Centroíde , Centro de Gravidade e Centro de Massa

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1
PROF. MARCOS LEOPOLDO BORGES
Mecânica dos Materiais
Centroide, Centro de Gravidade e 
Centro de Massa
2
Objetivos
Discutir os conceitos de centro de gravidade,
centro de massa e centróide .
Mostrar como determinar a localização destes
centros, para um sistema discreto de
partículas e para um corpo de forma
arbitrária.
3
Centro de Gravidade
O centro de gravidade G é o ponto que localiza a 
posição da aplicação do peso resultante de um sistema 
de partículas.
Os pesos das partículas são considerados como um 
sistema de forças paralelas, que podem ser 
substituídas por um único peso resultante 
(equivalente) aplicado no ponto G.
4



n
1i
iR WW
Peso Resultante
nn332211RR Wx
~Wx~Wx~Wx~Wx 
Coordenada x :
nn332211RR Wy
~Wy~Wy~Wy~Wy 
Coordenada y:
nn332211RR Wz
~Wz~Wz~Wz~Wz 
Coordenada z:
5











 
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
W
Wz~
z
W
Wy~
y
W
Wx~
x
i partícula da peso
i partícula da scoordenada~,~,~
gravidade de centro do scoordenada,,
i
iii
W
zyx
zyx
6











 
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
m
mz~
z
m
my~
y
m
mx~
x
i partícula da massa
i partícula da scoordenada~,~,~
massa de centro do scoordenada,,
mi
zyx
zyx
iii
Centro de Massa
7
Centro de Gravidade, Centro 
de Massa e Centróide de um 
corpo
Considerando o 
corpo rígido como 
um sistema 
composto de um 
número infinito de 
partículas
8

















 
1i
i
i
1i
i
1i
i
i
1i
i
1i
i
i
1i
i
W
Wz~
z
W
Wy~
y
W
Wx~
x
i partícula da peso
i partícula da scoordenada~,~,~
gravidade de centro do scoordenada,,
i
iii
W
zyx
zyx
9







dW
dWz~
z
dW
dWy~
y
dW
dWx~
x
 
VdWd 



 volumede unidadepor peso
corpo do específico peso
10















V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z
dV
dVy~
y
dV
dVx~
x
Centro de Gravidade 
11















V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z
dV
dVy~
y
dV
dVx~
x
Centro de Massa
A massa específica  está relacionada ao peso específico 
pela equação  = g. Substituindo esta relação nas equações e
cancelando g (aceleração da gravidade), tem-se as equações
para determinar o centro de massa.
12
CENTRÓIDE
O centróide C é um ponto que define o centro 
geométrico de um objeto. 
Sua localização pode ser determinada a partir 
de expressões similares àquelas utilizadas para 
determinar o CG e o CM.
13







V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z
dV
dVy~
y
dV
dVx~
x
Centróide de um Volume
14







A
A
A
A
A
A
dA
dAz~
z
dA
dAy~
y
dA
dAx~
x
Centróide de uma Área
15







L
L
L
L
L
L
dL
dLz~
z
dL
dLy~
y
dL
dLx~
x
Centróide de uma Linha
16
Simetria
• Quando a figura apresentar um eixo de
simetria, o seu centróide localiza-se sobre este
eixo.
• Quando a figura apresentar dois ou mais
eixos de simetria, o centróide localiza-se na
interseção destes eixos.
17
18
Pontos Importantes
• O centróide representa o centro geométrico do
corpo. Este ponto apenas coincide com o centro de
massa ou centro de gravidade se o material do corpo
for uniforme e homogêneo.
• Em alguns casos (anel, perfil C), o centróide é
localizado em um ponto que não está sobre o objeto.
•A determinação do centróide é importante para
definir os eixos de uma peça, como uma viga, que
serão usados para sua representação gráfica e para os
quais serão calculados os momentos de inércia.
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y
x
b
h
y = (h/b) (b - x)
C
Localize o centróide da área do triângulo
mostrado na figura.
20
 
 
yy~
yh
h
b
2
1
x~
dyyh
h
b
dA
dyxdA










21
 
 
3
h
hb
2
1
hb
6
1
y
dyyh
h
b
dyyh
h
b
y
dA
dAy~
y
2
h
0
h
0
A
A




















22
   
 
h
0A
h
A
0
2
1 b b
h y h y dyx dA
2 h h
x
bdA
h y dy
h
1
b h
b6x
1 3
b h
2
  
   
  
 
 
 
 
 

 
23
y
x
b
h
y = (h/b) (b - x)
 y~,x~
dy
x
Por Integrais Duplas
24
yy~
xx~
dydxdA



25
3
h
hb
2
1
hb
6
1
y
bh
)xb(
b6
h
bh
dx)xb(
b2
h
y
bh
dx)xb(
b2
h
dydx
ydydx
dA
dAy~
y
2
2
1
3
2
2
2
1
b
0
2
2
2
2
1
b
0
2
2
2
b
0
)xb(
b
h
0
b
0
)xb(
b
h
0
A
A









 
 




26
Localize o centróide da área sombreada 
limitada pelas curvas
27
 
 
 
 
ft5.0
6
1
12
1
dxxx
dxxxx
x
dxyy
dxyyx
dA
dAx~
x
1
0
2
1
0
2
1
0
12
1
0
12
A
A













 
xx~
dxyydA 12


28
 
   
2
yy
2
yy
yy~
dxyydA
1212
1
12





29
   
 
   
 
ft4.0y
6
1
60
4
dxxx
dxxx
2
xx
y
dxyy
dxyy
2
yy
dA
dAy~
y
1
0
2
1
0
2
2
1
0
12
1
0
12
12
A
A










 







 







30
Centróide
de Corpos 
Compostos 
31
Um corpo composto consiste na composição 
de uma série de corpos com formas mais 
simples, como retângulos, triângulos, 
semicírculos, etc.
Esse corpo pode ser dividido em suas partes 
constituintes e, conhecidos os centróides de 
cada uma dessas partes, pode-se determinar 
o centróide do corpo como um todo.
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Procedimento
Dividir a figura em suas partes 
constituintes com formas simples.
Se a figura tiver um orifício, considere-o 
como uma área negativa.
Lembre-se que se houver um eixo de 
simetria, o centróide localiza-se sobre 
este.
Os cálculos podem ser organizados na 
forma de uma tabela, se preferir.
33











 
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
A
Az~
z
A
Ay~
y
A
Ax~
x
Fórmulas
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35
36
Determine os centroídes e/ou centro de gravidade 
das figuras e localize-os.
37
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