roteiro 5 - Integrais

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
 
Roteiro 5: INTEGRAL DE FUNÇÕES ELEMENTARES E APLICAÇÕES 
 
1. A INTEGRAL DEFINIDA 
 
Anteriormente usamos limites para descrever o comportamento de uma função e calcular sua 
taxa de variação (derivada). Agora, empregaremos o conceito de limite para estudar uma questão 
completamente diferente: Como definir e calcular a área de uma região no plano? Durante séculos, o 
estudo desta questão levou ao desenvolvimento da integral definida, que é um procedimento de soma 
generalizada com numerosas aplicações na matemática e nas ciências. 
 
1.1 O Cálculo da Área como um Limite 
 
O Problema da Área: Seja f uma função contínua não negativa com  bax , . Encontrar a área da 
região R limitada pelo gráfico de f, o eixo-x, e as retas ax  e bx  . 
 A figura abaixo representa uma região R típica para o caso de uma função f não negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para definir a área A, aproximamos a região R com retângulos, e realizamos nosso esquema de 
aproximação de tal modo que sejamos capazes de calcular a área A como o limite desta sequência de 
aproximação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
a b 
x=a 
x=b 
y=f(x) 
R 
y 
x 
y 
a b 
y=f(x) 
x 
a b 
y=f(x) 
x 
a b 
y=f(x) 
y 
 2 
 Quando o número de retângulos aumenta e o tamanho dos retângulos individuais decresce em 
largura, a união do conjunto de retângulos aproximam com mais precisão a região R. 
 Nossa intenção é definir a área A de R como sendo o valor limite das áreas associadas com estas 
aproximações. 
 
1.2 Somas de Riemann 
 
Definição 1: Uma partição Pn de um intervalo fechado [a, b] é qualquer conjunto de 1n números  nxxxx ,,,, 210  com 
bxxxxa n  210 
 
 Observe que estes subintervalos não são necessariamente de mesmo comprimento. 
 
 Vamos definir a norma da partição Pn, denotada por nP , como sendo o maior destes 
comprimentos. Isto é, 
      11201 ,,,max  nnn xxxxxxP  . 
 Então, 
njPxx njj ,,3,2,1,1   
 
 Se f é definida em [a, b], definimos uma soma de Riemann para f em [a,b] como: 
 
Definição 2: Uma soma de Riemann Rn para f em [a, b] é qualquer soma da forma 
   jjjn
j
jjn xxtxtfR ,, 1
1


 
em que  nxxxx ,,,, 210  é uma partição de [a, b], 1 jjj xxx e jt é um elemento de   njxx jj ,,2,1,,1  . 
 
Teorema 1: Suponha que f seja uma função contínua em [a, b]. Então, existe um único número I tal 
que 
 


n
j
jj
n
n
n
xtfRI
1
limlim 
para todas as somas de Riemann Rn correspondentes às partições Pn para as quais 
0nP quando n . 
 
Definição 3: Seja f contínua em [a, b]. O número I definido no teorema 1.2 é chamado de integral 
definida de f de a até b e denotado por 
 ba dxxf 
a=x0 x9=b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 
 3 
Observações: 
1. O símbolo  é referido como sinal da integral. 
2. Escrevemos o símbolo dx após o integrando  xf para indicar que x é a variável independente para 
f. 
3. Os pontos finais a e b são os limites de integração. 
 
 
 O teorema a seguir afirma que se f é não negativa e contínua em [a,b], a integral definida 
 ba dxxf é a área da região limitada pelo gráfico de f e o eixo-x. 
 
 
Teorema 2: Seja f contínua em [a, b] com   0xf para todo  bax , . Então a área A da região R 
limitada acima pelo gráfico de f, abaixo pelo eixo-x, à esquerda por ax  , à direita por 
bx  , é dada pela integral definida 
  ba dxxfA . 
 
 
Exemplo 1: Se uma função f é não negativa, podemos, às vezes, calcular  ba dxxf , identificando a 
integral com uma região cuja área já conhecemos. 
 
(a) A figura abaixo mostra que o gráfico da função constante   cxf  , c > 0, limita um 
retângulo de área  abc  no intervalo [a, b]. 
 
Assim, 
    0,   cabcdxcdxxf baba . 
 
 
 
 
 
 
a b 
x 
y 
c f(x)=c 
R 
 4 
(b) A figura abaixo mostra que o gráfico da função linear   xxf  limita um trapézio sobre o 
intervalo [a, b] se ba 0 . 
 
Como o trapézio tem bases de comprimento   aafB 1 e   bbfB 2 e altura 
abh  , sua área é 
      2221 212121 ababbahBBA  . 
Assim, 
  baabdxxb
a
 0,21 22 . 
 
(c) A figura abaixo mostra que o gráfico da função   22 xaxf  limita um semi-círculo de 
raio ar  sobre o intervalo [–a, a] quando 0a . 
 
Como a área deste semi-círculo é 22
2
1
2
1
arA   , temos: 
222
2
1
adxxa
a
a
 . 
 
 Se  xf é negativa para algum  bax , , então uma soma de Riemann para f pode conter termos 
da forma   jj xtf  , com   0jtf . Como jx é positivo, o produto   jj xtf  é negativo. 
Consequentemente, quando interpretamos um termo em uma soma de Riemann como a área de um 
retângulo, nós o assim fazemos com o entendimento de que um retângulo que está abaixo de eixo-x 
contribui com um número negativo para a soma. Assim, para uma função contínua qualquer, podemos 
interpretar  ba dxxf como uma área “assinalada”. 
a -a 
x 
y 
f(x)= 22 xa  
R 
a b 
x 
y 
f(x)=x 
B2=b 
B1=a R 
 5 
Definição 4: Suponha que f seja contínua em [a, b]. Então, 
 (a)   0 dxxfaa 
 (b)      baab dxxfdxxf 
 
 
1.3 Propriedades da Integral Definida 
 
Teorema 2: Sejam f e g contínuas em [a, b] e seja c uma constante qualquer. Então, 
 (a)           bababa dxxgdxxfdxxgxf 
 (b)      baba dxxfcdxxcf 
 
Teorema 3: Seja f contínua em um intervalo contendo os números a, b e c. Então, 
       bccaba dxxfdxxfdxxf 
Independente de como os números a, b e c são ordenados. 
 
 Podemos utilizar o teorema 3 para justificar nossa interpretação geométrica de integral definida 
como uma área “assinalada”. 
 Por exemplo, seja bca  e suponha que f seja contínua em [a, b], positiva em [a, c) e 
negativa em (c, b]. 
 Então o gráfico de f determinará duas regiões R1 e R2. A região R1 é limitada pelo gráfico de f, o 
intervalo [a, c] e a reta ax  , e R2 é limitada pelo gráfico de f, o intervalo [c, b] e a reta bx  . 
 
 A área definida pelo gráfico de f pode ser calculada por: 
       bccaba dxxfdxxfdxxf 
 Se considerarmos o gráfico de f , ele também determinará duas regiões R1 e R3, em que R3 é a 
reflexão de R2 sobre o eixo-x. Assim, podemos escrever que 
       bccaba dxxfdxxfdxxf )1( 
pois    xfxf  para  bcx , . 
 
a b 
x 
y 
c 
R1 
R2 
 6 
 Como a área determinada por R2 é igual a área determinada por R3, temos 
     21 RáreaRáreadxxfba  
 
 Analogamente, se f é uma função contínua em [a, b] cujo gráfico corta o eixo-x em um número 
finito de vezes, então seu gráfico e o eixo-x determinam um número finito de regiões. Podemos 
generalizar o argumento anterior para obter uma interpretação de  ba dxxf como uma área 
“assinalada”: 
A integral definida  ba dxxf é igual à diferença entre a área total das 
regiões acima do eixo-x e a área total das regiões abaixo do eixo-x. 
 
 
Exercícios 
1. Dado que   32
0
 dxxf ,   252  dxxf e   585  dxxf , calcule: 
(a)  02 dxxf (b)  82 dxxf (c)  05 dxxf 
 
2. Dado   53
1
 dxxf e   231  dxxg , calcule: 
 (a)      31 dxxgxf (b)      3113 2 dxxgdxxf (c)      13 54 dxxfxg 
 
3. Esboce uma região no plano cuja área é dada pela integral definida. Utilizando fórmulas 
geométricas, calcule a área daquela região e, consequentemente, a integral. 
(a)   21 24dxx (b)   30 12 dxx (c)  30 29 dxx 
(d)  41 72 dxx (e)  20 dxxf em que   



21,1
10,1
2 xx
xx
xf 
 
 
1.4 Teorema Fundamental do Cálculo 
 Como o próprio nome diz, o Teorema Fundamental do Cálculo é o mais importante teorema do 
Cálculo. Ele relaciona dois conceitos aparentemente distintos – a derivada (como uma taxa de 
variação) e a integral definida (um procedimento de soma generalizada). 
 Teoricamente, o Teorema Fundamental é importante porque ele justifica o uso da integral como 
um mecanismo para definir funções. Computacionalmente, ele é importante porque fornece um 
procedimento poderoso para o cálculo de muitas integrais definidas. 
 
 Suponhamos que f seja contínua em um intervalo I. Então, escolhendo qualquer número a em I, 
definimos uma função A em I por 
     xa dttfxA (1) 
 Isto é,  xA é igual à integral definida de f de a até x. 
 7 
 Se f é não negativa em I, o valor  xA é simplesmente a área sob o gráfico de  tfy  para 
xta  . Neste caso, nos referimos a A como a função área determinada por f. 
 Considere todo ax  em I. Quando x aumenta, o valor  xA deve crescer porque estaremos 
calculando a área de regiões sucessivamente maiores. 
 Em geral, não precisamos supor que f seja não negativa. A integral  xA na equação (1) existe 
para todo Ix , independente do sinal de f. 
 Como o cálculo envolve ambos os processos de integração e diferenciação, vamos ver o que 
acontece se tentarmos diferenciar a função A. Por definição, 
      
h
xAhxA
xA
h
 0lim' (2) 
 Por simplicidade, vamos supor que f é não negativa e que ax  . A fim de calcular o limite na 
equação (2), consideremos o quociente da diferença 
 
   
h
xAhxA 
 (3) 
para 0h . Como  hxA  é a área sob o gráfico de at  até hxt  e  xA é a área sob o gráfico 
de at  até xt  , a diferença    xAhxA  é a área sob o gráfico de xt  até hxt  . 
Veja a figura abaixo. 
 
 
 Observemos que a largura desta região é   hxhx  . Se aproximarmos a área por retângulos 
de altura  xf e largura h, obtemos 
       hxfxAhxA  . (4) 
 
 Assim, o quociente da diferença (3) é aproximado por 
 
     xf
h
xAhxA  . (5) 
 
 Como veremos, a aproximação (4) torna-se mais precisa quando  0h , e a aproximação (5) 
produz 
 
     xf
h
xAhxA
h
0lim . 
 
x 
a x+h 
y=f(x) 
x 
y 
A(x+h) 
A(x) 
 8 
 Um argumento semelhante se aplica se 0h , e assim obtemos um fato notável sobre A: 
 
A é diferenciável, e sua derivada é: 
   xfxA ' . 
 
 Em outras palavras, a derivada da função área é a função original f. 
 
 Isto é a essência do teorema fundamental – as operações de integração (a função área A) e 
diferenciação são inversas (como operações matemáticas). 
 
 Este argumento intuitivo não é uma prova do teorema porque a aproximação feita em (4) não é 
uma afirmação matemática precisa. Entretanto, tal intuição é absolutamente correta. 
 
Teorema 1.6: (Teorema Fundamental do Cálculo) 
(a) Seja f contínua em um intervalo aberto I contendo o número a e seja 
    xa dttfxA 
para cada Ix . Então, A é diferenciável em I, e    xfxA ' . 
Isto é, 
    Ixxfdttf
dx
d x
a


  , . 
 
(b) Seja f contínua em [a, b] e seja F qualquer antiderivada de f em [a, b]. Então, 
     aFbFdxxfb
a
 
 
Exemplo 2: Como   xxxF 62 2  é uma antiderivada de   64  xxf , 
        12621286264 21221  xxdxx 
 
Exemplo 3: Como   xxxxxF 5
4
23
4
 é uma antiderivada de   523 23  xxxxf , 
 
    361048410484
5
4
523
2
2
23
4
2
2
23



 

 xxxxdxxxx 
 
 
Exemplo 4: Como uma antiderivada para   xxf cos é   xxF sen , temos 
  1010sen
2
3
sensencos 2
3
0
2
3
0


  xdxx 
 
 9 
 
Exemplo 5:  


 

  4
1
2
1
2
1
4
1
4
1
11
dxxxdx
x
xdx
x
x
. 
 Como uma antiderivada para   2121  xxxf é   2123 2
3
2
xxxF  , temos 
3
20
1.21
3
2
228
3
2
2
3
21
4
1
2
1
2
3
4
1


 

 

  xxdxxx . 
 
Observação: A parte (b) do Teorema Fundamental explica o uso do sinal de integral para representar 
ambas a antiderivada e a integral definida. Se F é qualquer antiderivada para f, temos 
    baba cxFdxxf  
e o lado direito pode ser escrito como 
  b
a
dxxf . 
 Entretanto, é preciso estar consciente da diferença conceitual entre a integral indefinida 
(antidiferenciação) e a integral definida. A integral indefinida é uma família de antiderivadas, e a 
integral definida é um número que representa o limite da soma de Riemann. 
 É somente pelo Teorema Fundamental que sabemos que estes dois conceitos estão relacionados. 
 
 
Exemplo 6: Calcule  51 2 dxx . 
Solução: Aplicando a definição de valor absoluto vemos que 
 



02,2
02,2
2
xsex
xsex
x 
Isto é, 




2,2
2,2
2
xsex
xsex
x . 
 Calculamos, então a integral separadamente em [-1, 2] e [2, 5] usando a correspondente parte da 
definição de 2x sobre cada intervalo: 
   
   
9
22
2
2
52
2
5
2
1
12
2
2
22
2
22
2
22
222
2222
5
2
22
1
2
5
2
2
1
5
2
2
1
5
1







 


 







 


 


 

 







x
xx
x
dxxdxx
dxxdxxdxx
 
 
 10 
Exercícios 
 
4. Calcule a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: 
(a)   22 3 1 dxx (b)   
2
1 3
5
2
dxx
x
 (c)   31 22 2 dtt 
(d)  40 3 dxx (e) 0 sen dxx (f) 31 34 dxx 
(g)  32 dxxf , em que   



1,1
1,12
xx
xx
xf 
 
 
2 INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 O processo para determinar uma função  xf a partir de seus valores conhecidos e sua derivada 
 xf' tem dois passos. O primeiro é encontrar uma fórmula que dê todas as funções que poderiam ter 
f como derivada. Essas funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornece todas elas é 
chamada integral indefinida de f. O segundo passo é usar o valor conhecido para selecionar a 
primitiva particular desejada a partir daquelas na integral indefinida. 
 Vamos começar com uma definição. 
 
 
Definição 1: (Primitiva ou antiderivada) 
Dada uma função f, definida num intervalo I, uma primitiva de f em I ou uma 
antiderivada de f em I é uma função F, definida em I, tal que 
   xfxF ' , para todo Ix . 
 
 Dessa maneira, observamos que o processo de primitivação, isto é, encontrar primitivas, é o 
inverso do processo de derivação. 
 Devido à relação existente entre antiderivadas e integrais, garantida pelo Teorema Fundamental 
do Cálculo, utiliza-se a notação: 
  dxxf 
para representar o conjunto de todas as primitivas ou antiderivadas de f, denominada integral 
indefinida, sendo  o símbolo de uma integral, a função f é o integrando de uma integral e x é a 
variável de integração. 
 Uma vez que encontramos uma primitiva F de uma função f, as outras primitivas diferem dela 
por uma constante. Indicamos isso em notação integral da seguinte maneira: 
    CxFdxxf  . 
 A constante C é a constante de integração ou constante arbitrária. Quando encontramos   CxF  , dizemos que conseguimos integrar e calcular a integral. 
 
 
 11Exemplo 1: (Encontrando uma integral indefinida) 
 Calcule  dxx23 . 
Solução: Cxdxx  323 . 
 A função   cxxF  3 gera todas as primitivas da função   23xxf  . As funções 
  43  xxg ,  
5
33  xxh ,   33  xxs são todas primitivas da função   23xxf  , e isso pode 
ser verificado diferenciando. 
 
 Muitas das integrais indefinidas necessárias ao trabalho científico são determinadas pela 
inversão de fórmulas de derivadas. A tabela a seguir enumera várias formas integrais-padrão lado a 
lado com as fórmulas das integrais que as originaram. 
Tabela 1: Fórmulas de Integrais 
Integral indefinida Fórmula que a originou 
racional,1,
1
1
nnC
n
x
dxx
n
n 
 nn xnxdxd 





1
1
 
   Cxdxdx 1   1xdxd 
C
k
kx
dxkx  cossen kxkkxdxd sencos  
C
k
kx
dxkx  sencos kxkkxdxd cossen  
Cxdxx  tansec2 xxdxd 2sectan  
Cxdxx  cotancossec2   xxdxd 2cosseccotan  
  Cxdxxx sectansec xxxdxd tansecsec  
  Cxdxxx cosseccotancossec   xxxdxd cotancosseccossec-  
  Cxdxx ln1   xxdxd 1ln  
 
 Essa tabela, evidentemente, não tem fim. Evidenciou-se aí, aquelas primitivas que são imediatas, 
entretanto desenvolveremos o estudo de algumas técnicas que nos permitirão encontrar primitivas 
quando não for tão evidente qual a família de funções que tem uma determinada derivada. As 
chamadas técnicas de primitivação nos permitirão resolver situações que têm um caráter algumas 
vezes bastante geral. 
 Além disso, a partir das propriedades das derivadas, poderemos estabelecer as propriedades das 
integrais indefinidas. Essas propriedades facilitam, em alguns casos, a tarefa de se encontrar 
primitivas. 
 12 
Exemplo 2: Calcule as integrais utilizando o resultado apresentado na tabela 1: 
 (a)   Cxdxx 6
6
5 
 (b) CxCxdxxdx
x
   221 2121 
 (c) C
x
dxxsen  2cos2 
 (d)   dxxdx
x
2
1
cos
2
cos C
x
C
x





2
sen2
2
1
2
1
sen
 
 (e) Cx
x
dx
x
xdx
x
x 

   ln311
3
2
3
 
 (f) CxC
x
dxxdxxx 



 25
1
2
3
2
3
5
2
1
2
3
 
 
 Calcular uma integral indefinida às vezes pode ser difícil, mas depois de encontrá-la é 
relativamente fácil verificar sua validade: diferencie (derive) o lado direito. A derivada deve ser igual 
ao integrando. Faça isso com os resultados do exemplo anterior! 
 
Exemplo 3: Verifique qual das funções dada abaixo é a primitiva da função   xxxf cos : 
 
(a)   CxxxF  sen 
Para verificar se   CxxxF  sen é a primitiva de   xxxf cos , devemos verificar se a 
derivada de   CxxxF  sen é o integrando, ou seja,   xxxf cos . Assim, 
  xxxxxCxx
dx
d
cos0sencossen  . 
Portanto   Cxxdxxx sencos . 
 
(b)   CxxxxF  cossen 
Verificando a derivada de   CxxxxF  cossen , temos: 
  xxxxxxCxxx
dx
d
cos0sensencoscossen  . 
Portanto,   Cxxxdxxx cossencos . 
 
 13 
Propriedades da Integral Indefinida 
 
 As propriedades a seguir são consequências imediatas dos fatos: 
 A derivada da soma é igual à soma das derivadas. 
 A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela 
derivada da função. 
 
1.            dxxgdxxfdxxgxf 
2.       dxxfkdxxfk 
 
 
Exemplo 4: Calcule as integrais: 
 (a) C
x
C
x
dxxdxx   454555
44
33 
 (b)     dxdxxdxxdxxx 5252 22 Cxxxxxx  535223 2
323
 
 
 
Exercícios 
 
5. Calcule e verifique sua resposta por derivação: 
(a)  dx3 (b)  dxx5 (c)  dxx 
(d)  dxx5 2 (e)  dxx31 (f)   dxx 4 
(g)   dxx xx 2
2
 (h)    dxxx 2
11
 (i)    dxxx
32 
(j) dx
x
xx  25 1 (k)  dxx5cos (l)  dtt4sen 
(m)    dxx2cos2
1
2
1
 (n)    dxxx sencos (o)    dxxx sencos 
 
6. Calcule as integrais definidas: 
(a)   20 2 1 dxxx (b)   
3
1 2
1
dx
x
x (c)   11 5 2 33 dxx 
(d)   
3
0 3
2 13 dx
x
xx (e)   
0
2 4
3 12 dx
x
x (f) dx314 
(g)  80 2sen

dxx (h)  
1
0 21
2
x
x
 (i)   30 2sensen

dxxx 
 
 14 
7. Determine a função    xxyy , , tal que: 
 (a)   2013  yex
dx
dy
 (b)   013
2
1  yex
dx
dy
 
 (c)   103sen  yex
dx
dy
 (d)   1113  yexx
dx
dy
 
 
8. Um objeto move-se a uma velocidade de min/23 2 mtt  . Qual a distância percorrida 
durante o primeiro minuto? E durante o segundo minuto? 
 
Respostas dos exercícios 
 
1. (a) -3 (b) 3 (c) -1 
 
2. (a) 3 (b) -8 (c) 12 
 
3. (a) 9 (área do triângulo de base 3 e altura 6) 
 (b) 12 (área do trapézio de base maior 7, base menor 1 e altura 3) 
 (c) 
4
9
 (
4
1
 da área da circunferência) 
 (d) 36 (área do trapézio de base maior 15, base menor 9 e altura 3) 
 (e) 1 (2 vezes a área do triângulo de base 1 e altura 1) 
 
4. (a) -4 (b) 
4
33
 (c) 
3
652
 (d) -7 (e) 2 (f) 80 (g) 1 
 
5. (a) cx 3 (b) cx 
6
6
 (c) cx 2
3
3
2
 
 (d) cx 5
7
7
5
 (e) 
22
1
x
 (f) 
33
1
x
 
 (g) cxx  ln (h) c
x
x  1ln (i) cxx  ln3
3
3
 
 (j) c
x
x
x  1ln
4
4
 (k) cx 5sen
5
1
 (l) ct  4cos
4
1
 
 (m) c
xx 
4
2sen
2
 (n) cxx  cossen (o) cxx  cossen 
 
6. (a) 
3
20
 (b) 32 (c) 
7
72
 (d) 
9
274
 (e) 
24
187 (f) 16 (g) 
4
22 
 (h) 6931,01ln2ln  (i) 
4
5
 
 
7. (a)   2
2
3 2  xxxy (b)  
4
11
3
4
2
 xxxy 
 (c)  
3
4
3cos
3
1  xxy (d)  
4
1
24
24
 xxxxy 
 
8. Durante o primeiro minuto percorre-se m
3
13
; no segundo minuto, m
3
25
.