Exercicio de estatistica 2Gabarito

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Lista 2 - Gabarito 
 
1. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de 
aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 
 
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é 
igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1, então, 
k = 1/4. Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 
 
 
2. Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de 
aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 
Resposta: 5/6 = 83,33% 
 
 
3. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas 
chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. 
Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. 
 
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos 
dados do enunciado, temos: p(A) = p(B) = 2.p(C). 
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1. 
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer 
é igual a 1. (evento certo). Assim, substituindo, vem: 
k + k + k/2 = 1, então, k = 2/5. 
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5. 
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades; 2/5 + 1/5 = 3/5. 
 
 
4. Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de 
aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair 
CARA. Resposta: 3/4. 
 
 
5. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de 
aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de 
num lançamento aparecer um número primo. 
 
Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). Seja 
p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma 
das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Então, substituindo, vem: 
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1, então, k = 2/9. 
Assim, temos: p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 e p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. 
O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, 
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9. 
 
 
6. Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único 
lançamento sair um número ímpar. Resposta: 1/3 
 
 
7. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 
50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. 
 
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, 
portanto, 15 números primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um número 
primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 
15/50 = 3/10. 
 
 
8. Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, 
sair um cartão com um número divisível por 5. Resposta: 10/50 = 1/5. 
 
 
9. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao 
acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? 
 
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e existem C3,2 
possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a 
probabilidade procurada será igual a: 
P = C3,2 / C10,2 = 6/90 = 3/45 = 1/15. 
 
 
10. (Adaptação Bussab) Uma companhia produz circuitos integrados em 3 fábricas. A 
fábrica 1 produz 40% dos circuitos, enquanto as fábricas 2 e 3 produzem 30% cada. As 
probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione 
são 0.01, 0.04 e 0.03, respectivamente. 
a) Escolhido um circuito da produção conjunta das 3 fábricas, qual a probabilidade de o 
mesmo não funcionar? 
b) Qual a probabilidade do produto escolhido ser da fábrica 1, dado que ele não 
funciona? 
 
Eventos: 
B: circuito não funciona 
Fi: circuito é fabricado na fábrica i 
 
Tabela de contingência 
 
 B Bc 
F1 0,004 0,396 0,4 
F2 0,012 0,288 0,3 
F3 0,009 0,291 0,3 
 0,025 0,975 1,00 
 
P(F1) = 0,4 
P(F2) = 0,3 
P(F3) = 0,3 
 
P(B / F1) = 0,01 Logo: P(B∩ F1) = P(B/F1)*P(F1) = 0,01*0,4 = 0,004 
P(B / F2) = 0,04 Logo: P(B∩ F2) = P(B/F2)*P(F2) = 0,04*0,3 = 0,012 
P(B / F3) = 0,03 Logo: P(B∩ F3) = P(B/F3)*P(F3) = 0,03*0,3 = 0,009 
 
a) P(B) = 0,4 * 0,01 + 0,3 * 0,04 + 0,3 * 0,03 = 0,025 
 
Teorema da probabilidade total: P(B) = ∑i=1k P(Fi) . P(B / Fi) 
 
 
 
 
b) P(F1/B) = 
 
 
P(F1 │B) = 0,01*0,4 / 0,025 = 0,16 
 
 
 
11. Na realização de um concurso, as provas de redação são distribuídas entre 3 
professores diferentes para correção da seguinte forma: 25% das provas são corrigidas 
pelo professor X, 45% pelo professor Y e os 30% restantes pelo professor Z. No final da 
correção os professores devem julgar se o candidato está classificado (C) ou eliminado 
(E). Os organizadores do concurso suspeitam da rigidez do professor X e para tal 
desejam estimar a probabilidade da prova do candidato ter sido corrigida pelo professor 
X, uma vez que ele foi eliminado. Ao final da seleção, obtiveram-se as seguintes 
probabilidades condicionais: 
P(E / X) = 0,20 P(E / Y) = 0,80 P(E / Z) = 0,50 
Calcule a probabilidade da prova ter sido corrigida pelo professor X, dado que o 
candidato foi eliminado. 
 
P(E / X) = 0,20 Logo: P(X∩ E) = P(E/X)*P(X) = 0,20*0,25 = 0,05 
P(E / Y) = 0,80 P(Y∩ E) = 0,80*0,45 = 0,36 
P(E / Z) = 0,50 P(Z∩ E) = 0,5*0,3 = 0,15 
 
Tabela de contingência 
 E C 
X 0,05 0,20 0,25 
Y 0,36 0,09 0,45 
Z 0,15 0,15 0,3 
 0,56 0,44 
 
Eventos: 
X = professor X corrige 
Y = professor Y corrige 
Z = professor Z corrige 
 
P(X / E) = P(X∩ E) / P(E) = 0,05 / 0,56 = 0,089 
 
 
12. Dos 148 pacientes internados em um hospital, 18 estão com problemas mentais (8 
são mulheres). Dos internados, 60 são homens. Selecionando-se um dos internados, 
aleatoriamente, qual a probabilidade do mesmo: 
a) Ser uma mulher? (0,595) 
b) Ser um internado sem problemas mentais? (0,878) 
c) Ser uma mulher sem problemas mentais? (0,541) 
d) Ser um homem com problemas mentais? (0,068) 
 
 
13. Um estudante para chegar à universidade depende da pontualidade dos ônibus de 
duas linhas que ele deve tomar para não se atrasar. A probabilidade de o primeiro ônibus 
chegar no horário previsto é 3/4 e do segundo é 4/5. Qual é a probabilidade de: 
a) Ambos se atrasarem? (0,050) 
b) Nenhum ônibus se atrasar? (0,600) 
c) Somente o primeiro se atrasar? (0,200) 
d) Somente o segundo se atrasar? (0,150) 
 
 
14. Um grupo de 850 pessoas foi submetido a um teste para verificar o efeito de um 
antidepressivo em relação ao enjôo que ele pode provocar nas pessoas. O resultado da 
pesquisa está na tabela abaixo. 
 
Efeito Antidepressivo Placebo Total 
Com enjôo 120 280 400 
Sem enjôo 300 150 450 
Total 420 430 850 
 
Selecionando-se uma pessoa, aleatoriamente, qual a probabilidade da mesma: 
a) Ter tomado o antidepressivo? (0,494) 
b) Ter sofrido de enjôo? (0,471) 
c) Não ter enjôo ou ter ingerido placebo? (0,859) 
d) Ter tomado o antidepressivo e ter ficado com enjôo? (0,141) 
e) Ter tomado o placebo e ter ficado com enjôo? (0,329) 
 
 
15. O tempo de aleitamento, isto é, o tempo decorrido desde o nascimento até o 
desmame, pode ser considerado como uma variável de tempo de sobrevida. Suponha 
que o tempo até o desmame, em meses, tenha sido registrado para 7 crianças e as 
respectivas probabilidades da função sobrevida, conforme a tabela abaixo. OBS: estes 
dados são fictícios. 
 
Tempo 2 3 5 6 7 8 10 
P(X) 0,45 0,20 0,13 0,08 0,07 0,05 0,02 
 
a) Determine a função de distribuição acumulada de X. 


































=
10;1
108;98,0
87;93,0
76;86,0
65;78,0
53;65,0
32;45,0
2;0
)(
se
xse
xse
xse
xse
xse
xse
xse
xf 
 
b) Qual é a probabilidadede uma criança ser amamentada pelo menos 6 meses? 
P(X>6) = 1 – P(X<=5)= 1- 0,78 = 0,22 
 
c) Qual a probabilidade de ser amamentada por mais de 3 meses? 
P(X>3) = 0,35 
 
d) Qual a probabilidade de ser amamentada por menos de 8 meses? 
P(P(X<8) = 0,93 
 
e) Qual a probabilidade de ser amamentada entre 3 e 8 meses inclusive? 
P(3<=X<=8) = P(X = 3) + P(X=5)+...+P(X=8) = 0,53 
 
f) Calcule a esperança de X. 
E(X) = (2*0,45) + (3*0,20) + ... + (10*0,02) = 3,72 
 
 
16. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Sabe-se que 40% 
dessas garrafas contêm uma quantidade menor do que o indicado no rótulo (1 litro). 
Tendo 6 dessas garrafas, qual a probabilidade que: 
a) Duas delas contenham menos de um litro? (0,311) 
b) No máximo duas contenham menos de um litro? (0,543) 
c) Pelo menos duas contenham menos de um litro? (0,768) 
d) Todas contenham menos de 1 litro? (0,004) 
e) Todas contenham o volume indicado no rótulo? (0,046) 
 
 
17. Suponha que X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p; sabendo que 
E(X) = 5 e Var(X) = 4, determine n e p. (n = 25) (p = 0,20) 
 
 
18. Uma urna contém 20 bolas brancas e 30 bolas vermelhas. Uma bola é retirada da 
urna e a variável aleatória X denota o número de bolas vermelhas obtidas. Calcule a 
média E(X), a Var(X) e o desvio‐padrão de X. 
 
 
 
19. Num teste tipo certo/errado, com 50 questões: 
a) Qual é a probabilidade de que o aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as 
responda ao acaso? 
X: número de questões respondidas corretamente. 
X~Bin ( n=50; p =0,5) 
 
Cada resposta é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso 0,50. Desse 
modo, o número de respostas corretas, X, tem distribuição binomial com n=50 e 
p=0,50. Acertar 80% das questões significa X = 40. 
Portanto: 
61040 109)50,0()50,0(
40
50
)40( −=





==XP 
 
b) Repita o problema, supondo que existam 5 alternativas de resposta para cada 
questão. 
No caso de alternativas por questão, a variável aleatória X segue distribuição binomial 
com n=50 e p = 0,20. Desse modo, 
191040 1021,1)80,0()20,0(
40
50
)40( −=





==XP 
20. Seja Z uma variável aleatória Normal, determine: 
a) P (Z = 0) (0) 
b) P (Z < 1,96) (0,975) 
c) P (Z  -2,89) (0,00193) 
d) P (Z > -1,33) (0,90824) 
e) P (Z  2) (0,02275) 
f) P (0,18 < Z < 2,11) (0,41115) 
g) P (1,31  Z  2,41) (0,08712) 
h) P (Z > 4,36) (0) 
 
 
21. Através de levantamentos anteriores, verificou-se que o tempo médio gasto por um 
candidato a supervisor de vendas, em determinado teste, é aproximadamente normal 
com média de 60 minutos e desvio padrão de 20 minutos. 
a) Que porcentagem de candidatos levará menos de 60 minutos para concluir o teste? 
(0,50) 
b) Que porcentagem não terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 90 
minutos? (0,067) 
 
 
22. A vida útil de lavadoras de pratos automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão de 
0,3 anos. Se os defeitos distribuem-se normalmente, que percentagem das lavadoras 
vendidas necessitará de conserto antes de expirar o período de garantia de um ano? 
(0,049) 
 
23. O peso médio das esferas metálicas produzidas pela Indústria Zepelin Ltda é de 39 
kg, com desvio padrão de 11 kg. Supondo-se que os pesos seguem uma distribuição 
aproximadamente Normal, estimar a proporção de esferas com peso: 
a) entre 33 e 45 kg. (0,41) 
b) superior a 50 kg. (0,159) 
 
 
24. Latas de conservas são fabricadas por uma indústria com média de 990 g e desvio 
padrão de 10g. Uma lata é rejeitada pelo controle de qualidade dessa indústria se 
possuir peso menor que 975g. Qual a probabilidade de uma lata ser rejeitada. (0,0668)