1 Resistência dos Mat 2 - Apostila

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Universidade Federal de Ouro Preto 
 
 
Escola de Minas 
 
 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais Ι Ι 
 
 
 
 
 
 
Jaime Florencio Martins 
Professor Titular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ouro Preto, março de 2018 
 
 
 ALFABETO GREGO 
 
 
 Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas 
 Alfa Alfa α Α 
 Vita Beta β Β 
 Gama Gama γ Γ 
 Delta Delta δ ∆ 
 Epsilo Èpsilón ε Ε 
 Zeta Dzeta ζ Ζ 
 Ita Eta η Η 
 Tita Theta θ Θ 
 Iota Iota ι Ι 
 Capa Capa κ Κ 
 Landa Lambda λ Λ 
 Mi Mü µ Μ 
 Ni Nü ν Ν 
 Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ 
 Ômicron Òmicrón ο Ο 
 Pi Pi pi Π 
 Rô Ró ρ Ρ 
 Sigma Sigma σ Σ 
 Tau Tau τ Τ 
 Ípsilon Üpsilón υ Υ 
 Fi Fi φ Φ 
 Khi Khi χ Χ 
 Psi Psi ψ Ψ 
 Ômega Omega ω Ω 
 
 1
 
 
 
 
 
1 - ANÁLISE DE TENSÕES 
 
1.1 - INTRODUÇÃO 
 
 Nos estudos precedentes foram demonstradas as expressões para obterem-se as tensões 
que atuam em um elemento estrutural. Demonstrou-se que a força normal e o momento fletor 
produzem tensões normais, enquanto a força cortante e o momento de torção produzem tensões 
de cisalhamento. Nas estruturas que estão em um estado de solicitação composta, as tensões 
são obtidas usando-se o princípio da superposição dos efeitos. Determinado o estado de tensões 
em um elemento estrutural, é importante analisar as tensões em planos oblíquos. No caso geral, 
as tensões extremas ocorrem em planos inclinados e um dos objetivos deste capítulo é 
determinar estas tensões e as direções dos planos onde atuam. A análise de tensões independe 
das propriedades do material, sendo assim, as equações demonstradas neste capítulo podem ser 
usadas tanto na fase elástica como na fase plástica. 
 
1.2- ANÁLISE DE TENSÕES EM UMA BARRA SOLICITADA POR FORÇA AXIAL 
 
 O caso mais simples de solicitação é o de uma barra prismática sujeita a uma força axial 
de tração (Figura 1.1(a)). Fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da barra, as 
tensões que eram internas tornam-se externas e representam a ação da parte direita sobre a 
esquerda (Figura 1.1(b)). A força resultante no plano de corte imaginário é axial e igual a força F, 
o que mantém o equilíbrio de forças horizontais. A barra está em equilíbrio e qualquer elemento 
“retirado” desta barra também deve estar em equilíbrio. 
 
 
Figura 1.1- Barra prismática tracionada 
 Chamando-se de A a área da seção transversal, todos os pontos ficam solicitados pela 
tensão A/Fx =σ . Desprezando-se as perturbações causadas pela força concentrada e as falhas 
 2
do material, as tensões em todas as seções transversais paralelas ao corte imaginário são dadas 
por A/F . 
 Considere-se, agora, um elemento retirado da barra tracionada. Este elemento está 
representado de forma ampliada na Figura 1.2(a). Fazendo-se um corte imaginário com um plano 
que forma um ângulo θ com o eixo Ox, surgem neste plano as tensões σθ e τθ. Estas tensões 
representam, respectivamente, a componente normal e a componente cisalhante da ação da 
parte direita do elemento sobre a esquerda. O elemento está em equilíbrio e qualquer parte deste 
elemento também deve estar em equilíbrio qualquer que seja a direção considerada. Para fazer-
se o somatório de forças, devem-se multiplicar as tensões pela área onde atuam. Chamando-se 
de θA a área no plano de corte, a área onde atua a tensão normal σx assume o valor θθ senA . O 
equilíbrio de forças na direção de σθ fornece a expressão: 
σ σ θθ θ θ. . .senA Ax− =2 0 
de onde: 
σ σ θθ = x .sen2 (1.1) 
 
 
Figura 1.2 - Corte imaginário 
 
 Fazendo-se o somatório de forças na direção de τθ, tem-se a equação: 
τ σ θ θθ θ θ. . .sen .cosA Ax+ = 0 
de onde: 
τ σ θ θθ = − x .sen .cos (1.2) 
O sinal negativo na expressão acima informa que o sentido real da tensão τθ é o oposto daquele 
indicado na Figura 1.2(b). 
 A equação (1.1) fornece a tensão normal em um plano qualquer de um elemento solicitado 
pela tensão normal σx. Para θ = 00, a tensão normal é nula e a maior tensão ocorre na direção θ = 
900. 
xmáx σ=σ 
 3
 A equação (1.2) mostra que a tensão de cisalhamento é nula para θ = 00 e
 
θ = 900. Para 
encontrar-se a direção do plano onde a tensão de cisalhamento é extrema, deriva-se a equação 
(1.2) em relação a θ e iguala-se o valor desta derivada a zero: 
d
d
τ
θ
θ
= 0 
então: 
( )− − + =σ θ θx sen cos2 2 0 
de onde: 
0cossen 22 =θ+θ− 
 A condição acima é satisfeita quando θ = 450, θ = 1350, θ = 2250 e θ = 3150. Colocando-se 
θ = 450 na equação (1.2) tem-se a menor tensão cisalhante e para θ = 1350 tem-se a expressão 
da máxima tensão ciasalhante (que são iguais em módulo): 
2
x
)o45min(
σ
−=τ
=θ
 
2
x
)o135(máx
σ
=τ
=θ
 
 
 Em uma barra tracionada (e também nas barras comprimidas) a tensão de cisalhamento 
máxima é a metade da tensão normal máxima, entretanto, a tensão de cisalhamento máxima 
pode provocar a ruptura da barra se a resistência do material ao cisalhamento for muito menor 
que a resistência à tensão normal. Por exemplo, o aço doce quando tracionado e a madeira 
quando comprimida rompem-se em planos que formam um ângulo de aproximadamente 450 com 
a direção da força. 
 Se a tensão normal σx for de compressão, as equações (1.1) e (1.2) também podem ser 
usadas dando-se a σx o sinal negativo. 
 
1.3- TENSÕES NORMAIS EM DUAS DIREÇÕES PERPENDICULARES 
 
 As tensões normal σθ e de cisalhamento τθ, analisadas no item anterior, devem-se a 
tensões normais aplicadas na direção do eixo horizontal. Neste item serão estudadas as tensões 
que ocorrem em planos inclinados em um estado de tensões mais geral. Seja um elemento 
retirado de uma estrutura solicitado pelas tensões normais σx e σy. 
 Fazendo-se um corte imaginário no elemento da Figura 1.3(a) com um plano que forma 
um ângulo θ com o eixo horizontal, aparecem as tensões σθ e τθ no plano de corte (Figura 1.3(b)). 
Sendo θA a área no plano de corte, a área onde atua a tensão normal σy assume o valor 
θθ cosA e, onde atua σx, .senA θθ 
 4
 
 
Figura 1.3- Elemento solicitado por duas tensões normais 
 
 Fazendo-se o somatório de forças na direção de σθ e considerando-se o sentido desta 
tensão como positivo (Figura 1.3(c)), tem-se: 
 
σ σ θ θ σθ θ θA A Ay x− −cos cos θ θ θsen sen = 0 
simplificando-se o termo comum A θ e isolando a tensão normal que atua no plano inclinado, tem-
se: 
σ σ θ σ θθ = +x ysen cos2 2 (1.3) 
 Analogamente, fazendo-se o somatório de forças na direção de τθ e considerando o 
sentido desta tensão como o positivo, tem-se: 
 
0sencosAcossenAA yx =θθσ−θθσ+τ θθθθ 
de onde: 
( )τ σ σ θ θθ = −y x sen cos (1.4) 
 É interessante observar que, para a dedução das equações (1.3) e (1.4), a área no plano 
de corte poderia ter sido tomada como sendo igual a 1. 
 
1.4- ESTADO GERAL DE TENSÕES PLANAS 
 
 Nos itens anteriores foram analisados estados de tensões que são casos particulares do 
estado geral de tensões planas. Neste item, será analisado o caso de um elemento sujeito às 
tensões σx, σy e τxy, sendo que as tensões σz, τyz e τxz são consideradas nulas. No item 1.8 é 
analisado o caso geral de tensões, isto é, tensões normais e de cisalhamento atuando em três 
planos perpendiculares. 
 
 
 5
 
Figura 1.4- Estado geral de tensões planas 
 
 As tensões de cisalhamento τxy, que atuam nos planos perpendiculares aos eixos Ox e Oy, 
são consideradas positivas quando têm os sentidos indicados na Figura 1.4(a). A tensãode 
cisalhamento τθ, da mesma forma que nos estados de tensões analisados nos itens anteriores, é 
positiva quando tende girar o elemento no sentido horário. 
 Por considerações de equilíbrio, o somatório de forças na direção de σθ é igual a zero 
(Figura 1.4(b)), então: 
 
σ σ θ θ σ θ θ τ θ θ τ θ θθ θ θ θ θ θA A A A Ax y xy xy− − − − =sen sen cos cos cos sen sen cos 0 
Isolando-se a tensão normal σθ: 
σ σ θ σ θ τ θ θθ = + +x y xysen cos cos sen2 2 2 (1.5) 
O equilíbrio de forças na direção de τθ fornece a expressão: 
τ σ θ θ σ θ θ τ θ θ τ θ θθ θ θ θ θ θA A A A Ax y xy xy+ − − + =sen cos cos sen sen sen cos cos 0 
de onde se tem: 
( ) ( )τ σ σ θ θ τ θ θθ = − + −y x xysen cos sen cos2 2 (1.6) 
 
 A equação (1.5) fornece a tensão normal no plano definido pelo ângulo θ . As tensões σ x , 
σ y e τ xy são inicialmente conhecidas, assim sendo, a tensão normal σθ varia em função apenas 
do ângulo θ. A expressão da tensão normal |θσ que atua no plano perpendicular ao plano da 
tensão normal σθ , é facilmente obtida colocando-se na equação (1.5) a direção deste plano, isto 
é, 90° + 
 
θ. 
( ) ( ) ( ) ( )θ+θ+τ+θ+σ+θ+σ=σθ 00xy02y02x| 90sen90cos290cos90sen 
de onde se tem: 
θθτ−θσ+θσ=σθ cossen2sencos xy2y2x| (1.7) 
 6
 Somando-se as equações (1.5) e (1.7): 
yx
| σ+σ=σ+σ θθ 
 A propriedade acima é conhecida como invariância das tensões normais, isto é, a soma 
das tensões normais em dois planos perpendiculares não varia. 
 A equação (1.6) fornece a tensão de cisalhamento em um plano definido pelo ângulo θ. A 
tensão de cisalhamento |θτ que atua no plano que tem a direção 900 + θ é dada por: 
( ) ( ))90(cos)90(sen)90cos()90sen( 0202xy00xy| θ+−θ+τ+θ+θ+σ−σ=τθ 
ou: 
( ) ( )θ−θτ−θθσ−σ−=τθ 22xyxy| cossencossen (1.8) 
 Portanto, as tensões de cisalhamento são iguais, em módulo, nos planos perpendiculares 
entre si. Esta conclusão foi demonstrada anteriormente e é conhecida como Teorema de 
Cauchy. O sinal negativo para a tensão |θτ é apenas uma questão de convenção de sinais. Nos 
planos paralelos as tensões são iguais e em sentido contrário, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 1.5 -Tensões em dois planos perpendiculares 
 
1.5- CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR PARA O ESTADO PLANO DE TENSÕES 
 
 As equações (1.5) e (1.6) constituem uma equação paramétrica da circunferência. Sendo 
assim, em um sistema de coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pares (σθ,τθ) 
forma uma circunferência. Para demonstrar-se esta propriedade, deve-se eliminar o parâmetro θ 
nas equações (1.5) e (1.6). Sabe-se da trigonometria que: 
 
2 2sen cos senθ θ θ= 
( )cos cos2 1
2
1 2θ θ= + 
 7
( )sen cos2 1
2
1 2θ θ= − 
 
 Usando-se as relações trigonométricas acima, as equações (1.5) e (1.6) podem ser 
reescritas da seguinte forma: 
 
σ
σ σ σ σ
θ τ θθ −
+
=
−




 +
x y y x
xy2 2
2 2cos sen (1.9) 
 
 τ
σ σ
θ τ θθ =
−




 −
y x
xy2
2 2sen cos (1.10) 
 
 Elevando-se as expressões acima ao quadrado e somando-as, tem-se: 
 
( )
( ) θτ+θτθσ−σ−θ





 σ−σ
+θτ+θτθσ−σ+θ





 σ−σ
=τ+





 σ+σ
−σ θθ
2cos2cos.2sen2sen
2
2sen2sen.2cos2cos
22
22
xyxyxy
2
2
xy
22
xyxyxy
2
2
xy2
2
yx
 
 
ou: 
2
xy
2
xy2
2
yx
22
τ+





 σ−σ
=τ+





 σ+σ
−σ θθ (1.11) 
 
 A equação (1.11) é a equação de uma circunferência de centro c 





 σ+σ
0,
2
yx
, sendo σθ 
e τθ as coordenadas genéricas de um ponto da circunferência e 
2
xy
2
xy2
2
R τ+





 σ−σ
= . 
 A seguir é apresentado um roteiro para a construção da circunferência de Mohr. Para esta 
demonstração, sem perder a generalidade, supõe-se que as tensões normais são de tração e que 
a tensão σx é maior que a tensão σy. Para a construção do circunferência de Mohr, as tensões de 
cisalhamento são positivas quando tendem girar o elemento no sentido horário e negativas em 
caso contrário. Os ângulos medidos no sentido anti-horário são positivos. 
1- Em uma escala adequada, marcam-se os pontos a, de coordenadas ( )xyx ,τσ , e b, de 
coordenadas ( )xyy , τ−σ ; 
2- Unindo-se os pontos a e b encontra-se o ponto médio c, de coordenadas 
σ σx y+





2
0, . Com 
centro no ponto c, traça-se a circunferência passando pelos pontos a e b; 
 8
3- Marca-se o ponto P (pólo), que é simétrico ao ponto a. Os ângulos são medidos a partir de 
uma horizontal passando por P e b, e o transferidor com centro no ponto P. A explicação é que 
todas as tensões que ocorrem no elemento são dadas pelas coordenadas de um ponto da 
circunferência, sendo que para θ =00 tem-se o plano solicitado pelas tensões σ y e −τ xy (ponto b) 
e, para θ = 900, tem-se o plano solicitado pelas tensões σ x e τ xy (ponto a). O pólo, conhecido 
como origem de todos os planos, acompanha a tensão normal σ x ; 
4- Por definição, tensões principais (σ 1 e σ 2 ) são as tensões normais extremas. Nos planos 
onde atuam as tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. Por convenção, σ 1 é a maior 
tensão normal e σ 2 , a menor tensão normal; 
5- Passando-se uma reta pelo ponto P e a tensão σ1 , encontra-se a direção θ1 que o plano onde 
atua a maior tensão normal forma com o eixo Ox. Analogamente, passando-se uma reta pelo 
ponto P e a tensão σ 2 , encontra-se a direção θ2 que o plano onde atua a menor tensão normal 
forma com o eixo Ox. Observe que o ângulo θ2 é negativo (sentido horário) e que a soma, em 
módulo, dos ângulos θ1 e θ2 é igual a 900. Os ângulos θ1 e θ2 são conhecidos como direções 
principais e os planos onde atuam σ1 e σ 2 são conhecidos como planos principais; 
 
 
 
Figura 1.6- Circunferência de Mohr para tensões planas 
 
6- Passando-se uma reta pelos pontos P e d, encontra-se a direção θ3 que o plano onde ocorre a 
maior tensão de cisalhamento forma com o eixo Ox. A maior tensão de cisalhamento é 
numericamente igual ao raio da circunferência. 
 Essa construção foi apresentada pela primeira vez pelo engenheiro alemão Otto Mohr em 
1882. 
 Da circunferência de Mohr podem-se tirar as expressões para calcular, analiticamente, as 
tensões σ1 , σ 2 e τmáx , e os ângulos θ1, θ2 e θ3 . 
 
 9
σ
σ σ σ σ
τ1
2
2
2 2
=
+
+
−




 +
x y x y
xy 
σ
σ σ σ σ
τ2
2
2
2 2
=
+
−
−




 +
x y x y
xy 
x1
xy
1tg
σ−σ
τ
=θ 






σ−σ
τ
−=θ
2x
xy
2tg 
τ
 máx =
σ σ
τ
x y
xy
−




 +
2
2
2
 ou: τ
 máx = 
σ σ1 2
2
−
 
 
( ) 





⋅σ−σ
τ+τ
−=θ
5,0
tg
yx
xymáx
3 
 
 
 Todas as expressões acima assumem a mesma forma se a tensão σy for maior que σx.
 
 A tensão de cisalhamento máxima calculada neste item refere-se à maior tensão de 
cisalhamento que ocorre no plano xOy. Para se calcular a tensão de cisalhamento máxima que 
ocorre no elemento, tem-se que considerar que ele está em um estado tridimensional de tensões, 
sendo que σ τ τz xz yz= = = 0 . O cálculo de τmáx que atua no elemento é apresentado no item 1.8. 
Naturalmente, pode ocorrer que a maior tensão de cisalhamento do plano xOy seja a maior, 
também, do elemento. 
 
 Exemplo 1.1: Um elemento estrutural fica solicitado pelas tensões indicadas na Figura 1.7. 
Calcule: 
a) as tensões e as direções principais; 
b)as tensões que atuam nos planos que formam ângulos de 100 e 1000 com o eixo Ox; 
c) a maior tensão de cisalhamento do plano xOy e a direção do plano onde atua. 
 
Calcule analiticamente e pelo método gráfico. Mostre os resultados das letras a e b em um 
elemento orientado. 
 10
 
 
Figura 1.7- Elemento de uma estrutura sob tensão 
I) Solução analítica 
 
a) 2
2
2
1 22 xy
yxyx τ
σσσσ
σ +




 −
±
+
= 
 
 ( )2
2
2
1 252
8535
2
8535
−+




 −±+=σ 
 
então: 
 σ1 95 36= , MPa e σ 2 24 64= , MPa 
 
0
1
x1
xy
1 5,223536,95
25
tg −=θ→
−
−
=
σ−σ
τ
=θ 
 
 
0
2
2x
xy
2 5,6764,2435
25
tg =θ→





−
−
−=





σ−σ
τ
−=θ 
 
 
 
Figura 1.8 - Elemento orientado das tensões principais 
 
 11
 Note que os planos principais são perpendiculares entre si. Esta propriedade dos 
estados de tensões deve-se ao fato que a tensão de cisalhamento é nula nesses planos e, 
portanto, os planos principais são perpendiculares entre si (teorema de Cauchy). Observe, 
também, que σ σ σ σ1 2+ = +x y ( invariância das tensões normais). 
b) Para se calcular as tensões em planos inclinados no elemento em análise, usam-se as 
equações deduzidas no item 1.4. 
Para 010=θ : 
 
000202 10sen10cos)25(210cos8510sen35 −++=σθ MPa94,74= 
 ( ) )10cos10(sen2510cos10sen3585 020200 −−−=τθ MPa04,32= 
 
Para :1000=θ MPa06,45=θσ ; MPa04,32−=θτ 
 
 
 
Figura 1.9 – Elemento orientado 
 
Observe que para θ = − 80° têm-se as mesmas tensões que a direção θ = 100° (as 
tensões em planos paralelos são iguais e em sentido contrário). 
 
c) τ máx=
σ σ
τ
x y
xy
−




 +
2
2
2
 
 τ máx=
35 85
2
25
2
2−




 + −( ) 
 τ máx = 35,36 MPa 
 ( ) 03yx
xymáx
3 5,225,0)8535(
2536,35
5,0
 
tg =θ→
⋅−
−
−=








⋅σ−σ
τ+τ
−=θ 
 
No plano onde atua τmáx (direção θ3 = 22,5º ) tem-se tensão normal σθ: 
000202 5,22sen5,22cos)25(25,22cos855,22sen35 −++=σθ = 60,0 MPa 
 
 12
II) Solução gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10- Círculo de Mohr - Escala 1cm: 10 MPa 
 
a) 951 ≅σ MPa ; 01 23−≅θ 
 252 ≅σ MPa ; 02 67≅θ 
b) Para 010=θ 75≅→ θσ MPa ; 32≅θτ MPa 
 Para 0100=θ 45≅→ θσ MPa ; 32−≅θτ MPa 
c) τ máx 35≅ MPa ; 03 22≅θ 
 
 
Exemplo 1.2: Para a viga da Figura 1.11 calcule, nos pontos J, K e J|, as tensões e as direções 
principais. Mostre os resultados em um elemento orientado. 
 
 
 
Figura 1.11- Viga bi-apoiada 
 
 13
 A viga está solicitada por momento fletor e força cortante (flexão simples). O primeiro 
passo é calcular os esforços internos na seção transversal que contém os pontos J, K e J| : 
 N400.15)m25,1(V = 
( ) m.N250.19)m25,1(M25,1x400.15m25,1M =→= 
 
 A tensão normal σ x e a tensão de cisalhamento τ xy são calculadas usando-se as 
fórmulas da flexão: 
 
( )
σ x
z
M x y
I
=
⋅
 e 
( )
τ xy
z
V x Q
b I
=
⋅
⋅
 
 
 A tensão normal nos pontos J e J| é igual a zero (estes pontos estão localizados na 
superfície neutra, então a coordenada y destes pontos é igual a 0). A tensão cisalhante nestes 
pontos é: 
 
25
xy3xy
m/N10x31,2
10x08,2x2,0
)125,0x25,0x2,0(x400.15
=τ→=τ
−
 
O sentido destas tensões acompanha o sentido da força cortante (ver Figura 1.12). 
A tensão cisalhante no ponto K é igual a zero (porque o momento estático é igual a zero) 
e a tensão normal é dada por: 
 
25
x3x m/N10x14,2310x08,2
25,0x250.19
=σ→=σ
−
 
 Na Figura 1.12 estão representadas as tensões que atuam nos pontos J, K e J| e os seus 
sentidos. 
 
 
Figura 1.12- Tensões em N/m2 nos pontos J, K e J| 
 
 As tensões e as direções principais podem ser calculadas usando-se as equações 
deduzidas no item 1.5 ou o círculo de Mohr: 
 
No ponto J têm-se: 
 
25
1 /1031,2 mNx=σ ; θ1 45= o 
 
25
2 /1031,2 mNx−=σ ; θ2 45= − o 
 14
 O cálculo das tensões e direções principais no ponto K é trivial: nos planos 
perpendiculares aos eixos Ox e Oy, a tensão de cisalhamento é nula, portanto, as tensões 
23,14x105 N/m2 e 0 são as tensões principais: 
 
25
1 m/N10x14,23=σ ; θ1 90= o 
 σ 2 0= ; θ2 0= o 
 
No ponto J| têm-se: 
 
25
1 /1031,2 mNx=σ ; 
o451 −=θ 
 
25
2 /1031,2 mNx−=σ ; 
o452 =θ 
 Na Figura 1.13 estão mostrados em elementos orientados as tensões principais e os 
planos principais. 
 
 
Figura 1.13- Elemento orientado das tensões principais nos pontos J, K e J| 
 
1.6- APLICAÇÕES DA ANÁLISE DE TENSÕES 
 
 Os pontos J e J| da viga do exemplo 1.2 estão em um estado de cisalhamento puro. Este 
estado de tensões tem as tensões principais ( σ1 e σ 2 ) atuando em planos que formam 
ângulos de 045 e 045− com o eixo Ox. Em uma viga de concreto armado a tensão σ 2 é 
resistida pelo concreto. A tensão σ1 , dependendo da resistência do concreto à tração, que é 
muito menor que a resistência à compressão, pode provocar a ruptura da viga. Para combater 
esta tensão de tração, usam-se dois procedimentos: 
 
1- Barras dobradas a 45o : nesse caso, as barras de aço longitudinais que estão resistindo à 
tensão normal de tração produzida pelo momento fletor são dobradas para combater a tensão 
σ1 produzida pelo cisalhamento (Figura 1.14(a)). 
 
2- Estribos a 90o : este procedimento é mais fácil de ser executado ( Figura 1.14(b)). Os estribos 
impedem que ocorra a ruptura da viga devida à tensão de tração. Estes estribos começam a 
trabalhar depois que o concreto sofre fissuras. Pode ser usada, também, a superposição dos 
dois procedimentos: colocar estribos a 90o e ferros dobrados a 45o . 
 15
 
Figura 1.14- Formas de combaterem-se as tensões de tração produzidas pelas tensões de 
cisalhamento 
 
 Uma outra aplicação da análise de tensões é sobre a ruptura dos materiais. Uma barra de 
ferro fundido ou uma de giz (que são materiais frágeis), quando tracionadas, rompem-se segundo 
um plano perpendicular ao seu eixo. Esse fato indica que estes materiais são menos resistentes à 
tração que ao cisalhamento. Se for aplicado um momento de torção em uma peça de giz (ou ferro 
fundido), ela irá romper-se segundo um plano que forma um ângulo de 45o com o seu eixo. Essa 
ruptura deve-se ao fato que o momento de torção causa um estado de cisalhamento puro e este 
estado de tensões tem as seguintes tensões e direções principais: 
 
Figura 1.15- Peça cilíndrica solicitada por momento de torção 
 
 σ τ1 = 
 σ τ2 = − 
 
o
1
x1
xy
1 450
tg =θ→
−τ
τ
=
σ−σ
τ
=θ 
 
o
2
2x
xy
2 450
tg −=θ→





τ+
τ
−





=
σ−σ
τ
−=θ
 
 
 O estado de cisalhamento puro tem as tensões principais indicadas na Figura 1.15(b). O 
giz quando tracionado rompe-se devido à tensão de tração e quando se aplica um momento de 
torção, ele se romperá segundo um plano inclinado de 45o( onde atuará a maior tensão de 
tração). 
 O aço doce (material dúctil) é menos resistente ao cisalhamento que à tração. Se for 
aplicado um momento de torção em uma barra cilíndrica de aço doce, ela se romperá em um 
plano perpendicular ao seu eixo. Essa ruptura é causada pela maior tensão de cisalhamento. 
 
 
 16
1.7- ELIPSE DE TENSÕES 
 
 Nos estados planos de tensões analisados nos itens anteriores, a ação no plano de corte 
imaginário é representadapelas tensões θσ e θτ . Entretanto, a ação no plano de corte pode ser 
representada por duas componentes quaisquer. 
 Seja um estado de tensões em que a tensão de cisalhamento xyτ é nula e as tensões xσ 
e yσ são diferentes de zero (Figura 1.16). A ação no plano de corte imaginário é, agora, 
representada pelas componentes de tensão horizontal X e vertical Y. 
 
 
Figura 1.16- Estado de tensões em um elemento 
 
O equilíbrio de forças nas direções horizontal e vertical fornece as equações: 
 
0senAXA x =θσ− θθ 
0cosAYA y =θσ− θθ 
donde: 
θσ=
θσ=
cosY
senX
y
x
 
ou: 
θ=
σ
θ=
σ
cos
Y
sen
X
y
x
 
Elevando-se as expressões acima ao quadrado e somando-as, tem-se: 
1YX 2
y
2
2
x
2
=
σ
+
σ
 
 A expressão acima é a equação de uma elipse e é chamada elipse de Lamé. Portanto, 
além do círculo de Mohr, a variação da tensão com a variação do plano de corte pode ser 
representada por uma elipse. 
 17
1.8- ANÁLISE DE TENSÕES EM TRÊS DIMENSÕES 
 
 O estado geral de tensões é caracterizado por nove componentes de tensão, sendo três 
normais σx, σy e σz e seis componentes cisalhantes τxy, τxz, τyz, τyx, τzx e τzy. Pelo teorema de 
Cauchy, 
jiij ττ = 
o estado geral de tensões fica determinado por seis parâmetros. No elemento da Figura 1.17 está 
indicado o sentido positivo das tensões normais e de cisalhamento. As tensões de cisalhamento 
possuem dois índices para identificação: o primeiro indica o eixo perpendicular ao plano de 
aplicação da tensão e o segundo indica a direção da tensão. 
 
 
 
Figura 1.17- Tensões em três dimensões 
 
 A Figura 1.17(b) apresenta um corte imaginário no elemento da Figura 1.17(a), onde X, Y 
e Z são as componentes de tensão que atuam no plano inclinado BCD nas direções x, y e z, 
respectivamente. A direção do plano BCD é determinada com o auxílio de um vetor 
→
N 
perpendicular a esse plano. Chamando-se de θx, θy e θz os ângulos que o vetor 
→
N forma, 
respectivamente, com as componentes de tensão X, Y e Z, têm-se os cossenos diretores ml, e 
n que determinam a direção do vetor 
→
N . 
z
y
x
n
m
l
θ
θ
θ
cos
cos
cos
=
=
=
 
 A área do plano BCD é chamada Aθ e as outras três áreas do tetraedro são obtidas 
em função dos cossenos diretores e de Aθ (ver Figura 1.17(b)). O equilíbrio de forças na direção 
do eixo Ox fornece a expressão: 
 18
0=−−− nAmAlAXA zxyxx θθθθ ττσ 
Simplificando-se o termo comum Aθ e fazendo-se raciocínio análogo para as direções y e z: 
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=
 (1.12) 
 A tensão normal σθ que atua no plano BCD é dada por: 
ZnYmXl ++=θσ 
ou, substituindo-se as expressões de X, Y e Z, dadas pelas equações (1.12): 
2
zyzxzzy
2
yxyzxyx
2
x nmnnlnmmlmnlmll σ+τ+τ+τ+σ+τ+τ+τ+σ=σθ 
Lembrando que jiij τ=τ a expressão acima assume a forma: 
nm2nl2ml2nml zyzxyx
2
z
2
y
2
x τ+τ+τ+σ+σ+σ=σθ (1.13) 
 
1.8.1- TENSÕES PRINCIPAIS 
 
 Se as componentes de tensão em três planos perpendiculares entre si são conhecidas, 
podem-se calcular as tensões principais. Sejam ml, e n os cossenos diretores da normal a um 
plano principal e σ o valor da tensão principal correspondente. As componentes desta tensão 
principal nas direções x, y e z, são: 
 
lX σ= ; mY σ= ; nZ σ= 
 
 As expressões (1.12) fornecem as componentes de tensão de um plano qualquer, 
podendo, evidentemente, fornecer as componentes de tensão de um plano principal, então: 
 
nmln
nmlm
nmll
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σ+τ+τ=σ
τ+σ+τ=σ
τ+τ+σ=σ
 
 19 
 Passando-se todos os termos para o primeiro membro e colocando na forma matricial, 
tem-se: 










=




















−−−
−−−
−−−
0
0
0
n
m
l
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σσττ
τσστ
ττσσ
 
 O sistema homogêneo acima não admite a solução trivial porque a soma dos quadrados 
dos cossenos diretores é igual a 1 ( 1222 =++ nml ) e ml, e n não podem ser, 
simultaneamente, iguais a zero. Assim sendo, o determinante da matriz é igual a zero: 
 
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0=−−−−−−−−−−− xyyxzxzyyzzxyxzyxzyxzzxyzxyzyx ττσσσστττσστττττττσσσσσσ 
multiplicando-se os termos e lembrando que jiij ττ = , tem-se: 
+−−−+++++− στττσσσσσσσσσσσ )()( 22223 xyyzxzzxzyyxzyx 
0)2( 222 =+++−− xyzxzyyzxxzyzxyzyx τστστστττσσσ (1.14) 
 
 A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são as tensões principais 
σ1, σ2 e σ3 do estado geral de tensões. 
 A seguir, é apresentado o método de Cardano para calcularem-se as raízes de uma 
equação do terceiro grau quando todas as raízes são reais. Dada uma equação da seguinte 
forma: 
X aX bX c3 2 0+ + + = 
As três raízes são: 
X Y a1 1 3= − / 
X Y a2 2 3= − / 
X Y a3 3 3= − / 
onde: 
)3/cos(21 θ⋅= PY 
)3/240cos(2 02 θ+⋅= PY 
)3/120cos(2 03 θ+⋅= PY 
sendo: 
θ = arccos( / )Q P3 
 
P e Q são dados por: 
P a b= −
2 3
9
 
Q ab a c= − −9 2 27
54
3
 
 20 
Sendo σ1, σ2 e σ3 raízes reais, têm-se as propriedades: 
zyx σσσσσσ ++=++ 321 
222
133221 xyyzxzzxzyyx τττσσσσσσσσσσσσ −−−++=++ 
)2( 222321 xyzxzyyzxxzyzxyzyx τστστστττσσσσσσ +++−−−= 
 
1.8.2- CÍRCULO DE MOHR 
 
 Para o caso geral de tensões não existe representação gráfica, visto que as tensões σθ 
(eq. 1.13) e τθ não constituem uma equação paramétrica da circunferência. Entretanto, para um 
elemento solicitado por três tensões principais (Figura 1.18) pode ser feita a representação 
gráfica das tensões. A convenção adotada é : 
 
321 σ≥σ≥σ 
 No plano 102 do elemento da Figura 1.18 atuam as tensões 1σ e 2σ . A tensão 3σ , 
perpendicular a este plano, não interfere no equilíbrio de forças no plano 102. Assim sendo, as 
tensões neste plano podem ser obtidas pelas equações (1.3) e (1.4) e são representadas pela 
circunferência de diâmetro 1σ − 2σ . Da mesma forma, as tensões no plano 203 formam a 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.18 - Tensões principais e círculo de Mohr correspondente 
 
circunferência de diâmetro 2σ − 3σ e no plano 103 as tensões formam a circunferência de 
diâmetro 1σ − 3σ . Para os planos inclinados em relação as direções 1, 2 e 3, as tensões normal e 
de cisalhamento são dadas pelas coordenadas de um ponto situado na zona hachurada da figura. 
A tensão de cisalhamento máxima é dada pelo raio da circunferência de maior diâmetro. 
 
 21 
τmáx = 
2
31 σ−σ
 
 
 
1.8.3- ESTADO HIDROSTÁTICO 
 
 Um corpo solicitado por pressão hidrostática está sujeito a um estado tridimensional de 
tensões principais e a representação gráfica é um ponto. Um corpo solicitado por três tensões 
iguais de compressão tem, em todos os planos, tensão de cisalhamento nula e tensão normal 
igual a – p. Um corpo nesse estado de tensões deforma-se até acabarem os vazios, mas não 
rompe. 
 
 
 
 Figura 1.19 - (a) Pressão hidrostática (b) Representação gráfica 
 
 Exemplo 1.3: Calcule a maior tensão de cisalhamento que ocorre no elemento do exemplo 
1.1. 
 Todo estado plano de tensão tem uma tensão principal nula. A tensão principal zero pode 
ser a maior tensão normal (σ1), ou a tensão intermediária (σ2) ou a menor tensão normal (σ3). 
Neste problema, as tensões principais são: 
0,0
64,24
36,95
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
MPa
MPa
 
e a maior tensão de cisalhamento que ocorre no elemento é : 
MPamáxmáx 68,472
036,95
2
31
=→
−
=
−
= τ
σσ
τ 
 
 Exemplo 1.4: Para o estado de tensão abaixo,determine as tensões principais e a maior 
tensão de cisalhamento do elemento. 
 
 
 
 
 22 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.20 - Tensões em um elemento estrutural 
 
 Colocando-se os valores das tensões dadas na equação (1.14), tem-se a equação do 
terceiro grau: 
0610016928 23 =+σ−σ−σ 
Então: a = −28, b = −169 e c = 6100. Com estes valores, calculam-se P, Q e θ: 
 
P= 143,44; Q= −1448,30 e 046,147=θ 
Os valores de Y1 , Y2 e Y3 são os seguintes: Y1 = 15,67; Y2 = 7,86 e Y3 = −23,52. 
 
As três raízes são: X1 = 25,00; X2 = 17,19 e X3 = − 14,19. 
 
 Estes valores são as tensões principais : 
MPa
MPa
MPa
19,14
19,17
25
3
2
1
−=
=
=
σ
σ
σ
 
A tensão de cisalhamento máxima é dada por: 
MPamáx
máx
59,19
2
)19,14(25
2
31
=
−−
=
−
=
τ
σσ
τ
 
 
Exemplo 1.5: Dado o estado de tensão: 
 
MPa3;MPa8;MPa4
MPa12;MPa5;MPa10
yzxzxy
zyx
=τ=τ=τ
=σ=σ=σ
 
calcule as tensões principais e a maior tensão de cisalhamento. 
 23 
 
 
Figura 1.21- Estado de tensões em um elemento 
 
 Colocando-se os valores das tensões dadas na equação (1.14), tem-se a equação do 
terceiro grau: 
019014127 23 =−+− σσσ 
 Então: a = −27, b = 141 e c = −190. Com estes valores, calculam-se P e Q: 
 
 P= 34 
 Q= 189,5 
 
 Com os valores de P e Q determina-se θ: 
 
0088,17=θ 
 Os valores de Y1 , Y2 e Y3 são os seguintes: 
 
 
80,6
80,4
60,11
3
2
1
−=
−=
=
Y
Y
Y
 
De onde se tem os valores de X1, X2 e X3: 
 
20,2
20,4
60,20
3
2
1
=
=
=
X
X
X
 
 Os valores acima são as três tensões principais: 
 
MPa
MPa
MPa
20,2
20,4
60,20
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
 
 
 A maior tensão de cisalhamento é dada por: 
 24 
 MPa20,9
2
20,260,20
máx =
−
=τ 
 
1.9- TENSOR DE TENSÃO DE CAUCHY 
 
 Na notação tensorial, os eixos coordenados x, y e z são substituídos por x1, x2 e x3, 
respectivamente. As tensões de cisalhamento, da mesma forma que as tensões normais, são 
representadas pela letra grega σ. 
 
 
 
Figura 1.22- Notação tensorial 
 
 O tensor de tensão é de segunda ordem: 
 










333231
232221
131211
σσσ
σσσ
σσσ
 
 Pelo Teorema de Cauchy: 
jiij σ=σ 
 
Na notação tensorial as expressões (1.12) podem ser colocadas na forma: 
 
jiji lX σ= 
 
chamada convenção de Einstein e indica somatório: 
 
3332321313
3232221212
3132121111
lllX
lllX
lllX
σ+σ+σ=
σ+σ+σ=
σ+σ+σ=
 
 
 25 
 
 
 
 
 
 
2 ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES 
 
2.1 - INTRODUÇÃO 
 
Da mesma forma que as tensões, se são conhecidas as deformações yx, εε e xyγ em um 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, podem-se obter as deformações εθ e γθ 
referentes a um outro sistema de coordenadas girado em relação àquele em que as deformações 
são conhecidas. As equações da análise de deformações são semelhantes às obtidas na análise 
de tensões e também formam uma equação paramétrica da circunferência. Para se colocar a 
análise de deformações em seqüência lógica, deduz-se, em primeiro lugar, a lei de Hooke para 
materiais isotrópicos solicitados por um estado geral de tensões. A seguir, demonstra-se a relação 
entre as três constantes elásticas ( G,E e ν) dos materiais. Com estas relações, deduzem-se as 
equações que fornecem a deformação linear específica e a distorção em função da direção do 
sistema de coordenadas. Usando-se o círculo de Mohr das deformações, são deduzidas as 
equações que permitem calcular as deformações extremas e as direções onde elas ocorrem. 
A análise de deformações pode ser usada na determinação de um estado de tensões. Se são 
conhecidas as deformações lineares específicas em três direções não colineares de uma 
superfície, podem-se calcular as tensões que produziram as deformações. Uma outra aplicação 
refere-se a estruturas estaticamente indeterminadas. Nesse caso é necessário conhecer a 
deformação da estrutura e impor uma condição de compatibilidade dos deslocamentos, obtendo-
se, assim, outras equações que, juntamente com as equações de equilíbrio da estática, permitem 
determinar as reações nas estruturas hiperestáticas. 
 
2.2 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA 
 
As aplicações da lei de Hooke, até o momento, limitaram-se a elementos solicitados por 
tensão normal atuando em apenas uma direção. Entretanto, como já visto, um elemento estrutural 
pode ficar solicitado por três tensões normais e seis cisalhantes (Figura 2.1(a)). Os materiais que 
aqui se consideram são os chamados isotrópicos, isto é, apresentam as mesmas propriedades 
físicas em todas as direções. Para obterem-se as deformações específicas εx, εy, e εz do elemento 
da Figura 2.1(a), deve-se usar o princípio da superposição dos efeitos. A deformação linear 
específica εx, por exemplo, depende da tensão σx e, devido ao efeito Poisson, depende também 
das tensões σy e σz. A tensão σx origina na direção x a deformação E/xx σ=ε . A tensão σy, 
 26 
aplicada separadamente, provoca na direção x a deformação yx νε−=ε , ou E/yx νσ−=ε . A 
deformação referente a tensão σz na direção x é dada por: E/zzx νσ−=νε−=ε . Somando-se as 
três deformações lineares na direção x e fazendo-se um raciocínio análogo para as direções y e 
z, têm-se as componentes de deformação linear de um elemento solicitado por três tensões 
normais: 
( )[ ]zyxx E
1
σ+σν−σ=ε 
 ( )[ ]zxyy E
1
σ+σν−σ=ε ( 2.1) 
( )[ ]yxzz E
1
σ+σν−σ=ε 
 
Figura 2.1 - (a) Estado geral de tensões (b) Cisalhamento puro 
 
 As equações (2.1) são chamadas lei de Hooke generalizada e não têm demonstração 
analítica. A demonstração é intuitiva e foi deduzida supondo-se que as tensões normais sejam de 
tração (positivas); se alguma tensão for de compressão, troca-se o sinal do termo 
correspondente. 
 É interessante observar que as tensões de cisalhamento não foram consideradas no 
cálculo das deformações εx, εy, e εz. A contribuição das tensões de cisalhamento para o cálculo 
destas deformações é um infinitésimo de segunda ordem e pode ser desprezada (no exemplo 
2.3 demonstra-se esta afirmação). 
Os comprimentos de ab, bc, cd e da não são alterados depois de aplicada a tensão cisalhante τ 
(Figura 2.1(b)). Entretanto, nas direções inclinadas ocorrem variações de comprimento, como, por 
exemplo, a diagonal ac que alongou-se e a diagonal bd que encurtou-se. Estas variações no 
comprimento devem-se ao fato do estado de cisalhamento puro produzir tensões normais (ver 
equação (1.5)) nas direções de ac e bd, existindo, então, deformação específica nestas direções. 
Este assunto é abordado no item 2.5. 
 27 
 As tensões de cisalhamento dão origem à deformação chamada distorção (γ ). A Figura 
2.1(b) mostra um elemento deformado por cisalhamento puro onde, por conveniência, vê-se 
apenas o deslocamento da face superior em relação à face inferior, considerada fixa. As 
distorções nos planos xOy, xOz e yOz do elemento da Figura 2.1(a) são obtidas da seguinte 
forma: 
 
G
;
G
;
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy
τ
=γτ=γ
τ
=γ (2.2) 
 
 As expressões acima são denominadas lei de Hooke no cisalhamento ou extensão da lei 
de Hooke, sendo G a constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação por 
cisalhamento. A distorção γ é dada em radianos, logo, G tem a mesma dimensão de tensão. 
 
 
Exemplo 2.1 : A chapa da Figura 2.2 está entre dois apoios indeformáveis. Calcule σy, εx e 
εz quando for aplicada a tensão de compressão σx = 100 MPa. 
Dados: Ε = 210 GPa , .33,0=νFigura 2.2- Chapa com deslocamento vertical impedido 
 
 Aplicando-se a tensão xσ de compressão, a barra tende a expandir-se lateralmente. Na 
direção Oz a expansão está livre e não aparecem tensões∗. Na direção vertical, o deslocamento 
está impedido (os apoios são indeformáveis), assim sendo, surgem tensões normais na direção 
Oy impedindo a expansão da chapa nesta direção. 
∆Ly = 0, então: 0
L
L
y
y
y =
∆
=ε 
 
[ ]
466
9x
yyy
1024,4)103333,010100(
10210
1
MPa33)100(33,0
E
10
−×−=××+×−
×
=ε
−=σ→−−σ==ε
 
 
[ ] 4669z 10x09,2)10x10010x33(33,0010x210
1
−
=−−−=ε 
 
 
∗
 Existem forças de atrito que se opõem ao deslocamento na direção do eixo z. Essas forças são 
desprezadas. 
 28 
 Exemplo 2.2: A barra prismática abaixo é fixada de maneira que a expansão nas 
direções y e z fique impedida. Determine a variação do comprimento da barra ( xL∆ ) quando se 
aplica a tensão .MPa200x −=σ Dados : E = 210 GPa, ν =0,33. 
 
 
Figura 2.3 - Barra prismática 
 
 Este problema é conhecido como compressão uniaxial confinada. Para calcular-se a 
deformação linear εx têm-se que obter as tensões normais σy e σz que aparecerão impedindo a 
expansão lateral da barra. 
 ( )[ ] ( )zxyzxyy E σσνσσσνσε +=→+−==
10 
 
( )[ ] ( )yxzyxzz E
10 σ+σν=σ→σ+σν−σ==ε
 
Substituindo-se a expressão da tensão σy na expressão de σz tem-se: 
 [ ] z2x2xzxxz )( σν+σν+σν=σ+σν+σν=σ 
de onde: 
 ( )
ν−
σν
=σ→ν+σν=ν−σ
1
1)1( xzx2z 
Os valores de xσ e ν são dados no exemplo: 
 MPazz 51,9833,01
)200(33,0
−=→
−
−
= σσ 
Com o valor da tensão zσ , calcula-se o valor da tensão yσ , que é igual a zσ (o material da 
barra é isotrópico). Então: 
 
( )[ ]
mm45,0Lmm7001043,6L
1043,6
1051,981051,9833,010200
10210
1
x
4
x
4
x
666
9x
−=∆→××−=∆
×−=ε
×−×−−×−
×
=ε
−
−
 
Na Mecânica dos Solos, define-se coeficiente de empuxo em repouso ( 0k ) da seguinte 
forma: 
ν
ν
−
=
10
k 
 29 
Para um solo solicitado por tensão axial ( xσ ) e com deslocamento lateral impedido, têm-
se as tensões: 
xzy k σσσ 0== 
 
 
2.3- RELAÇÃO ENTRE E , G E ν 
 Seja o caso particular de um estado plano de tensões em que a tensão normal xσ de 
tração é igual à tensão yσ de compressão ( σ=σ−=σ yx ). 
 
Figura 2.4 - (a) Estado de tensões (b) Tensões em planos inclinados 
 (c) Elemento deformado 
 
 As tensões que atuam em um plano qualquer do elemento da Figura 2.5(a) podem ser 
calculadas usando-se as equações (1.3) e (1.4). Nos planos que formam um ângulo de 45o com o 
eixo Ox, têm-se as tensões: 
στσστ
σσσσ
θθ
θθ
−=→−−=
=→−=
oo
oo
45cos45sen)(
045cos45sen 22
 
e, nos planos formando um ângulo de 135o com o eixo Ox : 
σ=τ→σ−σ−=τ
=σ→σ−σ=σ
θθ
θθ
oo
o2o2
135cos135sen)(
0135cos135sen
 
Essas tensões estão indicadas na Figura 2.4(b). 
 O quadrado de lados ab, bc, cd e da transforma-se em um losango depois de aplicadas as 
tensões. Desprezando-se um infinitésimo de segunda ordem, os lados do quadrado não variam 
durante a deformação, entretanto, os comprimentos de ac e bd se alteram em função das tensões 
normais aplicadas nas direções vertical e horizontal. Simultaneamente ao alongamento de ac e 
encurtamento de bd ocorre distorção devida a tensão de cisalhamento. Lembrando-se que ε é 
função de σ , E e ν e a distorção γ é função de τ (no elemento inclinado igual a σ ) e G , pode-
se concluir que existe uma relação entre E , ν e G que será demonstrada a seguir. 
 A tangente do ângulo α pode ser calculada pela relação entre os segmentos 'ob e '.oc 
 30 
( ) ( )
( )ν+σ−=νσ−σ−=ε
ν+
σ
=σν+σ=ε
ε+=ε+=
ε+=ε+=
1
E
)(
E
1
1
EE
1
)1(obobob'ob
)1(ocococ'oc
y
x
yy
xx
 
 
então: 
( )
( )





ν+
σ
+






ν+
σ
−
==α
1
E
1oc
1
E
1ob
'oc
'ob
tg (a) 
 
 O ângulo α é igual a 
24
γpi
− , uma vez que γ é a distorção do ângulo 
2
pi
. Colocando-se o 
valor de α na expressão (a) e lembrando-se que oc = ob, tem-se : 
 
)1(
E
1
)1(
E
1
24
tg
ν+
σ
+
ν+
σ
−
=




 γ
−
pi
 (b) 
Na trigonometria tem-se a relação: 
2
tg
4
tg1
2
tg
4
tg
24
tg γpi
+
γ
−
pi
=




 γ
−
pi
 
A teoria de pequenas deformações permite coincidir a tangente de um arco com o próprio arco. 
Assim sendo, a equação (b) assume a forma: 
 
)1(
E
1
)1(
E
1
2
1
2
1
ν+
σ
+
ν+
σ
−
=γ
+
γ
−
 
de onde se conclui que: 
)1(
E2
ν+
σ
=
γ
 
Colocando-se na expressão acima a lei de Hooke no cisalhamento ( )γ=τ G e lembrando-se que 
no estado de tensão em análise σ=τ , tem-se: 
( )ν+σ=σ 1
EG2
 
 31 
de onde: 
)1(2
EG
ν+
= 
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento. Se duas constantes elásticas de um 
certo material são determinadas experimentalmente, a terceira pode ser calculada. Sabendo-se 
que o coeficiente de Poisson (ν) é positivo, pode-se concluir que G é sempre menor que E . 
 
 Exemplo 2.3: Determine a expressão exata do segmento ''cb do elemento da Figura 2.4(c). 
 O segmento ''cb é dado por: 
( ) ( )22 'oc'ob'c'b += 
As expressões de 'ob e 'oc foram obtidas anteriormente, então: 
( ) ( )2x22x2 1oc1ob'c'b ε++ε−= 
Como ob = oc, 
2
xx
2
xx 2121ob'c'b ε+ε++ε+ε−= 
ou 
2
x12ob'c'b ε+= 
 A expressão acima fornece o comprimento exato do segmento '.'cb O termo 2ob é o 
valor da diagonal bc e o termo 21 xε+ é a contribuição da tensão de cisalhamento para a 
variação do comprimento do lado bc (nos lados do quadrado não atuam tensões normais). Mas 1 
>> 2xε e o termo 
21 xε+ pode ser tomado como sendo igual a 1. Nesse caso, o lado ''cb não se 
altera e permanece com o mesmo comprimento inicial bc. 
 
2.4 – DILATAÇÃO CÚBICA ESPECÍFICA 
 
Um elemento de comprimentos iniciais ,dx dy e dz depois de deformado tem os 
comprimentos alterados para dydy,dxdx ∆+∆+ e .dzdz ∆+ Com a variação dos 
comprimentos do elemento, o volume também varia. O volume inicial V do elemento é dado pelo 
produto dos comprimentos iniciais: 
dzdydxV ⋅⋅= 
e o volume final VV ∆+ é dado pelo produto dos comprimentos finais do elemento, ou seja: 
( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxVV ∆+∆+∆+=∆+ 
mas dydy,dxdx yx ε=∆ε=∆ e ,dzdz zε=∆ então: 
( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxVV zyx ε+ε+ε+=∆+ 
ou: 
( ) ( ) ( )zyx 111dzdydxVV ε+ε+ε+=∆+ 
 32 
Fazendo-se o produto acima e lembrando que dzdydxV = , tem-se: 
 ( )
zyxzyzxyxzyx1VVV εεε+εε+εε+εε+ε+ε+ε+=∆+ 
Desprezando os infinitésimos de ordem superior: 
( )zyx1VVV ε+ε+ε+=∆+ 
de onde: 
zyxV
V
ε+ε+ε=
∆
 (2.3) 
 A relação VV∆ recebe o nome de dilatação cúbica específica sendo que as 
deformações yx , εε e zε são obtidas usando-se a lei de Hooke generalizada. 
 Para um elemento solicitado por três tensões normais iguais de tração σ (esta solicitação 
é conhecida como tração isotrópica), têm-se as deformações : 
( )[ ] ( )ν−σ=σ+σν−σ=ε=ε=ε 21
EE
1
zyx 
 A dilatação cúbica específica desse elemento é dada por: 
( )ν−σ=∆ 21
E
3
V
V
 
 Não se pode admitir que um elemento solicitado por três tensões normais iguais de tração 
diminua de volume, sendo assim, o maior valor que o coeficiente de Poisson pode assumir na fase 
elástica-linear dos materiais isotrópicos é 0,5. 
 
2.5 - ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES NOS ESTADOS PLANOS DE TENSÃO 
 
A análise de deformações que aqui é abordada se restringe a elementos estruturais 
solicitados porestados planos de tensões e, para simplificar, convenciona-se que as tensões 
atuam no plano xOy. Conhecidas as tensões e as propriedades elásticas do material, podem-se 
calcular, facilmente, as deformações yx, εε e .xyγ Entretanto, é de interesse conhecer as 
deformações referentes a um outro sistema de coordenadas, bem como as deformações extremas 
e as direções onde ocorrem. 
Dado um estado de tensões onde: 
0;0;0 xyyx ≠τ≠σ≠σ 
0yzxzz =τ=τ=σ 
a lei de Hooke generalizada assume a forma: 
( )
( )
( )yxz
xyy
yxx
E
E
1
E
1
σ+σ
ν
−=ε
σν−σ=ε
σν−σ=ε
 (2.4) 
 
 33 
 O fato de zε ser diferente de zero mostra que um estado plano de tensões causa, 
geralmente, um estado tridimensional de deformações. Por exemplo, uma barra tracionada se 
deforma em todas as direções. Pode ocorrer um estado plano de tensões particular em que 
yx σ−=σ e, neste caso, .0z=ε 
 As componentes de tensão xσ e yσ podem ser expressas em função das componentes 
de deformação xε e yε e das propriedades elásticas do material. Isolando-se as tensões xσ e 
yσ nas duas primeiras equações (2.4), tem-se: 
xyy
yxx
E
E
σν+ε=σ
σν+ε=σ
 
Colocando-se a expressão da tensão yσ na equação de xσ , tem-se: ( )
xyxx EE σν+εν+ε=σ 
de onde: ( )
2
yx
x 1
E
ν−
⋅εν+ε
=σ (2.5a ) 
Analogamente, colocando-se a expressão da tensão xσ na equação de yσ , obtém-se: 
 ( )
2
xy
y 1
E
ν−
⋅εν+ε
=σ (2.5b) 
 Por analogia com a primeira ou segunda equações (2.4), a deformação θε na direção 'x 
(Figura 2.5) é dada por: 
( )θθθ σν−σ=ε |E
1
 
 
Figura 2.5 – Estado plano de tensões 
 
 Colocando-se as expressões de |θσ e θσ , obtidas no item 1.4, na expressão de θε : 
( )[ ]θθτ+θσ+θσν−θθτ−θσ+θσ=εθ sencos2cossensencos2sencosE
1
xy
2
y
2
xxy
2
y
2
x 
 
ou: ( ) ( ) ( )[ ]ν+θθτ−θν−θσ+θν−θσ=εθ 1sencos2cossensencosE
1
xy
22
y
22
x 
Com as equações (2.5a) e (2.5b) e lembrando-se que 
xyxyxy )1(2
EG γ⋅
ν+
=γ⋅=τ , a expressão 
 34 
acima assume a forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( )




θν−θ
ν−
νε+ε
+θν−θ
ν−
νε+ε
=εθ
22
2
xy22
2
yx
cossen
1
E
sencos
1
E
E
1
 
 ( ) ( )

ν+θθ
ν+
γ
− 1sencos
12
E2 xy
 
de onde se tem a expressão de θε em função das componentes de deformação yx εε , e xyγ e 
do ânguloθ : 
θθγ−θε+θε=εθ sencossencos xy2y2x (2.6) 
 Por analogia com a expressão Gxyxy τγ = , a distorção θγ do elemento inclinado (Figura 
2.5) é dada por: 
G
θ
θ
τ
=γ 
Colocando-se a expressão de θτ na expressão de θγ , tem-se: 
( ) ( )[ ]θ−θτ+θθσ−σ=γθ 22xyxy cossencossenG
1
 
Colocando-se, na expressão acima, as equações (2.5a) e (2.5b), e lembrando-se que 
θγγτ ,Gxyxy ⋅= assume a forma: 
( ) ( ) ( )








θ−θγ+θθ








ν−
εν+ε
−
ν−
εν+ε
=γ θ 22xy2
yx
2
xy
cossenGcossen
1
E
1
E
G
1
 
de onde: 
( ) ( )θ−θγ+θθε−ε=γθ 22xyxy cossencossen2 
ou: 
( ) ( )θ−θγ+θθε−ε=γ θ 22xyxy cossen2cossen2 (2.7) 
 
 É oportuno salientar que o emprego das equações (2.6) e (2.7) é restringido aos estados 
de tensões onde .0z =σ 
 
2.6 – CÍRCULO DE MOHR PARA DEFORMAÇÕES 
 
O lugar geométrico de todos os pares )2/,( θθ γε forma uma circunferência. Fazendo-se 
um raciocínio análogo ao estado plano de tensões, tem-se: 
 
2
xy
2
yx
22
yx
2222 






 γ
+






 ε−ε
=




 γ
+






 ε+ε
−ε θθ 
 35 
 A equação acima é a equação de uma circunferência de centro c 





 ε+ε
0,
2
yx
 , 
sendo θε e 2
θγ
 as coordenadas genéricas de um ponto da circunferência e 
.
22
R
2
xy
2
yx2







 γ
+






 ε−ε
= 
 A construção do círculo de Mohr para deformações é semelhante à construção para 
tensões. As deformações xε e yε são positivas quando correspondem a alongamentos e a 
distorção xyγ é positiva quando xyτ é positivo, ou seja, quando xyτ tende girar o elemento no 
sentido horário. O pólo para deformações é simétrico ao ponto ( )2, xyy γ−ε . A explicação é que 
todas as deformações que ocorrem no elemento são dadas pelas coordenadas de um ponto da 
circunferência, sendo que para o0=θ têm-se as deformações xε e xyγ e para o90=θ 
têm-se as deformações yε e .xyγ− 
 Dado um estado plano de tensões, calculam-se as deformações: 
( )
( )
G
E
1
E
1
xy
xy
xyy
yxx
τ
=γ
σν−σ=ε
σν−σ=ε
 
Conhecidas estas deformações, pode ser construído o círculo de Mohr. Para esta demonstração, 
sem perder a generalidade, supõe-se que xε é maior que .yε 
 
 
Figura 2.6 – Círculo de Mohr para deformações 
 
 Do círculo de Mohr, podem-se obter as expressões para calcular analiticamente 
1máx21 ,,, θγεε e .2θ 
 36 
2
xy
2
yxyx
2
2
xy
2
yxyx
1
222
222







 γ
+






 ε−ε
−
ε+ε
=ε







 γ
+






 ε−ε
+
ε+ε
=ε
 
 
( )





ε−ε
γ
−=θ
y1
xy
1 2
tg 
( )2y
xy
2 2
tg
ε−ε
γ
=θ 
2
xy
2
yxmáx
222 






 γ
+






 ε−ε
=
γ
 ou: 21máx
21máx
22
ε−ε=γ→ε−ε=γ 
 As deformações lineares específicas 1ε e 2ε são chamadas deformações principais e os 
ângulos 1θ e 2θ fornecem as direções onde ocorrem, respectivamente, 1ε e 2ε . Pelo círculo de 
Mohr conclui-se que a soma em módulo de 1θ e 2θ é igual a 900. A distorção γmáx é a maior 
distorção do plano das tensões (plano xOy). 
 
 Exemplo 2.4: Um elemento estrutural está solicitado pelas tensões indicadas na Figura 2.7. 
Calcule analítica e graficamente as deformações principais, as direções principais e a maior 
distorção que ocorre no plano xOy. Dados: σx = 35 MPa, σy = 55 MPa, τxy = 8,6 MPa, E = 210 
GPa e ν = 0,33. 
 
 
Figura 2.7- Elemento em estado plano de tensões 
 
 As deformações nas direções x e y são as seguintes: 
( ) 5x669x 10x02,810x55x33,010x3510x2101 −=ε→−=ε 
( ) 4y669y 10x07,210x35x33,010x5510x2101 −=ε→−=ε 
 37 
.rad10x09,1
10x210
)33,01(x2x10x6,8 4
xy9
6
xy
−
=γ→+=γ 
 Com as equações deduzidas anteriormente tem-se a solução analítica: 
 
2
xy
2
yxyx
2
1 222 






 γ
+




 ε−ε
±
ε+ε
=ε 
Então: 
2424545
1 2
1009,1
2
1007,21002,8
2
1007,21002,8
2 





 ×
+




 ×−×±×+×=ε
−−−−−
 
de onde: 
( )
( ) 0254
4
2
0
144
4
1
5
2
4
1
3,20
1061007,22
1009,1
tg
8,69
1007,21027,22
1009,1
tg
106
1027,2
=θ→
×−×
×
=θ
−=θ→
×−×
×
−=θ
×=ε
×=ε
−−
−
−−
−
−
−
 
.rad10x67,1 
2
1009,1
2
1007,21002,8
2
4
máx
24245
máx −
−−−
=γ⇒




 ×
+




 ×−×
=
γ
 
 
Solução gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Círculo de Mohr – Escala 1 cm: 2x10 − 5 
 38 
 Do círculo de Mohr, têm-se: 
0
1
4
1 70;1026,2 −≅θ×≅ε − 
0
2
5
2 20;108,5 ≅θ×≅ε − 
.rad10x68,110x4,8
2
4
máx
5máx −− ≅γ→≅γ2.7 – ROSETA DE DEFORMAÇÃO 
 
 Se em um estado plano de tensões não se conhecem as tensões, elas podem ser 
determinadas com o auxílio da equação (2.6). Com três extensômetros, obtêm-se, em laboratório, 
as deformações lineares específicas de um elemento estrutural em três direções. Este conjunto de 
extensômetros recebe o nome roseta de deformação. Este arranjo de extensômetros só é 
possível em um estado plano de tensões, uma vez que na face onde está a roseta não podem 
atuar tensões. Conhecidas as deformações em três direções, com a equação (2.6) obtêm-se os 
valores de yx , εε e xyγ . Usando-se as equações (2.5a) e (2.5b) e a lei de Hooke no 
cisalhamento calculam-se as tensões yx , σσ e xyτ que produziram as deformações no elemento. 
 
Exemplo 2.5: Com uma roseta de deformação obtiveram-se as seguintes deformações 
lineares específicas em um ponto de um elemento estrutural: εa = 500 x 10 −6; εb = 195,86 x 10 −6 e 
εc = 628,87 x 10 −6. Calcule as tensões que produziram as deformações no elemento. Dados: Ε = 
69 GPa e ν = 0,33 
 
 
 
Figura 2.9 – ponto de uma estrutura e roseta de deformação 
 
Para a direção “a”, a equação (2.6) fica da seguinte forma: 
 
oo
xy
o2
y
o2
x
6 0sen0cos0sen0cos10x500 γ−ε+ε=− 
Da expressão acima, tem-se que: εx = 500 x 10 −6 
Para a direção “b”, tem-se: 
 
oo
xy
o2
y
o2
x
6 06sen06cos60sen06cos10x86,195 γ−ε+ε=− 
de onde: 
 39 
433,075,025,010x86,195 xyyx6 γ−ε+ε=− (Ι) 
 
Na direção θ = 120o (ou θ = −−−− 60o) tem-se a leitura no extensômetro “c”: 
 
oo
xy
o2
y
o2
x
6 120sen012cos120sen012cos10x87,628 γ−ε+ε=− 
então: 
433,075,025,010x87,628 xyyx6 γ+ε+ε=− (ΙΙ) 
Somando-se as expressões (Ι) e (ΙΙ), tem-se: 
 
50,150,010x73,824 yx6 ε+ε=− 
Com o valor da deformação εx , obtida no extensômetro “a”, e com a expressão acima calcula-se o 
valor da deformação εy = 383,15 x 10 −6. Usando-se a equação (Ι) ou a equação (ΙΙ), calcula-se a 
deformação γxy= 500 x 10 −6 rad. 
 Cálculo das tensões normais usando-se as equações (2.5a) e 2.5b): 
9
2
66
x 10x69
33,01
)10x15,383x33,010x500(
⋅
−
+
=σ
−−
 MPa51,48x =σ→ 
9
2
66
y 10x69
33,01
)10x500x33,010x15,383(
⋅
−
+
=σ
−−
 MPa44,42y =σ→ 
MPa97,1210x500)33,01(2
10x69G xy6
9
xyxy =τ→⋅
+
=γ=τ − 
 
 
 
Figura 2.10 – Tensões atuantes no elemento estrutural do exemplo 2.5 
 40
 
 
 
 
 
 
3 – MÉTODOS DE ENERGIA 
 
3.1 – INTRODUÇÃO 
 
 Quando uma força externa atua em um corpo e o deforma1, o trabalho realizado pela força 
é total ou parcialmente armazenado no corpo sob a forma de energia de deformação. Se a força 
dividida pela área onde atua (ou seja, a tensão) permanecer na fase elástica o trabalho externo é 
totalmente convertido em energia de deformação e o corpo retorna às dimensões iniciais quando 
descarregado. Se a tensão for além da fase elástica, o corpo não adquire as suas dimensões 
iniciais quando descarregado. Nesse caso, o trabalho externo é parcialmente convertido em 
energia de deformação e ocorre dissipação de energia em forma de calor. Neste capítulo, 
pressupõe-se que a tensão aplicada em um corpo é sempre menor, ou igual, que a tensão de 
proporcionalidade, portanto, o corpo tem comportamento elástico-linear. 
 A energia de deformação pode ser usada no cálculo da tensão e deformação provocadas 
por cargas aplicadas com impacto, no cálculo de deslocamentos e no cálculo das reações de 
apoio de vigas hiperestáticas. A energia armazenada em um corpo é sempre um escalar positivo e 
independe da convenção de sinais e da posição do sistema de referência. 
 
3.2 – TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL 
 
 Seja uma barra prismática fixada em uma extremidade solicitada por uma força axial de 
tração F . 
 
Figura 3.1 - Barra prismática tracionada 
 
 A força F , quando aplicada estaticamente, causa um alongamento dado por: 
EA
FLL =∆ 
 
1
 Nos deslocamentos de corpo rígido não há deformação. Nesse caso, o trabalho externo é convertido em 
energia cinética e, às vezes, em energia calorífica e sonora. 
 41
Esse alongamento é o deslocamento do ponto de aplicação da força F . Entretanto, o trabalho não 
pode ser calculado como sendo o produto da força pelo deslocamento, uma vez que a força varia 
de um valor zero até o valor final F . O trabalho realizado por uma força variável quando o seu 
ponto de aplicação desloca-se da coordenada x1 até a coordenada x2 é calculado pela expressão: 
 
∫=
2
1
x
x
dx)x(FW 
A integral acima corresponde à área compreendida sob a curva )x(F entre os limites x1 e x2. 
Assim sendo, o trabalho realizado por uma força aplicada estaticamente ao alongar uma barra de 
L∆ é dado por: 
 
2
LFW ∆= 
 
Figura 3.2 - Gráfico Força x Alongamento 
 
Esse trabalho externo é armazenado na barra na forma de energia de deformação )U( . Com as 
considerações feitas anteriormente, pode-se fazer: 
 
2
LFU ∆= 
Nas barras prismáticas, U assume a forma: 
 
EA2
LFU
2
= (3.1) 
 
 
3.3 – ENEGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE ÀS TENSÕES NORMAIS 
 
 A equação (3.1) fornece a energia de deformação armazenada em uma barra prismática 
solicitada por uma força axial. Essa equação pode ser colocada da seguinte forma: 
 
 42
2
2
EA2
LAFU = 
ou: 
E2
VU
2σ
= 
Se a tensão normal não é uniformemente distribuída na seção transversal e/ou varia ao longo do 
comprimento, a expressão acima deve ser empregada para cada elemento infinitesimal de 
volume. 
E2
dVdU
2σ
= (3.2) 
Integrando-se os dois membros tem-se a energia de deformação total: 
∫
σ
=
V
2
E2
dVU (3.3) 
 
3.3.1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE À FORÇA NORMAL 
 
 Seja a barra da Figura 3.3 solicitada por uma força axial variável e seção transversal 
também variável com a coordenada x. 
 
 
 
Figura 3.3 - Barra de seção transversal variável 
 
 A tensão normal varia com o comprimento, entretanto, em uma seção transversal qualquer, 
a tensão normal não varia e todos os pontos desta seção transversal estão solicitados por tensão 
normal dada por: 
)x(A
)x(F)x( =σ 
Colocando-se a expressão acima na equação (3.3), tem-se: 
∫= V 2
2
E2)x(A
dV)x(FU 
 43
Tomando-se dAdxdV = e separando-se os termos que dependem de x e o que depende da 
área, tem-se: 
( )dxdA)x(EA2 )x(FU AL 2
2
∫∫ ⋅= 
onde: 
∫ =A )x(AdA 
então: 
∫= L
2
)x(EA2
dx)x(FU 
 
3.3.2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO FLETOR 
 
 Seja a viga AB da figura abaixo solicitada por um carregamento qualquer. 
 
 
 
Figura 3.4 - Viga bi-apoiada 
 
Chamando-se de )x(M o momento fletor e de )x(I z o momento de inércia de uma seção 
transversal qualquer, a tensão normal nessa seção transversal é dada por: 
)x(I
y)x(M)x(
z
=σ 
Colocando-se a expressão acima na equação (3.3): 
∫= V 2
z
22
E2)x(I
dVy)x(MU 
Tomando-se dAdxdV = e lembrando-se de que o momento fletor e o momento de inércia variam 
apenas em função da coordenada x, tem-se: 
 
( )dxdAy)x(EI2 )x(MU A 2L 2z
2
∫∫ ⋅= 
Por definição: 
 44
∫= A
2
z dAy)x(I 
então: 
∫= L
z
2
)x(EI2
dx)x(MU (3.5) 
 
3.4 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE ÀS TENSÕES DE CISALHAMENTO 
 
 O procedimento para se obter a energia de deformação referente às tensões de 
cisalhamento é análogo àquele usado paratensões normais. Da mesma forma que a barra da 
Figura 3.1 é conveniente fixar uma das faces do elemento em estado de cisalhamento puro 
(Figura 3.5). Por exemplo, se a face inferior do elemento for fixada, apenas a força que atua na 
face superior produz trabalho. 
 
 
Figura 3.5 - Elemento de uma viga solicitado por cisalhamento puro 
 
 Estabelecendo-se que o carregamento que provocou as tensões de cisalhamento acima 
seja aplicado estaticamente, a energia acumulada no elemento de volume é dada por: 
2
.dFdU ∆= 
onde dF é a força que provocou o deslocamento ∆ . Chamando-se de dz a espessura do 
elemento, a força dF é dada por dz.dx.τ e dy.γ=∆ , então: 
dy.dxdz
2
1dU γτ= 
Com a lei de Hooke no cisalhamento )G( γ=τ e lembrando-se de que dxdydz = dV, a expressão 
acima assume a forma: 
G2
dVdU
2τ
= (3.6) 
Integrando-se os dois membros, tem se a energia de deformação armazenada em uma estrutura 
referente às tensões de cisalhamento: 
 
∫
τ
=
V
2
G2
dVU (3.7) 
 
 45
3.4.1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO DE TORÇÃO 
 
 Considere-se um eixo de seção transversal circular variável solicitado por um momento de 
torção que também varia com a coordenada x. 
 
Figura 3.6 - Eixo com seção transversal variável 
 
Chamando-se de )x(T o momento de torção e )x(J o momento de inércia à torção, a tensão de 
cisalhamento é dada por: 
)x(J
r)x(T
=τ 
Colocando-se a expressão acima na equação (3.7): 
∫= V 2
22
G2)x(J
dVr)x(TU 
Tomando-se dAdxdV = e separando os termos que variam em função do comprimento e os que 
variam na área, a integral acima pode ser colocada da seguinte forma: 
( )∫ ∫= L A 22 2 dxdArG2)x(J )x(TU 
Por definição: 
∫= A
2dAr)x(J 
então: 
∫= L
2
)x(GJ2
dx)x(TU (3.8) 
 
3.4.2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE À FORÇA CORTANTE 
 
 Em função do momento estático, a tensão de cisalhamento referente à força cortante tem 
uma equação particular para cada configuração da seção transversal. Na presente abordagem, 
consideram-se apenas vigas prismáticas de seção transversal retangular. Esta forma de viga é 
muito usada e a distribuição da tensão de cisalhamento é facilmente equacionada. 
 46
 Seja a viga da Figura 3.7 sujeita a um carregamento qualquer. A tensão de cisalhamento 
em uma seção transversal qualquer é dada pela equação: 
 
zbI
Q)x(V
=τ 
 
 
Figura 3.7 - Viga prismática com seção transversal retangular 
 
Colocando-se a expressão acima na equação (3.7), tem-se: 
 
∫= V 2
z
2
22
dV
G2Ib
Q)x(VU 
ou: 
( )∫ ∫= L A 22
z
2
2
dxdAQ
G2Ib
)x(VU (3.9) 
 
Em vigas de seção transversal retangular, o momento estático Q assume a forma: 






−=
2
2
y
4
h
2
bQ 
então: 
∫ ∫ 





+−=
A A
4
2242
2 dAy
2
yh
16
h
4
bdAQ 
A integral acima independe da coordenada z, então o elemento de área dA pode ser tomado 
como sendo .bdy Então: 
∫ ∫
−






+−=
A
2/h
2/h
4
2242
2 bdyy
2
yh
16
h
4
bdAQ 
de onde: 
∫ =A
53
2
120
hbdAQ 
Substituindo-se a expressão acima na equação (3.9) e lembrando que 
12
bhI
3
z = , tem-se: 
 47
dx
120
hb
G2
144
hbb
)x(VU
53
L 62
2
2
⋅= ∫ 
donde: 
∫= L
2 dx)x(V
GA5
3U (3.10) 
 
 Exemplo 3.1: Calcule a energia de deformação acumulada na viga prismática da Figura 
3.8. Dados: =E 210 GPa, 33,0=ν , P=8500 N. 
 
Figura 3.8 - Viga prismática em balanço 
 
 A viga está solicitada por momento fletor e força cortante. A energia de deformação total é 
dada por: 
VMT UUU += 
A energia de deformação referente ao momento fletor é determinada usando-se a equação (3.5). 
∫
−
=
L
0
z
2
M EI2
dx)Px(U 
donde: 
z
32
M EI6
LPU = 
Colocando-se os dados do exemplo: Nm43,0UM = 
A energia referente à força cortante é calculada usando-se a equação (3.10). 
Gbh5
LP3dx)P(
GA5
3U
2L
0
2
V =−= ∫ 
 
então: Nm014,0U V = 
A energia de deformação total é: J444,0UT = 
É interessante observar que: %85,96UM = de TU e %15,3U V = de TU 
 48
Com o resultado acima pode-se concluir que nas estruturas em que a relação 5h/L ≥ (ou seja, 
vigas), a contribuição da força cortante para a deformação da viga pode ser desprezada em 
relação a contribuição do momento fletor. 
 É oportuno fazer mais duas observações. A primeira é que a energia de deformação 
referente ao momento fletor pode ser calculada através do trabalho externo. 
2
v.PU M = 
Onde v é o deslocamento do ponto de aplicação da força P levando-se em consideração 
apenas a contribuição do momento fletor. Este deslocamento é dado pela expressão: 
z
3
EI3
PL
v = 
então: 
z
32
M EI6
LPU = 
 A segunda observação refere-se ao cálculo da energia de deformação total. Calcularam-
se, separadamente, as energias referentes a cada esforço solicitante e depois somaram-se os 
resultados obtidos. Esta adição procede no fato que a contribuição das tensões de cisalhamento 
para a variação dos comprimentos dx e dy (Figura 3.5), conforme já demonstrado, é um 
infinitésimo de segunda ordem e, conseqüentemente, se atuar tensão normal nas direções x e y, o 
trabalho realizado por estas tensões durante a deformação por cisalhamento é também um 
infinitésimo de segunda ordem e pode ser desprezado. Em outras palavras: a tensão normal (σ) 
não realiza trabalho durante a deformação por cisalhamento (γ) e a tensão de cisalhamento (τ) 
não realiza trabalho durante a deformação por tensão normal (ε). 
 
 
 
 
 49
3.5 – TEOREMA DA RECIPROCIDADE 
 
 Seja a viga abaixo sujeita a duas forças concentradas 1P e 2P . 
 
Figura 3.9 - Eixo da viga e linha elástica 
 As componentes verticais dos deslocamentos dos pontos 1 e 2, respectivamente v1 e v2, 
podem ser obtidas superpondo-se os efeitos das forças 1P e 2P . Aplicando-se estaticamente na 
viga a força 1P (Figura 3.10(a)), os pontos 1 e 2 se deslocam de: 
 
11111 Pv α= 
12121 Pv α= 
Onde ijv é o deslocamento vertical do ponto i devido à força aplicada no ponto j. Os parâmetros 
11α e 21α são chamados coeficientes de influência e são determinados aplicando-se uma força 
unitária no ponto 1. Da mesma forma, aplicando-se estaticamente a força 2P (Figura 3.10(b)), os 
pontos 1 e 2 sofrem os seguintes deslocamentos: 
 
 Figura 3.10 - (a) Linha elástica da viga depois de aplicar-se 1P 
 (b) Linha elástica da viga depois de aplicarem-se 1P e 2P 
 
21212 Pv α= 
22222 Pv α= 
onde 12α e 22α são determinados aplicando-se uma força unitária no ponto 2. Os deslocamentos 
finais dos pontos 1 e 2 são: 
 
21211112111 PPvvv α+α=+= 
22212122212 PPvvv α+α=+= 
 
 50
O trabalho realizado pelas forças 1P e 2P é convertido em energia de deformação da 
viga. O trabalho externo referente à aplicação da força 1P (Figura 3.10(a)), é dado pela expressão: 
2
P
2
vP 11
2
1111 α
= 
Aplicando-se a força 2P , o ponto 1 se desloca de 212Pα e a força 1P , que já está totalmente 
aplicada, também realiza trabalho1. Assim sendo, ao aplicar-se a força 2P (Figura 3.10(b)), tem-se 
o trabalho externo: 
2121
22
2
2
121
222 PP
2
P
vP
2
vP
α+
α
=+ 
Somando-se as duas últimas expressões, tem-se a energia de deformação da viga: 
 
2121
22
2
211
2
1 PP
2
P2
PU α+α+α= (3.11) 
 Uma outra forma de se carregar a viga é aplicar-se a força 2P e depois a força 1P . 
 
 
Figura 3.11 - Segunda forma de se carregar a viga 
 
 A energia de deformação da viga da Figura 3.11 é dada pela expressão: 
212
111222 vP
2
vP
2
vPU ++= 
ou: 
1212
11
2
122
2
2 PP
2
P
2
PU α+α+α= 
A energia de deformação da viga independe da ordem de aplicação das forças 1P e 2P . Então: 
=α+
α
+
α
2121
22
2
211
2
1 PP
2
P
2
P
1212
11
2
122
2
2 PP
2
P
2
P
α+
α
+
α
 
de onde: 
2112 α=α 
 A expressão acima mostra que o deslocamento do ponto 1 devido a uma força 
 
1
 O princípio da superposição dos efeitos não é válido quando se calcula a energia de deformação usando-
se o trabalho das cargas externas. 
 51
unitária aplicada no ponto 2 é igual o deslocamento do ponto 2 devido a uma força unitária 
aplicada no ponto 1. Essa conclusão é conhecida como teorema da reciprocidade ou teorema 
de Maxwell. Pode-se demonstrar que o teorema da reciprocidade também é válido para 
momentos (fletor e de torção), sendo que os deslocamentos correspondentes são rotações. O 
teorema da reciprocidade apresentado por Maxwell é um caso particular do teorema de Betti que 
trata de estruturas solicitadas por dois grupos de cargas. 
 
3.6 – SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 
 
 O italiano Carlo Alberto Pio Castigliano demonstrou, em 1873, que a derivada parcial da 
energia de deformação de uma estrutura em relação a uma força concentrada fornece o 
deslocamento do ponto de aplicação na direção da força considerada. Esse teorema pode ser 
demonstrado derivando-se a equação (3.11) em relação à força 1P : 
 
1122111
1
vPP
P
U
=α+α=
∂
∂
 
ou, derivando-se a mesma equação em relação à força 2P : 
2121222
2
vPP
P
U
=α+α=
∂
∂
 
Generalizando-se: 
i
i
v
P
U
=
∂
∂
 
 É oportuno frisar que se a derivada acima for negativa, o deslocamento ocorre em sentido 
contrário ao sentido da força considerada. O segundo teorema de Castigliano também pode ser 
demonstrado para momentos. Nesse caso, a derivada parcial da energia de deformação em 
relação a um momento fornece a rotação no ponto de aplicação do momento, isto é: 
i
iM
U θ=
∂
∂
 
 Nas estruturas que estão solicitadas por mais de uma força é conveniente usar a “regra da 
cadeia”. Por exemplo, o deslocamento vertical do ponto 1 (Figura 3.12) levando-se em 
consideração apenas a contribuição do momento fletor é dado por: 
 
∫ ∫ ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
a
0
L
a 1z1z11
1 dxP
)x(M
)x(EI
)x(Mdx
P
)x(M
)x(EI
)x(M
P
)x(M
)x(M
U
P
U
v 
E o deslocamento do ponto 2 é dado por: 
∫ ∫ ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
a
0
L
a 2z2z22
2 dxP
)x(M
)x(EI
)x(Mdx
P
)x(M
)x(EI
)x(M
P
)x(M
)x(M
U
P
U
v 
 52
 
 
Figura 3.12 - Viga em balanço solicitada por duas forças 
 
 Exemplo 3.2: Determine a deflexão do ponto A usando o segundo teorema de Castigliano. 
Despreze a contribuição da força cortante. Dado: zEI = constante. 
 
 
Figura 3.13 - Viga em balanço 
 
 A energia de deformação referente ao momento fletor é dada pela equação (3.5). 
∫= L
z
2
)x(EI2
dx)x(MU 
Como zEI é constante e Px)x(M −= , tem-se: 
∫ =−=
L
0
z
32
2
z EI6
LPdx)Px(
EI2
1U 
A deflexão do ponto A é dada por: 
z
3
A EI3
PL
P
U
v =
∂
∂
= 
 
 
 Exemplo 3.3: Determine a deflexão e a inclinação da tangente à linha elástica no ponto A 
da viga da Figura 3.14 usando o segundo teorema de Castigliano. Despreze a contribuição da 
força cortante. Dado: zEI = constante. 
 
 
 
 53
 
 
 Figura 3.14 - Viga em balanço solicitada por carga distribuída 
 
 Para se obter a deflexão de um ponto onde não há força concentrada coloca-se uma força 
fictícia Pf (Figura 3.15(a)) na direção da deflexão procurada. Derivando-se U em relação à força Pf, 
tem-se a deflexão do ponto de aplicação da força fictícia. Na expressão final, deve-se fazer Pf = 0. 
 
 
Figura 3.15 (a) Força fictícia (b) Momento fletor fictício 
 
 A energia de deformação da viga da Figura 3.15(a), levando-se em consideração apenas a 
contribuição do momento fletor, é dada por: 
 
∫ 





−−=
L
0
2
f
2
z
dxxP
2
qx
EI2
1U 
de onde: 






++=
3
LP
4
qLP
20
Lq
EI2
1U
32
f
4
f
52
z
 
A deflexão do ponto A é dada por: 






+=
∂
∂
=
3
LP2
4
qL
EI2
1
P
U
v
3
f
4
zf
A 
Fazendo-se Pf = 0, tem-se: 
z
4
A EI8
qL
v = 
 Usando-se a “regra da cadeia” a deflexão do ponto A é dada por: 
 54
∫ ∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
L
fzf
A dxP
)x(M
)x(EI
)x(M
P
)x(M
)x(M
U
v 
O momento fletor )x(M é dado pela expressão: 
2
qx
xP)x(M
2
f −−= 
portanto: 
x
P
)x(M
f
−=
∂
∂
 
então: 
( )dxx
2
qx
xP
EI
1
v
L
0
2
f
z
A −





−−= ∫ 
donde: 






+=
8
qL
3
LP
EI
1
v
43
f
z
A 
Fazendo-se Pf = 0, tem-se: 
z
4
A EI8
qL
v = 
 Para se obter a inclinação da tangente à linha elástica no ponto A, tem-se que colocar um 
momento fletor fictício Mf neste ponto (Figura 3.15(b)). 
 
∫ ∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=θ
L
fzf
A dxM
)x(M
)x(EI
)x(M
M
)x(M
)x(M
U
 
O momento fletor à uma distância genérica x na viga da Figura 3.15(b) é dado pela expressão: 
2
qxM)x(M
2
f −−= 
1
M
)x(M
f
−=
∂
∂
 
então: 
∫ −





−−=θ
L
0
2
f
z
A dx)1(2
qxM
EI
1
 
donde: 






+=θ
6
qLLM
EI
1 3
f
z
A 
Fazendo-se Mf = 0, tem-se: 
z
3
A EI6
qL
=θ 
 
 55
 Exemplo 3.4: Determine a deflexão do ponto A levando-se em consideração as 
contribuições do momento fletor e da força cortante. Compare este resultado com o calculado 
levando-se em consideração apenas a contribuição do momento fletor. A viga é prismática e tem 
seção transversal retangular. Dados: 33,0=ν e IE = constante. 
 
 
Figura 3.16 - Viga prismática em balanço 
 
 A energia de deformação total da viga é dada por: 
∫ ∫+= L L
2
z
2
T dx)x(VGA5
3
)x(EI2
dx)x(MU 
então: 
∫∫ −+−=
L
0
2L
0
2
z
T dx)P(GA5
3dx)Px(
EI2
1U 
donde: 
GA5
LP3
EI6
LPU
2
z
32
T += 
Derivando-se a expressão acima em relação à força P, tem-se: 
GA5
PL6
EI3
PL
P
U
v
z
3
T
A +=∂
∂
= 
onde o termo GA5/PL6 é a contribuição da força cortante para a deflexão do ponto A. 
 Dividindo-se a contribuição do momento fletor )v( M pela contribuição da força cortante 
)v( V , tem-se: 
 
PL6
GA5
EI3
PL
v
v
z
3
V
M
⋅= 
Simplificando-se a força P e colocando a relação entre G,E e ν, tem-se: 
)1(2L6
EA5
EI3
L
v
v
z
3
V
M
ν+⋅
⋅= 
Para áreas retangulares: 12/bhI 3z = , bhA= , então: 
 56
)33,01(12
bh5
bh3
L12
v
v
3
2
V
M
+
⋅= 
de onde: 
2
V
M
h
L25,1
v
v






= 
Supondo-se que 5h/L = : 
25,31
v
v
V
M
= 
Uma vez que VM v25,31v = o efeito da força cortante para o cálculo da deflexão pode ser 
desprezado. Se 10h/L = tem-se que VM v125v = . Portanto, aumentando-se a relação h/L a 
contribuição da força cortante torna-se