mecanica_dos_solidos

Prévia do material em texto

Brasília-DF. 
Mecânica dos sólidos
Elaboração
Tatiana Conceição Machado Barretto 
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
Sumário
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................. 4
ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA .................................................................... 5
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................... 7
UNIDADE I
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS ...................................................................... 9
CAPÍTULO 1
CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS E TENSÕES ........................................................................... 9
CAPÍTULO 2
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS .......................................................................... 14
UNIDADE II
TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES ....................................................................................................... 30
CAPÍTULO 1
TENSÕES EM VIGAS ................................................................................................................ 30
CAPÍTULO 2
DEFLEXÃO EM VIGAS ............................................................................................................. 37
UNIDADE III
CORTE E CISALHAMENTO PURO ........................................................................................................... 41
CAPÍTULO 1
FORÇA DE CORTE E TENSÃO 
DE CISALHAMENTO ................................................................................................................ 41
CAPÍTULO 2
MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL ............................................................................. 48
UNIDADE IV
TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA ........................................................................................................ 55
CAPÍTULO 1
MOMENTO DE TORÇÃO ......................................................................................................... 55
CAPÍTULO 2
MOMENTO FLETOR ................................................................................................................. 60
UNIDADE V
FLAMBAGEM EM COLUNAS ................................................................................................................. 65
CAPÍTULO 1
FLAMBAGEM EM COLUNAS .................................................................................................... 65
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 77
ANEXOS .......................................................................................................................................... 80
ANEXO I ................................................................................................................................. 80
4
Apresentação
Caro aluno
A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se 
entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade. 
Caracteriza-se pela atualidade, dinâmica e pertinência de seu conteúdo, bem como pela 
interatividade e modernidade de sua estrutura formal, adequadas à metodologia da 
Educação a Distância – EaD.
Pretende-se, com este material, levá-lo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos 
conhecimentos a serem oferecidos, possibilitando-lhe ampliar conceitos específicos da 
área e atuar de forma competente e conscienciosa, como convém ao profissional que 
busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científico-tecnológica 
impõe ao mundo contemporâneo.
Elaborou-se a presente publicação com a intenção de torná-la subsídio valioso, de modo 
a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na 
profissional. Utilize-a como instrumento para seu sucesso na carreira.
Conselho Editorial
5
Organização do Caderno 
de Estudos e Pesquisa
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em 
capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos 
básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam a tornar 
sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta, para 
aprofundar os estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de 
Estudos e Pesquisa.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita 
sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. É importante 
que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. As 
reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
6
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Para (não) finalizar
Texto integrador, ao final do módulo, que motiva o aluno a continuar a aprendizagem 
ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado.
7
Introdução
Segundo Hibbeler (2004), a resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda 
as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade 
das forças internas que atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo das 
deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a solicitações 
externas.
Resistência dos Materiais é uma disciplina que tem por objetivo estudar o comportamento 
dos sólidos, ou seja, os esforços e deformações nos corpos sólidos, elásticos ou plásticos, 
visando ao dimensionamento de uma estrutura.
Nesta disciplina, iremos ampliar o nosso conhecimento sobre a mecânica dos sólidos. 
Deseja-se aqui fornecer os conhecimentos básicos da mecânica das estruturas, do 
comportamento mecânico dos materiais e da análise das tensões, deformações em 
diversos elementos estruturais.
Este caderno de estudo foi baseado no livro “Resistência dos materiais”, de R. C. 
Hibbeler, publicado pela editora Pearson Prentice Hall. Esse é um material de apoio, 
utilize sempre outras bibliografias para complementar os estudos.
Objetivos
 » Continuar a desenvolver no estudante de Engenharia a habilidade de 
analisar um dado problema de maneira simples e lógica e aplicar em sua 
solução alguns princípios básicos e fundamentais.
 » Fornecer os conhecimentos básicos da mecânica das estruturas, do 
comportamento mecânico dos materiais e da análise das tensões, 
deformações em diversos elementos estruturais.
 » Estudar o comportamento de sólidos sob esforços.
 » Determinar dos esforços. 
 » Determinar as tensões e as deformações a que estão sujeitos os corpos 
sólidos devido à ação dos esforços atuantes.
 » Definir o que são deformações e tensões em materiais. 
 » Saber diferenciar entre tensão e deformação. 
8
 » Observar gráficos de tensão versus deformação e obter várias propriedades 
mecânicas dos materiais.» Entender os conceitos de dureza, fluência, resistência ao choque e fadiga.
 » Identificar quais são os melhores tratamentos para a obtenção do 
melhoramento de cada propriedade e/ou para cada material.
 » Estudar as reações, diagramas de esforço cortante e momento fletor em 
vigas isostáticas, posteriormente, estudar as tensões normais provocadas 
e métodos de cálculo para analisar os deslocamentos verticais em vigas.
 » Estudar o cisalhamento em barras fletidas.
 » Determinar o centro de torção das forças em ligações de barras fletidas.
 » Estudar flambagem de barras comprimidas.
9
UNIDADE I
COMPORTAMENTO 
MECÂNICO DOS 
MATERIAIS SÓLIDOS
Sabemos que as peças são submetidas a cargas ou esforços. Logo, é preciso conhecer as 
características que o material que os constitui possuem. Características essas que são 
fundamentais quando se vai projetar o elemento estrutural, para que ele seja construído 
de forma que quando submetido a um esforço, sua deformação não seja muito grande 
e com isso haja uma fratura.
O comportamento mecânico do material pode ser entendido como a resposta do 
material a uma carga ou força aplicada. As propriedades mecânicas de materiais são 
determinadas por ensaios, que tentam ser os mais parecidos possível com as condições 
de trabalho. Nesses ensaios, algumas condições importantes são consideradas, a 
natureza da carga aplicada, condições ambientais e a duração em que a carga é aplicada.
CAPÍTULO 1
Classificação dos esforços e tensões
Tipos de esforços 
Como as forças podem ser aplicadas num corpo de maneiras distintas, elas produziram 
diferentes tipos de solicitações. Esses esforços podem ser de: tração, compressão, 
cisalhamento, flexão e torção. 
Se cada um desses tipos atua de forma isolada, é denominado de solicitação simples. 
Mas, em diversas situações reais, acontece a combinação de dois ou mais tipos de 
esforços. Nesses casos, onde dois ou mais tipos de esforços aparecem combinados, 
diz-se que a solicitação é composta. Existem aplicações em que há um tipo predominante 
e os outros podem ser desprezados, mas há momentos em que é necessário que sejam 
considerados conjuntamente.
 » Tração: solicitação caracterizada pela tendência a alongar o elemento na 
direção da força aplicada.
10
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
 » Compressão: solicitação que tende a encurtar, ou reduzir, o elemento 
na direção da força de compressão.
 » Cisalhamento: o esforço tende a deslocar paralelamente, em sentido 
oposto, duas seções de uma peça. Ou seja, as forças aplicadas tendem a 
originar um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções.
 » Flexão: solicitação que provoca a mudança do eixo geométrico de uma 
peça. O que acontece é uma deformação na direção perpendicular à da 
força aplicada. 
 » Torção: solicitação tem tendência a girar as seções de uma peça, uma em 
relação às demais. Ou seja, as forças atuam em um plano perpendicular 
ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às outras.
 » Flambagem: é um esforço de compressão que ocorre em barras de seção 
transversal muito pequena quando comparada ao seu comprimento, essa 
solicitação tende a originar uma curvatura na barra.
As figuras 1 e 2 dão formas gráficas aproximadas aos tipos de esforços mais comuns a 
que são submetidos os elementos construtivos:
Figura 1. (a) Tração, (b) Compressão, (c) Flexão, (d) Torção, (e) Flambagem, (f) Cisalhamento.
Fonte: MPSC, 2016.
11
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Figura 2. Tipos de esforços.
Fonte: Costa, 2000.
Classificação das tensões
Sabemos que a tensão é a grandeza física definida pela razão entre a força que atua em 
uma superfície e a sua área. Se possuirmos uma barra de seção transversal A submetida a 
uma força de tração F, e outra de seção transversal maior, submetida à mesma força F, é 
obvio que a primeira estará sujeita a condições mais severas do que última. Por esse fato, 
surge a necessidade de se definir uma grandeza que relacione força e área, de maneira 
que se possa compará-las e caracterizá-las para os mais distintos materiais.
Figura 3.
Fonte: MPSC, 2016.
12
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Unidades de tensão
A tensão é medida pela razão de força por unidade de área. No Sistema 
Internacional de Unidades, a unidade destinada à tensão é o Pascal (Newtom/
metro quadrado), que também é uma unidade de pressão.
 » 1 Pa = 1 N/m2 
 » 1 Pa = 0,1 kgf/m2 (0,10197 kilograma-força por metro quadrado)
Para resistência dos materiais, normalmente, as unidades utilizadas são o MPa e 
o Kgf/cm2 .
Por exemplo, na Figura 3(a) uma barra é submetida a um esforço de tração F. Na Figura 
3(b) é representado o seccionamento transversal hipotético da mesma barra. Logo, 
supondo que as tensões estão igualmente distribuídas ao longo da seção, a tensão σ, 
normal ao corte, é dada por:
� = �� (Eq.1.1)
Tensões podem apresentar componentes de modo análogo às forças. Na Figura 3(c), 
a força F forma um ângulo α com uma seção hipotética, na vertical. E a força atuante 
nessa seção é a soma vetorial da força normal (F cos α) com a força transversal (F sen 
α). Logo, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes: tensão normal (σ) e 
tensão transversal (ou de cisalhamento) (τ).
As tensões podem ser classificadas como: como de tração, de compressão (tensões 
normais) ou de cisalhamento (tensão tangencial ou transversal ou de corte).
O esforço de flexão ou momento fletor é um caso particular de tração e compressão, 
quando as essas atuam em conjunto na seção, provocando deformações que predominam 
nas faces opostas do elemento. Provocam ainda deformações menores e resultantes 
tensões na parte central, sendo anuladas no eixo de inércia. Como veremos ao longo do 
curso, é importante saber que o conjunto de pontos de tensão nula dentro do corpo é 
chamado de linha neutra.
Já para o esforço de torção, há maior predominância da tensão de cisalhamento 
angular, que ocasiona deformações e consequentes tensões nas faces ou bordas 
externas do elemento. Ocorrendo também redução das tensões na parte central 
onde as deformações são menores, se são anuladas no centro de inércia onde não 
existe deformação.
13
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Figura 4. Alguns tipos de tensões, equações e módulos de elasticidade.
Fonte: Correa, 2016.
14
CAPÍTULO 2
Propriedades mecânicas dos materiais
Conceitos de tensão e deformação
Se uma força segue as Leis de Newton e um corpo é submetido a ela de forma uniforme 
em sua secção reta ou superfície, o seu comportamento mecânico pode ser mensurado 
por simples teste de tensão-deformação. As principais formas de se aplicar uma carga 
são, tração, compressão, cisalhamento e torção, na figura 5 é ilustrada a deformação 
produzida por cada tipo de carga. (DUTRA, 2016)
Figura 5. Ilustração esquemática de como uma carga produz deformação em (a).
Fonte: Dutra, 2016.
15
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Figura 6. Gráfico Tensão-Deformação.
Fonte: Dalcin, 2007.
Ensaio de tração
É um dos ensaios mecânicos mais comuns de tensão-deformação, pois pode ser 
usado para determinar varias propriedades mecânicas dos materiais. O ensaio de 
tração é realizado utilizando-se uma amostra padrão (Figura 7), que são presas pelas 
extremidades na máquina de ensaio. No aparelho de teste o corpo é alongado de forma 
constante e a carga aplicada é medida de forma simultânea e continua junto com suas 
elongações. A carga é aplicada ao longo do eixo do corpo de prova e o esse é deformado 
até a fratura, trata-se de um ensaio destrutivo.
Ao final do ensaio, é construída uma curvade tensão-deformação, onde é possível 
identificar a deformação para cada carga aplicada (Figura 7).
Figura 7. Ensaio de tração: medida do Módulo de Elasticidade.
Fonte: Dalcin, 2007.
16
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Ensaio de compressão
Tipo de ensaio utilizado quando forças em serviço são de compressão. Realizado de 
maneira parecida com o ensaio de tração, diferindo pelo tipo de força e que o corpo de 
prova se contrai ao longo da direção da tensão. 
Elasticidade
Trata-se da capacidade que um material tem de se deformar quando submetido a ações 
externas, como uma força aplicada por outro corpo ou a ação da gravidade, e retornar a 
sua forma primitiva sem alteração quando essa força é retirada. 
A elasticidade do material depende de alguns fatores importantes: ligações químicas e 
intermoleculares do material, e a estrutura cristalina.
Plasticidade
Diferentemente da elasticidade, a plasticidade é a capacidade de um material adquirir 
uma forma qualquer quando submetido a um esforço; e conservar essa nova forma 
mesmo que esse esforço seja retirado. Saiba que a plasticidade pode ser vista como 
maleabilidade e ductilidade. 
Figura 8. Elasticidade e Plasticidade.
Fonte: Estrutura, 2008.
17
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Maleabilidade
Quando se deseja laminar, forjar, estampar, repuxar ou entortar um material, a 
maleabilidade é uma propriedade muito importante. Logo, a maleabilidade é a propriedade 
mecânica de alguns metais que os permite sofrer deformação tanto a quente, quanto a frio, 
possibilitando a sua transformação em chapas com fina espessura, sem sofrer ruptura.
É muito importante que você saiba que a maleabilidade de um metal é diretamente 
proporcional à temperatura que ele é trabalhado. Por esse motivo, os metais são mais 
fáceis de serem transformados em chapas quando trabalhados a quente.
Propriedades de tração
Limite de escoamento
É desejável, na maioria das vezes, quando se projeta uma estrutura, que o material 
que a compõe, quando aplicado uma tensão, só sofrerá deformação elástica. Logo, é 
importante conhecer a magnitude da tensão em que se inicia o regime plástico, pois é aí 
que se inicia o fenômeno do escoamento. 
O limite de escoamento é a tensão máxima suportada pelo material em que ele ainda 
esteja no regime elástico. Se a tensão aplicada for maior, o material não seguirá a Lei de 
Hooke, deformando-se plasticamente. 
O escoamento acontece quando elementos de liga ou impurezas impedem que hajam 
deslocamentos na rede cristalina, daí não ocorre o deslizamento e com isso o material 
se deforma plasticamente. O escoamento ocorre um pouco acima do limite elástico, a 
deformação e o alongamento são produzidos de maneira muito rápida, sem variação do 
esforço aplicado.
Figura 9. Limite de escoamento.
Fonte: Dalcin, 2007. 
18
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Em metais, o ponto de escoamento pode ser determinado analisando-se a curva 
tensão-deformação. Trata-se da região onde se inicia o desvio da linearidade da 
curva.
Em termos quantitativos, o limite convencional de escoamento para um metal é 
dado pela medida da resistência à deformação plástica. 
Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade
Nos materiais, dependendo do material e da temperatura, quando são aplicadas tensões, 
suas deformações ocorrem de forma proporcional. A constante de proporcionalidade 
entre elas é chamada módulo de elasticidade ou módulo de Young. Quanto maior esse 
módulo, maior a tensão necessária para o mesmo grau de deformação, e portanto, mais 
rígido é o material. 
O módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico fundamental para a engenharia e 
aplicação de materiais, que proporciona uma medida da rigidez de um material sólido. 
O módulo de elasticidade é importante na descrição de várias outras propriedades 
mecânicas, como a tensão de ruptura. É uma propriedade intrínseca dos materiais, 
dependente da composição química, microestrutura e defeitos.
A relação linear entre essas grandezas é conhecida como Lei de Hooke. 
Figura 10. Lei de Hooke.
Fonte: Estrutura, 2008.
Segundo a Lei de Hooke a deformação é dada por:
E
σ=ε (Eq. 1.2)
19
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Sendo a tensão de flexão dada por:
σ= − M yI 
 (Eq. 1.3)
Considerando:
Deformaçãoε : σ :Tensão deFlexão 
E :Módulo de Elasticidade 
I :Momento de Inércia 
́ y :Centróide 
Figura 11. Variação da Deformação Normal (Vista Lateral).
Fonte: Hibbeler, 2004.
Baseado na Lei de Hooke é possível observar que o módulo de elasticidade (E) é a razão 
entre a tensão e a deformação na direção da carga aplicada, sendo a máxima tensão que 
o material suporta sem sofrer deformação permanente.
A elasticidade linear é uma aproximação, na realidade os materiais apresentam 
algum grau de comportamento não linear. A teoria da elasticidade estuda 
como determinar as tensões, deformações e a relação entre elas para um sólido 
tridimensional. 
Limite de Resistência à Tração
Você já observou atentamente que a curva tensão-deformação é formada por uma região 
linear, onde ocorre a deformação elástica, e uma região de curva que ocorre a deformação 
plástica. Depois do escoamento, o material começa a deformar plasticamente até 
que aconteça a ruptura, dentro dessa região plástica a tensão cresce até um ponto de 
máximo e em seguida perde intensidade, até a fratura. Essa tensão máxima é conhecida 
como limite de resistência à tração, que é a tensão máxima que uma estrutura suporta 
em tração. A fratura só ocorrerá se a tensão correspondente ao limite de resistência à 
tração continuar sendo aplicada. 
20
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
É importante saber que o limite de resistência à tração é um divisor de águas quando se 
refere à deformação do material, até ele a deformação é uniforme, na região mais estreita 
da amostra de tração. Na tensão máxima, uma pequena constrição ou pescoço começa a 
se formar e toda subsequente deformação e a fratura irá ocorrer nele (empescoçamento). 
A resistência à fratura corresponde à tensão aplicada quando ocorre a 
fratura. Ordinariamente, quando a resistência mecânica de um metal é 
citada para propósitos de projeto, o limite convencional de elasticidade 
e usado. Isto é devido ao fato de que no tempo em que uma tensão 
correspondente ao limite de resistência à tração tenha sido aplicada, às 
vezes a estrutura terá experimentado tão grande deformação plástica 
que ela e inútil. Além disto, resistências à fratura não são normalmente 
especificadas para propósitos de projetos.
Fonte: Dutra, 2016
Figura 12. Limite de Resistência à Tração.
Fonte: Dalcin, 2007. 
Ductilidade
Os materiais de construção mecânica, na maioria das vezes, são submetidos a esforços. 
Muitos deles passam por processos de conformação mecânica, como a laminação, logo 
são deformados de tal maneira que não voltam a sua forma original. A ductilidade é a 
capacidade que um material tem em se deformar plasticamente ao sofrer a ação de uma 
força, deformam-se plasticamente sem se romperem.
Os aços dúcteis, quando sujeitos às tensões locais elevadas, sofrem 
deformações plásticas capazes de redistribuir os esforços. Esse 
comportamento plástico permite, por exemplo, que se considere, 
numa ligação rebitada, distribuição uniforme da carga entre os rebites. 
21
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Além desse efeito local, a ductilidade tem importância porque conduz 
a mecanismos de ruptura acompanhados de grandes deformações que 
fornecem avisos da atuação de cargaselevadas. 
Fonte: Padilha, 2000.
Figura 13. Ductibilidade.
Fonte: Estrutura, 2008.
Dureza
É uma propriedade que permite apenas que se conheça uma característica superficial 
do corpo de prova. Trata-se da grandeza que mede a resistência ao risco ou abrasão, ou 
seja, é medida a dureza pela resistência que a superfície do material oferece à penetração 
de uma ponta de maior dureza.
É uma propriedade bastante interessante, pois a partir dela pode-se medir outras 
características de forma indireta. Geralmente, a relação dureza e fragilidade são 
diretamente proporcionais, quanto mais duro o material mais frágil ele será. É possível 
também avaliar a resistência ao desgaste do material, quanto maior a dureza maior 
a resistência será, essa relação pode ser feita pois a resistência ao desgaste é uma 
propriedade dependente da superfície do corpo, assim como a dureza.
Sabendo-se a medida de dureza do material, ainda é possível identificar o grau de 
endurecimento superficial por tratamento térmico e estimar a resistência mecânica, já 
que na maioria das vezes as características internas são as mesmas da superfície do metal.
As principais formas de se medir a dureza do material são os ensaios: Brinell, Rockwell, 
Shore, Vickers e Knoop. 
22
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Fragilidade
Como já sabemos, a fragilidade de um material está intimamente relacionada a sua 
dureza. Materiais mais duros tendem a ser mais frágeis e quebradiços logo, tem baixa 
resistência aos choques, ou seja, tendem a quebrar quando submetidos a eles. 
Tenacidade
Entende-se por tenacidade a resistência que o material tem a choques, pancadas, vibrações, 
golpes, impactos, ou seja, a capacidade que se tem de absorver energia mecânica que 
provocarão deformações elásticas e plásticas. 
Quando se realiza um ensaio de tração, é possível determinar a tenacidade por meio da 
medida da área total do diagrama tensão-deformação. Então, é possível definir também 
a tenacidade como a energia total por unidade de volume de material necessária para 
provocar a sua fratura. 
Resiliência
A resiliência é uma propriedade que cabe só a situações dentro da região elástica 
do material. Definida como a capacidade do material de absorver muita energia por 
unidade de volume dentro do regime elástico. É importante saber que quando o esforço 
é retirado, essa energia é liberada.
Resistência à fadiga
A principal responsável por falhas em componentes metálicos em serviço é a fadiga. 
Esse tipo de falha é muito comum quando as peças metálicas trabalham sob o efeito de 
solicitações cíclicas em grande quantidade. Devido aos esforços repetitivos, a ruptura 
pode ocorrer em tensões inferiores às estudadas em ensaios de elasticidade. 
Alguns fatores contribuem para que ocorra a fratura por fadiga, principalmente pelo 
fato de se tratar de uma fratura com características frágeis. Alguns desses fatores são: 
temperatura, concentração de tensões, meio corrosivo e tensões residuais.
A resistência à fadiga é a resistência à ruptura dos materiais. Na maioria das vezes, ela 
é medida em ensaios elásticos e é fundamental quando se dimensiona uma peça que 
passará por esforços cíclicos e dinâmicos.
Os resultados dos ensaios de fadiga realizados em corpo de prova 
constituem apenas uma indicação do comportamento em serviço 
do material desse corpo que depende também de muitos fatores 
23
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
não representados nos ensaios deflexão-rotativa, flexão alternada e 
tração-compressão. 
Fonte: Padilha, 2000.
Resistência ao impacto
Um esforço de choque ou esforço de impacto é de natureza dinâmica. Os materiais 
quando são submetidos a esforços dinâmicos se comportam de forma diferente de 
quando estão sujeitos a cargas estáticas
Muitas propriedades têm muita influência sobre outras. Quando falamos de resistência 
ao impacto, temos que pensar na capacidade de um determinado material absorver 
energia do impacto, propriedade está ligada diretamente à sua tenacidade. E essa 
última ligada à sua resistência e ductilidade.
O comportamento dúctil-frágil dos materiais pode ser mais amplamente caracterizado 
por ensaio de impacto.
O ensaio de resistência é realizado para que se possa determinar a capacidade do material 
de absorver e dissipar essa energia. Ao final de cada ensaio de impacto, obtém-se a 
energia absorvida pelo material até sua fratura, podendo determinar o comportamento 
dúctil-frágil do material.
Hoje, existem vários ensaios de impacto para distintas situações, que vão desde um 
impacto de baixas velocidades até impactos de velocidades hipersônicas (USP). 
Os mais utilizados, e mais antigos também, são os ensaios Charpy e Izod. A Figura 14 é 
a representação de uma máquina de testes utilizada para os dois ensaios citados.
Figura 14. Máquina de ensaio de impacto.
Fonte: Scheid, 2016. 
24
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Ensaio Charpy
O ensaio Charpy, um dos tipos de teste de baixa velocidade, trata-se de um ensaio 
simples, onde um martelo pendular colide com o corpo de prova. 
Figura 15. Ensaio Charpy.
Fonte: Scheid, 2016. 
O corpo de prova possui uma seção transversal quadrada, entalhada no centro e 
biapoiado horizontalmente na máquina de ensaio (USP). Existem três tipos de corpos 
de prova utilizados no ensaio Charpy, eles possuem o mesmo comprimento (55mm) e 
seção quadrada (10mm) e são classificados de acordo com o seu entalhe. São eles: tipo 
A, tipo B e tipo C (Figura 16).
Figura 16. Dimensões no ensaio Charpy.
Fonte: CIMM, 2016. 
25
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Em todos os três tipos de corpo de prova o entalhe é feito no centro. No tipo A, ele é 
em forma de V, o do tipo B tem um formato que lembra uma fechadura e o tipo C é no 
formato de U invertido.
O ensaio consiste em se elevar o martelo pendular a certa altura na máquina de ensaio, 
para que ele adquira energia potencial gravitacional. O pendulo é solto, colide no corpo 
de prova e a fratura ocorre justamente no entalhe, já que esse ele é o local de concentração 
de tensões. O pendulo continua sua trajetória e vai até uma nova altura menor, já que 
perdeu energia durante o impacto, logo a nova energia potencial gravitacional e bem 
menor que a inicial.
A medição das energias potenciais gravitacionais iniciais e finais são importantes, pois 
é a diferença entre elas que diz qual a energia absorvida pelo corpo de prova, energia 
essa necessária para a ruptura do corpo de prova.
Ensaio Izod
Esse ensaio é muito parecido como o ensaio Charpy, a principal diferença entre os dois 
são as dimensões do corpo de prova e o posicionamento desse. No ensaio Izod o corpo 
de prova é muito parecido com o do ensaio Charpy do tipo A, a maior diferença é que 
nesse caso o entalhe não está no centro. O corpo de prova está numa posição engastada 
verticalmente na máquina de ensaio.
Figura 17. Ensaio Izod.
Fonte: Scheid, 2016. 
26
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Figura 18. Dimensões no ensaio Izod.
Fonte: CIMM, 2016. 
O tamanho e o formato do corpo de prova e o formato e dimensão do entalhe tem 
grande influência sobre os resultados do teste, logo os resultados encontrados no ensaio 
Izod são utilizados para comparar com os do ensaio Charpy, já que não se encontrarão 
resultados exatamente iguais devido aos diversos fatores.
Resistência à fluência
É a deformação plástica que ocorre num material, sob tensão constante ou quase constante, 
em função do tempo, e a temperatura tem um papel muito importante nesse fenômeno.
A fluência é a capacidade que um metal tem de alterar o seu tamanho e a sua resistência 
mecânica ao longo do tempo quando apenas sujeito a uma forçaconstante, em função 
do tempo, e uma temperatura de 40% da sua temperatura de fusão (Tf). 
Trata-se de uma deformação permanente de materiais. Esse tipo de deformação é 
observada em todos os tipos de materiais.
Para o Alumínio, 
Tf = 660°C+273K= 933K
933K x 0,4 = 373,2K – 273K = 100,2°C
A faixa de temperatura a partir da qual o alumínio estará sujeito a fluência, inicia 
em 100,2ºC
Ensaio de fluência
O objetivo do ensaio de fluência é o de determinar a vida útil do material nas condições de 
carga constante, durante um período de tempo e sob temperaturas elevadas. Utiliza-se de 
técnicas de extrapolação dos resultados, devido ao longo tempo de ensaio.
27
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Figura 19. Máquina de ensaio de fluência.
Fonte: Araujo, 2010. 
A máquina de ensaio é composta de: 
 » carga de tração constante; 
 » forno elétrico a temperatura constante e controlável; 
 » extensômetro para medir deformação em função do tempo. 
O tempo de aplicação de carga é estabelecido em função da vida útil esperada do componente.
Ensaio pode ser dividido em 3 categorias: 
1. ensaio de fluência propriamente dito, 
2. ensaio de ruptura por fluência, 
3. ensaio de relaxação
Ensaio de fluência propriamente dito
Consiste em aplicar uma determinada carga em um corpo de prova, a uma dada 
temperatura, e avaliar a deformação que ocorre durante a realização do ensaio. A duração 
do ensaio é muito variável. Em geral, o tempo é superior a 1.000 horas. O normal é o 
tempo de ensaio ter a mesma duração esperada para a vida útil do produto. Quando o 
ensaio é realizado durante um tempo mais curto é chamado de extrapolação.
Na região de encruamento a velocidade de fluência é rápida e ocorre nas primeiras 
horas. Velocidade de deformação (dε/dt) é decrescente e com isso há o aumento da 
resistência ao encruamento (Figura 20).
28
UNIDADE I │ COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS
Figura 20. Curva de fluência – Região de encruamento.
Fonte: Araujo, 2010. 
Na região de taxa de deformação constante, a taxa de fluência (de /dt) é constante, 
ou seja, linear. Esse é o estágio de maior duração. Há equilíbrio entre os processos de 
encruamento e recuperação. Já na região de ruptura a aceleração da taxa de fluência, 
há estricção seguida de ruptura.
Ensaio de ruptura por fluência
Muito parecido com o ensaio de fluência propriamente dito, mas aqui os corpos de 
prova são sempre levados até à ruptura. Os principais resultados obtidos no ensaio são 
o tempo para a ruptura do corpo de prova, a medida da deformação, e em alguns casos 
a medida da estricção. O ensaio dura aproximadamente 1.000 horas. 
Figura 21. Limite de ruptura.
Fonte: Araujo, 2010. 
29
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS SÓLIDOS │ UNIDADE I
Ensaio de relaxação
É por meio desse ensaio que são conseguidas informações sobre a redução da tensão 
aplicada ao corpo de prova quando a deformação em função do tempo é constante a 
determinada temperatura. O ensaio dura entre 1.000 a 2.000 horas. 
30
UNIDADE IITRAÇÃO E COMPRESSÃO 
SIMPLES
CAPÍTULO 1
Tensões em vigas
Equilíbrio de um corpo deformável
Os fundamentos da estática são de grande importância para o estudo de resistência 
dos materiais. Por esse motivo, nesse tópico estudaremos alguns conceitos de estática 
que serão importantes para o estudo. Estudaremos as relações entre cargas externas 
aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro 
do corpo.
 » Forças externas: cargas externas que um corpo é submetido, dividida 
em: força de superfície e força do corpo (Figura 22).
Figura 22. Força externa.
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2004. 
31
TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES │ UNIDADE II
 » Forças de superfície: forças ocasionadas pelo contato direto de um 
corpo com a superfície de outro, são distribuídas pela superfície de 
contato entre eles.
 › Força concentrada: força aplicada num ponto do corpo ocorre quando 
a superfície de contato entre os corpos é muito pequena em relação ao 
volume total dos corpos.
 › Carga linear distribuída: carga distribuída ao longo da superfície do 
corpo.
 » Força de corpo: força que ocorre quando um corpo exerce uma força 
sobre outro, sem que haja contato direto entre eles. Embora não haja 
contato, as forças são representadas como uma força concentrada sobre 
o corpo.
 » Reações de apoio: forças externas que ocorrem nos apoios ou nos 
pontos de contato entre os corpos. Na figura 23, são apresentados alguns 
apoios e as forças que eles originam. Saber o tipo de apoio é importante 
pelo fato de que além de cada um deles originar forças com sentidos e 
direções diferentes, também serve para escolha certa para cada elemento 
que será a ele acoplado.
Figura 23. Reações de apoio.
Fonte: Hibbeler, 2004.
 » Equação de equilíbrio: para que haja equilíbrio de corpos, é necessário 
que haja também o equilíbrio das forças e dos momentos.
32
UNIDADE II │ TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES
 › Equilíbrio das forças: evita translação ou movimento acelerado do 
corpo ao longo da trajetória.
 › Equilíbrio dos momentos: evita rotação do corpo.
Pode ser observada pelas seguintes equações:
ΣF=0. Soma de todas as forças igual a zero.
ΣMo=0. Soma de todos os momentos das forças em relação a um ponto é zero.
Para o sistema de coordenadas x, y, z e origem no ponto O.
ΣFx=0 e ΣMx=0, ΣFy=0 e ΣMy=0 e ΣFz=0 e ΣMz=0 (Eq.2.1)
 » Diagrama de corpo livre: por meio dele é possível observar todas as 
forças conhecidas e desconhecidas que agem sobre o corpo. Um diagrama 
bem feito, completo, permite com que as equações de equilíbrio sejam 
aplicadas corretamente.
 » Força normal, N: são esforços no sentido perpendicular ao objetivo. 
Surge quando forças externas tendem comprimir ou tracionar duas partes 
do corpo. A tração tende a “esticar” o objeto, o de compressão tende a 
comprimir as fibras dos objetos.
 » Força de cisalhamento, V: é um tipo de tensão que surge devido às 
forças aplicadas no mesmo sentido ou em sentidos opostos, na mesma 
direção, porém com intensidades diferentes do material analisado que 
essa tensão age tangencialmente à superfície do mesmo.
 » Momento de torção ou torque, T: esse tipo de momento ocorre quando 
as cargas externas provocam torção em um objeto em relação a outro.
 » Momento fletor, M: o momento fletor é um esforço ao qual tende a 
fletir, ou seja, “curvar” uma viga ou eixo. Esse momento é provocado 
por forças externas e provoca esforços de tração nas fibras externas e 
compressão nas internas.
Tensão
A força e o momento atuam em certo ponto da área secionada de um corpo. Eles representam 
os efeitos resultantes da distribuição de forças que agem sobre a área secionada. Conhecer 
a distribuição de carga interna é de grande importância no estudo de resistência dos 
33
TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES │ UNIDADE II
materiais, para resolver o problema em relação a ela é preciso conhecer a definição 
de tensão. A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico 
(área) que passa por um ponto.
Estudaremos nesse capítulo alguns tipos de tensão em vigas, a tensão normal, a tensão 
de cisalhamento e a tensão admissível. 
Tensão normal média em um barra com carga axial
Quando a força por unidade de área atua de forma normal, perpendicular, sobre 
o corpo, é conhecida como tensão normal (σ). Se a força normal tende a empurrar 
(Figura 24a) a diferencial de área, a tensão é denominada de tração, caso contrario, 
há a tensão de compressão.
Figura 24.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Alguns elementos estruturais e mecânicos são compridos e finos e submetidos a cargas 
axias, que em geral são aplicadas em sua extremidade. Na Figura 24, é possívelobservar uma barra sujeita a uma carga axial. Iremos estudar, nesse tópico, como 
determinar a distribuição média de tensão sobre a seção transversal de barras desse 
tipo. Caso todas as seções transversais sejam iguais, a barra é conhecida como 
prismática. Desprezando-se o peso e dividindo a barra para que haja equilíbrio no 
segmento inferior (Figura 24), “a resultante da força interna que atua sobre na seção 
transversal deverá ser igual em intensidade, oposta em direção e colinear à força 
externa que atua na extremidade inferior da barra”.
34
UNIDADE II │ TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES
 » Hipóteses: elas são estabelecidas com o objetivo de simplificar 
questões sobre o material e a aplicação de carga. Estabelecidas antes 
de se determinar a distribuição média de tensão que age sobre a seção 
transversal da barra. São elas:
 › É preciso que a barra esteja todo o tempo reta, antes e depois de a 
carga ser aplicada, e a seção transversal deve estar plana durante 
a deformação. Esses fatos irão garantir que a barra se deforme 
uniformemente quando sujeita a uma carga (não considerando as 
extremidades, ocorre nelas uma distorção localizada).
 › Com o objetivo de que a barra sofra deformação uniforme, é preciso 
que a carga seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção 
transversal e o material deve ser homogêneo e isotrópico.
Figura 25.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Distribuição da tensão normal média
Uma barra sendo submetida a uma deformação uniforme e constante, logo, a deformação 
surgirá de uma tensão normal constante. Por esse motivo, cada unidade de área da 
seção transversal será sujeita a uma força:
35
TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES │ UNIDADE II
Figura 26.
Fonte: Hibbeler, 2004.
O somatório de forças deve ser equivalente à força interna resultante P na seção transversal. 
Então:
׬݀ܨ ൌ ׬ ߪ݀ܣ஺ (Eq.2.2)
ܲ ൌ ߪǤ ܣ (Eq.2.3)
ߪ ൌ ௉஺ (Eq.2.4)
onde: 
σ = Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal. 
P = resultante da força normal interna, aplicada no centroide da área da seção transversal. 
A = área da seção transversal da barra.
Tensão admissível
No dimensionamento dos elementos de máquinas, as peças a serem calculadas deverão 
suportar as cargas com segurança. Por esse fato, são consideradas apenas deformações 
elásticas, por isso, a tensão de trabalho utilizada deve ser menor que a tensão de 
escoamento do material. A essa tensão dá-se o nome de tensão admissível. 
36
UNIDADE II │ TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES
A tensão admissível trata-se do valor máximo da tensão a que um determinado material 
poderá estar sujeito, utilizada para o dimensionamento das suas secções resistentes. 
Para que seja determinada, são consideradas as propriedades mecânicas do material 
escolhido e o tipo de solicitações a que estará sujeito, e deve-se ter em conta alguns 
fatores aleatórios ou imprevistos por meio da adoção de um coeficiente de segurança.
A relação entre a resistência mecânica do material e a tensão admissível para o cálculo 
deve ser tanto maior quanto mais complexo ou indefinido for o estado de tensão ou 
quanto mais imprevisível for o comportamento do material. 
A tensão admissível é determinada dividindo-se a tensão de resistência do material 
(σ r ou r por um coeficiente “S” chamado de coeficiente de segurança. A tensão admissível 
é dada por:
ߪത ൌ ߪ௥ܵ (Eq.2.5)
ou
�̅ = ��� (Eq.2.6)
O coeficiente de segurança é uma relação entre as tensões de resistência e admissível 
do material. Ele pode ser determinado devido a muitos fatores parciais, como: fator em 
função da homogeneidade do material, fator em função do tipo de carga a ser aplicado, 
fator em função de causas desconhecidas etc.
37
CAPÍTULO 2
Deflexão em vigas
O projeto da estrutura de um prédio, uma ponte ou uma máquina é baseado nas suas 
condições de uso. Esses são dimensionados de forma que possuam resistência suficiente 
para suportar os esforços aos quais serão submetidos. Os principais aspectos de resistência 
utilizados para a construção de um elemento são as propriedades mecânicas do material 
e as análises de esforços e tensões a que eles serão submetidos. Quando a força externa 
que atua no corpo vai sendo aumentada gradativamente, em um determinado momento 
a força será de tal magnitude que haverá a sua ruptura. Quando essa força ocorre 
perpendicularmente, o esforço físico que provoca uma deformação paralela a essa força 
é denominado flexão.
A ação de forças aplicadas ainda pode provocar a deflexão do eixo de uma viga ou de 
um elemento de máquina em relação a sua posição inicial. Por esse motivo, deve-se 
conhecer os valores de deflexão para as cargas que o corpo será submetido com o 
objetivo de encontrar meios de limitar ou impedir desalinhamentos em elementos de 
máquinas e deflexões excessivas de vigas em prédios, por exemplo.
A linha elástica 
Quando se deseja determinar a inclinação ou deslocamento em um ponto de uma viga 
ou eixo, é necessário antes de tudo traçar um esboço da forma defletida da viga quando 
carregada com o objetivo de visualizar os resultados calculados, logo, deve-se traçar a 
linha elástica. Ela é o diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide 
de cada área da seção transversal da viga.
Para que a linha elástica seja traçada, é necessário conhecer como a inclinação ou o 
deslocamento da viga são restringidos pelos diversos tipos de apoio. Alguns exemplos 
de informações importantes são listados abaixo:
 » Os apoios que resistem a uma força, como os pinos, restringem o 
deslocamento. 
 » Os apoios que resistem a um momento, como parede fixa, restringem a 
inclinação bem como o deslocamento. 
Quando há dificuldade de se determinar a linha elástica de uma viga, uma sugestão é 
traçar o diagrama de momento fletor da viga. Na curva elástica, o momento positivo 
38
UNIDADE II │ TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES
interno tende a curvar a viga com a concavidade para cima, e vice versa. Sempre deve 
existir um ponto de inflexão, ponto esse onde a curva passa de côncava para cima a 
côncava para baixo, visto que o momento nesse ponto é nulo. Logo, se o diagrama de 
momento for conhecido, ficará mais fácil representar a linha elástica.
Deflexão de vigas: método da integração
Para que as equações de cortante, momento, inclinação e deflexão de uma viga sejam 
encontradas mais facilmente, deve-se conhecer alguns fatores: as funções de carga 
(Apêndice A) e as condições de contorno (Apêndice B).
Um método utilizado para se determinar a inclinação e a deflexão de uma viga é o 
Método da Integração Direta, que permite que se chegue às seguintes equações:
d�y
dx� = −w(x) (Eq.2.7)
d�y
dx� = V(x) (Eq.2.8)
d�y
dx� = M(x) (Eq.2.9)
Condições de contorno
As condições de contorno são as condições iniciais, no caso de vigas elas são dadas de 
acordo com o tipo de viga a ser utilizada, por exemplo: as condições de contorno de uma 
viga engastada são bem diferentes da viga biapoiada. Para se encontrar as condições 
de contorno, também é importante conhecer as funções de Macaulay, que em deflexão de 
vigas são usadas para descrever cargas distribuídas. Sendo escritas de maneira geral como:
(x − a)� � � 0, x < 0(x − a)�, x ≥ 0 (Eq.2.10)
n ≥ 0
Princípio de Saint-Venant
As tensões e deformações em um corpo em pontos que sejam suficientementedistantes dos pontos de aplicação de carga dependem apenas da resultante 
das cargas estáticas, e não da distribuição dessas cargas.
39
TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES │ UNIDADE II
Esse princípio permite analisar diferentes formas de carregamento de uma mesma 
maneira, desde que, em uma situação de cargas concentradas, se desconsidere a 
distribuição das tensões nas regiões próximas ao ponto de aplicação. Nessas condições, 
o perfil de tensão nas proximidades do ponto de aplicação da força é de difícil análise, 
o que exige a utilização de métodos matemáticos avançados para que essas tensões 
sejam determinadas. Mas à medida que vai se afastando dessa região, considera-se a 
distribuição uniforme de tensões.
Segundo Teorema de Castigliano
A derivada parcial da energia de deformação de uma estrutura com relação 
a qualquer carregamento é igual ao deslocamento correspondente àquele 
carregamento.
O Segundo Teorema de Castigliano é um método utilizado para determinar o deslocamento 
e a inclinação de um ponto em um corpo. Esse teorema aplica-se em corpos que tenham 
material com comportamento linear-elástico e temperatura constante.
Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser expressa como 
uma função da força generalizada Pi, então a derivada parcial de energia de deformação 
em relação à força generalizada fornece o deslocamento generalizado na direção de Pi.
∆�=
∂U�
∂P�
 (Eq.2.11)
Em vigas, a energia interna de deformação é provocada pelo cisalhamento e pela 
flexão. Mas, quando se trata de uma viga esbelta (onde o comprimento é muito maior 
que a secção transversal) e longa, a energia de deformação devido ao cisalhamento é 
desprezível em relação à de flexão. Como:
U� = �
M�dx
2EI (Eq.2.12)
e,
∆�=
∂U�
∂P�
 (Eq.2.13)
Logo, 
∆= ∂∂P�
M�dx
2EI
�
�
 (Eq.2.14)
40
UNIDADE II │ TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES
Deflexão de vigas: método da superposição
A deflexão de uma viga que suporta simultaneamente diversas cargas 
diferentes pode ser obtida por superposição linear, ou seja, pela adição 
dos efeitos das cargas que atuam separadamente.
Para uma viga submetida a vários carregamentos distribuídos, torna-se conveniente 
calcular separadamente as flechas provocadas por cada um dos carregamentos e 
aplicar o princípio da superposição. A flecha provocada pelo carregamento total é então 
determinada pela soma dos valores encontrados para cada carregamento, isoladamente.
Consiste na resolução do efeito de carregamentos combinados em uma estrutura, 
determinando, separadamente, cada resultado e somando algebricamente ao final. São 
impostas algumas condições para o seu uso:
 » Cada efeito seja relacionado à carga que produz.
 » A carga não crie uma condição que afete o resultado de outra carga.
 » As deformações resultantes de qualquer carga específica não sejam 
grandes o bastante para alterar apreciavelmente as relações geométricas 
das partes do sistema estrutural.
41
UNIDADE IIICORTE E CISALHAMENTO 
PURO
CAPÍTULO 1
Força de corte e tensão 
de cisalhamento
O cisalhamento é um fenômeno muito presente em nosso dia a dia, ao se cortar uma 
folha, por exemplo. Para materiais, como os metais, o cisalhamento pode ser provocado 
com tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou aplicando-se esforços que 
originem forças cortantes.
O esforço cortante é produzido pelo movimento descendente da parte superior da 
tesoura, por exemplo, que, ao entrar em contato com o material a ser cortado, cria uma 
zona de deformação e ocorre o corte por cisalhamento. Quando há o corte, as partes se 
movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-se, o 
que chamamos de cisalhamento.
O denominado cisalhamento puro é o esforço cortante simples onde se despreza a flexão. 
Acontece quando uma peça é submetida a uma força F, que atua transversalmente ao 
seu eixo, originando um cisalhamento.
Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento ou tensão de corte ou ainda tensão tangencial é um tipo de 
tensão originada por forças aplicadas em sentidos opostos, mas em direções parecidas 
no material observado. 
Estudar o cisalhamento é de grande importância, devido ao fato de envolver a segurança 
de estruturas. Observe a imagem abaixo, existe aqui o surgimento de forças internas 
atuando na seção T, as forças cortantes. Aqui, a tensão de cisalhamento não é distribuída 
de forma homogênea, pois essa distribuição varia de zero, na superfície da barra, até 
um valor máximo, no centro do corpo.
42
UNIDADE III │ CORTE E CISALHAMENTO PURO
Figura 27.
Fonte: Efeito Joule, 2013.
Tensão de cisalhamento média
Tensão de cisalhamento é um tipo de tensão que surge devido a forças aplicadas no mesmo 
sentido ou em sentidos opostos, na mesma direção, porém com intensidades diferentes 
no material analisado, essa tensão age tangencialmente à superfície do material.
Figura 28. Conexão parafusada em que o parafuso é carregado por cisalhamento duplo.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Na Figura 28, observamos uma conexão parafusada que está sujeita a ação de forças 
de tração P, a pressão cortante contra o parafuso é exercida pela barra e a junta. Daí 
surge às tensões de contato ou tensões cortantes. A barra e a junta tendem a cisalhar o 
parafuso, ou seja, cortá-lo. Essa tendência é resistida por tensões de cisalhamento no 
parafuso (BUFONI, s/d).
43
CORTE E CISALHAMENTO PURO │ UNIDADE III
Figura 29.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Na figura 29a, vimos uma barra sujeita a uma força F. Caso esteja sobre apoios rígidos 
e para um F alto, essa força irá provocar deformação e falha no plano indicado por 
AB e CD. Na 29b, observamos o diagrama de corpo livre da mesma barra, para que o 
equilíbrio seja mantido, deve-se aplicar uma tensão de cisalhamento (V) de intensidade 
igual a V=F/A. Logo, a tensão de cisalhamento média, que deve ser aplicada por toda a 
área secionada, é dada por:
���� =
�
� (Eq.3.1)
τmed tensão cortante média na seção.
V = resultante interna da força de cisalhamento na seção.
A = área cortante - é a área projetada da superfície cortante.
Na Figura 29c, se pode observar que a tensão de cisalhamento média e V têm mesma 
direção, já que a tensão de cisalhamento faz surgir forças associadas, que juntas irão 
contribuir para a formação da resultante interna V.
A aplicação da equação é válida para a maioria dos componentes, embora de forma 
aproximada. Mas ela é aceitável em muitos casos, principalmente para elementos de 
44
UNIDADE III │ CORTE E CISALHAMENTO PURO
fixação. Existem, na realidade, dois tipos de cisalhamento: cisalhamento simples ou 
direto e cisalhamento duplo. A diferença entre eles está no número de partes que o 
pino/parafuso pode romper-se. A seguir serão apresentadas ilustrações de cada um dos 
dois tipos de cisalhamento.
Cisalhamento simples ou direto
O cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente 
em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos ou material de solda.
Figura 30. Juntas de aço e madeira (juntas sobrepostas).
Fonte: Hibbeler, 2004.
Cisalhamento duplo (juntas de dupla sobreposição)
Figura 31. Juntas de dupla sobreposição.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Existem dois planos de cisalhamento, e V é dado por:
� � �2 (Eq.3.2)
Equilíbrio
É uma propriedade complementar do cisalhamento. As quatro tensões de cisalhamento 
devem ter intensidades iguais e serem direcionadas no mesmo sentido ou em sentidocontrário uma da outra nas bordas opostas do elemento (Figura 32).
45
CORTE E CISALHAMENTO PURO │ UNIDADE III
Figura 32. Elemento de volume do material removido em um ponto localizado sobre a.
Fonte: Hibbeler, 2004.
∑�� = 0; ��������� � ��������� = 0 � ��� = ��� (Eq.3.3)
෍ܨ௭ ൌ Ͳ ՜ ߬௬௭ ൌ ߬௬௭ (Eq.3.4)
Momento sobre o eixo x,
∑�� = 0, �����∆�∆��∆� � ����∆�∆��∆� = 0 � ��� = ��� (Eq.3.5)
Portanto, 
߬௭௬ ൌ ߬௭௬ ൌ ߬௬௭ ൌ ߬௬௭ ൌ ߬ (Eq.3.6)
Ensaio de cisalhamento
A forma do produto final afeta sua resistência ao cisalhamento. É por essa 
razão que o ensaio de cisalhamento é mais frequentemente feito em produtos 
acabados, tais como pinos, rebites, parafusos, cordões de solda, barras e chapas. 
É também por isso que não existem normas para especificação dos corpos de 
prova. Quando é o caso, cada empresa desenvolve seus próprios modelos, em 
função das necessidades. 
Do mesmo modo que nos ensaios de tração e de compressão, a velocidade 
de aplicação da carga deve ser lenta, para não afetar os resultados do ensaio. 
Normalmente, o ensaio é realizado na máquina universal de ensaios, à qual se 
adaptam alguns dispositivos, dependendo do tipo de produto a ser ensaiado. 
Para ensaios de pinos, rebites e parafusos, utiliza-se um dispositivo como o que 
está representado simplificadamente na figura a seguir.
46
UNIDADE III │ CORTE E CISALHAMENTO PURO
Figura 33. Dispositivo de ensaio tipo gaveta.
Fonte: <http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAABv0sAI-1.png>.
O dispositivo é fixado na máquina de ensaio e os rebites, parafusos ou pinos são 
inseridos entre as duas partes móveis. Ao se aplicar uma tensão de tração ou 
compressão no dispositivo, transmite-se uma força cortante à seção transversal 
do produto ensaiado. No decorrer do ensaio, essa força será elevada até que 
ocorra a ruptura do corpo.
No caso de ensaio de solda, utilizam-se corpos de prova semelhantes aos empregados 
em ensaios de pinos. Só que, em vez dos pinos, utilizam-se junções soldadas. 
Para ensaiar barras presas ao longo de seu comprimento com uma extremidade 
livre utiliza-se o dispositivo a seguir.
Figura 34. Dispositivo para ensaio de barras.
Fonte: <http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAAIBgAL-8.jpg>.
47
CORTE E CISALHAMENTO PURO │ UNIDADE III
No caso de ensaio de chapas, emprega-se um estampo para corte, como o que 
é mostrado a seguir.
Figura 35. Dispositivo de ensaio de chapas.
Fonte: <http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAemeEAI-14.jpg>.
Nesse ensaio, normalmente se determina somente a tensão de cisalhamento, 
isto é, o valor da força que provoca a ruptura da seção transversal do corpo 
ensaiado.
Fonte: Costa, 2000.
48
CAPÍTULO 2
Módulo de elasticidade transversal 
Parâmetros elásticos e de escoamento 
Os parâmetros elásticos e de escoamento são utilizados para o estudo da conformação 
plástica, mas também, possibilitam que sejam realizados o cálculo e o dimensionamento 
das cargas que irão provocar a deformação plástica dos materiais. Como as medidas em 
termos quantitativos são muito pequenas, é possível considerar que as deformações 
reais e de projeto são praticamente iguais. Os principais parâmetros elásticos são: 
módulo de elasticidade, coeficiente de poisson, limite de escoamento e módulo de 
elasticidade transversal. Devido ao estudo do cisalhamento, nesse capítulo daremos 
ênfase ao estudo do módulo de elasticidade transversal.
Módulo de elasticidade (E)
Como já estudamos na Unidade 1, o módulo de elasticidade indica a rigidez do material, 
tendo influência da temperatura e pouco da composição química. Baseada na Lei de 
Hooke, o módulo de elasticidade pode ser expresso como sendo:
E =σε (Eq.3.7)
Onde;
σ = é a tensão na qual se obtém a deformação real ε
ε = deformação real
Coeficiente de Poisson ou Razão de Poisson (µ)
O coeficiente de Poisson mede a deformação transversal, em relação à direção 
longitudinal de aplicação da carga, de um material homogêneo e isotrópico. Ou 
seja, mede a rigidez do material na direção normal a que a carga está sendo aplicada 
(Figura 36). 
49
CORTE E CISALHAMENTO PURO │ UNIDADE III
Figura 36.
Fonte: próprio autor.
A relação se estabelece, a razão de Poisson não ocorre entre tensão e deformação, há 
sim uma relação entre as deformações ortogonais, que origina a equação a seguir:
μ = −ε�ε� = −
ε�
ε�
 (Eq.3.8)
Onde, 
 » µ = razão de Poisson (adimensional);
 » εx = deformação na direção x, que é transversal;
 » εy = deformação na direção y, que é transversal;
 » εz = deformação na direção z, que é a longitudinal;
 » εy, εy e εz são também grandezas adimensionais, já que são deformações.
Para a figura 36, a razão de Poisson é determinada pela relação entre as deformações 
na direção de aplicação de carga (ε1) e a deformação medida na direção perpendicular 
(ε2 ou ε3):
� = −���� = −
��
��
 (Eq.3.9)
50
UNIDADE III │ CORTE E CISALHAMENTO PURO
O sinal negativo na equação da razão de Poisson é adotado porque as 
deformações transversais e longitudinais possuem sinais contrários. 
Materiais convencionais contraem-se transversalmente quando 
esticados longitudinalmente e se encolhem transversalmente quando 
comprimidos longitudinalmente. A contração transversal em resposta 
à extensão longitudinal devido a uma tensão mecânica de tração 
corresponde a um coeficiente de Poisson positivo. Ao se esticar uma 
borracha, por exemplo, você notará que ela se contrairá na direção 
perpendicular àquela que você a esticou inicialmente. Por outro lado, 
quando o material possui um coeficiente de Poisson negativo (que são 
casos muitíssimo especiais) ele se expande transversalmente quando 
tracionado. Materiais que apresentam coeficiente de Poisson negativo 
são denominados auxéticos e também conhecidos como anti-borrachas.
Para materiais isotrópicos, o módulo de cisalhamento, o módulo de 
Young e a razão de Poisson são relacionados pela equação E= 2G(1+µ). 
Para a maioria dos metais que possui razão de Poisson de 0,25, G 
equivale a aproximadamente 0,4E; dessa forma, se o valor de um dos 
módulos for conhecido, o outro pode ser estimado.
Muitos materiais são elasticamente anisotrópicos; isto é, o comportamento 
elástico (por exemplo, a magnitude de E) varia de acordo com a direção 
cristalográfica. Para esses materiais, as propriedades elásticas são 
completamente caracterizadas somente com a especificação de diversas 
constantes elásticas, o número dessas dependendo das características 
estruturais do cristal. Mesmo para os materiais isotrópicos, pelo menos 
duas constantes devem ser dadas para que se tenha a caracterização 
completa das propriedades elásticas. Uma vez que a orientação do 
grão é aleatória na maioria dos materiais policristalinos sem textura, 
esses podem ser considerados isotrópicos. Vidros inorgânicos também 
são isotrópicos.
Fonte: Rodrigues, 2016.
Limite de escoamento
A partir dos estudos realizados na Unidade 1, é, talvez, o principal parâmetro conseguido 
com o ensaio de tração. É utilizado tanto para cálculos de projeto estrutural quanto 
para conformação plástica. Em geral, materiais que possuem propriedades mecânicas 
fixas, ditadas por uma norma de qualidade, o parâmetro mais observado é o limite 
de escoamento.
51
CORTE E CISALHAMENTO PURO │ UNIDADE III
Ao se realizar um ensaio de tração, é possivel identificar dois comportamentos em 
relação à determinação do limite de escoamento: materiais que apresentam um ponto 
descontínuo na curva tensão vs. deformação e materiaisque apresentam escoamento 
contínuo (alteram o comportamento elástico para o plástico continuamente).
Para materiais que apresentam escoamento continuo, é mais difícil determinar o exato 
limite de escoamento. As normas de realização dos ensaios propõem indicá-lo como 
sendo a tensão para uma deformação entre e = 0,2% a até e = 0,5% para materiais 
extremamente dúcteis.
Para os dois tipos de comportamento, a deformação elástica do corpo de prova é 
praticamente desprezível e,
A�� ≅ A�
Sendo,
Ays = área real do material 
A0 = área inicial 
Logo, o limite de escoamento é definido pela equação: 
σ�� =
F��
A�� ≅
F��
A�
 (Eq.3.10)
Onde,
Fys é a força exercida pelo sistema de testes sobre o corpo de prova de área inicial .
Módulo de elasticidade transversal (G)
Das propriedades necessárias para o dimensionamento de uma estrutura, a mais 
estudada é o módulo de elasticidade. Em um projeto de vigas, por exemplo, e em muitos 
outros elementos estruturais, o conhecimento dos módulos de elasticidade longitudinal 
(E) e transversal (G) é de fundamental importância. 
O módulo de elasticidade transversal (G) ou módulo de cisalhamento indica a 
rigidez do material quando submetido a um carregamento de cisalhamento. Caso o 
material sofra um esforço de cisalhamento puro (Figura 37a), ele se deforma como na 
figura 37b.
52
UNIDADE III │ CORTE E CISALHAMENTO PURO
Figura 37.
Fonte: MPSC, 2016.
Na região elástica, o ângulo de distorção γ e a tensão τ são proporcionais
߬ ൌ ܩߛ (Eq.3.11)
O coeficiente G é denominado módulo de elasticidade transversal.
A tensão de cisalhamento relaciona-se com uma força aplicada paralelamente a uma 
superfície, com o objetivo de causar o deslizamento de planos paralelos uns em relação 
aos outros. No caso, a deformação de cisalhamento (Υ) pode ser calculada pela tangente 
do ângulo γ.
Observe a figura 38, ela representa um cubo com algumas tensões de cisalhamento. No 
lado direito temos o cubo deformado de um ângulo γxy (deformação de cisalhamento) 
pela tensão de cisalhamento (τ). 
Figura 38. Cubo com algumas tensões de cisalhamento. No lado direito temos o cubo deformado de um ângulo 
γxy (deformação de cisalhamento) pela tensão de cisalhamento.
Fonte: Pinto; Luiz; Baron, 2014.
53
CORTE E CISALHAMENTO PURO │ UNIDADE III
Considerando agora tensões e deformações de cisalhamento para as três componentes, 
a relação da Lei de Hooke torna-se: 
߬௫௬ ൌ ܩߛ௫௬
߬௬௭ ൌ ܩߛ௬௭
߬௭௫ ൌ ܩߛ௭௫
Relação entre E, G e n: 
� � �2�� � �� (Eq.3.12)
A seguir, são vistos valores dos coeficientes elásticos de alguns materiais.
Quadro 1. Valores dos coeficientes elásticos de alguns materiais.
Material
Módulo de Elasticidade, E 
(Mpa)
Módulo transversal, G 
(MPa)
Coeficiente de 
Poisson, v
Alumínio e ligas de alumínio 6,93x104-7,98x104 2,59x104-2,7x104 0,32-0,34
Latão 1,02x105-1,11x105 3,71x104-4,2x104 0,33-0,36
Cobre 1,19x105-1,26x105 4,06x104-4,69x104 0,33-0,36
Ferro fundido 9,1x104-1,47x105 3,64x104-5,74x104 0,21-0,30
Aço ao carbono e de baixa liga 1,96x105-2,24x105 7,59x104-8,21x104 0,26-0,29
Aço inox (18-8) 1,96x105-2,07x105 7,31x104 0,3
Titânio 1,06x105-1,15x105 4,14x104 0,31-0,34
Tungstênio 4,0x105 1,57x105 0,27
Vidro 4,97x104-7,94x105 2,62x104-3,24x104 0,21-0,27
PMMA 2,41x103-3,45x103 1,04x103 0,35
Polietileno 1,38x102-3,8x102 1,17x102 0,45
Borracha 0,76-4,14 0,345-1,38 0,5
Fonte: Moura Branco, 1994.
A maioria dos materiais resiste menos ao cisalhamento do que à tração. Em geral, 
resistem 25% menos ao cisalhamento que à tração.
Quadro 2. Tensão de ruptura.
Material
Tensão de Ruptura
kgf/cm2
Tração Compressão Cisalhamento
Tr Tr-c Tr-s
Aço estrutural A-36 40 40 30
54
UNIDADE III │ CORTE E CISALHAMENTO PURO
Material
Tensão de Ruptura
kgf/cm2
Tração Compressão Cisalhamento
Tr Tr-c Tr-s
SAE 1020 42 42 32
SAE 4140 76 76 57
SAE 4340 86 86 65
AISI 316 60 60 45
Cobre 22,5 22,5 16,8
Latão 34,2 34 25,5
Bronze 28 28 21
Br fosforoso 52,5 52,2 39,5
Alumínio 18 18 13,5
Metal Patente 7,9 7,9 5,9
Fonte: Correa, 2016.
55
UNIDADE IVTORÇÃO SIMPLES E 
FLEXÃO PURA
CAPÍTULO 1
Momento de torção
Deformação por torção de um eixo circular
O termo torção faz referência ao giro de uma barra retilínea que está sujeita a momentos 
conhecidos como torques, que irão gerar rotação sobre o eixo longitudinal da barra. 
Logo, o torque é definido como o momento que tende a torcer um elemento em torno 
de seu eixo longitudinal. 
O estudo da torção é interessante, principalmente, para o projeto de eixos, por exemplo. 
O que ocorre quando um torque é aplicado em um eixo circular (considerado constituído 
de um material altamente deformável), os círculos e as retas longitudinais da grelha 
tendem a se deformar, Figura 39b. 
A torção faz os círculos permanecerem como círculos e cada reta 
longitudinal da grelha deforma-se em hélice que intercepta os círculos em 
ângulos iguais. Além disso, as seções transversais do eixo permanecem 
planas e as retas radiais dessas seções permanecem retas durante a 
deformação (Figura 39b). A partir dessas observações, podemos supor 
que, se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento do eixo e seu 
raio permanecerão inalterados.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Figura 39. Deformação do elemento retangular quando a barra é submetida a um torque.
Fonte: Hibbeler, 2004.
56
UNIDADE IV │ TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA
Para um eixo travado em uma extremidade e que se aplica um torque na extremidade 
oposta, como mostrado na Figura 39c, a região sombreada sofrerá distorção e passará 
a ter uma forma oblíqua. Segundo Hibbeler, forma-se então, na seção transversal, uma 
linha radial localizada a uma distância x da extremidade fixa do eixo e girará por meio 
de um ângulo φ(x), ou ângulo de torção. E depende da posição x e varia ao longo do eixo.
Fórmula da torção
A reação, quando um torque externo é aplicado a um eixo, é o surgimento de outro 
torque (interno) de mesma intensidade. Conheceremos agora a equação associada ao 
torque interno com a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de 
um eixo ou tubo circular. 
Caso o material seja linear-elástico, há uma variação linear tanto na deformação por 
cisalhamento, quanto na tensão de cisalhamento por toda extensão da reta radial na 
seção transversal. 
Assim, como a variação tensão-deformação, para um eixo maciço, τ 
varia de zero na linha de centro longitudinal do eixo a um valor máximo, 
τmáx , em seu limite externo. Tal variação é mostrada na figura 40, para 
as faces de um número selecionado de elementos, localizados em uma 
posição radial intermediária ρ e na extremidade do raio c.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Figura 40.
Fonte: Hibbeler, 2004.
57
TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA │ UNIDADE IV
A tensão de cisalhamento é determinada na distância intermediária ρ e na extremidade 
do raio do elemento a partir das equações abaixo, que são geralmente chamadas de 
fórmulas de torção:
߬ ൌ ቀߩܿቁ ߬௠௔௫ (Eq.4.1)
���� =
��
� 		
 (Eq.4.2)
߬ ൌ ܶߩܬ (Eq.4.3)
Onde:
τmax = tensão de cisalhamento máximo no eixo, que ocorre na superfície externa do 
elemento;
Tb= torque interno resultante que atua na seção transversal; 
J = momento de inércia polar da seção transversal; 
ρ = medida intermediária entre o centro do eixo e a extremidade do raio; 
c = raio externo do eixo. 
Momento de inércia polar para um eixo sólido: � ��
2 �
�
Momento de inércia polar para um eixo tubular de raio interno ci e raio externo ce:
Quando um eixo que tem seção transversal circular é submetido a um 
torque, a seção transversal permanece plana enquanto as retas radiais 
giram. Isso provoca uma deformação por cisalhamento no interior 
do material que varia linearmente ao longo de qualquer reta radial, 
indo desde zero na linha de centro do eixo até o máximo no seu limite 
externo. 
(HIBBELER, 2004)
58
UNIDADE IV │ TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA
Ângulo de torção
Para o projeto de eixos há limitações em relação à quantidade de rotação ou torção que 
acontece quando esse é submetido ao torque. É importante calcular o ângulo de torção 
do eixo quando se analisam as reações em eixos estaticamente indeterminados. 
Mostraremos agora como determinar o ângulo de torção φ de uma extremidade do eixo 
em relação à outra. Imaginando que o material se comporte de forma linear-elástica 
quando o torque é aplicado e desprezando as deformações localizadas que ocorrem em 
pontos de aplicação dos torques e onde a seção transversal muda abruptamente suas 
dimensões, temos a seguinte expressão para calcular o ângulo de torção φ. Se o ângulo 
de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
࣐ ൌ න ࢀሺ࢞ሻǤ ࢊ࢞ࡶሺ࢞ሻǤ ࡳ
ࡸ
૙
 (Eq.4.4)
Figura 41.
Fonte: Hibbeler, 2004.
Em geral, o material é homogêneo, de modo que G, a área da seção transversal e o 
torque aplicado são constantes, portanto, a equação que determina o ângulo de torção 
pode ser expressa do seguinte modo:
� � �� ��� �	 (Eq.4.5)
φ = ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra;
T (x) = torque interno na posição arbitrária x;
59
TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA │ UNIDADE IV
J (x) = momento de inércia polar do eixo expresso em função de x;
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.
Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção transversal ou 
ainda o módulo de elasticidade ao cisalhamento mudar abruptamente de uma região 
para outra, a equação para calcular o ângulo de torção será aplicada a cada segmento 
do eixo em que essas quantidades sejam constantes. O ângulo de torção de uma 
extremidade do eixo em relação à outra será, então, determinado pela adição de vetores 
dos ângulos de torção de cada segmento. Neste caso temos:
߮ ൌ෍ܶǤ ܮܬǤ ܩ (Eq.4.6)
A convenção de sinais a fim de aplicarmos a equação anterior, segue a regra da mão 
direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar 
for no sentido de afastar-se do elemento considerado quando os dedos são fechados 
para indicar a tendência da rotação.
Figura 42.
Fonte: Hibbeler, 2004.
60
CAPÍTULO 2
Momento fletor
Flexão pura
As peças longas, quando submetidas à flexão, apresentam tensões 
normais elevadas (por exemplo, para se quebrar um lápis, com as mãos, 
jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou cisalhá-lo; um 
momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões 
de ruptura no material). Daí a importância do presente estudo.
Fonte: UFF, 2016.
A flexão de uma barra pode ser classificada em três tipos: flexão pura, simples e composta. 
A flexão pura é um caso particular da flexão simples onde corpos flexionados somente 
estão solicitados por um momento fletor, não existindo assim o carregamento transversal, 
ou seja, na seção de uma barra onde ocorre a flexão pura o esforço cortante e esforço 
normal são nulos. É uma condição considerada idealizada, mas com a consideração das 
hipóteses simplificadoras, essa condição pode ser acoplada, posteriormente, aos efeitos 
das cargas transversais para se definir a deformada e as tensões na flexão simples. 
Como exemplo, temos a figura 43, onde a viga mostrada, no seu trecho central entre 
as cargas concentradas, o esforço cortante é nulo e a flexão é pura. Nos trechos das 
extremidades, entre os apoios e as cargas aplicadas, a flexão é simples.
Figura 43.
Fonte: UFF, 2016.
61
TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA │ UNIDADE IV
As condições de equilíbrio requerem que os esforços internos sejam equivalentes 
às solicitações externas. Como a solicitação na barra, no caso da flexão pura, é um 
momento constante M, em qualquer seção da barra a distribuição de tensões deve ser 
igual ao momento M. 
Figura 44.
Fonte: UFPR, 2016.
Figura 45. Tensões na seção transversal no ponto central durante a flexão.
Fonte: UFPR, 2016.
Chamando de xz as componentes da tensão de τxy e τx a tensão normal em um ponto 
da seção transversal e s cisalhamento é possível expressar o sistema de forças internas 
equivalentes ao momento M. Como o momento M consiste de duas forças de igual 
intensidade, mas sentidos opostos (Figura 44b) a soma dessas componentes é sempre 
igual a zero. Além disso, o momento fletor M é o mesmo em relação a qualquer eixo 
perpendicular ao seu plano e é zero em relação a qualquer eixo contido no seu plano. 
Aplicando-se as equações da estática, somatório de forças e somatório de momento, em 
função das resultantes, função das tensões nos elementos infinitesimais da seção em C, 
ilustrados na figura 45, chega-se respectivamente a: 
�σ�dA = 0 (Eq.4.7)
62
UNIDADE IV │ TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA
Somatório dos momentos em torno do eixo y, é:
�−yσ�dA = M (Eq.4.8)
As demais componentes normais e de cisalhamento, em uma barra submetida à flexão 
pura, não precisam ser consideradas.
Tensões e deformações no regime elástico
Imagine que o momento M aplicado provoca tensões na barra por flexão, em que a 
barra fletida está dentro do seu limite elástico linear, validando a Lei de Hooke para a 
tensão uniaxial. 
Sabendo-se que é E o módulo de elasticidade do material, o esforço normal simples, é 
permitido que se escreva que:
ߪ௫ ൌ ܧߝ௫ ou ߪ௠ž௫ ൌ ܧߝ௫௠ž௫ (Eq.4.9)
�� = − �� ���� (Eq.4.10)
Sendo:
ߪ௫ǣ ݐ݁݊ݏ ݋
ߝ௫ǣௗ௘௙௢௥௠௔­ ௢
Multiplicando-se ambos os membros da Equação 4.10 pelo módulo de elasticidade:
��� = −
�
� ����� (Eq.4.11)
Utilizando-se a Equação 4.9 na Equação 4.11:
�� = −
�
� ���� (Eq.4.12)
Onde,
ߪ௠௔௫ = o máximo valor absoluto da tensão. 
A tensão normal também varia linearmente com a distância em relação à linha neutra. 
Substituindo a equação 4.7 na equação 4.11:
����� � �−
�
� ���� �� � −
����
� ���� ������������� � �� (Eq.4.13)
63
TORÇÃO SIMPLES E FLEXÃO PURA │ UNIDADE IV
Na equação 4.13 é possível observar o primeiro momento estático da seção transversal 
em relação à linha neutra que deve ser igual a zero. Ou seja, uma barra submetida a 
flexão pura, desde que as tensões continuam no regime elástico linear, apresenta linha 
neutra passando pelo centro geométrico da seção transversal. 
A outra equação de equilíbrio a equação 4.8, momento em torno do eixo z, o qual 
deverá ser perpendicular a x internas, e substituindo nessa s linha neutra, nos mostra o 
equilíbrio do momento M aplicado com as tensões equação a equação 4.11, chega-se a:
නെݕ ቀെݕܿ ߪ௠௔௫ቁ ݀ܣ ൌ ܯ 
ߪ௠௔௫
ܿ නݕ
ଶ݀ܣ ൌ ܯ
 (Eq.4.14)
���� =
��
� 
Na qual o segundo momento estático da seção transversal é conhecido como momento 
de inércia, I em torno do eixo z contido na superfície neutra. 
Substituindo-se a equação 4.11 na equação 4.14, chega-se ao