolver o problema pelo método gráfico, ignorando a condição de 
que x1 e x2 devem ser quantidades inteiras. 
R1: x1 x2 R2: x1 x2 Z: x1 x2 
 0 
6 
4 
0 
 0 
5 
6 
0 
 0 
1 
0 
6
7

 
 
 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 5 
Como encontrar o ponto óptimo? 
Conhecida a região, domínio solução ou conjunto das possibilidades para 
chegar a solução. 
1. Calcular as coordenadas de todos os pontos que estão nas extremidades da 
área do domínio solução (neste caso o ponto A). 
2. Calcular o valor da função objectivo para cada ponto. O valor máximo é a 
solução óptima para o problema de maximização e o mínimo é solução 
óptima para o problema de minimização 
Da figura anterior temos: 
  )5,1;75,3(30561232 212121 AxxxxrrA 
 
25,35925,26)( AZ
. 
Segundo os valores da função objectivo e pelo objectivo exposto a solução 
óptima é 
 5,1;75,3 21  xxSPL
com 
25,35max Z
 unidades}. 
Como a solução não é inteira, dizemos que o valor máximo inteiro da função 
objectivo é igual a zero, Zm = 0; e também sabemos pelo conjunto solução 
apresentado graficamente que o valor de Zm não será superior ao valor óptimo da 
primeira aproximação: 
.maxZZm 
 
Arredondando ou truncando os valores para x1 = 4 e x2 = 2, teremos zi = 40, 
um valor superior a 
.maxZ
Concluímos neste caso que esta solução não é viável e o 
ponto P(4,2) de facto está fora da região das soluções admissíveis. 
Para procurarmos a solução inteira, vamos calcular o valor da função 
objectivo em cada ponto da região das soluções admissíveis para apenas os pares 
de coordenadas com valores inteiros. 
 
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Examinado a tabela anterior, vemos que a solução óptima do problema de 
programação linear inteira é: 
 0;51 21  xxSPL com 35max Z unidades}. 
c) Max 
21 67 xxZ 
 
Suj à 
 






1;0
3056
1232
21
21
ix
xx
xx
 
Examinado a tabela em b), vemos que a solução óptima do problema de 
programação linear inteira binária é: 
 1;1 21  xxSPLB com 13max Z unidades}. 
O procedimento ilustrado pelo exemplo 2.1.1. para encontrar a solução 
óptima inteira é viável paraalguns e poucos problemas de PLI e PLIB, porque este 
procedimento toma-se difícil ou mesmo impossível para grande parte dos 
problemas de PLI. 
2.1.2. MÉTODO DE BIFURCAÇÃO E LIMITE (Branch and Bound) 
Os primeiros trabalhos deste método foram desenvolvidos por Land e Doig 
(1960) e melhorados para a presente estrutura por Dakin, R.J(1 965) no seu livro “A 
Tree Search Algorithm for Mixeci Integer Pmgramming Problems”. Daí em diante a 
estrutura do processo da procura da solução óptima inteira, apresentar-se na forma 
de uma árvore com restrições uma depois da outra. 
Devido a dificuldade da procura da solução para problemas de PLI, estão até 
agora a ser desenvolvidos métodos com vista a encontrar um procedimento 
padrão. Entretanto, muitos investigadores e autores, como Dantzig,G.B(1963), 
Bland, RG(1977), Paul, RT (1979), Taha, H.A( 1975; 1997) entre outros, 
consideram que o método promissor para os problemas de programação linear 
inteira é o Branch and Bound Method (em português, particionar e limitar “as 
partições”), cujo princípio básico consiste em dividir repetidamente o problema que 
apresentar solução não inteira em dois subproblemas e resolvê-los até encontrar 
uma solução viável óptima com todos os valores das variáveis inteiras incluindo o 
valor da função objectivo. 
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Para a utilização do algoritmo de bifurcação e limite é necessário que sejam 
satisfeitas três proposições: 
Proposição 1. O problema de programação linear inteira já tem a primeira 
aproximação que é a solução óptima do problema de programação linear. 
Proposição 2. A primeira aproximação tem pelo menos xi não inteiro, i.é: xi = bi 
onde bi é um valor não inteiro. 
Proposição 3. O limite inferior é zero para os problemas de maximização: Zm = 0, e 
o limite superior é infinito para os problemas de minimização: 
sZ
 
2.1.1. Procedimento do Método de Bifurcação e Limite 
Passo 1. Resolver o problema original usando os métodos já conhecidos de 
PL. Se a solução deste problema satisfaz a restrição de inteiro, termina-se o 
processo. Se não, o valor da função objectivo determina o limite superior (Zm) ou 
inferior (Zs) do problema de programação linear inteira. 
Passo 2. Partindo da solução não inteira, dividir o problema em dois 
subproblemas com restrições adicionais. Por exemplo se xi = bi onde b não é 
inteiro, no subproblema 1 adiciona-se a restrição 
 ii bx 
e no subproblema 2 
adiciona-se a restrição 
  ,11  bxi
 onde [bi] é a parte inteira de bi. 
Passo 3. Resolver os dois novos problemas de PL criados pela adição de 
novas restrições. 
Passo 4. Teste das soluções 
a) Se a solução do novo problema de PL não é viável, o processo de procura 
da solução inteira termina neste subproblema. 
b) Se a solução do novo problema de IL é viável, mas não é inteira, actualize o 
passo 5. 
c) Se o subproblema tem uma solução viável e inteira, calcule o valor da 
função objectivo: 
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 Se este valor é igual ao limite superior (inferior), então foi alcançada a 
solução óptima e Zm = zi (Zs = Zi) 
 Se este valor não for igual ao limite superior (inferior), mas superior 
(inferior) ao limite inferior (superior), desiguale a este valor novo limite 
inferior (superior) e passe para o passo 5. Esta troca dos limites diz-
se que Z foi incumbido e Z1.1 sondado. 
 Finalmente, se este valor é menor (maior) que o limite inferior 
(superior), termina-se o processo neste subproblema. 
Passo 5. Examine todos os subproblemas e verifique se o limite superior 
(inferior) é igual ao valor máximo da função objectivo. Se o limite superior (inferior) 
é igual ao limite inferior (superior), termine o processo. Caso contrário repita o 
passo 2. 
Cada um dos modelos ou subproblemas pode ser resolvido como um novo 
problema de programação linear usando o método simplex, gráfico e ou mesmo 
como uma adição de uma nova restrição na análise de sensibilidade. Para que a 
decisão de sondagem se tome clara pode-se recorrer ao método gráfico. 
Observações: 
 Só se bifurca uma variável de cada vez e se acrescenta uma restrição em 
cada subproblema 
 O problema de programação linear inteira, pode ter mais de uma solução 
óptima, i.é, diferentes valores mas com o mesmo valor da função objectivo. 
Exemplo 2.1.2. Resolver o exemplo 2.1.1. pelo método de bifurcação e limite. 
Maximizar 
21 67 xxZ 
 
Sujeito à 









0
21
21
3056
1232
Zx
xx
xx
i
 
A primeira aproximação é: S0 ={x1 = 3.75; x2 = 1.5; Zmax = 35.25} 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 9 
De onde temos as conclusões Zm = 0; 
25.35max  ZZm
 
Tanto x1 como x2 podem ser bifurcados, nós vamos escolher x2 para 
bifurcar. 
 
Subproblema 1. 
Max 
21 67 xxZ 
 
Suj à 












0
2
21
21
1
3056
1232
Zx
x
xx
xx
i
 
 
Para x2 = 1, substituindo nas restrições 1 e 2 temos: 


















viavelZ
viavelnãoZ
imox
x
x
x
16.35616.29
5.3765.31
min16.4
5.4
301*56
121*32
)16.4(
)5.4(
1
1
1
1
 
  016.35,1;16.4 max211  mi ZZZxxSp
 
 
Subproblema 2. 
Max 
21 67 xxZ 
 
Suj à 












0
2
21
21
2
3056
1232
Zx
x
xx
xx
i
 
 
Para x2 = 2, substituindo nas restrições 1 e 2 temos: 
331221
3.3
min3
302*56
122*32
1
1
1
1












iZ
x
imox
x
x 
  3333,2;3 max212  mi ZZZxxSp
é incumbido e Zm= 0 é sondado 
Como o subproblema 1, apresenta um valor da função objectivo superior ao 
valor obtido no subproblema 2, vamos bifurcá-lo em dois outros subproblemas, 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 10 
enquanto isso a solução do Sp2 é guardada ou incumbida a fim de comparar com 
as próximas soluções. 
 
Subproblema 1.1. 
Max 
21 67 xxZ 
 
Suj à 















0
1
2
21
21
4
1
3056
1232
Zx
x
x
xx
xx
i
 
 
Para x1 = 4, substituindo nas restrições temos: 
2.352.728
min2.1
3.1
65
43
3054*6
1234*2
2
2
2
2
2
2


















iZ
imox
x
x
x
x
x i 
A solução não é viável ou seja é infactivel porque o 2.12 x não respeita a 
condição de 
12 x
 
 
Subproblema 1.2. 
Max 
21 67 xxZ 
 
Suj à 















0
1
2
21
21
5
1
3056
1232
Zx
x
x
xx
xx
i
 
 
Para x1 = 5, substituindo nas restrições 1 e 2 temos: 
35035
min0
66.0
3055*6
1235*2
2
2
2
2












iZ
imox
x
x
x 
  3535,0;5 max212.1  mi ZZZxxSp
 é incumbido e Zm = 34 é sondado. 
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Como não podemos mais bifurcar e nem podemos aumentar o valor da 
função objectivo, já alcançamos a solução óptima inteira do problema de 
programação linear inteira dada pelo subproblema 1.2. 
 35,0;5)( 21  mZxxPLIS
 
Observação: 
Quando há mais de uma variável candidata a bifurcação, recomenda-se 
escolher a variável que apresentar o maior (menor) valor do coeficiente na equação 
da função objectivo. 
A árvore binária que ilustra as bifurcações e as soluções das iterações está 
apresentada a seguir.Árvore binária do exemplo 2.1.1. 
 
 35,0;5 21  mZxxSPLI
 
 
 
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TAREFAS 
Exercício 1. Usando o método de arredondamento ou truncamento, resolva os 
seguintes problemas de programação linear inteira, recorrendo gráfica. 
a) Max 
21 23 xxZ 
 b) Min 
21 23 xxW 
 c) Max 
21 43 xxZ 
 
Suj à 












0
21
21
21
632
142
1243
Zx
xx
xx
xx
i
 Suj à 












0
21
21
21
1241
1222
1015
Zx
xx
xx
xx
i
 Suj à 









0
21
21
2464
1223
Zx
xx
xx
i
 
a) 
 6;4 21  xxSPLI com 24max Z unidades de medida}. 
b) 
 5;1 21  xxSPLI
e 
13max Z
}. 
c) 
   14;2;28.16;4.2;4.20 max21max21  ZxxSPLIZxxSPL
 
Exercício 1.1. Encontre as soluções binárias. 
Exercício 2. Usando o método de bifurcação e limite, resolva os seguintes 
problemas de programação linear inteira (Note que para resolver pode-se recorrer 
a forma analítica, simplex dual ou gráfica). 
 
a) Max 
21 86 xxZ 
 b) Min 
21 56 xxW 
 c) Min 
21 810 xxW 
 
Suj à 









0
21
21
932
62
Zx
xx
xx
i
 Suj à 









0
21
21
523
432
Zx
xx
xx
i
 Suj à 









0
21
21
1664
32
Zx
xx
xx
i
 
 
Respostas: 
a) 
   24;3;05.25;5.1;25.20 21max21  mZxxSPLIZxxSPL
 
b) 
   11;1;14.104.0;4.10 21min21  sWxxSPLIWexxSPL
 
c) 
   24;3;05.22;5.2;25.00 21min21  sWxxSPLIWexxSPL
 
 
 
 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 13 
Referências: 
FERREIRA, M.A.M; Isabel, A (1995) - Programação Matemática, 2a edição, 
Edições Sílabo, Lisboa: pp74-91. 
PAUL, R.T (1979) - An Introduction to Linear Programming and Game Theory, John 
Wiley & Sons, me, USA: sections 6.3, 6.4. 
RENDER, 13; Ralhp, M.S.Jr. (1997) - Quantitative Analysis for Management, 6th 
edition, Prentice - 1-hal International, Inc, USA: cap.11 
TAHA, N.A (1997) - Operations Research - an introduction, 6th edition, Prentice - 
Hail International. Inc. USA: cap.9. 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 1 
CABARITO 
1a) Max 
21 23 xxZ 
 
Suj à 












0
21
21
21
632
142
1243
Zx
xx
xx
xx
i
 
 6;4 21  xxSPLI com 24max Z unidades de medida}. 
Passo 1. Transformar as inequações em equações: 
Maximizar 
21 23 xxZ 
 
Sujeito à 











5421
321
221
121
,0;0
632
142
1243
rrxx
rxx
rxx
rxx
 
Passo 2. Representar num mesmo sistema de coordenadas, todas rectas e considerar os semi-
planos que satisfazem as inequações correspondentes. 
R1: x1 x2 R2: x1 x2 R3: x1 x2 R4: 
x2=0 
 R5:x1=0 
 0 
-4 
3 
0 
 0 
7 
14 
0 
 0 
3 
-2 
0 
 
 
 
Como encontrar o ponto óptimo? 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 2 
Conhecida a região, domínio solução ou conjunto duas possibilidades para chegar a solução. 
Primeira possibilidade: 
1. Calcular as coordenadas de todos os pontos que estão nas extremidades da área do 
domínio solução (neste caso os pontos são A, B, C, D e E). 
2. Calcular o valor da função objectivo para cada ponto. O valor máximo é a solução 
óptima para o problema de maximização e o mínimo é solução óptima para o 
problema de minimização 
Da figura anterior teremos:  
 
 
 
  )3;0(01243
)6;4(1421243
)2;6(632142
)0;3(0632
)0;0(00
14151
212121
212132
22143
2154
ExxxrrE
DxxxxrrD
CxxxxrrC
BxxxrrB
AxxrrA





 
660)(
241212)(
;22418)(
;909)(
;000)(





EZ
DZ
CZ
BZ
AZ
 
Segundo os valores da função objectivo e pelo objectivo exposto a solução óptima é 
 6;4 21  xxSPLI
com 
24max Z
 unidades de medida}. 
b) Min 
21 23 xxW 
 
Suj à 












0
21
21
21
1241
1222
1015
Zx
xx
xx
xx
i
 
Minimizar 
21 23 xxW 
 Recta W, se 
0W
 então 
2
3 1
2
x
x 
 
Sujeito à 











0,
1241
1222
1015
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
 as equações são 











0,
1241
1222
1015
21
321
221
121
xx
rxx
rxx
rxx
 
 
R1: x1 x2 R2: x1 x2 R3: x1 x2 W: x1 x2 
 0 
2 
10 
0 
 0 
6 
6 
0 
 0 
12 
3 
0 
 0 
2 
0 
-3 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 3 
 
A, M. N e O são os pontos extremos do domínio solução e M é o ponto mínimo. 
,21 rrM  resolvendo o sistema de duas equações temos: 





1222
1015
21
21
xx
xx Solução 





5
1
2
1
x
x 135*21*3; min W 
Resposta: a pessoa deve comprar 1 vidro e 5 caixas e terá um custo mínimo de 13 unidades 
monetárias. 
 5;1 21  xxSPLI e 
13max Z
}. 
c) Max 
21 43 xxZ 
 
Suj à 









0
21
21
2464
1223
Zx
xx
xx
i
 
 
   14;2;28.16;4.2;4.20 max21max21  ZxxSPLIZxxSPL
 
Exercício 1.1. Encontre as soluções binárias. 
Exercício 2. Usando o método de bifurcação e limite, resolva os seguintes 
problemas de programação linear inteira (Note que para resolver pode-se recorrer 
a forma analítica, simplex dual ou gráfica). 
 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 4 
a) Max 
21 86 xxZ 
 
Suj à 









0
21
21
932
62
Zx
xx
xx
i
 
 
   24;3;05.25;5.1;25.20 21max21  mZxxSPLIZxxSPL
 
 
 
 
b) Min 
21 56 xxW 
 
Suj à 









0
21
21
523
432
Zx
xx
xx
i
 
Resolução. 
Tabela inicial simplex dual 
 
1ª Iteração 
 
2ª Iteração 
 
 4.105/524.05/2;4.15/70 min21  WexxSPL
 
Desta solução conclui-se que: 
,4.10min WWs
para o problema de minimização vamos 
bifurcar x2 porque tem menor coeficiente na função objectivo. 
 
Subproblema 1. 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 5 
Min 
21 56 xxW 
 
Suj à 












0
2
21
21
5
523
432
Zx
x
xx
xx
i
 ; Para x2 = 0 
12
66.13/5
max2
50*23
40*32
1
1
1
1












 iW
x
imox
x
x 
  124.1012,0;2 211  si WWxxSp
 é incumbido; 
sW
 é sondado 
 
Subproblema 2. 
Min 
21 56 xxW 
 
Suj à 












0
2
21
21
5
523
432
Zx
x
xx
xx
i
 ; Para x2 = 1 
11
max0.1
5.0
51*23
41*32
1
1
1
1












 iW
x
x
x
x 
  111211,1;1 112  si WWxxSp
 é incumbido; 
12sW
 é sondado 
 
Árvore binária do exemplo 4.3. 
 
 
 
 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 6 
 
c) Min 
21 810 xxW 
 
Suj à 









0
21
21
1664
32
Zxxx
xx
i
 
Resolução 
Tabela inicial simplex dual 
 
1ª Iteração 
 
2ª Iteração 
 
  minmin21 5.222/45;5.22/5;25.04/10 WWeWWexxSPL ss 
 
Subproblema 1. 
Min 
21 810 xxW 
 
Suj à 












0
2
21
21
2
1664
32
Zx
x
xx
xx
i
 
 
Para 
261610
max0.1
2/1
16124
322
2
1
1
1
1
2 











 iW
x
x
x
x
x
 
  2626;2;1 min211  si WWWxxSP
 é incumbido e 
sW
é sondado 
 
Docente: Jorge Moisés Lapi. Página 7 
Subproblema 2. 
Min 
21 810 xxW 
 
Suj à 












0
2
21
21
3
1664
32
Zx
x
xx
xx
i
 
Para 
24240
2/1
max0
16184
332
3
1
1
1
1
2 











 iW
x
x
x
x
x
 
  262624;3;0 212  si WWxxSP
 é incumbido e 
26sW
é sondado 
 24;3;0 21  sWxxSPLI
 
 
Árvore binária do exemplo 4.5 
 
 24;3;0 21  sWxxSPLI