Trabalho_REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

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JÁDSON FELIPE DANTAS FERREIRA 
LUCAS DANTAS DE SOUSA 
MAURICIO ABRANTES MIGUEL 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO DO MUNICÍPIO DE VIEIRÓPOLIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOUSA - PB 
2019 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E SOCIAIS 
UNIDADE ACADÊMICA DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
DISCIPLINA: MÉTODOS QUANTITATIVOS 
PROFESSOR: VALTERLIN 
INTRODUÇÃO 
O trabalho tem a finalidade de verificar através de uma análise estatística a existência de uma 
relação funcional entre uma variável dependente (Despesa Total) com uma variável 
independente (Receita Total). Essa verificação trata-se de uma análise de regressão. 
Foi utilizado como base de cálculo, o total das receitas e despesas entre os anos de 2002 a 2017, 
do município de Vieirópolis-PB. “Vieirópolis é um município brasileiro localizado na Região 
Geográfica Imediata de Sousa, estado da Paraíba. Sua população em 2012 foi estimada 
pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) em 5.102 habitantes, distribuídos em 
147 km² de área.” (WIKIPEDIA, 2019). 
1 Análise de Regressão Linear 
Na Tabela 1, está apresentado a Receita Total, Despesa Total (em milhões de reais) entre os 
anos de 2002 a 2017, assim como a soma e média desses 16 anos. 
Tabela 1-Receitas e Despesas Totais 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Com base nos valores apresentados na Tabela 1, pode-se desenvolver o diagrama de dispersão, 
ilustrado na Figura 1. 
Ano Receita Total Despesa Total X²
2002 2,80 2,76 7,86
2003 2,81 3,05 7,91
2004 3,11 3,10 9,68
2005 4,03 4,02 16,23
2006 4,56 4,60 20,81
2007 5,54 5,43 30,66
2008 9,12 8,84 83,23
2009 6,49 6,80 42,15
2010 7,10 7,28 50,47
2011 8,80 8,44 77,51
2012 9,49 9,61 90,14
2013 10,46 10,45 109,43
2014 12,02 11,46 144,60
2015 11,87 12,05 140,99
2016 13,01 12,61 169,36
2017 12,70 13,41 161,27
Soma 123,943 123,923 1.162,27
Média 7,746 7,745 
Em milhões de Reais
Figura 1-Diagrama de Dispersão das Variáveis 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Através das informações contidas no gráfico acima, pode-se demonstrar o grau de relação entre 
as variáveis independentes X (Receita Total) e dependentes Y (Despesa Total). Com base nos 
dados apresentados, constata-se que existe a princípio uma correlação linear positiva entre as 
variáveis. 
Segundo Santos (2019), “o coeficiente de correlação linear mede a intensidade da relação entre 
duas variáveis”. Para determinar o coeficiente de correlação linear deve-se utilizar as seguintes 
formulas para a realização do cálculo: 
 
Após determinar os valores de 𝑆𝑥𝑥, 𝑆𝑦𝑦 e 𝑆𝑥𝑦 , pode-se calcular o coeficiente de correlação (r) 
e o coeficiente de determinação (R²), utilizando as seguintes formulas: 
Coeficiente de correlação 
 
Coeficiente de determinação 
𝑅2 = 𝑟2 
Com base nos dados apresentados na Tabela 1, e distribuídos numa planilha do aplicativo Excel, 
foram gerados automaticamente através da Ferramenta de Análise de Dados, os valores 
presentes na Tabela 2. 
Tabela 2-Estatística de regressão 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Como ilustrado na Tabela 2, o coeficiente de correlação (r) foi aproximadamente 0,9964, 
enquanto que o coeficiente de determinação (R²), apresentou o valor de 0,9928. Também 
podemos encontrar o valor de n = 16, (quantidade de anos utilizado para no teste) e o erro 
padrão (Se) é igual a 0,3197. 
Segundo Santos (2019), “o coeficiente de correlação pode variar entre -1 ≤ r ≤ 1. Caso o valor 
de r esteja próximo de -1 ou 1, ocorrerá uma forte correlação negativa ou positiva, 
respectivamente. Também pode ocorrer uma fraca correlação positiva, caso o valor de r esteja 
próximo de 0.” 
Após determinarmos o coeficiente de correlação, podemos realizar o primeiro teste de hipótese, 
onde: 
𝐻0: 𝑝 = 0 
𝐻1: 𝑝 ≠ 0 
Segundo Santos (2019), “na utilização dos dados amostrais deve-se analisar a hipótese da 
existência de uma relação entre x e y”. Para realizar esse teste devemos inicialmente, encontrar 
o valor de 𝑡𝑐𝑎𝑙 . 
𝑡𝑐𝑎𝑙 =
𝑟√𝑛 − 2
√1 − 𝑟2
=
0,9964 . √16 − 2
√1 − 0,9928
= 𝟒𝟒 
𝑡𝛼/2,𝑛−2 = 𝟐, 𝟏𝟒 
Estatística de regressão
R múltiplo 0,996403205
R-Quadrado 0,992819347
R-quadrado ajustado 0,992306443
Erro padrão 0,319666621
Observações 16
Então verificamos por meio de hipótese se existe uma relação entre X (Receita Total) e Y 
(Despesa Total). Para determinar a aceitação do modelo, precisamos definir se |𝑡𝑐𝑎𝑙| > 𝑡𝑡𝑎𝑏 
para um nível de significância de 𝛼 = 5%, caso seja confirmado, rejeitamos a hipótese nula (𝐻0) 
e aceitamos o modelo. 
Como podem notar, o 𝑡𝑐𝑎𝑙 = 44 e o 𝑡𝑡𝑎𝑏 = 2,14, nesse caso a hipótese nula foi rejeitada e o 
modelo foi aceito. 
O coeficiente de determinação (R²), mede a precisão do modelo escolhido. Nesse caso 
específico, sua precisão foi de 99,28%. 
Em seguida, foi gerado a Tabela 3, onde poderemos encontrar o modelo proposto, o erro padrão 
e o intervalo de confiança. 
Tabela 3-Determinação do modelo e intervalo de confiança 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Na coluna dos coeficientes temos os valores da estimativa do coeficiente linear (a) = 0,0824 e 
do coeficiente angular (b) = 0,9891, que consiste na interseção e na inclinação da reta, 
respectivamente. Através desses valores podemos determinar o modelo linear que será adotado. 
Modelo Linear 
ŷ = 0,9892x + 0,0825 
Após determinar o modelo linear e o coeficiente de determinação podemos criar o gráfico de 
dispersão, como ilustrado na Figura 2. No gráfico constará a relação entre as Receitas Totais e 
Despesas Totais do município de Vieirópolis, entre os anos de 2002 e 2017, assim como o 
modelo escolhido e sua precisão. 
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%
Interseção 0,082475671 0,191626588 0,430397845 0,673458137 -0,328522484 0,493473825 -0,328522484 0,493473825
Variável X 1 0,98918854 0,022483397 43,996401 2,06844E-16 0,94096645 1,03741063 0,94096645 1,03741063
Figura 2-Gráfico de Dispersão 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Nota-se que na Figura 2, a reta está bem próxima dos pontos, isso porque o coeficiente de 
determinação é quase igual a 1. Desse modo, pode-se dizer que o gráfico apresenta uma forte 
correlação positiva. 
Após a descoberta do modelo de regressão, deve-se conhecer a variância dos estimadores para 
determinar a precisão dos estimadores, o intervalo de confiança e assim, realizar o teste de 
hipótese (SANTOS, 2019). 
Para determina a variância residual da estimativa, deve-se utilizar a seguinte formula: 
 
Ao descobrir o valor de 𝑆𝑒
2, encontra-se o erro padrão (Se), que na Tabela 2, está representado 
pelo valor de 0,3196. 
y = 0,9892x + 0,0825
R² = 0,9928
 -
 2,00
 4,00
 6,00
 8,00
 10,00
 12,00
 14,00
 16,00
 - 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00
D
es
p
es
a 
To
ta
l
Receita Total
Gráfico de Dispersão
(Em milhões de reais)
Enquanto que a variância das estimativas de b e a serão determinadas pelas formulas:A variância das estimativas, serão encontradas na Tabela 3, na coluna do erro padrão, onde os 
valores de b e a apresentados foram: 𝑆𝑏 = 0,0224; e 𝑆𝑎 = 0,1916. 
Para a realização do teste de hipótese dos estimadores, foi escolhido o valor de b. Onde podemos 
testar as seguintes hipóteses: 
𝐻0: 𝛽 = 0 
𝐻1: 𝛽 ≠ 0 
Como geralmente a variância populacional é desconhecida, realizamos o cálculo do 𝑡𝑐𝑎𝑙 e 
relacionamos com o 𝑡𝑡𝑎𝑏 . Para esse cálculo utilizamos a seguinte formula: 
 
Podemos encontrar a solução dessa equação na Tabela 3, na coluna Stat t, onde o valor de 𝑡𝑏 =
43,9964. Caso o |𝑡𝑐𝑎𝑙| > 𝑡𝛼/2,𝑛−2, a hipótese nula (𝐻0) será rejeitada. Por essa razão, aceita-se 
a hipótese do coeficiente angular diferente de zero (𝐻1) com 95% de confiança e nível de 
significância de 5%. 
Na Tabela 3, o teste de hipótese pode ser confirmado pelo valor da coluna valor-P, onde o valor 
da variável X1 = 2,06E-16 é menor que o nível de significância (𝛼 = 5%). 
Para concluir a variância dos estimadores, desenvolvemos o intervalo de confiança para 𝛽. Esse 
intervalo pode ser expressado pela formula: 
 
Ainda na Tabela 3, podemos encontrar esses valores nas colunas 95% inferior e 95% superior, 
na linha da variável X1. Nesse caso, o intervalo é de: 
0,9409 ≤ 𝛽 ≤ 1,0374 
 
 
2 Análise da Variância (ANOVA) 
A próxima etapa consiste na Análise da variância (ANOVA). Podemos conferir essa analise 
através da Tabela 4. 
Tabela 4-ANOVA 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Na regressão simples, podemos decompor os resíduos utilizando as seguintes formulas: 
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 = 𝑏. 𝑆𝑥𝑦 = 197,801 𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑦𝑦 − 𝑏. 𝑆𝑥𝑦 = 1,430 
𝑆𝑦𝑦 = SQR + SQReg = 199,231 
Enquanto que o grau de liberdade, onde n = 16, é expressado respectivamente: 
 1 + (n – 2) = (n – 1) 
Assim, a média quadrada associada com o modelo de regressão e a média quadrada dos resíduos 
resultam: 
𝑀𝑄𝑅𝑒𝑔 = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑞 / 1 = 197,801 𝑀𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑅 / (𝑛 − 2) = 0,102
E o teste F é realizado pela divisão da MQReg com MQR: 
𝐹 = 𝑀𝑄𝑅𝑒𝑔/𝑀𝑄𝑅 = 1935,683 
Caso 𝐹 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝛼,1,𝑛−2, o modelo é aceito. Na Tabela 4, podemos confirmar essa afirmação na 
coluna do F de significância. Como o F de significância = 2,06E-16 é menor que o nível 
significância (𝛼 = 5%), o modelo deve ser aceito com 95% de confiança. 
3 Análise do Resíduo 
De acordo com Santos (2019), “a adequação do ajuste e as suposições do modelo podem ser 
verificadas através de uma análise dos resíduos.” 
Para que a análise dos resíduos seja aceita, é necessário que a soma esperada dos resíduos 
padrão seja igual a 0, caso contrário uma outra função não linear deve ser escolhida. Na Tabela 
5, ilustraremos as previsões das Despesas Totais (ŷ previsto) e o Resíduo padrão (𝑅𝑒). 
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 1 197,8011826 197,8011826 1935,683301 2,06844E-16
Resíduo 14 1,430614478 0,102186748
Total 15 199,2317971
Tabela 5-Análise do Resíduos 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Para determinar os valores dos resíduos padrão, utiliza-se a seguinte formula: 
𝑅𝑒 =
𝑦𝑖 − ŷ𝑖
𝑆𝑒
 
Além da Tabela 5, onde confirma-se que a soma dos resíduos padrão foi igual a 0, a Ferramenta 
de Análise de Dados também gerou o gráfico de plotagem, ilustrado na Figura 3. 
Figura 3-Plotagem de Resíduos 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
Segundo Santos (2019), “se os dados atendem às premissas, o gráfico deve mostrar uma faixa 
horizontal centrada em torno do 0, sem mostrar uma tendência positiva ou negativa”. 
Observação Y previsto Resíduos Resíduos padrão
1 2,85581 -0,09305 -0,30132
2 2,86440 0,19014 0,61567
3 3,15979 -0,05851 -0,18947
4 4,06714 -0,04907 -0,15891
5 4,59508 0,00576 0,01864
6 5,55962 -0,13120 -0,42482
7 9,10671 -0,27018 -0,87486
8 6,50421 0,29845 0,96640
9 7,10967 0,17440 0,56473
10 8,79140 -0,35407 -1,14649
11 9,47385 0,13850 0,44846
12 10,43011 0,02216 0,07175
13 11,97729 -0,51913 -1,68097
14 11,82801 0,22475 0,72774
15 12,95554 -0,34469 -1,11613
16 12,64438 0,76576 2,47956
SOMA 0,00000
4 Intervalo de Confiança para as previsões 
A análise de regressão nos permitiu realizar uma previsão dos valores de Y (Despesa Total), 
com base nas relações existentes entre as variáveis (X e Y). Foram utilizados dois tipos de 
previsões: 
• Previsão do Valor Médio 
• Previsão do Valor Individual 
 “A variância dos valores preditos irá depender não somente de S2, mas também do valor de 
𝑥0. Isso acontece porque previsões são mais precisas quando 𝑥0 ~ �̅� e menos precisas quando 
𝑥0 aproxima-se dos extremos investigados.” (SANTOS, 2019). 
Buscamos obter a previsão de Y (Despesa Total), caso a média de X (Receita Total) dos últimos 
10 anos observados seja 20% menor. O nível de confiança da previsão foi de 95%. 
Na Tabela 6, podemos observar a Receita Total entre os anos de 2008 e 2017, assim como sua 
média reduzida em 20%. 
Tabela 6-Média dos últimos 10 anos 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019 
O valor de 8,087 apresentado na Tabela 6, será a expectativa de Receita Total (𝑥0) para o 
período seguinte. Então se a Receita Total for de R$ 8.087.000, o valor esperado de ŷ será de: 
�̂� = 0,9892𝑥 + 0,0825 
�̂� = 0,9892 . 8,087 + 0,0825 
�̂� = 𝟖, 𝟎𝟖𝟐𝟏 
Últimos 10 anos Receita Total
2008 9,12
2009 6,49
2010 7,10
2011 8,80
2012 9,49
2013 10,46
2014 12,02
2015 11,87
2016 13,01
2017 12,70
MÉDIA 10,11
-20% 8,087 
Para que possamos determinar a previsão, ainda necessitamos de outras duas informações. O 
valor de 𝑆𝑥𝑥 e do erro padrão ao quadrado (𝑆𝑒
2). 
 
𝑆𝑒
2 = 0,31962 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟐 
 
Com base nesses valores, podemos determinar a previsão da Despesa Total para o valor médio 
e individual, assim como seus intervalos de confiança. 
Previsão do Valor Médio 
Agora podemos determinar a previsão do valor médio de Y e o intervalo de confiança para um 
nível de significância 𝛼=5%. 
 
Intervalo de Confiança 
 
 
 
Previsão do Valor Individual 
Enquanto que a previsão do valor individual de Y e seu intervalo de confiança, com 𝛼=5%, foi 
de: 
 
 
Intervalo de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIA 
COMPARA BRASIL. Municípios. Disponível em: 
<http://comparabrasil.com/municipios/paginas/modulo1.aspx>. Acessado em: 17 jun.2019. 
SANTOS, Valterlin da Silva. Análise de regressão. 2019. Slide. Disponível em: 
<https://sites.google.com/site/profvalterlin/home/MQ>. Acessado em: 17 jun. 2019. 
WIKIPEDIA. Vieirópolis. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Vieirópolis>. 
Acessado em: 17 jun. 2019.