Lista2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Campus Duque de Caxias
Bioestat´ıstica - 2017/1
Prof. Denis Mota
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Considere uma urna contendo treˆs bolas vermelhas e cinco pretas. Retire treˆs bolas, sem
reposic¸a˜o, e defina a varia´vel aleato´ria X igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a
distribuic¸a˜o de X.
2. Repita o problema anterior, mas considerando extrac¸o˜es com reposic¸a˜o.
3. Suponhamos que uma moeda perfeita e´ lanc¸ada ate´ que cara aparec¸a pela primeira vez.
Seja X o nu´mero de lanc¸amentos ate´ que isso acontec¸a. Obtenha a distribuic¸a˜o de X.
4. Uma moeda na˜o viciada e´ lanc¸ada quatro vezes. Seja Y o nu´mero de caras obtidas.
Calcule a distribuic¸a˜o de Y .
5. Obtenha a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria X dos Problemas 1 e 2.
6. Obtenha a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria Y do Problema 4.
7. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com
probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda
de um equipamento por $50.000, 00 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com
probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas dia´rias desse vendedor
escreva a func¸a˜o de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas dia´rias.
8. Calcule a variaˆncia de Y no Problema 7.
9. O tempo T em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´ uma varia´vel
aleato´ria com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade.
t 2 3 4 5 6 7
p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
(a) Calcule o tempo me´dio de processamento.
(b) Para cada pec¸a processada o opera´rio ganha um fixo de $2, 00, mas se ele processa a
pec¸a em menos de seis minutos, ganha $0, 50 a cada minuto poupado. Por exemplo,
se ele processa a pec¸a em quatro minutos recebera´ a quantia adicional de $1, 00.
Encontra a distribuic¸a˜o, a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria G = quantia em
$ ganha por pec¸a.
10. Se X ∼ b(n, p), sabendo-se que E(X) = 12 e σ2 = 3, determinar:
(a) n
(b) p
(c) P (X < 12)
(d) P (X ≤ 14)
(e) E(Z) e Var(Z), em que Z = (X − 12)/√3
(f) P (Y ≤ 14/16), em que Y = X/n
(g) P (Y ≤ 12/16), em que Y = X/n
11. Num certo tipo de fabricac¸a˜o de fita magne´tica, ocorrem cortes a uma taxa de um por
2.000 pe´s. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pe´s de fita magne´tica tenha:
(a) nenhum corte?
(b) no ma´ximo dois cortes?
(c) pelo menos dois cortes?
12. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma ma´quina seja defeituoso
e´ de 0,2. Se dez itens produzidos por essa ma´quina sa˜o selecionados ao acaso, qual e´ a
probabilidade de que na˜o mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e
a distribuic¸a˜o de Poisson e compare os resultados.
13. Examina-se 2000 ninhadas de cinco porcos cada uma, segundo o nu´mero de machos. Os
dados esta˜o representados na tabela abaixo.
No de Machos No de Ninhadas
0 20
1 360
2 700
3 680
4 200
5 40
Total 2.000
(a) Calcule a proporc¸a˜o me´dia de machos.
(b) Calcule, para cada valor de X, o nu´mero de ninhadas que voceˆ deve esperar se
X ∼ b(5, p), onde p e´ a proporc¸a˜o me´dia de machos calculada em (a).
14. Um telefone recebe em me´dia 5 chamadas por minuto. Supondo que a distribuic¸a˜o de
Poisson seja adequada nessa situac¸a˜o, obtenha:
(a) A probabilidade de que o telefone na˜o receba chamadas durante um intervalo de um
minuto.
(b) A probabilidade de obter no ma´ximo 2 chamadas em 4 minutos.
15. Uma certa doenc¸a pode ser curada atrave´s de procedimento ciru´rgico em 80% dos casos.
Dentre os que teˆm essa doenc¸a, sorteamos 15 pacientes que sera˜o submetidos a` cirurgia.
Supondo que a cura da doenc¸a segue o modelo binomial, qual a probabilidade de:
(a) Todos ficarem curados?
(b) Pelo menos dois ficarem curados?
16. As pacientes diagnosticadas com caˆncer de mama precocemente teˆm 80% de probabilidade
de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condic¸o˜es, calcule
a probabilidade de:
2
(a) Oito ficarem completamente curadas
(b) Na˜o serem curadas de 3 a 5 pacientes.
17. Um novo reme´dio tem efeito colateral indeseja´vel em 5% das pessoas que o tomam. Se
10 pacientes tomam o reme´dio qual a probabilidade de ocorrer:
(a) Uma reac¸a˜o negativa?
(b) No mı´nimo uma reac¸a˜o negativa?
Gabarito
1.
x 0 1 2 3
p(x) 1/56 15/56 30/56 10/56
2.
x 0 1 2 3
p(x) 27/512 135/512 225/512 125/512
3.
x 1 2 3 4 · · ·
p(x) 1/2 1/4 1/8 16 · · ·
4.
x 0 1 2 3 4
p(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
5. Problema 1: E(X) = 1, 875 e Var(X) = 0, 502 Problema 2: E(X) = 1, 875 e
Var(X) = 0, 703
6. E(X) = 2 e Var(X) = 1
7.
y 0 50mil 100mil
p(y) 126/150 23/150 1/150
E(X) = 8333, 33
8. Var(Y ) = 35.555.611, 11
9. (a) E(T ) = 4, 6
(b)
g 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
p(g) 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1
E(G) = 2, 75 e Var(G) = 0, 4125
10. (a) n = 16 (b) p = 0, 75 (c) 0,3698 (d) 0,1971 (e) 0 (f) 0,1971 (g) 0,6302
11. (a) 0, 3679 (b) 0, 9197 (c) 0, 2642
12.
3
• Binomial: P (X ≤ 1) =
(
10
0
)
(0, 2)0(0, 8)10+
(
10
1
)
(0, 2)1(0, 8)9 = 0, 1074+0, 2684 =
0, 3758
• Poisson: P (X ≤ 1) = e−220
0!
+ e
−221
1!
= 0, 1353 + 0, 2707 = 0, 4060
13. (a) 0,48
(b)
x 0 1 2 3 4 5
ninhadas com x machos 76 351 648 598 276 51
14. (a) e−5 ≈ 0, 0067 (b) 221e−20 ≈ 0
4