Trabalho de Investigação Operacional

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Universidade Aberta Isced 
Faculdade de Ciências de Educação 
Curso de Licenciatura em Ensino de Matematica 
 
 
 
Modelo de Programação Linear para Duas Variáveis 
 
 
 
 
Samuel João Samuel: 71230065 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quelimane, Outubro, 2024 
Universidade Aberta Isced 
Faculdade de Ciências de Educação 
Curso de Licenciatura em Ensino de Matematica 
 
 
 
 
Modelo de Programação Linear para Duas Variáveis 
 
 
Samuel João Samuel: 71230065 
 
 
 
Trabalho de Campo a ser submetido 
na Coordenação do Curso de 
Licenciatura em Ensino de 
Matemática da UnISCED. Tutor: 
António Alfredo Chichongue 
 
 
 
 
 
Quelimane, Outubro, 2024 
Introdução 
A programação linear (PL) é uma técnica clássica de optimização que tem sido 
amplamente utilizada nas ciências exactas, sociais e econômicas para resolver 
problemas que envolvem a alocação eficiente de recursos limitados. A PL permite 
formular e resolver problemas de maximização ou minimização de uma função linear, 
sujeita a um conjunto de restrições lineares. O foco deste trabalho é apresentar um 
modelo de programação linear para duas variáveis, discutir suas propriedades, e aplicar 
o método gráfico para a solução de problemas práticos. 
 
Objectivo Geral 
 Descrever o modelo de programação linear para duas variáveis e apresentar o 
método gráfico como ferramenta para sua resolução. 
Objectivos Específicos 
 Definir o que é um modelo de programação linear de duas variáveis; 
 Mencionar as propriedades de um problema de programação linear; 
 Demonstrar a solução de problemas de programação linear pelo método gráfico. 
 
Metodologia 
Para a elaboração deste trabalho, foi realizada uma pesquisa bibliográfica que abrange a 
literatura especializada sobre programação linear, focando nos conceitos fundamentais, 
propriedades e metodologias de solução. Além disso, um exemplo prático foi 
desenvolvido para ilustrar a aplicação do método gráfico na solução de um problema de 
programação linear. 
 
 
 
 
 
 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1.1 Definição de Programação Linear 
A programação linear é um método utilizado para optimização, onde a função objecto e 
as restrições são expressas através de equações lineares. A forma padrão de um 
problema de programação linear é: 
 
2. Propriedades de um Problema de Programação Linear 
Os problemas de programação linear têm várias propriedades que os caracterizam e que 
são essenciais para a sua análise. As principais propriedades incluem: 
2.1. Linearidade 
Os problemas de programação linear devem envolver apenas funções lineares, tanto na 
função objectivo quanto nas restrições. Isso implica que não podem haver potências ou 
produtos entre as variáveis, garantindo que as soluções sejam lineares em relação aos 
seus parâmetros (TADROS, 2019). 
2.2. Não-negatividade 
As variáveis de decisão devem ser não-negativas, ou seja, representando quantidades 
que não podem assumir valores negativos. Essa condição é geralmente aplicada em 
problemas práticos de alocação de recursos (MARTINS, 2018). 
2.3. Unicidade e Múltiplas Soluções 
Um problema de programação linear pode apresentar uma única solução óptima ou, em 
alguns casos, múltiplas soluções que resultem no mesmo valor máximo ou mínimo da 
função objectivo. Essa propriedade é fundamental para a análise de sensibilidade 
(GIANI, 2016). 
 
2.4. Solubilidade 
É necessário que existam soluções viáveis que satisfaçam todas as restrições impostas. 
Um problema sem solução viável não pode ser resolvido por técnicas de programação 
linear (BRANDÃO, 2018). 
3. Solução de Problemas de Programação Linear pelo Método Gráfico 
O método gráfico é uma técnica visual para resolver problemas de programação linear 
com duas variáveis. Ele permite uma compreensão intuitiva do problema, tornando mais 
fácil identificar a solução óptima. Aqui estão os passos gerais para resolver um 
problema de programação linear pelo método gráfico: 
1. Definição do Problema 
Comece definindo a função objectivo e as restrições. A função objectivo pode ser do 
tipo maximizar ou minimizar, e as restrições são geralmente expressas na forma de 
inequações lineares. 
Exemplo: 
Maximize ( z = 3x + 4y ) 
Sujeito a: 
( x + 2y 8 ) 
( 3x + y 9 ) 
( x 0 ) 
( y 0 ) 
2. Construção do Esquema Gráfico 
a. Representar as restrições: Cada uma das restrições é representada graficamente no 
plano cartesiano. Para isso, você transformará as inequações em equações. 
b. Encontrar os pontos de intersecção: Para cada restrição, transforme a inequação em 
uma equação e encontre os pontos de intersecção entre as linhas. Isso é feito igualando 
cada par de equações para encontrar seus pontos de intersecção. 
c. Determinar a região factível: A região factível é a área onde todas as restrições se 
sobrepõem e que satisfazem todas as inequações. Use setas para indicar a direcção da 
desigualdade. 
 
3. Identificação dos Vértices 
Os vértices da região factível (pontos extremos) são onde a solução óptima pode ser 
encontrada. Você deve determinar todos os vértices ao identificar as intersecções das 
linhas de restrição e também os pontos onde as linhas cruzam os eixos x e y. 
4. Avaliação da Função Objectivo 
Substitua as coordenadas dos vértices na função objectivo para calcular o valor de ( z ) 
em cada um dos pontos. 
 
5. Identificação da Solução Óptima 
Compare os valores obtidos da função objectivo nos vértices. Para um problema de 
maximização, escolha o maior valor; para um problema de minimização, escolha o 
menor valor. O vértice correspondente à solução óptima é a resposta para o problema. 
 
Exemplo na Prática 
Para o exemplo dado: 
Desenhe as restrições: 
Para ( x + 2y = 8 ): 
Se ( x = 0 ), ( y = 4 ) (ponto A) 
Se ( y = 0 ), ( x = 8 ) (ponto B) 
Para ( 3x + y = 9 ): 
 
Se ( x = 0 ), ( y = 9 ) (ponto C) 
Se ( y = 0 ), ( 3x = 9 ) ou ( x = 3 ) (ponto D) 
Trace as linhas correspondentes e identifique a região que satisfaz todas as restrições. 
Encontre os pontos de intersecção e avalie a função objectivo nos vértices. 
Determine a solução óptima com base na comparação dos valores da função objectivo 
nos vértices. 
Conclusão 
A programação linear para duas variáveis é uma ferramenta crucial para a solução de 
problemas de optimização em diversas áreas. Este trabalho apresentou a definição do 
modelo de PL, suas propriedades fundamentais e uma abordagem prática para 
solucionar problemas utilizando o método gráfico. O entendimento desses conceitos não 
apenas contribui para uma melhor utilização da programação linear, mas também para a 
formação de profissionais capazes de aplicar essas práticas em cenários reais de tomada 
de decisão. 
 O método gráfico é eficaz para entender e resolver problemas de programação linear 
com duas variáveis. Embora não seja prático para problemas com mais de duas 
variáveis devido à complexidade da visualização, fornece uma base sólida para 
compreender como a programação linear funciona. Para problemas maiores, métodos 
algébricos ou computacionais, como o Método Simplex, são mais adequados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
BRANDÃO, E. J. (2018). *Programação Linear: Teoria e Aplicações*. São Paulo: 
Editora Atlas. 
GIANI, A. F. (2016). *O conceito de programação linear e suas aplicações práticas*. 
Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna. 
MARTINS, P. R. (2018). *Fundamentos de Programação Linear*. Campinas: Editora 
Alínea. 
TADROS, M. F. (2019). *Matemática: Aplicações e Teoria*. Brasília: Editora do 
Brasil.