Relatório do projecto de fim de Curso hermenegildogilkeny@gmail com

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REPÚBLICADEANGOLA
GOVERNODAPROVÍNCIADOKWANZA-NORTE
INSTITUTOMÉDIOPOLITÉCNICODECAMBAMBE-DONDO
«CURSODEFORMAÇÃODEPROFESSORES»
MULTIPLICAÇÃODEMONÓMIOSEPOILINÓMIOS
=PROPOSTASPARASUAAAPLICAÇÃONA8ªCLASSSE,TURMAB,
PERIODOMANHÃDOCOLÉGIO4DEJANEIRODECAMBAMBE-
DONDO=
Autores:
HemenegildoAgostinhoF.Lourenço
LuísMarquesTungunoMateus
Classe:13ª
Turma:Única
Orientador:
JoãoManuelAntónio
RelatóriodoprojectodeFimdeCurso,apresentadoparaaobtençãodoGrau
AcadémicodeTécnicoMédioemCiênciasdaEducação.
(Especialidade:EnsinodaMatemáticaefisica)
DONDO,NOVEMBRODE2018
REPÚBLICADEANGOLA
GOVERNODAPROVÍNCIADOKWANZA-NORTE
INSTITUTOMÉDIOPOLITÉCNICODECAMBAMBE-DONDO
«CURSODEFORMAÇÃODEPROFESSORES»
MULTIPLICAÇÃODEMONÓMIOSEPOLINÓMIOS
=PROPOSTASPARASUAAAPLICAÇÃODIDÁCTICANA8ªCLASSE,
TURMABDOCOLÉGIO4DEJANEIRODECAMBAMBE-DONDO=
Autores:
HemenegildoAgostinhoF.Lourenço
LuísMarquesTungunoMateus
RelatóriodoprojectodeFimdeCurso,apresentadoparaaobtençãodoGrau
AcadémicodeTécnicoMédioemCiênciasdaEducação.
(Especialidade:EnsinodaMatemáticaeFísica)
DONDO,NOVEMBRODE2018
ÍNDICE
Dedicatória…………………………………………………………………………....................................... I
Agradecimentos…………………………………………………………………….................................... II
Resumo………………………………………………………………………………....................................... III
INTRODUÇÃO………………………………………………………………………..................................... 01
CAPÍTULOI–APRESENTAÇÃODAPROBLEMÁTICA……………………...................... 06
1.1.Contextualizaçãodocolégio4deJaneiroCambambe–Dondo……............ 06
1.2.Caracterizaçãodocolégio4deJaneiro………………………………............................ 06
1.3.Problemática..................................................................................................... 06
1.3.1.Factoresgeradoresdaproblemática.............................................................. 07
CAPÍTULOII–FUNDAMENTAÇÃOTEÓRICAEPROPOSTAS.................................. 09
2.1.ConceitosChaves.............................................................................................. 09
2.2.Surgimentodasoperaçõescommonómiosepolinómios............................ 09
2.3.Teoriasquesustentam o processo deensino eaprendizagem da
multiplicaçãodemonómiosePolinómios.......................................................
10
2.4.ComomultiplicarmonómiosePolinómios........................................................ 11
2.5.Propostasdidácticas........................................................................................ 15
CAPITULO III– APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DA
PESQUISA.................................................................................................
17
3.1.Perfildosalunosmediantea1ªavaliação................................................ 17
3.2Perfildosalunosmediantea2ªavaliação.................................................. 18
3.3PerfildosalunosvoluntáriosdoJogoXadrez............................................... 19
CONCLUSÃO….……………………………………………………….…………....................................... 20
REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS…………………………………………….................................
APÊNDICE–I……………………………………………………………………............................................
APÊNDICE–II……………………………………………………………………...........................................
APÊNDICE-III…..........................................................................................................
Dedicatória
Dedicamosesterelatóriodoprojectodefim decursoaosnossospais,
professores,amigos,colegasealunos.
Agradecimentos
PrimeiramenteagradecemosaDeuspelavida,sabedoria,saúdeecoragem
quenosforneceuparapersistireconcluircomêxitoorelatóriodoprojectodefimdo
curso.
Agradecemostambém aonossoamigoCarlosquedisponibilizouoseu
computadorparaqueessetrabalhotivessecorpo.AonossoorientadorJoão
ManuelAntónioqueincansavelmentenosacompanhounestacaminhada.
AoprofessorJacksonpeloacompanhamentopontualnaelaboraçãoe
organizaçãodoprojecto.Atodosnossoscolegaseamigosqueapoiaramdeforma
directaouindirecta.
RESUMO
Opresenteprojectodefimdecursotemcomotemamultiplicaçãodemonómiose
Polinómiospropostasparaasuaaplicaçãodidáctica,na8ªclasse,turmaB,período
manhãdocolégio4deJaneirodeCambambe–Dondo.
Omesmotem comoobjectivosugerirum conjuntodepropostasdidácticasque
facilitemacompreensãodamultiplicaçãodemonómiosepolinómiosnosalunosda
referidaturma.
Estetrabalhovem questionaroensinodaálgebranoProcessoDeEnsino–
Aprendizagem naresolução deexercíciosdemultiplicação demonómiose
polinómios,deacordoasdificuldadesqueosautoresconstataram aolongodo
nossoperíododeestágiopedagógiconocolégiosupracitado.Paraissousou-seo
tipodepesquisaquali/quantitativa,eMétodosanívelteóricoetécnicoquesão:
Dedutivo,estatístico,comparativo,estudo de caso,entrevista,observação
participanteeinquérito.
Estapesquisavaiproporcionaraosprofessorespropostasdidácticasquelevarãoos
mesmosaidentificarascausasquefazem com queosalunosapresentam
dificuldadesnotema.
Palavras-chave:proposta,dificuldades,multiplicaçãodemonómiosepolinómios,
aplicaçãodidáctica.
NºdePág:20
Introdução
Acadadiaoserhumanotrabalhacomresoluçõesdeproblemas,osquais
fazempartedoseuquotidiano,sejam,osmaissimplesouosmaiscomplexos.A
resoluçãodeproblemaséum dosassuntosmaisdiscutidosnoensinoda
matemática,pois,trabalharcomproblemasmatemáticosiráfavorecerosalunosa
umamelhorcompreensãodotema,umavezqueestes,estejamrelacionadoscomo
seudia-a-dia.
As dificuldades encontradas poralunos e professores são muitas e
conhecidas.Esteprojectosingularizadoissubtemasqueparaosautorestevemaior
relevânciaquesão:“multiplicaçãodemonómiosepolinómios”.Porém,paraa
superaçãodessesobstáculos,tornou-senecessárioiraoencontrodesoluções.
Soluçõesestasapresentadasnum estudoquedispõeum conjuntodepropostas
didácticasemetodológicasquefacilitam acompreensãodoproblema.Esta
Pesquisajustifica-sepelaindiscutívelimportânciaqueesteprojectotemnoensino
damatemática,paraosprofessoreseparaaformaçãodosalunos.
ParaHierbert(1996citadoporMoraiseOnuchic2011:02)“resolverproblemas
postosemcontextopodepromoverconexõesentreomundorealeamatemática,e,
ajudaosalunosadesenvolverasuacompreensão”
DeacordocomasdificuldadesencontradasopresenteRelatóriotemcomo
tema“MultiplicaçãodeMonómiosePolinómiosPropostasparaasuaAplicação
Didáctica,na8ªclasse,turmaB,períodomanhã,do Colégio4deJaneirode
Cambambe–Dondo”.
Écorolário
1
doperíododeestágioquetivemosnocolégio4deJaneirode
Cambambe–Dondo,ondeseconstatouqueumgrupodealunosespecificamente
da8ªclasseturma-B,períodomanhã,apresentoudificuldadesnaresoluçãode
exercíciosligadosamultiplicaçãodemonómiosepolinómios,pelofactodeambos
ossubtemasseremleccionadossimultaneamente.Portanto,osautorestiverama
audácia
2
dedesenvolverestetemaquetemavercompropostasdidácticasparaa
suaaplicação,buscandoumaformadecontribuirparasolucionarasdificuldades
dosalunos,assimcomo,paraaquelesquefuturamenteconsultarãoestetrabalho.
DefiniçãodoProblema
Quaisasmetodologiasaempregarparasolucionarasdificuldadesdos
alunosna“MultiplicaçãodeMonómiosePolinómiosna8ªclasse,turma–B,
períodomanhãdoColégio4deJaneirodeCambambe–Dondo”?
1
Consequência,proposiçãoquesededuzdaquiloquesedemonstrou.
2
Impulsodaalmaparaactosdifíceisouperigosos,coragem.
Objectodeestudo
Oprocessodeensino–aprendizagem damatemáticanoquetangea
multiplicaçãodemonómiosepolinómiosnos8ªclasse,turmaB,períodomanhãdo
colégiosupracitado.
ObjectivogeraldaPesquisa
Proporumconjuntodeestratégiasdidácticasemetodológicasquefacilitem
acompreensãodamultiplicaçãodemonómiosepolinómiosnosalunosda8ª
classe,turma–B,períodomanhã,noreferidocolégio.
Objectivosespecíficos
 Analisaroestadoactualdoprocessodeensino–aprendizagem dos
alunosda8ªclasse,turmaB,períodomanhãdocolégio4deJaneirode
Cambambe– Dondo,noquetangeamultiplicaçãodemonómiosepolinómios;
 Determinarasbasesteóricas,metodológicasedidácticasquesuportamo
processodeensino–aprendizagem damatemáticanosalunosda8ª
classe,turma–B,períodomanhã,docolégiosupracitadonoquetangea
multiplicaçãodemonómiosepolinómios;
 Enumerarpropostasdidácticasparamelhoraroprocessodeensino–
aprendizagemdamatemáticanosalunosda8ªclasse,turma–B,período
manhã,doreferidocolégiocom relaçãoamultiplicaçãodemonómiose
polinómios.
Actividades
 Leccionarosconteúdossobremultiplicaçãodemonómiosepolinómios
separadamente;
 PraticaroJogoXadrezcomosalunosnumhorárionãoLaboral;
 Aulasdereforço;
 Avaliarasaprendizagensantesedepoisdaspropostasaplicadas;
Fontesusadasedificuldades
Paraaelaboraçãodesterelatório,usou-sevárioslivrosfísicosevirtuais,
trabalhosdematemáticaem ciênciasdaeducaçãoaoníveldegraudetécnico
médio(expostonabibliotecadoIMP/C-D),fontesbibliográficas,ecertossitesda
internet.
Osautorestiveram grandesdificuldadesnaelaboraçãodesterelatóriotais
como:afaltadeprofessortutor,poucasaulasdeIPC
3
queseriaadisciplinaqueteria
3
Introduçãoapesquisacientífica.
dadoaorientaçãoclaradarealizaçãodomesmo,odifícilacessoaosmeios
informáticos,afaltademeiosfinanceiros,dificuldadesem encontrarmeiosde
ensinoligadosaestetema,bemcomoaescassezdebibliotecasnomunicípio.
Populaçãoeamostra
Apesquisafoidesenvolvidanumcolectivode30alunosda8ªclasse,turmaB,
períodomanhãdocolégiosupracitado
4
cujafaixaetáriaédos14aos16anos.
Sendo 15 sexo masculino e 15 sexo feminino correspondendo a 50%
respectivamenteaosgéneros.
Quantoaselecçãodaamostrafoiconsideradaaleatória,porquedouniverso
tidoadisposiçãotodostiveram amesmapossibilidadedeserem escolhidos.
Seleccionou-se 20 integrantes da população que representa 66,6% dela
diversificandoosgénerossendo9dosexomasculinoquecorrespondea45%e11
dosexofemininoqueequivalea55%daamostra.Napresentepesquisa,aamostra
foiescolhidapelosautoresporserestaaturmacom maiorescondiçõespara
contribuirnainvestigação.
Tipodepesquisaemetodologiasutilizadas
ParaAnder-Egg(1978citadoporLakatoseMarconi2003:155):
Apesquisaéumconjuntodeprocedimentosreflexivosistemático,
controladoecríticoquepermitedescobrirnovosfactos,dados,
relaçõesouleisemqualquercampodoconhecimento.
Portanto o projecto foi realizado utilizando pesquisas do tipo
quali/quantitativa,segundoaformadeabordagemdoproblema.
Ocarácterqualitativopermitiuaosautoresfazerum estudodecasoe
ofereceropiniõesdiversassobreoproblemaesuacompreensão,jáquepara
Ludke(1986citadoporOliveira2002:03)afirmaque:
“Oestudodecasoqualitativoounaturalísticoencerraum grande
potencialparaconhecerecompreendermelhorosproblemasda
escola.Aoretrataroquotidianoescolaremtodasuariqueza,esse
tipodepesquisaoferecemomentosprecisosparaumamelhor
compreensãodopapeldaescolaesuasrelaçõescom outras
instituições”
Apesquisaquantitativarefere-seaidade,sexo,níveldeescolaridadee
declínio cognitivo,paraisso énecessário um acompanhamento portempo
determinado,num ambientenatural,vistocomofontededadosouenfoque
educativo.Étambém quantitativaporquevaianalisaradimensãodosresultados
obtidoscomrelaçãoaumgrupocaracterísticoeatéquepontoserãogeneralizáveis
apopulaçãoatravésdetabelasegráficosquepermitemumaanáliseestatísticae
4
Citadooumencionadoacima.
obtençãodedadosconfiáveis.Portanto,apesquisaquantitativa,possibilitou
representararealidadedeformanuméricadosdadosobtidos.
Para Gil(1989:27)Método científicoéo conjunto deprocedimentos
intelectuaisetécnicosadotadosparaatingiroconhecimento”
Combasenapesquisarealizadaforamempregadososseguintesmétodosa
nívelteóricoetécnico:
 Dedutivo:paraGil(citadoporProdanoveFreitas2013:27)“éométodoqueparte
dogerale,aseguir,desceaoparticular”
Usou-separaformularexercíciossobremultiplicaçãodemonómiose
polinómiospartindodepremissasverdadeiras,paraobtençãodesoluçõesformais,
quetemcomofinalidadeatingirosobjectivosdesejadosparaumaaprendizagem
significativa
5
.
 Comparativo:ParaLakatoseMarconi(2003:107):
método empregado por Tylor.Considerando o estudo das
semelhançasediferençasentrediversostiposdegrupos[...]Este
método realiza comparações com a finalidade de verificar
similitudes
6
eexplicardivergências[...]Éempregadoemestudosde
largoalcanceedesectoresconcretos,assimcomoparapesquisas
qualitativasequantitativas
Aplicou-seporquepermitiu aosautoresanalisarosdadosconcretos
deduzidosdostestesaplicadosaamostra,antesedepoisdautilizaçãodas
propostasconstituindoassim,umaverdadeira“experimentaçãoindirecta”.
7
 EstudodeCaso:Para(Ikeda;Veludo-de-Oliveira;Campomar,2006:147):
“Ométodoestudodecasoéumaestratégiadeensinobaseadana
apresentação de circunstâncias factíveis e/ou verídicas com o
objectivodelevarosalunosarefletiremsobredecisõesparaepisódios
estudados”
Usou-separaaproximararealidadepráticanasaladeaula,desenvolver
habilidadesdeanáliseeraciocínio,estimularamotivaçãoeaparticipaçãoactiva
dosalunos,fomentaraactividadesemequipeeampliaravisãodosalunospormeio
deanálisesdeexercíciosligadosamultiplicaçãodemonómiosepolinómios.
 Estatístico:paraI.BattistieG.Battisti(2008:10):“estatísticaoferecetécnicas
paracolectadedados,organização,análiseeinterpretaçãodedados”.
5
Processopormeiodoqualumanovainformaçãorelaccina-se,demaneirasubjectivaaumaspecto
relevantedeconhecimentodoindivíduo.(Moreira)
6
Semelhanças.
7
Verificaçãoexperimentaldepropostasteóricasqueseestabeleceporintermédiodeumproblema
dissimulado.
Foiusadopoispermiteobter,um conjuntoderepresentaçõessimplese
complexas,constatarseessasverificaçõessimplificadastêmrelaçõesentresi,cujo
papelprimordialéfornecerumadescriçãoquantitativacom ralaçãoaonívelde
escolaridadeecognitivodosalunos.
Técnicas
 Observaçãoparticipante:éatécnicaqueseaplicouparacolectarosdados
directamentearealidadenasaladeauladeformaexata,completa,sucessivae
metódica.
 Entrevista:usou-separarecolherinformaçõesmedianteumaconversaçãode
naturezaprofissionaldeformaadiagnosticarosproblemasdosagentesdo
processodeensino–aprendizagem.Porestemotivofoidirigidaaoprofessorda
disciplina,paraconhecerotrabalhoprojectadoerealizado.
 Inquérito:sendoumaformadecolectadedadosquepodeserapresentadoem
formadequestionárioouentrevista,porestemotivoutilizou-seaoprofessore
aosalunosparaobterinformaçãoacercadosconhecimentosqueelespossuem
sobremultiplicaçãodemonómiosepolinómios.
Arealizaçãodestapesquisaéimportanteparaosalunos,professoreseoutros
leitores pois servirá de suporte metodológico para resolver dificuldades
encontradasnamultiplicaçãodemonómiosepolinómios,paraqueosalunos
futurosnãosedeparem com asmesmasdificuldades.Noentanto,apesquisa
contribuiráparamelhoriadaqualidadedoprocessodeensino–aprendizagemda
Matemáticaprincipalmentedoproblemaconstatado;também poderáservirde
materialdeapoioparaosinvestigadoresdoprocessoensino–aprendizagemda
Matemática.Portanto,poderámelhorarodesempenhoescolarnosalunos,e
consequentementecontribuiráparaumbomrendimentoescolar.
Estruturadotrabalho
Opresenteprojectoestádivididoem trêscapítulosparaalém deoutros
elementospré-textual,textualepós-textual.
CAPITULOI– Nestecapitulofaz-seumacontextualizaçãotrazendoas
referênciasdeondeecomofoiidentificadooproblema,asdificuldadesconstatadas
nosalunoseseusfactores.
CAPITULOII–Dá-seosconceitoschaves,faz-seumaretomadahistórica
sobre o surgimento dos monómios e polinómios,algumas propostas e
procedimentometodológicoquesustentamoprocessodeensino–aprendizagem
doproblemaidentificado.
CAPITULO III– Apresentaçãodosresultadosdaaplicaçãopráticada
pesquisa.
CAPITULOI–APRESENTAÇÃODAPROBLEMÁTICA
1.1–CONTEXTUALIZAÇÃODOCOLÉGIO4DEJANEIRODECAMBAMBE–
DONDO
Ocolégio4deJaneirodeCambambe–Dondo,éumaescolaqueencontra-se
localizadanoBairroCafumazona7,estálimitadaaNortepelapontesobreorio
Mucoso,asulpelaexfabricaPré-Bloco,aesteaEstradaNacional230eaoestepelorioMucoso.SegundooDirectorgeralHermínioAntónioFelixdizque,esta
instituiçãoescolarfoiinauguradanodia4deJaneirode2014peloexgovernador
HenriqueAndréJúnior,comonomeEscoladoIciclodoensinosecundário4de
Janeiro,eascendeuacategoriadeColégionesteanodeacordocomaleinº17/16,
de7deoutubrode2016,noseuartigo59ºdizque:designa-secolégio,as
instituiçõesqueministramoIciclodoensinosecundário.
1.2–CARACTERIZAÇÃODOCOLÉGIO4DEJANEIRO
Aescolacomporta12salasdeaulas,3gabinetesdirectivos,1secretaria,1
saladeprofessores,1cantina,1saladeleituras,3casasdebanhosparaalunos,2
casasdebanhodosprofessores(masculinaefeminino),2vestiários(masculinoe
feminino),3armazéns,1subcaptaçãodeágua,umcampomultiuso,1parquede
estacionamentoe1guarita.
Ocolégioécompostopor62funcionários,sendo61professoresdosquais28
efectivos,33voluntáriose1(uma)auxiliardelimpeza.Nocorrenteanolectivo,o
colégiorecebeu16professoresestagiáriossendo7dosexoMasculinoe9dosexo
feminino,forammatriculados978alunos,sendo563dosexomasculinoe415do
sexofeminino.
Atabelaabaixoapresentadeformadescriminadaosalunosmatriculadospor
classeesexo.
1.3PROBLEMÁTICA
Onossoestágiofoirealizadonocolégio4deJaneirodeCambambe–Dondo
queéumaEscoladoICiclocom estruturaarquitetônicamodernaquenanossa
CLASSES ALUNOSMATRICULADOS MASCULINO FEMININO
7ª 485 262 223
8ª 285 169 116
9ª 208 132 76
TOTAL 978 563 415
humildeopiniãoseriamaisvalorizadapoisquenela,existem compartimentos
subaproveitados,taiscomo:Saladeleituraacantinaeduassalasdeaulas.Ela
formarespectivamentealunosda7ª,8ªe9ªclassesfuncionandoem 3turnos,
Manhã,Tarde,eNoite.Noperíododamanhãfrequentamasaulasosalunosda8ªe
9ªclasses,noperíododetardeestudam somenteosalunosda7ªclasse,eno
períodonocturnoosalunosda7ª,8ªe9ªclasses,dentreessesturnosonosso
estágiodecorreunoperíododamanhãespecificamentena8ªclasseonde
Comprovamospormeiodealgumasobservaçõesfeitaseperguntasdecontrolo,
queosalunosdaturma-B,docolégiosupracitado,apresentaram asseguintes
dificuldades:
 Calcularpotênciasdemonómiosepolinómiosoumesmodeumnúmerointeiro;
 Multiplicarmonómiossemelhantes;
 Multiplicarmonómioscomamesmaletramasexpoentesdiferentes;
 Multiplicarmonómiosnãosemelhantestendoemcontaaordemalfabética;
 Multiplicarmonómiosporumnúmerointeiro;
 Multiplicarummonómioporumpolinómio;
 Multiplicarpolinómiosutilizandoapropriedadedistributiva
8
damultiplicação;
1.3.1–FACTORESGERADORESDAPROBLEMÁTICA
Osfactoresqueestãonabasedasdificuldadesnoprocessodeensino–
aprendizagemreferenteamultiplicaçãodemonómiosepolinómiossãodiversos,
abordamososdemaiorrelevâncialigadosadirecçãodocolégio,professorese
alunos.
Direcçãodocolégio
 Aausênciadebibliotecas,deformasqueosalunospossamconsultaroslivrosde
matemáticaemparticulardotemaemquestãooudeoutrasdisciplinasdemodoa
ajudarnoprocessodeensino–aprendizagem;
 Faltadepalestras,debates,olimpíadasdematemática,dentreoutrasactividades
extra–escolar,comoapráticadeJogos(Xadrez
9
,Tempoly,etc.)queimpulsionam
osalunosavalorizaçãodapráticaemmatemática,deformasqueaprendizagem
sejasignificativa;
PROFESSORES
 Afaltademotivaçãonatransmissãodosconteúdos;
 Dificuldadesemrelacionarateoriacomaprática;
 Poucainvestigação;
 Afaltadeatençãonosalunosqueapresentammaiordificuldadesnamultiplicação
8
Propriedadesdamultiplicaçãoqueseaplicarelactivamenteaumaadiçãoousubtracção.
9
Éumjogodetabuleirotambémconsideradoarteeciência.
demonómiosepolinómios;
 Afaltadeincentivonapráticadeactividadesextra–escolarcomoJogosque
desenvolvemashabilidadesemmatemática;
 Anãoseparaçãodossubtemas“multiplicaçãodemonómiosepolinómios”quecria
bastantedificuldadesnosalunos;
 A falta de diversificação na elaboração de exercícios sobre multiplicação
demonómiosepolinómios;
ALUNOS
 Aausênciadegruposdeestudo,istoé,nãotêmpráticasdeestudarememconjunto;
 Afaltadeinteressepeladisciplinadematemática;
 Aausênciademateriaisdeapoio;
 Afaltadebasessuficientestrazidasdasclassesanteriores;
 Dificuldades no domínio das propriedades de potências e distributiva da
multiplicaçãoemrelaçãoaadiçãoesubtracção;
 Dificuldadesnaidentificaçãodosmonómiosepolinómios;
 Limitam-sesomentenaquiloqueoprofessorleccionaenãotem um carecter
investigativo;
Osfactoresacimadeclaradosconstituemumentravenorendimentoescolar,
napreparaçãodosprofessoresedosalunos,oquecontribuidemaneiranaturalnas
dificuldadesaoleccionarotemasobremultiplicaçãodemonómiosepolinómios,
bemcomodaqualidadedoprocessodeensino–aprendizagem.
CAPITULOII–FUNDAMENTAÇÃOTERÓRICAEPROPOSTAS
2.1.–Conceitoschaves
MonómioePolinómio
DR. Baldor (2008) deu os seguintes conceitos sobre monómios e
polinómios:“monómioéumaexpressãoalgébricaqueconstaumsótermo
10
,como:
3a,5b, "“polinómioéumaexpressãoalgébricaqueconstamaisdeumtermo
yx
2
4n
2
como:a+b,a+x, +2 +x+7"x
3
x
2
Aplicaçãodidáctica:éaadaptaçãodetécnicasdeensinoparamelhoraroprocesso
deensino–aprendizagemdeumproblemaemestudo.
2.2.–SURGIMENTODASOPERAÇÕESCOMMONÓMIOSEPOLINÓMIOS
DomingueseIezzi(2003:281-282)nasuaobraÁlgebramodernafazema
seguinteabordagemsobreosurgimentodosmonómiosepolinómios.
NaprimeirametadedoséculoXVI,verificou-seum grandeavançono
desenvolvimentodateoriadeequaçõesalgébricascomadescobertadefórmulas
algébricaspararesoluçãodeequaçõesdegrau3e4.Masoraciocíniodos
matemáticosqueconseguiramessefeitoeraaindageométricoealinguagemverbal.
Em1591ofrancêsFrançoisViète(1540–1603)emsuaobraIntroduçãoa
ArteAnalítica(InOrtenAnalyticemIsagoge),criouocálculoliteral,ouseja,introduziu
alinguagem dasfórmulasnamatemática.Pelaprimeiraveznahistóriada
matemáticatornou-sepossívelescrevergenericamente,porexemplo,umaequação
dosegundograu.Noentanto,anotaçãousadaporViète,queconsistiaem
representarporvogaiseconsoantesmaiúsculasrespectivamenteasvariáveiseas
consoantes.Porém,representarconstantesporletras,algoquehojenosaparece
corriqueiro,
11
foiumarevoluçãonamatemática.
OtrabalhodeViètetevecontinuidadecomotambémfrancêsRenéDescartes
(1596–1650),Nasuaúnicaobramatemática,Geometria(Géomètrie),tinhapor
objetivousaropotencialdaálgebranaresoluçãodeproblemasgeométricos
clássicos.Entendendoqueageometriaclássica“nãoexercitaointelectosem
cansaraimaginação”equeaálgebrarenascentista
12
queherdarasubmetiaasletras
aregrastaisque,“emvezdesetransformarnumaautenticaciência,torna-seuma
arteconfusaqueobscureceamente”,Descartesprocurouestabeleceruma
vinculaçãoentreessesdoisramosdamatemáticaqueaproveitasse“omelhorda
analisegeométricaedaálgebraparacorrigirosdefeitosdeumapelaoutra”.A
publicaçãodessaobrarepresentaomarcoinicialdageometriaanalítica.
10
Expressãoquepodesertomadaseparadamentenumaequação,sérieouemoutraexpressão.
11
Habitual,quelevaetraznovidade.
12
Ágebrausadanaidademédia.
Paraembasarseutrabalho,Descartestevededarcontribuiçõesprópriaspara
odesenvolvimentodaálgebra.Éocaso,porexemplo,doprincípiodeidentidadede
polinómios
13
,quepossivelmenteusoupelaprimeiraveznahistóriadamatemática.
Diga-sedepassagem,porém,quenascontribuiçõesdeDescartesàmatemática
nãosenotanenhumapreocupaçãocom enunciadoseformalismoteórico.Vale
acrescentaraindaquetantoamodernanotaçãoalgébricaousodeletrasx,y,zpara
indicarvariáveisea,b,c,… paraindicarconstantesouparâmetroscomoanotação
exponencialparaindicarpotênciasforamintroduzidasporDescartesnaobracitada.
Portanto,épossívelentenderaálgebracomoportadeentradaparauma
matemáticamaisavançada.Aálgebradáaosalunososconceitosealinguagemde
queprecisamparapartirdasoluçãodeproblemasindividuaisdamatemática,para
então,compreenderemasrelaçõesmaisgenéricas.
2.3–Teoriasquesustentamoprocessodeensino–aprendizagemna
multiplicaçãodemonómiosepolinómios.
Aálgebraéocálculodasfunções,ouéapartedamatemáticaquetempor
objectoatransformaçãodasexpressõesalgébricaseasresoluçõesdeequações,
Gonsalves(1971).Portanto,osconceitosalgébricossãomaisabrangentesqueosdaaritmética.Emálgebra,representamosasquantidadesapresentadasdeforma
generalizadapormeiodeletras,asquaispodem representarinfinitosnúmeros.
Sendoassim aaprendizagem dasoperaçõescom monómiosepolinómios,deve
progressivamenterecorrerasituaçãoquepermiteosalunoscompreenderem a
manipulação simbólica envolvida na resolução de expressões matemáticas,
equações,emostraraosalunosdeumaformaretardadacomodeterminarumvalor
desconhecido,ajudando-lheacompreenderearesolverumaequação,assimcomo
responderperguntasquerequerum númerocomoresposta,ajudandoassim os
alunosamelhorcompreensão.Paraissoénecessárioque:
“todo professordo ensino fundamentalpode serdeve serum
pesquisadorsobreo seu próprio ensino.Alguém quequestiona
permanentementeossaberesqueensina.Alguém queescapa,ao
mesmotempo,àpreguiçaexpositivaeaoenquistamentorepetitivo
14
.
Formar-seemformaçãoinicialecontinuada,nãosignificaoutracoisa:
pesquisar,contribuir,analisar,confrontarcom colegas e com
especialistassituaçõesdeaprendizagem”(Meirieu2006:44)
Apráticadejogosimpulsionam significativamentenaaprendizagem da
matemáticaem particularnamultiplicaçãodemonómiosepolinómios.Segundo
Prensky(2001citadoporBarroseCarvalho2014:02)defendeque:
“um jogoécompostoporseisfactoresessenciais,nomeadamentea
existênciaderegras,objectivos,feedback
15
,conflitos,interacçãosociale
13
P =D ×Q +R(x)(x) (x) (x)
14
Colhersucessivamente.
15
PalavraquederivadoInglêsquesignificareacção,regeneração.
representação”.
Éapresençadealgunsdestesaspectoscomoaexistênciaderegras,
objectivos,feedback,osentidodedesafioeinteracçãosocialqueosjogos
promovem,quetornamasuautilizaçãoemcontextoeducativo.
Um dosjogosqueincentivam aaprendizagem damatemáticaéoXadrez
Comumaparticularidadenasoperaçõescommonómiosepolinómios.SegundoSá
(2013:01)afirmaque:
“Nãosãorarososmatemáticosquesededicaram com sucessoao
Xadrez.OexemplomaisnotáveléodeEmanuelLasker(1868-1941)
queconseguiuconjugar27anosdecampeãomundialdeXadrezcom
um desempenhonotávelcomomatemático;osmanuaisdeálgebra
comutativareferemosanéisdeLaskereumimportanteteoremacom
osseunome,sobreanéisdepolinómios,quefoi16anosmaistarde
suplantadoporEmmyNother,afomosafilhadoorientadordetesede
Lasker”
2.4–ComomultiplicarmonómiosePolinómios
Paramultiplicarmonómiosénecessáriotermosem contaosseguintes
pormenores:
1ºsendoqueummonómioécompostoporumapartenumérica(coeficiente)
eoutraliteral,primeiramentemultiplica-seaspartesnuméricaseaseguiraspartes
literais.Existemtrêscasos:
1.1–Multiplicaçãodemonómiossemelhantes:nestecasomultiplicamosos
coeficienteseaomultiplicaraspartesliteraisdevemosterem contaaseguinte
propriedadedapotência:“basesiguaiseexpoentesiguais”
× = =x
n
x
n
x
n+n
x
2n
× =(× = = =x
n
x
n
x
1
x
1
)
n
(x
1+1
)
n
(x
2
)
n
x
2n
Exemplos:
a)2a×3a=(2×3)× =6a
1+1
a
2
b)5 ×2 = =10( =10x
2
x
2
(
5×2
)
(
×x
2
x
2
)
x
2
)
2
x
4
1.2– Multiplicaçãodemonómioscom amesmaletramasexpoentes
diferentes:neste caso multiplicamos os coeficientes e ao multiplicaras
partesliteraisdevemosteremcontaaseguintepropriedadedepotências:«bases
iguaisexpoentesdiferentes»
× =x
n
x
k
x
n+k
Exemplo:
a)3 ×b= =3 =3b
2
(
3×1
)
(
×bb
2
)
b
2+1
b
3
1.3–Multiplicaçãodemonómiosnãosemelhantestendoemcontaaordem
alfabética:nestecasomultiplicamososcoeficienteseaomultiplicaraspartes
literaisdevemosteremcontaaordemalfabética.Esetiveremomesmoexpoente
segueaseguintepropriedadesdepotências«basesdiferentesexpoentesiguais»
× =y
n
x
k
x
n
y
k
× =(x×y =(xyy
n
x
n
)
n
)
n
Exemplos:
a)4 ×2a= (a× )=8ab
2
(
4×2
)
b
2
b
2
b)7 ×6 = =42(abb
2
a
2
(
7×6
)
(
×a
2
b
2
)
)
2
Paramultiplicarmospolinómiosouum monômioporum polinómioé
essencialtermosem contatodosospormenoresvistosnamultiplicaçãode
monómios,apropriedadedistributivadamultiplicação,agruparosmonómios
semelhantescasoexistamesomá-los.
2ºMultiplicaçãodeummonómioporumpolinómio.Temosdoiscasos:
2.1–usandoapropriedadedistributivadamultiplicaçãocom relaçãoà
adiçãoeasubtracção.
= × ± ×x
n
(
±y
k
z
h
)
x
n
y
k
x
n
z
h
Exemplos
a)3x =3x×4x+3x×2 =12 +6
(
4x+2x
2
)
x
2
x
2
x
3
b)5 =5 × -5 ×3 =5 -15(bcb
2
(
-3a
3
c
2
)
b
2
a
3
b
2
c
2
a
3
b
2
)
2
3ºAomultiplicardoispolinómiostemosincluídososcasosnotáveisda
multiplicaçãodepolinómios«quadradodobinómioemultiplicaçãodeumbinómio
peloseuconjugado»queseabordoudeumaformaparticular.Assimtemos:
3.1–Multiplicaçãodepolinómiosquenãosejaumcasonotável.
= + + +
(
+x
n
y
k
)(
+z
h
t
s
)
x
n
z
h
x
n
t
s
y
k
z
h
y
k
t
s
Exemplos:
a) =2a×5c+2a×2d-3b×5c-3b×2d
(
2a-3b
)(
5c+2d
)
=10ac+4ad-15bc-6bd
b) =4ab×ab+4ab×5b-b×ab-b×5b
(
4ab-b
)(
ab+5b
)
=4 +20a -a - =4 +19a -a
2
b
2
b
2
b
2
5b
2
a
2
b
2
b
2
5b
2
3.2–casosnotáveisdamultiplicaçãodepolinómios:
3.2.1–Quadradodobinómio:existemdoisprocedimentosparaefectuarmos
essaoperação.«formamecânicaeporregras»
Formamecânica:
( ± = = × ± × ± × + ×x
n
y
k
)
2
(
±x
n
y
k
)(
±x
n
y
k
)
x
n
x
n
x
n
y
k
x
n
y
k
y
k
y
k
= ±2 +x
2n
x
n
y
k
y
2k
Exemplos:
a)(a+b = =a×a+a×b+b×a+b×b= +ab+ab+)
2
(
a+b
)(
a+b
)
a
2
b
2
= +2ab+a
2
b
2
b)(a-b = =a×a-a×b-b×a+b×b= -ab-ab+)
2
(
a-b
)(
a-b
)
a
2
b
2
= -2ab+a
2
b
2
Formaderegras:
 Elevaro1ºtermoaoquadrado
 Multiplicaroprodutodo1ºedo2ºtermopor2.
 Elevaro2ºtermoaoquadrado
( ± ←?x
n
y
k
)
2
 ( = × =x
n
)
2
x
n
x
n
x
2n
 (×(± )=± ×2=±2x
n
y
k
x
n
y
k
x
n
y
k
 ( = =+y
k
)
2
(
y
k
)(
y
k
)
y
2k
Exemplos:
a)(a+b←?)
2
 =a×a=(a)
2
a
2
 a×b=ab×2=2ab
 b×b=b
2
(a+b = +2ab+)
2
a
2
b
2
b)(a-b←?)
2
 (a =a×a=)
2
a
2
 a =-ab×2=-2ab
(
-b
)
 =
(
-b
)(
-b
)
b
2
(a-b = -2ab+)
2
a
2
b
2
3.2.2–Multiplicaçãodeumbinómiopeloseuconjugado,deduasforma.
Formamecânica:
= × - × + × - ×
(
+x
n
y
k
)(
-x
n
y
k
)
x
n
x
n
x
n
y
k
x
n
y
k
y
k
y
k
= -x
2n
y
2k
Exemplo:
=a×a-a×b+b×a-b×b= -ab+ab- = -
(
a+b
)(
a-b
)
a
2
b
2
a
2
b
2
Formaderegras:
 Elevaro1ºtermoaoquadrado
 Multiplicarossinaisintermédios
 Elevaro2ºtermoaoquadrado
←?
(
-x
n
y
k
)(
+x
n
y
k
)
 ( = × =x
n
)
2
x
n
x
n
x
2n
 =-(-)(+)
 (- = =+y
k
)
2
(
-y
k
)(
-y
k
)
y
2k
Exemplo:
a) ←?
(
a-b
)(
a+b
)
 (a =a×a=)
2
a
2
 =-(-)(+)
 =
(
-b
)(
-b
)
b
2
= -
(
a-b
)(
a+b
)
a
2
b
2
2.5–Propostasdidácticas
Parasuperarasdificuldadesconstatadas,elaborou-seum conjuntode
propostasdidácticaquepodemajudarnasuperaçãodoproblema.
Paraaescola:
 Implementaçãodeumabibliotecaparafacilitarapesquisa,emdiversasáreas
dosaber.
 Implementação de actividades extra – escolarcomo olimpíadas de
matemática eJogosqueincentivam a aprendizagem da matemáticaprincipalmenteoXadrez.
Paraosprofessores:
 Criarestratégiasdidácticasdeformasafacilitaracompreensãodosalunos
comrelaçãoamultiplicaçãodemonómiosepolinómios.
 Lecionardeformafaseadaossubtemassobremultiplicaçãodemonómiose
polinómios.
 Motivarosalunos,paraquesecriegostopeladisciplinaatravésdecriação
degruposdeestudos.
 Elaborar exercícios distintos para que eles trabalharem livres e
criactivamentedeformaamelhoraroprocessodeensino–aprendizagemda
multiplicaçãodemonómiosepolinómios;
 Leccionarasaulassobremonómiosepolinómios,partindodogeralao
particular,paraqueosalunossaibamrelacionarateoriacomaprática.
 Sugeriraosalunoscomcarênciadebasestrazidasnasclassesanteriorese
baixacompreensãoaaderiraosgruposdeestudos,asaulasdesuporte
(explicações)esermaisinvestigador.
 Ensinaraosalunosaimportânciadamatemáticanavidaprática.
 Deverefletirseosmétodosaplicadossãoadequadosaaprendizagemdos
alunos.
 Deveimplementarohumornatransmissãodosconteúdosmatemáticospara
melhoraraaprendizagem dosalunos,mastambém devesaberimporo
respeitoaomesmotempo.
 Deve adequara linguagem dos conceitos matemáticos ao nívelde
escolaridadedosalunosparaqueelespossam relacionaracom oseu
quotidiano.
Paraosalunos:
 Participardasactividadesquevisam a melhorarseu desempenho e
habilidadesnacompreensãodamultiplicaçãodemonómiosepolinómios
taiscomo:
 Estudaremgrupo;
 Resolverexercícios distintos sobre multiplicação de monómios e
polinómios;
 Aderirasaulasdereforçosouexplicações;
 Aderiraosjogosqueincentivamaaprendizagemdamatemática;
 Pediraospaisquecomprem livrosquepodem vircriarum espiritode
curiosidadeehabitodeexercitaçãoconstante;
 Serumalunoquenãoselimitasomentenaquiloqueoprofessorlecciona;
 Serumalunopesquisador,curiosoequesempreconfrontaoprofessornas
aulasmasdemaneirarespeitosa;
Daspropostasmencionadasacimaforam aplicadasalgumasqueforam
essencialparaseobterresultadospositivos.
CAPITULOIII–APRESENTAÇÃODOSRESULTADOSDAAPLICAÇÃODA
PESQUISA
Estecapítulofoidesenvolvidoapartirdosdadosobtidospelaaplicaçãodos
métodos e técnicas escolhidas para a pesquisa,mostrando-os através de
questionáriosegráficosquenosdãodetalhadamenteatravésdostestesaplicados
aosalunososresultadossuperados.
3.1.–Perfildosalunosmediantea1ªavalição.
Oquestionáriofeitocompôs-sede7questõesaplicadasaamostraque
avaliouoseudesempenhoantesdosmétodosetécnicasaplicadas.Numuniverso
de20alunos,dosquais9dosexomasculinoquecorrespondea45%e11dosexo
femininoquecorrespondea55%,dosquais7tiveram resultadospositivosque
correspondea35%daamostrasendo4dosexomasculinoquecorrespondea
57,1%e3dosexofemininoquecorresponde42,9%dosalunoscomaproveitamento,
e13alunostiveramresultadosnegativosquecorrespondea65%daamostrados
quais5dosexomasculinoqueequivalea38,4%e8dosexofemininoqueequivalea
61,6%dosalunoscompoucoaproveitamento.Essesdadosforamtabuladosapartir
da1ªavaliaçãoelaboradapelosautores,resumidamenterepresentou-seosdados
porintermédiodoseguintegráfico:
Osresultadosobtidosinformam-nosdeformaclaraasdificuldadesna
resoluçãodeexercíciossobremultiplicaçãodemonómiosepolinómiosnosalunos
da8ªclasse,turmaB,períodomanhã,docolégio4deJaneirodeCambambe–
Dondo.
3.2.–Perfildosalunosmediantea2ªavalição.
Oquestionáriofeitocompôs-sede7questõesaplicadasaamostraque
avaliouoseudesempenhodepoisdosmétodosetécnicasaplicadas.Daamostra
18alunostiveram resultadospositivosquecorrespondea90%sendo8dosexo
masculinoqueequivalea44,4%e10dosexofemininoquecorrespondea55,6%dos
alunos com aproveitamento.E 2 alunos tiveram resultados negativos que
correspondea10%daamostra,destes1masculinose1femininoqueequivale50%
respectivamente.Osdadosforamobtidosapartirda2ºavaliaçãoelaboradapelos
autores.Demaneiraresumidarepresentou-seosdadosporintermédiodoseguinte
gráfico:
Osresultadosobtidosapresentam deformaevidenteasmelhoriasna
resoluçãodeexercíciossobremultiplicaçãodemonómiosepolinómiosnosalunos
da8ªclasse,turmaB,períodomanhã,docolégiosupracitado.
3.3–PerfildosalunosvoluntáriosdoJogoXadrez.
Estapropostafoifeitaantesdaaplicação dasestratégiasdidácticas
envolvendoalunosquenãofazempartedaamostraedeoutrasturmas.Portanto,o
jogopodetercontribuídodeformasignificativaparaumbomrendimento,tantona
aplicaçãodaprimeiraavaliaçãocomodasegunda.Daamostra6alunostiveram
interessadosapraticardoJogoXadrezquecorrespondea35%dosquais1dosexo
masculinoequeequivalea16,6%e5dosexofemininosqueequivalea83,4%dos
alunosinteressados.
NaprimeiraavaliaçãoosalunosvoluntáriosdoJogoXadrez,dosquais4
tiverampositivasqueequivalea66,6%dosalunosinteressadosemqueteve1do
sexomasculinoequivalentea25%e3dosexofemininoquecorrespondea75%dos
alunoscompositivas.E2tiveramresultadosnegativosqueequivalea33,4%dos
alunosinteressados,osdoissãodosexofemininoqueequivalea100%dosalunos
comresultadosnegativos.
NasegundaavaliaçãotodososalunosvoluntáriosdoJogoXadrez,tiveram
rendimentospositivosquecorrespondea100%dosalunosinteressadospelojogo.
Conclusão
Nesterelatóriodoprojectodefim decursodescreveu-seoprocessode
ensino–aprendizagemsobreamultiplicaçãodemonómiosepolinómios.Através
demétodosetécnicasderecolhadedadosfoipossívelestabelecerfundamentos
teóricosqueculminoucomaelaboraçãodepropostasdidácticas,paraamelhoria
doproblemaintegradonocontextodasaladeaula.
Foirealizadoumestudoquali/quantitativocujosresultadosestatisticamente
significativosapontamnosentidodeutilizaçãodeestratégiasdidácticasquevisam
a facilitara compreensão dos alunos com relação aos subtemas sobre
multiplicaçãodemonómiosepolinómiosepromoveratravésdoJogoXadrez
inúmerashabilidadesqueimpulsionadeformasignificativaosalunosaampliaros
interessespelasatividadesindividuais,melhorarodesempenhonosestudosem
particularemmatemática,desenvolveroraciocíniológico,aprimorarhabilidadese
hábitosnecessáriosatomadadedecisões,compreenderesolucionarproblemas.
De acordo com as dificuldades encontradas apercebeu-se que os
professoresprecisam denovasferramentaseorientaçõesmetodológicaspara
melhoraremassuasformasdetrabalhos,assimelaborou-sealgumaspropostas
didácticas,e,osautoresacreditam queestascontribuíram paraosucessono
processoensino–aprendizagemdamultiplicaçãodemonómiosepolinómios.
Aplicou-se duas avaliações para avaliaro rendimento e o grau de
dificuldadesdosalunosatravésdequestionários.Fez-seum inquéritonaqual
demonstradeformaevidenteasconquistasalcançadascomoestudo.
Emsíntese,osautorestiveramdeagruparmétodos,estratégias,propostas
didácticasparacombaterasdificuldadesqueosalunospossuem eaumentar
esforçosdemodoqueosoutrosnãopassempelosmesmosproblemas.
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Nascimento,(2014).Matemática,Manualdoaluno8ªclasse,Iciclodoensino
secundário.Maianga,Luanda.Ed.Dasletras,S.A.INIDE.
APÊNDICEI
Questionáriosdasavaliaõesaplicadasaosalunos.
1.Questionáriodaprimeiraavaliação.
Nome__________________________________________________________
Nº__ Turma:_____ Classe:____
1.Efectuaasseguintesmultiplicaçõesdemonómiosepolinómios.
a)3a×2a=
b)3 ×b=b
2
c)4b×2a=
d)5a× =
(
-3ca
2
)
e)(a+b =)
2
f)(a-b =)
2
g) =
(
a+b
)(
a-b
)
2.Questionáriodasegundaavaliação.
Nome__________________________________________________________
Nº__ Turma:___ Classe:___
1.Resolvaosseguintesexercíciossobremultiplicaçãodemonómiose
polinómios.
a)4b×3b=
b)5 × =a
3
2a
2
c)3c =
(
b-5c
)
d)(a+3 =)
2
e)(b-5 =)
2
f)2b×3c=
g) =
(
c+2
)(
c-2
)
APÊNDECEII
Resultadosdasentrevistasfeitasaoprofessor.
Dasquestõesfeitasaoprofessoresdematemáticadocolégio4deJaneiro
destacou-seasseguintes:
PerguntasfeitasaoprofessorLucasGalho.
 Quaisasprincipaisdificuldadesqueosalunosapresentamnaresoluçãode
exercíciosdemultiplicaçãocommonómiosepolinómios?
 OPorquêosalunosnãoconseguemrelacionarteoriaeprática?
 Como professorquais factores influenciou na má aprendizagem da
multiplicaçãodemonómiosepolinómios?
Oprofessorficousurpreendidocomasquestõesfeitaserespondeudizendo:
Estessubtemasestãointerligados,masamaiordificuldadedosalunosestá
em representarpotênciaporexemploquandoperguntoquantoequivale(x×x)a
maioriadosalunosaindarespondemqueequivalea2xcomosetratassedeuma
soma.
Quantoaorelacionarateoriaeapráticahámuitasdificuldadesporpartede
todosprofessoressendoqueamatemática,assim comoafísicasem materiais
adequadosnãoháaprendizagem significativa.Portanto,comopossorelacionar
umaaulademonómiosepolinómioscomavidaprática?
Os principais fatorno insucesso desses subtemas foia falta de
conhecimentossólidosqueosalunosdeveriamacarretardasclassesanteriores.
Nãoseadmiteumalunoda8ªclassenãocompreendecomodeterminarom.m.cou
efectuarasquatrooperaçõesaritméticas.
APÊNICEIII
2.5.–Exercíciospropostos
1–Efectueasseguintesmultiplicaçõesdemonómiosepolinómiosutilizandoos
procedimentosaprendidosanteriormente:
a)3a∙4a=
b)5 ∙ =b
2
b
2
c)2 ∙2 =c
k
c
k
d)a∙ =a
2
e)3 ∙7 =b
3
b
5
f)4 ∙ =c
n
c
k
g)b∙a=
h) ∙ =b
2
c
3
i) ∙ =c
5
d
3
j)7a =
(
+2ba
2
)
k) b =a
3
(
a-b
2
)
l)3c =b
3
(
4d+b-2 ca
2
)
m) =
(
a-3
)(
a-5
)
n) =
(
b+2c
)(
b+3c
)
o) =
(
+c-2ba
2
)(
5 -a+b
3
c
2
)
p) =
(
a-3
)(
a-3
)
q)(b+7)(b-7)=
r) =
(
+5c
2
)(
+5c
2
)