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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
Assunto: 
Princípio dos 
Trabalhos Virtuais 
 
 
 
 
 
 
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1- Força Generalizada, Deformações e Deslocamentos 
 
 O conceito de força generalizada deve ser entendido com o significado de 
uma força, um binário de forças, ou um conjunto de forças e binários atuando em 
uma estrutura. Ao longo do texto este conceito é utilizado freqüentemente 
usando-se apenas a palavra força. Às vezes este conceito é encontrado na 
literatura sob a denominação de ação. Uma força generalizada pode ser interna 
ou externa, e uma força externa pode ser ativa ou reativa. A Fig.1 ilustra o 
significado de forças generalizadas externas (F1, e F2) atuando na extremidade 
livre B de uma viga em balanço, sendo F1 uma carga concentrada vertical e F2 
um momento. As forças F1, e F2 são forças externas ativas, enquanto as reações 
de apoio em A, R1(componente vertical), e R2 (momento) são forças externas 
reativas. 
 
 
R1
F1
F2
R2
A BC
 
 
Forças externas: 
\u2022 Ativas: F1, F2 
\u2022 Reativas: R1, R2 
Fig. 1 \u2013 Viga em Balanço: forças externas e internas 
 
Admitindo-se que a viga da Fig. 1 esteja em equilíbrio sob a ação das forças 
indicadas, secciona-se o trecho CB. Representando-se o diagrama de corpo livre 
desta parte, conforme mostrado na Fig. 2, para manter o equilíbrio da mesma é 
necessária a aplicação de uma componente de força cortante V e de um 
momento fletor M na seção C. A força cortante V e o momento fletor M são os 
esforços internos resultantes da integração das distribuições das tensões de 
cisalhamento e das tensões normais na seção C, respectivamente. Estas 
componentes de tensão caracterizam o que se chama estado de tensão, sendo 
mobilizadas nos diversos pontos do volume da barra pela ação do carregamento, 
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e podem ser calculadas conforme considerações desenvolvidas nos textos de 
Resistência dos Materiais. Os esforços internos na seção C serão também 
entendidos como forças generalizadas, neste caso serão forças internas 
generalizadas. Os valores máximos destas forças internas, isto é, os valores 
máximos que a viga suporta, dependem das características geométricas da 
seção transversal e da resistência do material da viga, sendo chamados 
genericamente de resistência da seção a força cortante e ao momento fletor. 
Durante a fase de projeto, um dos objetivos fundamentais é a definição de 
dimensões suficientes para as seções transversais e a especificação de 
materiais com resistência adequada para que a estrutura suporte com segurança 
os carregamentos atuantes. 
 
 
M
V
C B F2
F1
 
 
 
 Forças internas: 
 V, M 
Fig. 2 - Diagrama de corpo livre de um trecho de viga 
 
Uma estrutura solicitada por um sistema de forças sofre mudança de 
forma, o que é chamado de deformação. Neste processo os pontos da estrutura 
sofrem deslocamentos, ou seja, mudanças de posição em relação às suas 
posições iniciais e em relação uns aos outros. As deformações são definidas 
matematicamente por meio de considerações geométricas em cada ponto do 
volume do corpo ou da barra a partir das funções que descrevem os 
deslocamentos dos pontos segundo as direções dos eixos de referência. Esta 
definição é encontrada para os casos mais simples nos livros de Resistência dos 
Materiais, ou de forma mais rigorosa nos livros de Teoria da Elasticidade. As 
componentes de deformação são grandezas adimensionais e caracterizam 
completamente a mudança de forma de um elemento infinitesimal em torno de 
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um ponto. A deformação, ou estado de deformação, tal como a tensão, é uma 
grandeza tensorial, e para o caso de estruturas planas, contidas no plano xy, 
pode ser definida basicamente pelas componentes: \u3b5x \u3b5y \u3b5z e \u3b3xy. 
Os deslocamentos decorrem do efeito acumulado das deformações nos 
pontos do corpo ou da estrutura. Um deslocamento deve ser entendido 
genericamente como uma translação ou rotação de algum ponto da estrutura. A 
translação de um ponto costuma também ser referida como deslocamento linear 
e a rotação como deslocamento angular ou giro. 
Na realidade, os pontos de uma estrutura submetida a um carregamento 
qualquer ficam sujeitos a estados de tensão e se deformam em maior ou menor 
grau, conseqüentemente se deslocam. Durante o projeto estrutural, outro 
objetivo fundamental a ser atingido é especificar as peças da estrutura com 
dimensões e materiais adequados, para que sejam evitados deslocamentos 
excessivos quando a estrutura estiver em funcionamento sob ação dos 
carregamentos. As estruturas usuais, depois de acabadas, trabalham em regime 
de pequenos deslocamentos, conforme hipótese rotineira na análise das 
mesmas. Assim, em geral, estes deslocamentos não são facilmente perceptíveis 
ao usuário, a não ser em casos de comportamento anormal da estrutura. Na Fig. 
3 é mostrada uma viga em balanço, deformada sob a ação de uma força vertical 
P aplicada a extremidade B, e os deslocamentos possíveis: translação \u2206 e 
rotação \u3b8. 
 
P
A B
Viga indeformada
Viga deformada
 
Fig. 3 \u2013 Deslocamentos numa viga em balanço 
 
O conceito de deslocamento decorrente das deformações, conforme 
exposto anteriormente, não deve ser confundido com deslocamento de corpo 
rígido (deslocamento geométrico), isto é, deslocamentos que ocorrem devido a 
movimentos de corpo rígido de uma estrutura. Estes podem surgir quando a 
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estrutura tem vinculação insuficiente em número ou devido a má disposição dos 
vínculos como é o caso das formas críticas, ou ainda em trechos de uma 
estrutura corretamente vinculada. Na Fig. 4, por exemplo, o trecho em balanço 
AB, da viga ABC, se desloca rigidamente quando a viga, corretamente vinculada, 
é carregada ao longo do vão BC. Os deslocamentos de corpo rígido em geral 
não estão associados à deformação da estrutura, e devem ser evitados a todo 
custo quando puderem advir de vinculação deficiente. 
 
2 - Condições de Compatibilidade de Deslocamentos 
 
 Na análise estrutural, além das condições de equilíbrio, devem ser 
satisfeitos todos os requisitos de compatibilidade de deslocamento. As condições 
de compatibilidade dizem respeito à continuidade dos deslocamentos e dos 
requisitos de vinculação da estrutura nos apoios. Assim, em geral, numa seção 
qualquer de uma barra da estrutura, sendo esta seção definida por um ponto 
sobre o eixo barra, tomando-se um ponto localizado um infinitésimo à esquerda e 
outro ponto situado um infinitésimo à direita, os deslocamentos destes pontos 
vizinhos à esquerda e à direita devem ser iguais ao deslocamento do ponto da 
seção para que haja continuidade de deslocamentos, desde que nesta seção 
não exista nenhum tipo especial de conexão que permita a ocorrência de 
descontinuidades de deslocamento. Assim, na Fig. 4, a flecha no ponto Se e no 
ponto Sd devem ser iguais à flecha \u2206 no ponto S. 
 
 
 
A
B
P2P1
Se
1
S Sd C
1 2
2
 
 
Fig. 4 \u2013 Linha Elástica de Uma Viga Biapoiada 
 
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 Na viga mostrada na Fig. 4, está representada uma linha elástica 
compatível com a vinculação da viga para um carregamento genérico no vão BC. 
O trecho em balanço AB supõe-se descarregado e, portanto não se deforma, 
mas gira rigidamente em torno de B. Os pontos B e C estão impedidos de se 
deslocarem na direção vertical e o ponto B também não pode se deslocar na 
direção horizontal, pois os respectivos deslocamentos estão impedidos de 
ocorrer pela ação dos apoios. Portanto, uma elástica compatível, tal como 
esboçada na Fig. 4, deve apresentar continuidade de