PRINCÍPIO DE D'ALEMBERT

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PRINCI´PIO DE D’ALEMBERT
Ckllinsmawn Kennyd Rodrigues Barbosa1
1 DESLOCAMENTO E TRABALHOS VIRTUAIS
Para entender o Princ´ıpio de
d’Alembert, tambe´m conhecido como
Princ´ıpio de Lagrange d’Alembert, e´ ne-
cessa´rio, primeiramente, conhecer um con-
ceito chamado Deslocamento Virtual e con-
sequentemente Trabalhos Virtuais.
Representamos o deslocamento vir-
tual por δ~r, que e´ um deslocamento in-
finitesimal de um ponto a outro ponto
da curva (ou superf´ıcie) no mesmo ins-
tante de tempo t e o vetor formado por
esses pontos e´ tangente a` curva (ou su-
perf´ıcie). Ou seja, dado um sistema de N
part´ıculas, os deslocamentos virtuais δ~ri, i =
(1, 2, 3, . . . , N) sa˜o deslocamentos infinitesi-
mais das posic¸o˜es ~r1, ~r2, ~r3, . . . , ~rN realizados
instantaneamente. Suponha um v´ınculo, por
exemplo uma curva que dependa do tempo
ao qual o movimento da part´ıcula esta´ res-
trito. A equac¸a˜o de v´ınculo, neste caso, e´
dada por
f(x, y, t) = 0
O v´ınculo pode tambe´m ser uma su-
perf´ıcie, neste caso a equac¸a˜o de v´ınculo
e´ f(x, y, z, t) = 0.
A figura abaixo ilustra a diferenc¸a
entre deslocamento virtual e real para uma
part´ıcula restrita a uma superf´ıcie onde a
velocidade no instante t e´ u.
Figura 1 – Deslocamentos em superf´ıcie
mo´vel. Fonte: (OLIVEIRA; LA-
DEIRA, 2016)
O deslocamento real, representado na
figura por d~r, e´ um deslocamento que cada
part´ıcula do sistema sofre ao longo do inter-
valo de tempo dt, de acordo com as equac¸o˜es
de movimento do sistema. O vetor d~r, em
geral, na˜o e´ tangente a` curva. Se a curva
(ou superf´ıcie) estiver fixa, ou seja, na˜o pos-
sui dependeˆncia temporal, enta˜o d~r e δ~r sa˜o
ambos tangentes a` superf´ıcie.
Se a superf´ıcie a qual o movimento da
part´ıcula esta´ condicionado e´ idealmente lisa
(coeficiente de atrito nulo), enta˜o a forc¸a de
contato entre a part´ıcula e a superf´ıcie na˜o
conte´m componente tangencial, mas apenas
normal a` superf´ıcie. Como a forc¸a de v´ınculo
~f e´ perpendicular a` superf´ıcie no instante
t e o deslocamento virtual δ~r e´ tangente a`
1 IFSPE, lukas8991h@gmail.com
1
superf´ıcie, temos que
W = ~f · δ~r = 0
Ou seja, o trabalho e´ zero. Como esta forc¸a
associada ao v´ınculo na˜o realiza trabalho du-
rante deslocamentos virtuais, e´ chamado de
v´ınculo ideal. Pela Segunda Lei de Newton,
tem-se que
~Fi = ~˙pi, i = (1, 2, 3, ..., N)
Obs: ~˙pi =
d~pi
dt
. Deve-se levar em conta que
~Fi =
−→
Fi
(a) +
−→
Fi
(v)
Ou seja, a forc¸a total ou resultante sobre a
i-e´sima part´ıcula e´ igual a` soma da forc¸a
aplicada [sobrescrito (a)] com a forc¸a de
v´ınculo [sobrescrito (v)], pois a segunda lei
de Newton exige a considerac¸a˜o das forc¸as
de v´ınculo associadas. Manipulando as duas
u´ltimas equac¸o˜es mostradas, deduz-se que
~˙pi−
−→
Fi
(a)=
−→
Fi
(v)
Enta˜o,
N∑
i=1
[
~˙pi−
−→
Fi
(a)
]
· δ~ri =
N∑
i=1
−→
Fi
(v) ·δ~ri
Como representado anteriormente, na mai-
oria dos casos fisicamente interessantes, o
trabalho virtual total das forc¸as de v´ınculo
se anula:
N∑
i=1
−→
Fi
(v) ·δ~ri = 0
Enta˜o, finalmente chega-se ao chamado
Princ´ıpio de Lagrange d’Alembert, ou sim-
plesmente Princ´ıpio de d’Alembert:
N∑
i=1
[
~˙pi−
−→
Fi
(a)
]
· δ~ri = 0
Com o Princ´ıpio de d’Alembert, obte´m-se
as equac¸o˜es de movimento sem as forc¸as de
v´ınculo - da´ı sua vantagem em relac¸a˜o a uma
aplicac¸a˜o “seca” das leis de Newton. Vale
salientar que o Princ´ıpio de d’Alembert e as
leis de Newton sa˜o equivalentes: fornecem
as mesmas equac¸o˜es de movimento (PELA´,
2013).
Fazendo agora um exemplo de
aplicac¸a˜o do princ´ıpio de d’Alembert:
Ma´quina de Atwood.
Figura 2 – Ma´quina de Atwood. Fonte: (LE-
MOS, 2007)
Como representado na figura, su-
pondo que os blocos estejam sujeitos a um
campo gravitacional ~g e supondo um eixo
x vertical para baixo, tem-se que: ~r1 =
x1~i; ~r2 = x2~i, sendo ~i o versor (mo´dulo
unita´rio) que aponta na mesma direc¸a˜o e
sentido do eixo atribu´ıdo;
x1 + x2 = l = constante;
x¨1 + x¨2 = 0;
2
δx1 + δx2 = 0;
x¨2 = −x¨1;
~¨r2 = −x¨1~i = − ~¨r1;
δx2 = −δx1;
δ~r1 = δx1~i;
δ~r2 = δx2~i = −δx1~i;
−→
F1
(a)= m1g~i;
−→
F2
(a)= m2g~i
Aplicando essas informac¸o˜es no Princ´ıpio de
d’Alembert, tem-se que:
2∑
i=1
[
~˙pi−
−→
Fi
(a)
]
· δ~ri = 0
(
m1x¨1~i−m1g~i+m2x¨1~i+m2g~i
)
· δx1~i = 0
(m1x¨1 −m1g +m2x¨1 +m2g) · δx1 = 0
Pois o produto escalar entre o versor ~i e ele
mesmo e´ igual a 1. Como δx1 e´ arbitra´rio e
diferente de zero e o produto entre o mesmo
e o termo em pareˆnteses e´ nulo, enta˜o:
m1x¨1 −m1g +m2x¨1 +m2g = 0
(m1 +m2)x¨1 = (m1 −m2)g
~¨x1 = ~a1 =
(m1 −m2)
(m1 +m2)
~g = −~a2
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS
LEMOS, N. A. Mecaˆnica Anal´ıtica. 2.
ed. Sa˜o Paulo: Editora Livraria da F´ısica,
2007. 388 p.
OLIVEIRA, T. de; LADEIRA, D. G.
Princ´ıpio de d’Alembert e Equac¸o˜es
de Lagrange. 31 p. Dissertac¸a˜o (Mestrado
profisional em Matema´tica - PROFMAT) —
Universidade Federal de Sa˜o Joa˜o del-Rei -
UFSJ, Sa˜o Joa˜o del-Rei, 2016.
PELA´, R. R. Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica
Anal´ıtica. Sa˜o Paulo, 2013. 13 p. Dis-
pon´ıvel em: 〈http://www.ief.ita.br/∼rrpela/
downloads/fis26/FIS26-2013-aula16.pdf〉.
Acesso em: 21 mai. de 2013.
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	Deslocamento e Trabalhos virtuais