Secagem do Grão de Milho

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Química 
Departamento de Operações e Processos Industriais 
Fenômenos de Transferência III 
Período: 2019/1 
 
Rio de Janeiro, 03 de maio de 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SECAGEM DE GRÃOS DE MILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo: 
Daiana Rodrigues 
Lara Soares 
Luana Gouveia 
Samara Fragoso 
 
 
Professor: 
Rodrigo dos Reis 
 
 
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Trabalho: Secagem de Grãos de Milho 
Grupo: Daiana Rodrigues, Lara Soares, Luana Gouveia, Samara Fragoso 
 
 
ÍNDICE 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 4 
2 OBJETIVO ............................................................................................................ 6 
3 MODELAGEM ...................................................................................................... 7 
3.1 PREMISSAS .................................................................................................. 7 
3.2 DEFINIÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE .................................................. 8 
3.3 BALANÇO MICROSCÓPICO ......................................................................... 8 
3.3.1 REGIME TRANSIENTE ............................................................................... 8 
3.3.2 CONDIÇÃO INICIAL (CI) E CONDIÇÕES DE CONTORNO (CC) ............. 10 
3.3.3 RESOLVENDO A EQUAÇÃO (COM EDO) ............................................... 15 
4 REFERÊNCIAS .................................................................................................. 21 
 
 
 
 
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Lista de Figuras 
Figura 3.1 – Grão de Milho...........................................................................8 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
O milho é produzido em quase todos os continentes, sendo sua importância 
econômica caracterizada pelas diversas formas de sua utilização, que vão desde a 
alimentação animal até a indústria de alta tecnologia, como a produção de filmes e 
embalagens biodegradáveis. Cerca de 70% da produção mundial de milho é 
destinada à alimentação animal, podendo este percentual chegar a 85%, em países 
desenvolvidos. Nos Estados Unidos, cerca de 50% é destinado a esse fim, enquanto 
que no Brasil varia de 60% a 80%. 
Em termos gerais, apenas 15% de toda a produção mundial destina-se ao 
consumo humano, de forma direta ou indireta. [1] 
Apesar de não ter uma participação muito grande no uso de milho em grão, a 
alimentação humana, com derivados de milho, constitui fator importante de uso 
desse cereal em regiões de baixa renda. Em algumas situações, o milho constitui a 
ração diária de alimentação. Na produção do grão temos como etapa inicial a 
colheita, após essa etapa seguem os processos de secagem, armazenagem, 
manuseio e transporte, sendo a secagem um dos mais importantes, pois é usado 
para garantir a qualidade e estabilidade dos produtos agrícolas. 
A principal razão para o processo de secagem é relacionada ao fato de que o 
produtor precisa colher o milho com umidade elevada, acima dos 13,5% de umidade 
recomendado. Os principais fatores para essa umidade elevada são a melhor 
qualidade dos grãos, a necessidade de utilização da área de plantio, quando ocorre 
um forte ataque de pragas como pássaros, caruncho e roedores ou ainda, quando o 
preço do milho naquela época compensa o gasto com a secagem artificial. O milho 
deve ser armazenado com umidade inferior a 13,5% porque a maioria dos fungos 
que atacam o grão armazenado praticamente cessam seu desenvolvimento em 
umidades inferiores a essa, para grande parte da temperatura de armazenamento 
existente no Brasil. [2] 
Na secagem, o vapor d’água presente na semente tende a ocupar todos os 
espaços intercelulares disponíveis, gerando pressões em todas as direções, 
inclusive na interface entre a semente e o ar, denominada pressão parcial de vapor 
d’água na superfície da semente. Por sua vez, a água presente no ar sob a forma de 
vapor exerce, também, uma pressão parcial, designada pressão parcial de vapor 
d’água no ar. 
O processo de secagem envolve a retirada parcial de água da semente através 
da transferência simultânea de calor do ar para a semente e de água, por meio de 
fluxo de vapor, da semente para o ar. 
 
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A secagem de sementes, mediante fornecimento forçado de ar aquecido, 
compreende, essencialmente, dois processos simultâneos: 
a) transferência (evaporação) da água superficial da semente para o ar 
circundante, que ocorre motivado pelo gradiente de pressão parcial de vapor entre a 
superfície da semente e o ar de secagem; 
b) movimento de água do interior para a superfície da semente, em virtude de 
gradiente hídrico e térmico entre essas duas regiões. 
Uma teoria bastante aceita para explicar o transporte de água do interior para a 
superfície da semente durante a secagem, é um derramamento hidrodinâmico sob a 
ação da pressão total interna e/ou um processo de difusão resultante de gradientes 
internos de temperatura e teor de água. 
A forma mais utilizada para aumentar o diferencial entre as pressões de vapor 
da superfície da semente e do ar de secagem é o aquecimento desse último, 
diminuindo, em consequência, a sua umidade relativa que, dessa forma, adquire 
maior capacidade de retirada de água. [3] 
Quanto ao tipo de secador, diversos métodos e modelos estão disponíveis no 
mercado, o mais simples deles é a secagem natural em terreiro, onde os grãos são 
espalhados em um pátio e a energia utilizada para secagem é a energia solar e tem 
como desvantagem a dependência com os fatores climáticos. 
Os modelos de ventilação forçada, mais utilizados, podem ser divididos 
conforme a temperatura da corrente de ar. A secagem de grãos em silos com 
ventilação forçada com ar natural ou em baixas temperaturas é um processo lento 
devido ao pequeno fluxo de ar insuflado na massa e à dependência da capacidade 
de secagem do ar em estado natural, por ser tratar de um silo, uma vantagem é que 
o local de armazenamento e secagem é o mesmo. [4] 
A secagem com altas temperaturas diminui a umidade relativa do grão 
conforme a temperatura aumenta, geralmente o ar é forçado por um ventilador a 
passar pelo secador. Depois de entrar em contato com o produto, o ar deixa o 
secador com uma temperatura mais baixa e com umidade relativa mais elevada. 
Neste tipo de secagem, deve-se considerar a finalidade do milho, ou seja, para 
semente, indústria ou alimentação animal. Os secadores desse tipo podem ser de 
camada fixa horizontal ou vertical, fluxo concorrente ou contracorrente, rotativo, leito 
fluidizado, de esteira transportadora, e etc. [4] 
 
 
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2 OBJETIVO 
 
O presente trabalho tem como objetivo o estudo da secagem, cinética e 
transferência de massa de grãos de milho, através de um secador com distribuição 
radial de ar, assim como as principais etapas de processo. 
Para a abordagem e definição da cinética de secagem foram feitas algumas 
premissas sobre os grãos, tipo de escoamento e condições iniciais e de contorno 
(Descrito no item 3.1). A partir disto, foi definido o volume de controle aplicando-se 
equações tradicionalmente usadas para tal finalidade. 
Além disso, foi definida uma faixa de temperatura (entre 40 a 70°c), uma vez 
que a mesma interfere no coeficiente de difusão de forma proporcional e na umidade 
de forma inversa. 
Para garantir que essa faixa de temperatura fosse a trabalhada no processo, foi 
feito o monitoramento de todas as temperaturas, como a temperatura ambiente e da 
massa de grãos. Além disso, verificaram-se também as variações na umidade 
relativa de exaustão. 
As variações nas condições de ar e do grão, em cada camada, foram 
calculadas com pequenas variações de tempo de modo a obter uma modelagem 
mais específica e com pequenos valores de erros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 MODELAGEM 
3.1 PREMISSAS 
 
Para modelar o sistema, algumas premissas devem ser adotadas a fim de 
simplificar e possibilitar seu equacionamento, as premissas adotadas foram: 
 
1) O escoamento ocorre em regime transiente, pois ao escolher pontos 
dentro do volume de controle, existe variação da concentração de moléculas de 
água com o tempo; 
2) Só ocorre transferência de massa na fase sólida; 
3) Não existe reação química, pois o processo secagem é físico; 
4) Para cálculos iniciais, assume-se que a vazão da corrente gasosa é 
muito alta, com isso, não considera a camada limite; 
5) Usou-se como referencial um único grão de milho que está sobre a 
esteira, já que os grãos estão espalhados um ao lado do outro; 
6) O grão de milho possui geometria esférica, assim, toma-se como base 
de cálculo as coordenadas esféricas; 
7) Existe simetria entre os grãos de milho, uma vez que, toda esfera é 
simétrica e homogênea e seu teor de umidade inicial (UA0) é uniforme; 
8) Volume de grão de milho é constante, assim o raio não varia com o 
tempo; 
9) Transporte de natureza difusiva (fase sólida); 
10) O escoamento é unidirecional, ocorrendo apenas no sentido radial 
devido as moléculas de água passarem do centro para a superfície do grão; 
11) Coeficiente de difusão e densidade do meio são constantes; 
12) Na interface grão e ar ocorre, o equilíbrio termodinâmico, com teor de 
umidade na superfície do grão em equilíbrio também (Ue); 
13) A perda de calor do secador para o entorno é insignificante; 
14) O diâmetro do grão não varia com o tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2 DEFINIÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE 
 
Com base na secagem, o gradiente de concentração de água ocorre do centro 
do grão para a sua superfície, assim, ocorrendo a transferência de massa ao longo 
de cada um dos grãos. O volume de controle foi adotado para um grão de milho, 
conforme a Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1: Grão de milho 
 
 
3.3 BALANÇO MICROSCÓPICO 
 
Para a descrição completa do sistema é preciso aplicar o balanço em regime 
transiente na fase sólida, a partir das hipóteses previamente estabelecidas 
anteriormente, gerando assim uma equação diferencial e definir então as condições 
de contorno para a resolução matemática do problema. 
 
 
3.3.1 REGIME TRANSIENTE 
 
Tomando como base a equação da continuidade em termos de fluxo mássico 
absoluto em coordenadas esféricas, tem-se então para a água, que será a espécie 
A, na qual está dentro do grão de milho: 
 
 
 
∂ρA
∂t
+
1
r2
∂(r2nA,r)
∂r
+ 
1
rsenθ
∂(senθnA,θ) 
∂θ
+ 
1
rsenθ
∂nA,∅
∂∅
= rA''' (1) 
 
 
R 
 
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Com base nas premissas adotadas anteriormente, onde o fluxo unicamente 
radial, ou seja, não ocorre variação do gradiente de concentração nas direções dos 
ângulos θ e ∅ , observa-se que a concentração de água é a mesma e também não 
há reação química no volume de controle, dessa forma a equação (1) fica resumida 
a: 
 
 
∂ρA
∂t
+
1
r2
∂(r2nA,r)
∂r
=0 (2) 
 
 
Com base na definição de fluxo mássico total: 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜]𝐴,𝑟 + [𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜]𝐴,𝑟 (3) 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = j𝐴,𝑟
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + j
𝐴,𝑟
�⃗⃗⃗�⃗⃗ (4) 
 
Sabe-se que: 
 
 j𝐴,𝑟
�⃗⃗⃗�⃗⃗ = ρA 𝑢 ⃗⃗ ⃗ (5) 
 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = j𝐴,𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ρA 𝑢 ⃗⃗ ⃗ (6) 
 
 𝜌𝐴 = 𝜌 wA (7)
 Substituindo (7) em (6) obtém-se: 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = j𝐴,𝑟
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + ρ wA 𝑢𝑚 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (8) 
 
No entanto: 
 
 𝑢𝑚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝚺 
u⃗⃗ 𝜌
ρ
 (9) 
 
Sabe-se que: 
 
 𝚺 u⃗⃗ 𝜌 = 𝚺 �⃗� (10) 
 
Aplicando (10) em (9), tem-se: 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = j𝐴,𝑟
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + wA 𝚺 �⃗� (11) 
 
 
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Portanto, substuindo (11) em (10) e abrindo o somatório do fluxo difuso, tem-se: 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = j𝐴,𝑟
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + wA ( 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑛𝐵,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ )
(12)
 
 
Porém, só ocorre a transferência de massa devido ao fluxo difusivo (na fase sólida): 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = j𝐴,𝑟
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (13) 
 
 
Aplicando a 1ª Lei de Fick, tem-se:
 
 
 j
𝐴,𝑟
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝐷𝑒𝑓
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
 (14) 
 
Logo: 
 
 𝑛𝐴,𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝐷𝑒𝑓
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
 (15) 
 
Substituindo (15) em (2): 
 
 
∂ρA
∂t
+
1
r2
∂(-r2Def
∂ρA
∂r
)
∂r
= 0 (16) 
 
Organizando a equação (16) e sabendo que o coeficiente de difusão é constante, 
tem-se: 
 
 
∂ρA
∂t
=
Def
r2
∂(r2
∂ρA
∂r
)
∂r
 (17) 
 
 
3.3.2 CONDIÇÃO INICIAL (CI) E CONDIÇÕES DE CONTORNO 
(CC) 
Condição inicial é o conhecimento da concentração ou da composição no início 
do processo para qualquer posição do volume de controle. 
 
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 CI: para t = 0, em qualquer r, ρ é constante, ou seja, 𝜌𝐴(0, 𝑟) = 𝜌𝐴,0 
 
 CC1: para t > 0 , r = 0 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
|
𝑟=0
= 0 
 
Essa primeira condição de contorno (r = 0) é uma condição de simetria e indica 
que o fluxo massa de água no centro do grão de milho é nulo. 
 
 
 CC2: t > 0 r = R 𝜌𝐴 = 𝜌𝐴1 = 𝜌𝑒 = 𝑘𝑃 . 𝑦𝐴∞ 
 
 
Onde ρe descreve a concentração de água na superfície do grão em equilíbrio 
termodinâmico com a corrente de ar úmido; yAꝏ é a composição de água na corrente 
de ar úmido e kP é a constante de partição a temperatura e pressão do sistema (não 
considerando a presença da camada limite). 
 
Fazendo uma mudança de variáveis para facilitar na resolução e definindo uma 
concentração adimensional para a água, foi inserido uma nova variável (θ): 
 
 𝜃 =
𝜌𝐴−𝜌𝑒
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
 (18) 
 
Passos para substituição da variável ρA pela variável θ na (17): 
 
 
𝜕𝜃
𝜕𝑡
= 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
.
1
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
 → 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
= (𝜌𝐴0 − 𝜌𝑒)
𝜕𝜃
𝜕𝑡
 (19) 
 
 
𝜕𝜃
𝜕𝑟
= 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
.
1
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
 → 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
= (𝜌𝐴0 − 𝜌𝑒)
𝜕𝜃
𝜕𝑟
 (20) 
 
 
𝜕2𝜃
𝜕𝑟2
= 
𝜕2𝜌𝐴
𝜕𝑟2
.
1
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
 → 
𝜕2𝜌𝐴
𝜕𝑟2
= (𝜌𝐴0 − 𝜌𝑒)
𝜕2𝜃
𝜕𝑟2
 (21) 
 
Aplicando a regra do produto na equação (16): 
 
 
∂ρA
∂t
+
1
r2
∂(-r2Def
∂ρA
∂r
)
∂r
= 0 (22) 
 
Assim, 
 
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𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓 (
2
𝑟
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
+
𝜕2𝜌𝐴
𝜕𝑟2
) (23) 
 
Igualando as equações (17) e (23): 
 
 
∂ρA
∂t
=
Def
r2
∂(r2
∂ρA
∂r
)
∂r
= Def (
2
r
∂ρA
∂r
+
∂2ρA
∂r2
) (24) 
 
Substituindo as equações (20), (21) em (24): 
 
𝜕𝜃
𝜕𝑡
(𝜌𝐴0 − 𝜌𝑒) = 𝐷𝑒𝑓 [
2
𝑟
𝜕𝜃
𝜕𝑟
(𝜌𝐴0 − 𝜌𝑒) +
𝜕2𝜃
𝜕𝑟2
(𝜌𝐴0 − 𝜌𝑒)] 
 
 
𝜕𝜃
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓 (
2
𝑟
𝜕𝜃
𝜕𝑟
+
𝜕2𝜃
𝜕𝑟2
) 
 
 
𝜕𝜃
𝜕𝑡
=
𝐷𝑒𝑓
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝜃
𝜕𝑟
) (25) 
 
 
Na secagem é conveniente trabalhar com a razão de umidade. 
 
 𝜃 =
𝜌𝐴−𝜌𝑒
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
= 
𝑚𝐴−𝑚𝑒
𝑚𝐴0−𝑚𝑒
= 
𝑚𝐴
𝑚𝑆
−
𝑚𝑒
𝑚𝑆
𝑚𝐴0
𝑚𝑆
−
𝑚𝑒
𝑚𝑆
 =
𝑈𝐴−𝑈𝑒
𝑈𝐴0−𝑈𝑒
 (26) 
 
Assim, define-se uma variável U (razão de umidade dos grãos de milho) como 
sendo: 
 
 𝑼 = 
𝑼𝑨−𝑼𝒆
𝑼𝑨𝟎−𝑼𝒆
 (27) 
 
E a equação (25) fica desta forma: 
 
 
𝜕𝑈
𝜕𝑡
=
𝐷𝑒𝑓
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑟
) (28) 
 
 
Agora, as novas condições iniciais (CI) e condições de contorno (CC) são: 
 
 
 CI: para t = 0 e para qualquer r  U = 1 
 
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Em t = 0 → UA = UA0, então 𝑈 = 
𝑈𝐴0−𝑈𝑒
𝑈𝐴0−𝑈𝑒
= 1 
 
 CC1: para t > 0 r = 0, 
𝜕𝑈
𝜕𝑟
|
𝑟=0
= 0 
 
𝜕𝑈
𝜕𝑟
= 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
.
1
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
 em r = 0 
𝜕𝑈
𝜕𝑟
|
𝑟=0
= 
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑟
|
𝑟=0
 
1
𝜌𝐴0−𝜌𝑒
 = 0 
 
 CC2: t> 0 r = R U = 0 
 
 
Em r = R ocorre o equilíbrio termodinâmico na interface, logo UA = Ue , portanto: 
 
𝑈 = 
𝑈𝑒 − 𝑈𝑒
𝑈𝐴0 − 𝑈𝑒
= 0 
 
 
 
Para facilitar a resolução da EDP, faz-se uma nova mudança de variável: 
 
Ω = r U 
 
Com base na premissa que o volume do grão de milho é constante, então o 
raio não varia com o tempo: 
 
𝜕𝛺
 𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓
𝜕2𝛺
𝜕𝑟2
 (29) 
 
Sabendo que existe uma equivalência entre (28) e (29): 
 
 
𝜕𝑈
𝜕𝑡
=
𝐷𝑒𝑓
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑟
) 𝑒 
𝜕𝛺
 𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓
𝜕2𝛺
𝜕𝑟2
 
𝜕𝛺
𝜕𝑡
= 
𝜕(𝑟𝑈)
𝜕𝑡
= 𝑈
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑡
 
 
𝑈
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓
𝜕
𝜕𝑟
[
𝜕(𝑟𝑈)
𝜕𝑟
] 
 
 𝑈
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓 [(𝑟
𝜕2𝑈
𝜕𝑟2
+
𝜕𝑈
𝜕𝑟
) +
𝜕𝑈
𝜕𝑟
] 
 
 
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 𝑈𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓 (𝑟
2
𝜕2𝑈
𝜕𝑟2
+ 2𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑟
) 
 
 𝑈𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑟
) 
 
 
De acordo com premissa que o diâmetro do grão não varia com o tempo, 
portanto retira-se o termo da derivada do raio em relação
ao tempo: 
 
𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑈
𝜕𝑟
) (30) 
 
 
Agora, as novas condições iniciais (CI) e condições de contorno (CC) são: 
 
 CI: para t = 0 , para qualquer r, logo: 
 
Ω = r 
 
Como dito antes: 𝑈|𝑟,𝑡=0 = 1, portanto: 
 
Ω = r. U 
 
Ω = r.1 = r 
 
 CC1: para t > 0 e r = 0 
 
Ω = 0 
 
Ω = r. U 
 
Ω = 0. U = 0 
 
 CC2: t > 0 r = R Ω = 0 
Como já visto, em r = R → UA = Ue, então U = 0, portanto: 
 
Ω = r. U 
Ω = r. 0 = 0 
 
 
 
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3.3.3 RESOLVENDO A EQUAÇÃO (COM EDO) 
 
A resolução da equação (29) segue novamente o método da separação de 
variáveis: 
 
𝝏𝜴
 𝝏𝒕
= 𝑫𝒆𝒇
𝝏𝟐𝜴
𝝏𝒓𝟐
 
 
 𝛺(𝑟, 𝑡) = 𝑍(𝑟). 𝑇(𝑡) (31) 
 
Sabe-se que: 
𝜕𝛺
𝜕𝑡
= 𝑍
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
𝜕2𝛺
𝜕𝑟2
= 𝑇
𝜕2𝑍
𝜕𝑟2 
 
 
 𝑍
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝐷𝑒𝑓𝑇
𝜕2𝑍
𝜕𝑟2
 (32) 
 
 
Como os dois lados possuem são funções de uma variável, pode-se igualar 
cada lado pela mesma constante (-α²), seu sinal negativo possibilita a solução para o 
teor de umidade que diminui. Após a separação das parcelas e igualando-as a 
constante (-α²) tem-se as equações diferenciais a seguir: 
 
 
1
𝑇∙𝐷𝑒𝑓
∙
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= −α2 (33) 
 
 
1
𝑍
∙
𝜕2𝑍
𝜕𝑟2
= −α2 (34) 
 
Resolvendo a EDO de 1a ordem, não linear, na equação (33) usando o método 
de separação de variáveis: 
 
1
𝑇 ∙ 𝐷𝑒𝑓
∙
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= −α2 
 
1
𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= −α2 ∙ 𝐷𝑒𝑓 
 
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∫
1
𝑇
𝑑𝑇 = −α2 ∙ 𝐷𝑒𝑓 ∫𝑑𝑡 
 
ln(𝑇) = −α2. 𝐷𝑒𝑓 . 𝑡 + 𝐶 
 
𝑇 = 𝑒−α
2∙𝐷𝑒𝑓∙ 𝑡+𝐶 
 
 𝑇(𝑡) = 𝐶1. e
(−α2∙𝐷𝑒𝑓∙𝑡) (35) 
 
 
 
Resolvendo a EDO de 2a ordem, não linear, na equação (34) de acordo com a 
solução característica: 
 
𝜕2𝑍
𝜕𝑟2
+ 𝑎2𝑍 = 0 
𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 
 
𝑎 = 1; 𝑏 = 0; 𝑐 = 𝑎2 
Portanto: 
 
𝑀 = 
(−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐)
2.𝑎
 => 𝑀 = 
±√−4.α𝑖2
2
=
±2α𝑖
2
= ±α𝑖 
 
=> Caso 𝑀1 = 𝑀2 = ±𝑏𝑖 => 𝑦 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) 
 
 
Logo, a solução da EDO equação (34) é: 
 
 𝑍(𝑟) = 𝐴 cos( α𝑟) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(α𝑟) (36) 
 
Substituindo (35) e (36) em (31): 
 
 𝛺(𝑟, 𝑡) = 𝑒(−α
2.𝐷𝑒𝑓.𝑡) ∙ [𝐴 𝑐𝑜𝑠(α𝑟) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(α𝑟)] (37) 
 
 
Considerando a condição inicial (CI), a primeira condição de contorno (CC1) e 
a segunda condição de contorno (CC2): 
 
 
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 CI: 𝑡 = 0 → Ω = 𝑟 → 𝑟 = 𝑒(−α
2∙𝐷𝑒𝑓∙0) ∙ [𝐴 𝑐𝑜𝑠(α𝑟) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(α𝑟)] 
 
 𝐴 𝑐𝑜𝑠(α𝑟) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(α𝑟) = 𝑟 (38) 
 
 
 CC1: 𝑡 > 0, 𝑟 = 0 → Ω = 0 → 𝑒(−α
2.𝐷𝑒𝑓.𝑡) ∙ [𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(α ∙ 0) + 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(α ∙ 0)] = 0 
 
𝑒(−α
2.𝐷𝑒𝑓.𝑡) ∙ 𝐴 = 0 
 
Como termo exponencial da equação acima não é nulo, tem-se que a 
constante A é igual a zero. Assim: 
 
 𝛺(𝑟, 𝑡) = 𝑒(−α
2.𝐷𝑒𝑓.𝑡) ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(α ∙ 𝑟) (39) 
 
 CC2: para 𝑡 > 0, 𝑟 = 𝑅 → Ω = 0 → 𝑒(−α
2.𝐷𝑒𝑓.𝑡) ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(α ∙ 𝑅) = 0 
 
𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(α ∙ 𝑅) = 0 
 
Tomando cuidado para que não se tenha uma solução trivial para a equação 
obtida (com B = 0), o termo do seno será nulo. Para tal: 
 
𝑠𝑒𝑛(α ∙ 𝑅) = 0 → α =
𝑛 ∙ 𝜋
𝑅
, 𝑛 = 1, 2, 3, … 
 
α = α𝑛 =
𝑛 ∙ 𝜋
𝑅
 
 
 
Solução global Ω (r,t) é a soma de todas as soluções individuais: 
 
 𝛺 (𝑟, 𝑡) = ∑ [𝑒−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡 ∙ 𝐵𝑛 ∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)]∞𝑛=1 
(40) 
 
Para obter a constante 𝐵𝑛 é usada a condição inicial (t = 0, Ω = r): 
 
𝛺 (𝑟, 0) = ∑ [𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙0
∙ 𝐵𝑛 ∙ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
)]
∞
𝑛=1
 
 
 
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 𝑟 = ∑ [𝐵𝑛 ∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)]∞𝑛=1 (41) 
 
 
Para calcular os valores de 𝐵𝑛 é usada a série “seno de Fourier” devido critério 
de ortogonalidade: 
 𝐵𝑛 =
2
𝑅
∫ 𝑟 ∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)𝑑𝑟
𝑅
0
 (42) 
 
 
Utilizando o método da integração por partes par resolver a equação (42): 
 
∫𝑢𝑑𝑣
𝑏
𝑎
= 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢
𝑏
𝑎
 
 
𝐵𝑛 =
2
𝑅
∫ 𝑟 ∙ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
) 𝑑𝑟
𝑅
0
𝐵𝑛𝐵𝑛
=
2
𝑅
∙ {𝑟 ∙ [−
𝑅
𝑛 ∙ 𝜋
∙ cos (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
)]|
𝑅
0
− ∫ −
𝑅
𝑛 ∙ 𝜋
∙ cos (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
)𝑑𝑟
𝑅
0
}
=
2
𝑅
∙ {−
𝑅 ∙ 𝑟
𝑛 ∙ 𝜋
∙ cos (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
) +
𝑅2
𝑛2 ∙ 𝜋2
∙ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
)}|
𝑅
0
 
 
 𝐵𝑛 =
2
𝑅
∙ [
𝑅2
𝑛2∙𝜋2
∙ sen(𝑛 ∙ 𝜋) −
𝑅2
𝑛∙𝜋
∙ cos(𝑛 ∙ 𝜋)] (43) 
 
Como sen (n∙π) será 0 para todo n e cos(n∙π) será 1 para n valores pares e –1 
para n valores ímpares. Com isso: 
 
 𝐵𝑛 = −
2𝑅
𝑛𝜋
∙ cos(𝑛 ∙ 𝜋) 
 
 𝐵𝑛 =
2𝑅
𝑛𝜋
∙ (−1)𝑛+1 (44) 
 
Substituindo (43) em (40), obtém-se o perfil de concentração no interior do sólido: 
 
𝛺 (𝑟, 𝑡) = ∑ [𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡
∙
2 ∙ 𝑅
𝑛 ∙ 𝜋
∙ (−1)𝑛+1 ∙ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
)]
∞
𝑛=1
 
 
 
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 𝛺 (𝑟, 𝑡) =
2𝑅
𝜋
∑ [𝑒−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡 ∙
(−1)𝑛+1
𝑛
∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)]∞𝑛=1 (45) 
 
Para resolver Ω = r U, da equação de 𝛺 (𝑟, 𝑡), obtém-se a equação de 𝑈(𝑟, 𝑡): 
 
𝛺(𝑟,
𝑡) = 𝑟 ∙ 𝑈(𝑟, 𝑡) =
2𝑅
𝜋
∑ [𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡
∙
(−1)𝑛+1
𝑛
∙ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
)]
∞
𝑛=1
 
 
 𝑈(𝑟, 𝑡) =
2𝑅
𝜋
∑ [𝑒−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡 ∙
(−1)𝑛+1
𝑟𝑛
∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)]∞𝑛=1 (46) 
 
 
Definindo os parâmetros adimensionais baixo: 
 
 Comprimento reduzido (η): 𝜂 =
𝑟
𝑅
 (47) 
 Termo adimensional (γn): 𝛾𝑛 = 𝑛 ∙ 𝜋 com 𝑛 = 1, 2, 3, … (48) 
 Número de Fourier mássico (Fom): 𝐹𝑜𝑚 =
𝐷𝑒𝑓∙𝑡
𝑅2
 (49) 
 
O número de Fourier mássico representa o tempo adimensional em função das 
características do difundente e do meio difusivo. Substituindo-se os parâmetros 
definidos acima na equação (49), tem-se: 
 
 𝑈(𝑛, 𝐹𝑜𝑛) = 
𝑈𝐴−𝑈𝑒
𝑈𝐴0−𝑈𝑒
=
2
𝜂
∑ [𝑒−𝐹𝑜𝑚∙𝛾𝑛
2
∙
(−1)𝑛+1
𝛾𝑛
∙ sen(𝜂 ∙ 𝛾𝑛)]
∞
𝑛=1 (50) 
 
Como para as concentrações médias de A para coordenadas esféricas são ao 
longo do tempo, utiliza-se esse mesmo pensamento para umidade. Assim, usando o 
teorema do valor médio em relação à umidade do grão de milho: 
 
 �̅�𝐴(𝑡) =
∫ ∫ ∫ 𝑈𝐴(𝑟,𝜑,𝜙,𝑡)∙𝑟
2∙sen𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝜙 𝑑𝑟
𝜋
0
2𝜋
0
𝑅
0
∫ ∫ ∫ 𝑟2∙sen𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝜙 𝑑𝑟
𝜋
0
2𝜋
0
𝑅
0
 (51) 
 
 
Como existe simetria e a transferência de massa ocorre apenas no sentido radial: 
 
 �̅�𝐴(𝑡) = �̅�𝐴 =
3
𝑅3
∫ 𝑈𝐴(𝑟, 𝑡) ∙ 𝑟
2 𝑑𝑟
𝑅
0
 (52) 
 
Rearranjando a equação geral (46) para 𝑈𝐴(𝑟, 𝑡), tem-se que: 
 
 
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 𝑈𝐴(𝑟, 𝑡) = 𝑈𝑒 + (𝑈𝐴0 −𝑈𝑒) ∙
2𝑅
𝜋
∑ [𝑒−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡 ∙
(−1)𝑛+1
𝑟𝑛
∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)]∞𝑛=1 (53) 
 
Calculando a média da umidade em função do tempo e integrando: 
 
 �̅�𝐴(𝑡) =
3
𝑅3
∫ {𝑈𝑒 + (𝑈𝐴0 −𝑈𝑒) ∙
2𝑅
𝜋
∑ [𝑒−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡 ∙
(−1)𝑛+1
𝑟𝑛
∙ sen (
𝑛∙𝜋∙𝑟
𝑅
)]∞𝑛=1 ∙ 𝑟
2}𝑑𝑟
𝑅
0
 (54) 
 
 
�̅�𝐴(𝑡) = ∫ {∑ [
3
𝑅3
∙
2𝑅
𝜋
∙ [𝑈𝑒 + (𝑈𝐴0 −𝑈𝑒)] ∙ 𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡
∙
(−1)𝑛+1
𝑟𝑛
∙ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
) ∙ 𝑟2]
∞
𝑛=1
}𝑑𝑟
𝑅
0
 
 
 
�̅�𝐴(𝑡) = ∑ [
6
𝜋𝑅2
∙ [𝑈𝑒 + (𝑈𝐴0 −𝑈𝑒)] ∙ 𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡
∙
(−1)𝑛+1
𝑛
]
∞
𝑛=1
∙ ∫ sen (
𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝑅
) ∙ 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
 
 
�̅�𝐴(𝑡) = ∑ [
6
𝜋𝑅2
∙ [𝑈𝑒 + (𝑈𝐴0 −𝑈𝑒)] ∙ 𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡
∙
(−1)𝑛+1
𝑛
]
∞
𝑛=1
∙
𝑅2
𝑛𝜋
∙ (−1)𝑛+1 
 
 �̅�𝐴(𝑡) = ∑ [
6
𝜋𝑅2
∙ [𝑈𝑒 + (𝑈𝐴0 −𝑈𝑒)] ∙ 𝑒
−𝐷𝑒𝑓∙
𝑛2∙𝜋2
𝑅2
∙𝑡 ∙
(−1)𝑛+1
𝑛
∙
𝑅2
𝑛𝜋
∙ (−1)𝑛+1]∞𝑛=1 (55) 
 
Portanto, da equação (55), obtém-se o perfil de umidade média: 
 
 𝑼 ̅̅̅(𝒕) = �̅� =
�̅�𝑨−𝑼𝒆
𝑼𝑨𝟎−𝑼𝒆
=
𝟔
𝝅𝟐
∑ [
𝒆
−𝑫𝒆𝒇∙
𝒏𝟐∙𝝅𝟐
𝑹𝟐
∙𝒕
𝒏𝟐
]∞𝒏=𝟏 (56) 
 
Expressando em termos dos grupos adimensionais ditos anteriormente, obtém-
se o perfil de umidade média na forma adimensional: 
 
 �̅� (𝐹𝑜𝑀) = �̅� = 6∑ [
𝑒−𝛾𝑛
2𝐹𝑜𝑀
𝛾𝑛2
]∞𝑛=1 (57) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 REFERÊNCIAS 
 
 
 [1] Milho: Produção, Armazenamento e sua Utilização para Aves, 
Universidade Federal de Pelotas 
<https://petfaem.files.wordpress.com/2012/11/milho-producc3a3o-armazenamento-e-
sua-utilizacao-para-aves.pdf>. Acessado em 22 de abril de 2019. 
[2] Milho – Métodos de Colheita e Secagem <https://www.cpt.com.br/cursos-
agricultura/artigos/milho-metodos-de-colheita-e-secagem>. Acessado em 22 de abril 
de 2019. 
[3] Secagem, Beneficiamento e Armazenagem 
<https://www.agrolink.com.br/sementes/tecnologia-sementes/secagem--
beneficiamento-e-armazenagem_361343.html>. Acessado em 22 de abril de 2019 
[4] SILVA, J. S. Secagem e armazenagem de produtos agrícolas, Viçosa, 
Aprenda Fácil, 2. ed., 2008.