Unidade III e IV - Estatística Básica - Variáveis aleatórias contínuas_AG

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24/01/2019
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Prof.ª Elizangela Cabral dos Santos
Unidade III e IV
Distribuições contínuas de probabilidade
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística
Disciplina: Estatística
Variável Aleatória Contínua
Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
Assume valores num intervalo de números reais.
Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores 
de uma v.a. contínua.
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função
densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:
Função de Densidade de Probabilidade
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 A área sob a curva de densidade é 1, isto é, 
 f(x)  0, para todo x;
 P(a  X  b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do 
eixo x, entre os pontos a e b;
 P(X = x0) = 0, para x0 fixo. 
Assim,
P(a < X < b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b)=
1)(  dxxf
R
dxxf
b
a
 )(
Ex.: Seja X uma v.a.c. com a seguinte função
densidade f(x)=
Verifique se f(x) é uma função densidade de
probabilidade e calcule a probabilidade de x ocorre
entre 1/4e ½.
3x2, 0<x<1
0, qualquer outro valor
Parâmetros 
Valor Esperado: Dada a v. a. X, o valor esperado ou
esperança matemática de X é dada por
 E(X) μ 
Notação:
dxxxf

 )( E(X)
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Variância
222 ))(()()() - (x Var(X) XEXEdxxf  


 (X)V 2 ar
Notação:
Parâmetros 
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS
UNIFORME OU RETANGULAR
NORMAL
BIVARIADA NORMAL
EXPONENCIAL
LOGNORMAL
WEIBULL
QUI-QUADRADO 2
t DE STUDENT
F DE SNEDECOR
GAMA
BETA
ERLANG
( formas)
Distribuições Contínuas
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Distribuições especiais
Uniforme (a)
Normal ou 
Gaussiana (b)
t de Student (c)
2 (d)
F (e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
( ) 1P a X b  
Distribuição Uniforme
11
( )
2
a b
E X


2( )
( )
12
b a
Var X


Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a, b] se sua 
função densidade de probabilidade for dada por:
se a ≤ x ≤ b1
( )
0
f x b a


 

caso contrário
(7 9) ?P X  
Exemplo:
~ (5,10)X U
9
7
( )f x dx
5 10
1
( )
5
x
f x
  

f(x)
X5 10
1
5
f(x)
Xa b
1
b a
(7 9)P X 
1 2
(9 7). 0,4
5 5
   
Parâmetros
Distribuição Normal
30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Peso
D
e
n
si
d
a
d
e
- a distribuição dos valores é
aproximadamente simétrica em torno
de 70kg;
A análise do histograma 
indica que:
- a maioria dos valores (88%) encontra-
se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de
valores abaixo de 48kg (1,2%) e
acima de 92kg (1%).
Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas
adultas selecionadas ao acaso em uma
população.
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Forma curiosa
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
25 40 55 70 85 10
0
11
5
Peso da população adulta
n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
13
3
13
7
14
1
14
5
14
9
15
3
15
7
16
1
16
5
16
9
Altura de universitários
n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm
0,00
0,05
0,10
0,15
29
,5
29
,6
29
,7
29
,8
29
,9 30 30
,1
30
,2
30
,3
30
,4
30
,5
Comprimento de uma régua
n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm
0
0,05
0,1
0,15
0,2
19
7
21
5
23
3
25
1
26
9
28
7
30
5
Pessoas num restaurante
µ = 250 por dia s = 20 por dia
Distribuição Normal - Exemplos
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor
entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal
entre aqueles pontos
µ a b
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
Distribuição Normal
).,(~: 2NXNotação
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OBSERVAÇÃO:
x - µ = distância do ponto considerado à média
x - µ

z =
número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 
desvios padrões
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para 
valores de x inferiores à média
e
f(x) = 
x – ponto considerado da distrib.
µ - média da distribuição
 - desvio padrão da distribuição
-1
2
( )x - µ
2

2 
1
Propriedades
• Suas média, mediana e moda são iguais.
• Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.
• A área total sob a curva é de 100%.
x
À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se 
cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.
Os pontos em que a curvatura muda são chamados pontos
de inflexão. O gráfico curva-se para baixo entre os pontos
de inflexão e, para cima, à esquerda e à direita deles.
x
Ponto de inflexãoPonto de inflexão
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Regra Empírica
Cerca de 95% da área 
está a dois desvios 
padrão.
Cerca de 99,7% da área está a 
três desvios padrão da média.
Cerca de 68% da área 
está a um desvio padrão 
da média.
68%
Médias e desvios padrão
2012 15 1810 11 13 14 16 17 19 21 229
12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20
Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes
Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão
Distribuições normais
com médias diferentes e
variâncias iguais.
Distribuições normais
com médias iguais e
variâncias diferentes
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Probabilidade é a 
área sob a curva!
c d
X
f(X)
P c X d f X dx
c
d
( ) ( ) ?  ∫
A distância entre a média e um 
ponto qualquer é dado em 
número de desvios padrões (z)
Normal 
padronizada
Normal não 
padronizada
z = 
x - µ

µ x 0 z
PP
Distribuição Normal Padronizada
70 80 90 100 110 120 130 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
µ = 100,0
 = 10,0
escala efetiva 
escala padronizada 
Escala efetiva X Escala padronizada
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z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,01040,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
Distribuição Normal Padrão (tabelas)
25
( 2,17) ?P Z  
( 2,17) 0,0150P Z  
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 z
( )P Z z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1,5
Exemplos
26
( 1,5) ?P Z   
( 1,5) ( 1,5) 0,0668P Z P Z    
= 0,0668
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0-1,5
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10
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1,5
(0 1,5) ?P Z  
P(Z>1,5)=
?
P(Z<1,5)=
?
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11
(1 2) ?P Z  
=
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 21
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1
0,1587
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 2
0,0228
_
=
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 21
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 1
0,3413
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 2
0,4772
_
(1 2) 0,1587 0,0228 0,1359P Z    
P(1< Z <2) = 0,4772-0,3413 = 0,1359
Exemplos
~ (10,4)X N
(8 11) ?P X  
X
Z




~ (0,1)N
(8 10 10 11 10) ?P X     
8 10 10 11 10
( ) ?
2 2 2
X
P
  
  
( 1 0,5) ?P Z   
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 0,5-1
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +10 118
X
0,5328
0,5328
0,5328
0,5328
Você trabalha no setor de Controle de Qualidade da GE.
A vida útil de uma lâmpada tem Distribuição Normal
com mx= 2000 horas & sx=200 horas. Qual é a
probabilidade de uma lâmpada durar:
a) entre 2000 & 2400 horas?
b) menos de 1470 horas?
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12
Numa variedade de milho onde a altura é uma variável
aleatória X com distribuição normal de média 200 cm e
variância 100 cm². Qual a probabilidade de uma planta dessa
variedade ter altura entre 190 e 195 cm?
P(190<x<195)= ?
Z= X- μ
σ σ²=100; σ= 10 
p/x=190 Z=190 -200 = -1
10
p/x=195 Z=195 -200 = -0,5
10
P(190<x<195)= P(-1,0<Z<0,0) – P(-0,5<Z<0,0) 
= 0,3413 – 0,1915
= 0,1498 ~ 14,98%
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13
Uma variedade de tomate possui produtividade média de
7,9kg/planta e variância de 0,97 (kg/planta)². Supor que
a distribuição seja normal e calcular a probabilidade de a
produtividade (X) de uma planta sorteada dessa variedade
estar de acordo com:
P(X>9,0)=?
Z= X- μ
σ σ²=0,97; 
p/x>9,00 Z=9,0 -7,9 = 1,12
0,98
P(x>9,0)= P(Z>1,12)=0,5 – P(0<Z<1,12) 
=0,5 – 0,33686
= 0,1314 ~ 13,14%
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14
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem
distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão 15
minutos.
(a)Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele
terminar o exame antes de 100 minutos?
(b)Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95%
dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
(c)Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes
gastam para completar o exame?
X: tempo gasto no exame vestibular.
0,0917690,9082411)33,1(1
)33,1(1
)33,1(
15
120100
)100(
).15,120(~ 2







 

ZP
ZPZPXP
NX
95,0
15
120
)(
95,0)(





 


x
ZPxXP
xXP
z=? , tal que (z)=0,95
Da tabela z= 1,64
(c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o
exame?
6,1521564,1120 x
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15
80.0
15
120
15
120
80,0)( 2121 




 



x
Z
x
PxXxP
z=? , tal que (z)=0,90
Da tabela z= 1,28
.min2,13928,11512028,1
15
120
.min8,10028,11512028,1
15
120
22
2
11
1




xx
x
xx
x
Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30%
dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes
das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual
seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
)3,0 ,200(~problema o com bancários de N : o BXX 
948,0)7,0()3,0)(
200
()50(
200
50
200  


k
kk
k
XP
Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar
A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Em geral 
quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a aproximacão.
Aproximação da Binomial pela Normal
Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2
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Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2
Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2
5.0p
sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).
Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição de 
probabilidades de uma variável aleatória Y tal que 
Portanto, • P( a  X  b)  P(a  Y  b)
• P( X  a)  P(Y  a)
• P( X  b)  P(Y  b)
X ~ b(n ; p)
E(X) = np
Var(X) = np(1 – p)

Y ~ N( y, y
2) com y = n p e y
2 = n p (1 – p).
Idéia Básica
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Logo temos que , desta forma
938,0)54,1()
42
6050
42
60
()50()50( 



 ZP
Y
PYPXP
)42,60(~ NY
No Exemplo anterior temos que:
42)1()( e 60)( com ),3,0 ,200(~  pnpXVarnpXEBX
Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial).
Correção de Continuidade
Correção de Continuidade
9478,0)-1.62()
42
605,49
42
60
()5,49()50( 



 ZP
Y
PYPXP
9292,0)46.1()
42
605,50
42
60
()5,50()50( 



 ZP
Y
PYPXP
0182,0)
42
605,50
42
60
42
605,49
()5,505,49()50( 






Y
PYPXP
Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial:
Probabilidade exata = 0,0190 (usando a distribuição binomial).
Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade
(probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0,9. Se esses
componentes funcionarem de forma independente um do outro e se o sistema funcionar
adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem funcionando, qual é a
confiabilidade do sistema?
X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100
X ~ b(100; 0,9)
n = 100 p = 0,9
E(X) = np = 1000,9 = 90
Var(X) = np(1 – p) = 100  0,9  0,1 = 9

Confiabilidade do sistema: P(X  87)=??
P(X  87)  P(Y  87)  P(Y  86,5) Y ~ N(90 ; 9)
876976.0)16,1( )16.1()
3
905,86
9
90
( 



 ZP
Y
P
Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).
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Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da
urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
2
100 0,4
5
n p  
( ) x n x
n
f x p q
x
   
 
100
100
( ) 0,4 0,6x xf x
x
   
 
51
100
30
100
(30 51) 0,4 0,6x x
x
P X
x

 
    
 

0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
Aproximando-se à Normal...
(valor exato)
2
100 0,4
5
( ) 100*0,4 40
( ) 100*0,4*0,6 24
n p
E X np
Var X npq
  
  
  
~ (40,24)X N
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100(30 51) ?P X  
30
(29,5 51,5) ?P X  
(correção de continuidade)
29,5 40 51,5 40
24 24
P Z
  
   
 
0,9745
(valor exato para Binomial  0,9752)
Pelo TLC:
 2,143 2,347P Z   
Quando a média “λ” de uma distribuição de Poisson
for relativamente grande, a distribuição Normal de
probabilidade pode ser usada como uma
aproximação das probabilidades de Poisson.
Regra : λ≥10,0.
A média e o desvio padrão se baseia na Distribuição
de Poisson
A média µ=λ
O desvio padrão δ= √λ
Aproximação Normal da 
Probabilidade de Poisson
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Um departamento de conserto de máquinas recebe em
média, 10 chamadas em cada período de 8 horas.
Podemos determinar a probabilidade de que mais do que
15 chamadas serão recebidas em um período de 8 horas.
P(X>15/ λ=10,00)=?
P(X>15/ λ=10,00)=?
• µ= λ=10
• δ= √λ = √10 = 3,16
• Ppoisson(X>15/λ=10,00) ~ Pnormal(X≥15,5/ µ=10,00, δ= 3,16)
• Z=X- µ = 15,5-10,0 = 5,5 = 1,74
δ 3,16 3,16
P(Z>1,74)= 0,5-P(0<z<1,74)
= 0,5 - 0,4591
= 0,0409 ou 4,09% 
Distribuição do Qui-quadrado
É uma distribuição contínua, cuja curva ajustada é
assimétrica à direita e tem por origem o zero, que é o
valor mínimo que X² pode assumir. Essa distribuição é
uma função direta do número de graus de liberdade (ν).
A variável aleatória “X” tem uma Distribuição do Qui-
quadrado, com “ν” graus de liberdade, se sua função
densidade de probabilidade for dada por:
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Distribuição Qui-Quadrado
Xφ
2 = 
2





 


x
= ∑ Zi
2,
X2 >0,
- Média da distribuição: E [Xφ2] = µ (Xφ2) = φ.
- Variância da distribuição: Var [Xφ2] = σ2 (Xφ2) = 2φ.
- A área sob a curva vale 1 ou 100 %.
 A área total sob a curva χ² é igual a 1.
 A curva do χ² inicia no 0 no eixo horizontal e extende
indefinidamente para direita tendendo a aproximar-se do
eixo horizontal.
 A curva de χ² não é simétrica. Ela é assimetrica à direita.
 Quando o número de graus de liberdade aumenta, a curva
de χ² tende para a curva normal, ou seja, o índice de
assimetria menor, tal que ν≥100 considera-se χ² ~N.
Propriedades da curva do Qui-quadrado
Uma amostra n=15, V=n-1 = 15-1=14gl
α =5% ou 0,05;
1-0,05= 0,95% ou 0,95
X²=X²0,05 = 23,685;
X1- α=X²0,95 = 6,571; 
Conhecendo a tabela
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Esta Distribuição foi desenvolvida por W.S. Gosset,
em 1908, ele publicou um trabalho onde apresentou a
equação de Distribuição teórica de “t”, hoje conhecida
como Distribuição t de Student.
Distribuição t-Student
Verifica-se que a Distribuição de “t” depende apenas do
valor “v”, desde que a variável básica “x” possua uma
Distribuição Normal.
Para cada grau de liberdade existe uma curva de “t” e a
medida que aumenta ‘v” a curva vai se aproximando de
uma curva Normal.
Distribuição t-Student
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 É semelhante a distribuição Z, pois ambas são simétricas em relação à
média zero. Os valores são positivos à direita da média e negativos à sua
esquerda;
 Para cada tamanho de n de amostra existe uma curva t.
 A f(t) depende de n;
 Todas curvas têm máximo para t=0;
 À medida que n cresce, a curva t se aproxima da curva de Z.
 O valor v=n-1 (nº de graus de liberdade) é usado para obtenção de
probabilidades em tabelas próprias.
Propriedades da Distribuição t- Student
A principal aplicação desta distribuição é auxiliar na
tomada de decisão em relação à média de uma
Distribuição Normal quando sua variância é
desconhecida.
Aplicação
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Estatística t 
Onde: 
x=média amostral
μ = média populacional.
Sx = desvio padrão amostral.
n = tamanho da amostra. 
n
Sx
x
t


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Seja uma amostra n=15. Qual o valor de t acima do qual se 
tem 5% de área?
Tabela t
Conhecendo a tabela
É a distribuição de probabilidade que associa duas variáveis aleatórias 
que seguem uma distribuição do Qui-quadrado com v1 e v2 graus de 
liberdade respectivamente.
Sua função é designada por:
Distribuição de F
 A sua aplicação mais importante é auxiliar na comparação das
variâncias de duas distribuições Normais.
 É a distribuição de probabilidade que associa duas variáveis
aleatórias que seguem uma distribuição do Qui-quadrado com v1 e
v2 graus de liberdade respectivamente.
 Contribuiu para uma grande avanço na Estatística Aplicada,
principalmente pela aplicação na metodologia da Análise de
variância.
Distribuição de F
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 A curva de F depende dos valores v1 e v2 e da ordem dos 
mesmos, pois existe uma curva para cada par (v1, v2).
v1 = gl associado à variância do numerador;
v2 = gl associado à variância do denominador.
 Valores de probabilidades na distribuição F são obtidos em 
tabelas próprias para as combinações v1 e v2.
Distribuição de F
 A área total sob uma curva “F” é 1.
 Uma curva “F” começa no 0 e extende-se
indefinidamente para a direita, aproximando-se
do eixo horizontal.
 Uma curva “F” não é simétrica, mas é assimetrica
à direita.
Propriedades básicas da curva F
Duas amostras:
-n1=8 e n2=6;
- α =5%
Tabela F
Conhecendo a tabela
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Duas amostras:
-n1=16 e n2=20;
- α =1%
Tabela F
Conhecendo a tabela