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Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
Resistência dos Materiais Ι Ι
Jaime Florencio Martins
Professor Titular
Ouro Preto, março de 2018
ALFABETO GREGO
Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas
Alfa Alfa α Α
Vita Beta β Β
Gama Gama γ Γ
Delta Delta δ ∆
Epsilo Èpsilón ε Ε
Zeta Dzeta ζ Ζ
Ita Eta η Η
Tita Theta θ Θ
Iota Iota ι Ι
Capa Capa κ Κ
Landa Lambda λ Λ
Mi Mü µ Μ
Ni Nü ν Ν
Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ
Ômicron Òmicrón ο Ο
Pi Pi pi Π
Rô Ró ρ Ρ
Sigma Sigma σ Σ
Tau Tau τ Τ
Ípsilon Üpsilón υ Υ
Fi Fi φ Φ
Khi Khi χ Χ
Psi Psi ψ Ψ
Ômega Omega ω Ω
1
1 - ANÁLISE DE TENSÕES
1.1 - INTRODUÇÃO
Nos estudos precedentes foram demonstradas as expressões para obterem-se as tensões
que atuam em um elemento estrutural. Demonstrou-se que a força normal e o momento fletor
produzem tensões normais, enquanto a força cortante e o momento de torção produzem tensões
de cisalhamento. Nas estruturas que estão em um estado de solicitação composta, as tensões
são obtidas usando-se o princípio da superposição dos efeitos. Determinado o estado de tensões
em um elemento estrutural, é importante analisar as tensões em planos oblíquos. No caso geral,
as tensões extremas ocorrem em planos inclinados e um dos objetivos deste capítulo é
determinar estas tensões e as direções dos planos onde atuam. A análise de tensões independe
das propriedades do material, sendo assim, as equações demonstradas neste capítulo podem ser
usadas tanto na fase elástica como na fase plástica.
1.2- ANÁLISE DE TENSÕES EM UMA BARRA SOLICITADA POR FORÇA AXIAL
O caso mais simples de solicitação é o de uma barra prismática sujeita a uma força axial
de tração (Figura 1.1(a)). Fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da barra, as
tensões que eram internas tornam-se externas e representam a ação da parte direita sobre a
esquerda (Figura 1.1(b)). A força resultante no plano de corte imaginário é axial e igual a força F,
o que mantém o equilíbrio de forças horizontais. A barra está em equilíbrio e qualquer elemento
“retirado” desta barra também deve estar em equilíbrio.
Figura 1.1- Barra prismática tracionada
Chamando-se de A a área da seção transversal, todos os pontos ficam solicitados pela
tensão A/Fx =σ . Desprezando-se as perturbações causadas pela força concentrada e as falhas
2
do material, as tensões em todas as seções transversais paralelas ao corte imaginário são dadas
por A/F .
Considere-se, agora, um elemento retirado da barra tracionada. Este elemento está
representado de forma ampliada na Figura 1.2(a). Fazendo-se um corte imaginário com um plano
que forma um ângulo θ com o eixo Ox, surgem neste plano as tensões σθ e τθ. Estas tensões
representam, respectivamente, a componente normal e a componente cisalhante da ação da
parte direita do elemento sobre a esquerda. O elemento está em equilíbrio e qualquer parte deste
elemento também deve estar em equilíbrio qualquer que seja a direção considerada. Para fazer-
se o somatório de forças, devem-se multiplicar as tensões pela área onde atuam. Chamando-se
de θA a área no plano de corte, a área onde atua a tensão normal σx assume o valor θθ senA . O
equilíbrio de forças na direção de σθ fornece a expressão:
σ σ θθ θ θ. . .senA Ax− =2 0
de onde:
σ σ θθ = x .sen2 (1.1)
Figura 1.2 - Corte imaginário
Fazendo-se o somatório de forças na direção de τθ, tem-se a equação:
τ σ θ θθ θ θ. . .sen .cosA Ax+ = 0
de onde:
τ σ θ θθ = − x .sen .cos (1.2)
O sinal negativo na expressão acima informa que o sentido real da tensão τθ é o oposto daquele
indicado na Figura 1.2(b).
A equação (1.1) fornece a tensão normal em um plano qualquer de um elemento solicitado
pela tensão normal σx. Para θ = 00, a tensão normal é nula e a maior tensão ocorre na direção θ =
900.
xmáx σ=σ
3
A equação (1.2) mostra que a tensão de cisalhamento é nula para θ = 00 e
θ = 900. Para
encontrar-se a direção do plano onde a tensão de cisalhamento é extrema, deriva-se a equação
(1.2) em relação a θ e iguala-se o valor desta derivada a zero:
d
d
τ
θ
θ
= 0
então:
( )− − + =σ θ θx sen cos2 2 0
de onde:
0cossen 22 =θ+θ−
A condição acima é satisfeita quando θ = 450, θ = 1350, θ = 2250 e θ = 3150. Colocando-se
θ = 450 na equação (1.2) tem-se a menor tensão cisalhante e para θ = 1350 tem-se a expressão
da máxima tensão ciasalhante (que são iguais em módulo):
2
x
)o45min(
σ
−=τ
=θ
2
x
)o135(máx
σ
=τ
=θ
Em uma barra tracionada (e também nas barras comprimidas) a tensão de cisalhamento
máxima é a metade da tensão normal máxima, entretanto, a tensão de cisalhamento máxima
pode provocar a ruptura da barra se a resistência do material ao cisalhamento for muito menor
que a resistência à tensão normal. Por exemplo, o aço doce quando tracionado e a madeira
quando comprimida rompem-se em planos que formam um ângulo de aproximadamente 450 com
a direção da força.
Se a tensão normal σx for de compressão, as equações (1.1) e (1.2) também podem ser
usadas dando-se a σx o sinal negativo.
1.3- TENSÕES NORMAIS EM DUAS DIREÇÕES PERPENDICULARES
As tensões normal σθ e de cisalhamento τθ, analisadas no item anterior, devem-se a
tensões normais aplicadas na direção do eixo horizontal. Neste item serão estudadas as tensões
que ocorrem em planos inclinados em um estado de tensões mais geral. Seja um elemento
retirado de uma estrutura solicitado pelas tensões normais σx e σy.
Fazendo-se um corte imaginário no elemento da Figura 1.3(a) com um plano que forma
um ângulo θ com o eixo horizontal, aparecem as tensões σθ e τθ no plano de corte (Figura 1.3(b)).
Sendo θA a área no plano de corte, a área onde atua a tensão normal σy assume o valor
θθ cosA e, onde atua σx, .senA θθ
4
Figura 1.3- Elemento solicitado por duas tensões normais
Fazendo-se o somatório de forças na direção de σθ e considerando-se o sentido desta
tensão como positivo (Figura 1.3(c)), tem-se:
σ σ θ θ σθ θ θA A Ay x− −cos cos θ θ θsen sen = 0
simplificando-se o termo comum A θ e isolando a tensão normal que atua no plano inclinado, tem-
se:
σ σ θ σ θθ = +x ysen cos2 2 (1.3)
Analogamente, fazendo-se o somatório de forças na direção de τθ e considerando o
sentido desta tensão como o positivo, tem-se:
0sencosAcossenAA yx =θθσ−θθσ+τ θθθθ
de onde:
( )τ σ σ θ θθ = −y x sen cos (1.4)
É interessante observar que, para a dedução das equações (1.3) e (1.4), a área no plano
de corte poderia ter sido tomada como sendo igual a 1.
1.4- ESTADO GERAL DE TENSÕES PLANAS
Nos itens anteriores foram analisados estados de tensões que são casos particulares do
estado geral de tensões planas. Neste item, será analisado o caso de um elemento sujeito às
tensões σx, σy e τxy, sendo que as tensões σz, τyz e τxz são consideradas nulas. No item 1.8 é
analisado o caso geral de tensões, isto é, tensões normais e de cisalhamento atuando em três
planos perpendiculares.
5
Figura 1.4- Estado geral de tensões planas
As tensões de cisalhamento τxy, que atuam nos planos perpendiculares aos eixos Ox e Oy,
são consideradas positivas quando têm os sentidos indicados na Figura 1.4(a). A tensãode
cisalhamento τθ, da mesma forma que nos estados de tensões analisados nos itens anteriores, é
positiva quando tende girar o elemento no sentido horário.
Por considerações de equilíbrio, o somatório de forças na direção de σθ é igual a zero
(Figura 1.4(b)), então:
σ σ θ θ σ θ θ τ θ θ τ θ θθ θ θ θ θ θA A A A Ax y xy xy− − − − =sen sen cos cos cos sen sen cos 0
Isolando-se a tensão normal σθ:
σ σ θ σ θ τ θ θθ = + +x y xysen cos cos sen2 2 2 (1.5)
O equilíbrio de forças na direção de τθ fornece a expressão:
τ σ θ θ σ θ θ τ θ θ τ θ θθ θ θ θ θ θA A A A Ax y xy xy+ − − + =sen cos cos sen sen sen cos cos 0
de onde se tem:
( ) ( )τ σ σ θ θ τ θ θθ = − + −y x xysen cos sen cos2 2 (1.6)
A equação (1.5) fornece a tensão normal no plano definido pelo ângulo θ . As tensões σ x ,
σ y e τ xy são inicialmente conhecidas, assim sendo, a tensão normal σθ varia em função apenas
do ângulo θ. A expressão da tensão normal |θσ que atua no plano perpendicular ao plano da
tensão normal σθ , é facilmente obtida colocando-se na equação (1.5) a direção deste plano, isto
é, 90° +
θ.
( ) ( ) ( ) ( )θ+θ+τ+θ+σ+θ+σ=σθ 00xy02y02x| 90sen90cos290cos90sen
de onde se tem:
θθτ−θσ+θσ=σθ cossen2sencos xy2y2x| (1.7)
6
Somando-se as equações (1.5) e (1.7):
yx
| σ+σ=σ+σ θθ
A propriedade acima é conhecida como invariância das tensões normais, isto é, a soma
das tensões normais em dois planos perpendiculares não varia.
A equação (1.6) fornece a tensão de cisalhamento em um plano definido pelo ângulo θ. A
tensão de cisalhamento |θτ que atua no plano que tem a direção 900 + θ é dada por:
( ) ( ))90(cos)90(sen)90cos()90sen( 0202xy00xy| θ+−θ+τ+θ+θ+σ−σ=τθ
ou:
( ) ( )θ−θτ−θθσ−σ−=τθ 22xyxy| cossencossen (1.8)
Portanto, as tensões de cisalhamento são iguais, em módulo, nos planos perpendiculares
entre si. Esta conclusão foi demonstrada anteriormente e é conhecida como Teorema de
Cauchy. O sinal negativo para a tensão |θτ é apenas uma questão de convenção de sinais. Nos
planos paralelos as tensões são iguais e em sentido contrário, conforme mostra a figura abaixo.
Figura 1.5 -Tensões em dois planos perpendiculares
1.5- CIRCUNFERÊNCIA DE MOHR PARA O ESTADO PLANO DE TENSÕES
As equações (1.5) e (1.6) constituem uma equação paramétrica da circunferência. Sendo
assim, em um sistema de coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pares (σθ,τθ)
forma uma circunferência. Para demonstrar-se esta propriedade, deve-se eliminar o parâmetro θ
nas equações (1.5) e (1.6). Sabe-se da trigonometria que:
2 2sen cos senθ θ θ=
( )cos cos2 1
2
1 2θ θ= +
7
( )sen cos2 1
2
1 2θ θ= −
Usando-se as relações trigonométricas acima, as equações (1.5) e (1.6) podem ser
reescritas da seguinte forma:
σ
σ σ σ σ
θ τ θθ −
+
=
−
+
x y y x
xy2 2
2 2cos sen (1.9)
τ
σ σ
θ τ θθ =
−
−
y x
xy2
2 2sen cos (1.10)
Elevando-se as expressões acima ao quadrado e somando-as, tem-se:
( )
( ) θτ+θτθσ−σ−θ
σ−σ
+θτ+θτθσ−σ+θ
σ−σ
=τ+
σ+σ
−σ θθ
2cos2cos.2sen2sen
2
2sen2sen.2cos2cos
22
22
xyxyxy
2
2
xy
22
xyxyxy
2
2
xy2
2
yx
ou:
2
xy
2
xy2
2
yx
22
τ+
σ−σ
=τ+
σ+σ
−σ θθ (1.11)
A equação (1.11) é a equação de uma circunferência de centro c
σ+σ
0,
2
yx
, sendo σθ
e τθ as coordenadas genéricas de um ponto da circunferência e
2
xy
2
xy2
2
R τ+
σ−σ
= .
A seguir é apresentado um roteiro para a construção da circunferência de Mohr. Para esta
demonstração, sem perder a generalidade, supõe-se que as tensões normais são de tração e que
a tensão σx é maior que a tensão σy. Para a construção do circunferência de Mohr, as tensões de
cisalhamento são positivas quando tendem girar o elemento no sentido horário e negativas em
caso contrário. Os ângulos medidos no sentido anti-horário são positivos.
1- Em uma escala adequada, marcam-se os pontos a, de coordenadas ( )xyx ,τσ , e b, de
coordenadas ( )xyy , τ−σ ;
2- Unindo-se os pontos a e b encontra-se o ponto médio c, de coordenadas
σ σx y+
2
0, . Com
centro no ponto c, traça-se a circunferência passando pelos pontos a e b;
8
3- Marca-se o ponto P (pólo), que é simétrico ao ponto a. Os ângulos são medidos a partir de
uma horizontal passando por P e b, e o transferidor com centro no ponto P. A explicação é que
todas as tensões que ocorrem no elemento são dadas pelas coordenadas de um ponto da
circunferência, sendo que para θ =00 tem-se o plano solicitado pelas tensões σ y e −τ xy (ponto b)
e, para θ = 900, tem-se o plano solicitado pelas tensões σ x e τ xy (ponto a). O pólo, conhecido
como origem de todos os planos, acompanha a tensão normal σ x ;
4- Por definição, tensões principais (σ 1 e σ 2 ) são as tensões normais extremas. Nos planos
onde atuam as tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. Por convenção, σ 1 é a maior
tensão normal e σ 2 , a menor tensão normal;
5- Passando-se uma reta pelo ponto P e a tensão σ1 , encontra-se a direção θ1 que o plano onde
atua a maior tensão normal forma com o eixo Ox. Analogamente, passando-se uma reta pelo
ponto P e a tensão σ 2 , encontra-se a direção θ2 que o plano onde atua a menor tensão normal
forma com o eixo Ox. Observe que o ângulo θ2 é negativo (sentido horário) e que a soma, em
módulo, dos ângulos θ1 e θ2 é igual a 900. Os ângulos θ1 e θ2 são conhecidos como direções
principais e os planos onde atuam σ1 e σ 2 são conhecidos como planos principais;
Figura 1.6- Circunferência de Mohr para tensões planas
6- Passando-se uma reta pelos pontos P e d, encontra-se a direção θ3 que o plano onde ocorre a
maior tensão de cisalhamento forma com o eixo Ox. A maior tensão de cisalhamento é
numericamente igual ao raio da circunferência.
Essa construção foi apresentada pela primeira vez pelo engenheiro alemão Otto Mohr em
1882.
Da circunferência de Mohr podem-se tirar as expressões para calcular, analiticamente, as
tensões σ1 , σ 2 e τmáx , e os ângulos θ1, θ2 e θ3 .
9
σ
σ σ σ σ
τ1
2
2
2 2
=
+
+
−
+
x y x y
xy
σ
σ σ σ σ
τ2
2
2
2 2
=
+
−
−
+
x y x y
xy
x1
xy
1tg
σ−σ
τ
=θ
σ−σ
τ
−=θ
2x
xy
2tg
τ
máx =
σ σ
τ
x y
xy
−
+
2
2
2
ou: τ
máx =
σ σ1 2
2
−
( )
⋅σ−σ
τ+τ
−=θ
5,0
tg
yx
xymáx
3
Todas as expressões acima assumem a mesma forma se a tensão σy for maior que σx.
A tensão de cisalhamento máxima calculada neste item refere-se à maior tensão de
cisalhamento que ocorre no plano xOy. Para se calcular a tensão de cisalhamento máxima que
ocorre no elemento, tem-se que considerar que ele está em um estado tridimensional de tensões,
sendo que σ τ τz xz yz= = = 0 . O cálculo de τmáx que atua no elemento é apresentado no item 1.8.
Naturalmente, pode ocorrer que a maior tensão de cisalhamento do plano xOy seja a maior,
também, do elemento.
Exemplo 1.1: Um elemento estrutural fica solicitado pelas tensões indicadas na Figura 1.7.
Calcule:
a) as tensões e as direções principais;
b)as tensões que atuam nos planos que formam ângulos de 100 e 1000 com o eixo Ox;
c) a maior tensão de cisalhamento do plano xOy e a direção do plano onde atua.
Calcule analiticamente e pelo método gráfico. Mostre os resultados das letras a e b em um
elemento orientado.
10
Figura 1.7- Elemento de uma estrutura sob tensão
I) Solução analítica
a) 2
2
2
1 22 xy
yxyx τ
σσσσ
σ +
−
±
+
=
( )2
2
2
1 252
8535
2
8535
−+
−±+=σ
então:
σ1 95 36= , MPa e σ 2 24 64= , MPa
0
1
x1
xy
1 5,223536,95
25
tg −=θ→
−
−
=
σ−σ
τ
=θ
0
2
2x
xy
2 5,6764,2435
25
tg =θ→
−
−
−=
σ−σ
τ
−=θ
Figura 1.8 - Elemento orientado das tensões principais
11
Note que os planos principais são perpendiculares entre si. Esta propriedade dos
estados de tensões deve-se ao fato que a tensão de cisalhamento é nula nesses planos e,
portanto, os planos principais são perpendiculares entre si (teorema de Cauchy). Observe,
também, que σ σ σ σ1 2+ = +x y ( invariância das tensões normais).
b) Para se calcular as tensões em planos inclinados no elemento em análise, usam-se as
equações deduzidas no item 1.4.
Para 010=θ :
000202 10sen10cos)25(210cos8510sen35 −++=σθ MPa94,74=
( ) )10cos10(sen2510cos10sen3585 020200 −−−=τθ MPa04,32=
Para :1000=θ MPa06,45=θσ ; MPa04,32−=θτ
Figura 1.9 – Elemento orientado
Observe que para θ = − 80° têm-se as mesmas tensões que a direção θ = 100° (as
tensões em planos paralelos são iguais e em sentido contrário).
c) τ máx=
σ σ
τ
x y
xy
−
+
2
2
2
τ máx=
35 85
2
25
2
2−
+ −( )
τ máx = 35,36 MPa
( ) 03yx
xymáx
3 5,225,0)8535(
2536,35
5,0
tg =θ→
⋅−
−
−=
⋅σ−σ
τ+τ
−=θ
No plano onde atua τmáx (direção θ3 = 22,5º ) tem-se tensão normal σθ:
000202 5,22sen5,22cos)25(25,22cos855,22sen35 −++=σθ = 60,0 MPa
12
II) Solução gráfica:
Figura 1.10- Círculo de Mohr - Escala 1cm: 10 MPa
a) 951 ≅σ MPa ; 01 23−≅θ
252 ≅σ MPa ; 02 67≅θ
b) Para 010=θ 75≅→ θσ MPa ; 32≅θτ MPa
Para 0100=θ 45≅→ θσ MPa ; 32−≅θτ MPa
c) τ máx 35≅ MPa ; 03 22≅θ
Exemplo 1.2: Para a viga da Figura 1.11 calcule, nos pontos J, K e J|, as tensões e as direções
principais. Mostre os resultados em um elemento orientado.
Figura 1.11- Viga bi-apoiada
13
A viga está solicitada por momento fletor e força cortante (flexão simples). O primeiro
passo é calcular os esforços internos na seção transversal que contém os pontos J, K e J| :
N400.15)m25,1(V =
( ) m.N250.19)m25,1(M25,1x400.15m25,1M =→=
A tensão normal σ x e a tensão de cisalhamento τ xy são calculadas usando-se as
fórmulas da flexão:
( )
σ x
z
M x y
I
=
⋅
e
( )
τ xy
z
V x Q
b I
=
⋅
⋅
A tensão normal nos pontos J e J| é igual a zero (estes pontos estão localizados na
superfície neutra, então a coordenada y destes pontos é igual a 0). A tensão cisalhante nestes
pontos é:
25
xy3xy
m/N10x31,2
10x08,2x2,0
)125,0x25,0x2,0(x400.15
=τ→=τ
−
O sentido destas tensões acompanha o sentido da força cortante (ver Figura 1.12).
A tensão cisalhante no ponto K é igual a zero (porque o momento estático é igual a zero)
e a tensão normal é dada por:
25
x3x m/N10x14,2310x08,2
25,0x250.19
=σ→=σ
−
Na Figura 1.12 estão representadas as tensões que atuam nos pontos J, K e J| e os seus
sentidos.
Figura 1.12- Tensões em N/m2 nos pontos J, K e J|
As tensões e as direções principais podem ser calculadas usando-se as equações
deduzidas no item 1.5 ou o círculo de Mohr:
No ponto J têm-se:
25
1 /1031,2 mNx=σ ; θ1 45= o
25
2 /1031,2 mNx−=σ ; θ2 45= − o
14
O cálculo das tensões e direções principais no ponto K é trivial: nos planos
perpendiculares aos eixos Ox e Oy, a tensão de cisalhamento é nula, portanto, as tensões
23,14x105 N/m2 e 0 são as tensões principais:
25
1 m/N10x14,23=σ ; θ1 90= o
σ 2 0= ; θ2 0= o
No ponto J| têm-se:
25
1 /1031,2 mNx=σ ;
o451 −=θ
25
2 /1031,2 mNx−=σ ;
o452 =θ
Na Figura 1.13 estão mostrados em elementos orientados as tensões principais e os
planos principais.
Figura 1.13- Elemento orientado das tensões principais nos pontos J, K e J|
1.6- APLICAÇÕES DA ANÁLISE DE TENSÕES
Os pontos J e J| da viga do exemplo 1.2 estão em um estado de cisalhamento puro. Este
estado de tensões tem as tensões principais ( σ1 e σ 2 ) atuando em planos que formam
ângulos de 045 e 045− com o eixo Ox. Em uma viga de concreto armado a tensão σ 2 é
resistida pelo concreto. A tensão σ1 , dependendo da resistência do concreto à tração, que é
muito menor que a resistência à compressão, pode provocar a ruptura da viga. Para combater
esta tensão de tração, usam-se dois procedimentos:
1- Barras dobradas a 45o : nesse caso, as barras de aço longitudinais que estão resistindo à
tensão normal de tração produzida pelo momento fletor são dobradas para combater a tensão
σ1 produzida pelo cisalhamento (Figura 1.14(a)).
2- Estribos a 90o : este procedimento é mais fácil de ser executado ( Figura 1.14(b)). Os estribos
impedem que ocorra a ruptura da viga devida à tensão de tração. Estes estribos começam a
trabalhar depois que o concreto sofre fissuras. Pode ser usada, também, a superposição dos
dois procedimentos: colocar estribos a 90o e ferros dobrados a 45o .
15
Figura 1.14- Formas de combaterem-se as tensões de tração produzidas pelas tensões de
cisalhamento
Uma outra aplicação da análise de tensões é sobre a ruptura dos materiais. Uma barra de
ferro fundido ou uma de giz (que são materiais frágeis), quando tracionadas, rompem-se segundo
um plano perpendicular ao seu eixo. Esse fato indica que estes materiais são menos resistentes à
tração que ao cisalhamento. Se for aplicado um momento de torção em uma peça de giz (ou ferro
fundido), ela irá romper-se segundo um plano que forma um ângulo de 45o com o seu eixo. Essa
ruptura deve-se ao fato que o momento de torção causa um estado de cisalhamento puro e este
estado de tensões tem as seguintes tensões e direções principais:
Figura 1.15- Peça cilíndrica solicitada por momento de torção
σ τ1 =
σ τ2 = −
o
1
x1
xy
1 450
tg =θ→
−τ
τ
=
σ−σ
τ
=θ
o
2
2x
xy
2 450
tg −=θ→
τ+
τ
−
=
σ−σ
τ
−=θ
O estado de cisalhamento puro tem as tensões principais indicadas na Figura 1.15(b). O
giz quando tracionado rompe-se devido à tensão de tração e quando se aplica um momento de
torção, ele se romperá segundo um plano inclinado de 45o( onde atuará a maior tensão de
tração).
O aço doce (material dúctil) é menos resistente ao cisalhamento que à tração. Se for
aplicado um momento de torção em uma barra cilíndrica de aço doce, ela se romperá em um
plano perpendicular ao seu eixo. Essa ruptura é causada pela maior tensão de cisalhamento.
16
1.7- ELIPSE DE TENSÕES
Nos estados planos de tensões analisados nos itens anteriores, a ação no plano de corte
imaginário é representadapelas tensões θσ e θτ . Entretanto, a ação no plano de corte pode ser
representada por duas componentes quaisquer.
Seja um estado de tensões em que a tensão de cisalhamento xyτ é nula e as tensões xσ
e yσ são diferentes de zero (Figura 1.16). A ação no plano de corte imaginário é, agora,
representada pelas componentes de tensão horizontal X e vertical Y.
Figura 1.16- Estado de tensões em um elemento
O equilíbrio de forças nas direções horizontal e vertical fornece as equações:
0senAXA x =θσ− θθ
0cosAYA y =θσ− θθ
donde:
θσ=
θσ=
cosY
senX
y
x
ou:
θ=
σ
θ=
σ
cos
Y
sen
X
y
x
Elevando-se as expressões acima ao quadrado e somando-as, tem-se:
1YX 2
y
2
2
x
2
=
σ
+
σ
A expressão acima é a equação de uma elipse e é chamada elipse de Lamé. Portanto,
além do círculo de Mohr, a variação da tensão com a variação do plano de corte pode ser
representada por uma elipse.
17
1.8- ANÁLISE DE TENSÕES EM TRÊS DIMENSÕES
O estado geral de tensões é caracterizado por nove componentes de tensão, sendo três
normais σx, σy e σz e seis componentes cisalhantes τxy, τxz, τyz, τyx, τzx e τzy. Pelo teorema de
Cauchy,
jiij ττ =
o estado geral de tensões fica determinado por seis parâmetros. No elemento da Figura 1.17 está
indicado o sentido positivo das tensões normais e de cisalhamento. As tensões de cisalhamento
possuem dois índices para identificação: o primeiro indica o eixo perpendicular ao plano de
aplicação da tensão e o segundo indica a direção da tensão.
Figura 1.17- Tensões em três dimensões
A Figura 1.17(b) apresenta um corte imaginário no elemento da Figura 1.17(a), onde X, Y
e Z são as componentes de tensão que atuam no plano inclinado BCD nas direções x, y e z,
respectivamente. A direção do plano BCD é determinada com o auxílio de um vetor
→
N
perpendicular a esse plano. Chamando-se de θx, θy e θz os ângulos que o vetor
→
N forma,
respectivamente, com as componentes de tensão X, Y e Z, têm-se os cossenos diretores ml, e
n que determinam a direção do vetor
→
N .
z
y
x
n
m
l
θ
θ
θ
cos
cos
cos
=
=
=
A área do plano BCD é chamada Aθ e as outras três áreas do tetraedro são obtidas
em função dos cossenos diretores e de Aθ (ver Figura 1.17(b)). O equilíbrio de forças na direção
do eixo Ox fornece a expressão:
18
0=−−− nAmAlAXA zxyxx θθθθ ττσ
Simplificando-se o termo comum Aθ e fazendo-se raciocínio análogo para as direções y e z:
nmlZ
nmlY
nmlX
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=
(1.12)
A tensão normal σθ que atua no plano BCD é dada por:
ZnYmXl ++=θσ
ou, substituindo-se as expressões de X, Y e Z, dadas pelas equações (1.12):
2
zyzxzzy
2
yxyzxyx
2
x nmnnlnmmlmnlmll σ+τ+τ+τ+σ+τ+τ+τ+σ=σθ
Lembrando que jiij τ=τ a expressão acima assume a forma:
nm2nl2ml2nml zyzxyx
2
z
2
y
2
x τ+τ+τ+σ+σ+σ=σθ (1.13)
1.8.1- TENSÕES PRINCIPAIS
Se as componentes de tensão em três planos perpendiculares entre si são conhecidas,
podem-se calcular as tensões principais. Sejam ml, e n os cossenos diretores da normal a um
plano principal e σ o valor da tensão principal correspondente. As componentes desta tensão
principal nas direções x, y e z, são:
lX σ= ; mY σ= ; nZ σ=
As expressões (1.12) fornecem as componentes de tensão de um plano qualquer,
podendo, evidentemente, fornecer as componentes de tensão de um plano principal, então:
nmln
nmlm
nmll
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σ+τ+τ=σ
τ+σ+τ=σ
τ+τ+σ=σ
19
Passando-se todos os termos para o primeiro membro e colocando na forma matricial,
tem-se:
=
−−−
−−−
−−−
0
0
0
n
m
l
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σσττ
τσστ
ττσσ
O sistema homogêneo acima não admite a solução trivial porque a soma dos quadrados
dos cossenos diretores é igual a 1 ( 1222 =++ nml ) e ml, e n não podem ser,
simultaneamente, iguais a zero. Assim sendo, o determinante da matriz é igual a zero:
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0=−−−−−−−−−−− xyyxzxzyyzzxyxzyxzyxzzxyzxyzyx ττσσσστττσστττττττσσσσσσ
multiplicando-se os termos e lembrando que jiij ττ = , tem-se:
+−−−+++++− στττσσσσσσσσσσσ )()( 22223 xyyzxzzxzyyxzyx
0)2( 222 =+++−− xyzxzyyzxxzyzxyzyx τστστστττσσσ (1.14)
A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são as tensões principais
σ1, σ2 e σ3 do estado geral de tensões.
A seguir, é apresentado o método de Cardano para calcularem-se as raízes de uma
equação do terceiro grau quando todas as raízes são reais. Dada uma equação da seguinte
forma:
X aX bX c3 2 0+ + + =
As três raízes são:
X Y a1 1 3= − /
X Y a2 2 3= − /
X Y a3 3 3= − /
onde:
)3/cos(21 θ⋅= PY
)3/240cos(2 02 θ+⋅= PY
)3/120cos(2 03 θ+⋅= PY
sendo:
θ = arccos( / )Q P3
P e Q são dados por:
P a b= −
2 3
9
Q ab a c= − −9 2 27
54
3
20
Sendo σ1, σ2 e σ3 raízes reais, têm-se as propriedades:
zyx σσσσσσ ++=++ 321
222
133221 xyyzxzzxzyyx τττσσσσσσσσσσσσ −−−++=++
)2( 222321 xyzxzyyzxxzyzxyzyx τστστστττσσσσσσ +++−−−=
1.8.2- CÍRCULO DE MOHR
Para o caso geral de tensões não existe representação gráfica, visto que as tensões σθ
(eq. 1.13) e τθ não constituem uma equação paramétrica da circunferência. Entretanto, para um
elemento solicitado por três tensões principais (Figura 1.18) pode ser feita a representação
gráfica das tensões. A convenção adotada é :
321 σ≥σ≥σ
No plano 102 do elemento da Figura 1.18 atuam as tensões 1σ e 2σ . A tensão 3σ ,
perpendicular a este plano, não interfere no equilíbrio de forças no plano 102. Assim sendo, as
tensões neste plano podem ser obtidas pelas equações (1.3) e (1.4) e são representadas pela
circunferência de diâmetro 1σ − 2σ . Da mesma forma, as tensões no plano 203 formam a
Figura 1.18 - Tensões principais e círculo de Mohr correspondente
circunferência de diâmetro 2σ − 3σ e no plano 103 as tensões formam a circunferência de
diâmetro 1σ − 3σ . Para os planos inclinados em relação as direções 1, 2 e 3, as tensões normal e
de cisalhamento são dadas pelas coordenadas de um ponto situado na zona hachurada da figura.
A tensão de cisalhamento máxima é dada pelo raio da circunferência de maior diâmetro.
21
τmáx =
2
31 σ−σ
1.8.3- ESTADO HIDROSTÁTICO
Um corpo solicitado por pressão hidrostática está sujeito a um estado tridimensional de
tensões principais e a representação gráfica é um ponto. Um corpo solicitado por três tensões
iguais de compressão tem, em todos os planos, tensão de cisalhamento nula e tensão normal
igual a – p. Um corpo nesse estado de tensões deforma-se até acabarem os vazios, mas não
rompe.
Figura 1.19 - (a) Pressão hidrostática (b) Representação gráfica
Exemplo 1.3: Calcule a maior tensão de cisalhamento que ocorre no elemento do exemplo
1.1.
Todo estado plano de tensão tem uma tensão principal nula. A tensão principal zero pode
ser a maior tensão normal (σ1), ou a tensão intermediária (σ2) ou a menor tensão normal (σ3).
Neste problema, as tensões principais são:
0,0
64,24
36,95
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
MPa
MPa
e a maior tensão de cisalhamento que ocorre no elemento é :
MPamáxmáx 68,472
036,95
2
31
=→
−
=
−
= τ
σσ
τ
Exemplo 1.4: Para o estado de tensão abaixo,determine as tensões principais e a maior
tensão de cisalhamento do elemento.
22
Figura 1.20 - Tensões em um elemento estrutural
Colocando-se os valores das tensões dadas na equação (1.14), tem-se a equação do
terceiro grau:
0610016928 23 =+σ−σ−σ
Então: a = −28, b = −169 e c = 6100. Com estes valores, calculam-se P, Q e θ:
P= 143,44; Q= −1448,30 e 046,147=θ
Os valores de Y1 , Y2 e Y3 são os seguintes: Y1 = 15,67; Y2 = 7,86 e Y3 = −23,52.
As três raízes são: X1 = 25,00; X2 = 17,19 e X3 = − 14,19.
Estes valores são as tensões principais :
MPa
MPa
MPa
19,14
19,17
25
3
2
1
−=
=
=
σ
σ
σ
A tensão de cisalhamento máxima é dada por:
MPamáx
máx
59,19
2
)19,14(25
2
31
=
−−
=
−
=
τ
σσ
τ
Exemplo 1.5: Dado o estado de tensão:
MPa3;MPa8;MPa4
MPa12;MPa5;MPa10
yzxzxy
zyx
=τ=τ=τ
=σ=σ=σ
calcule as tensões principais e a maior tensão de cisalhamento.
23
Figura 1.21- Estado de tensões em um elemento
Colocando-se os valores das tensões dadas na equação (1.14), tem-se a equação do
terceiro grau:
019014127 23 =−+− σσσ
Então: a = −27, b = 141 e c = −190. Com estes valores, calculam-se P e Q:
P= 34
Q= 189,5
Com os valores de P e Q determina-se θ:
0088,17=θ
Os valores de Y1 , Y2 e Y3 são os seguintes:
80,6
80,4
60,11
3
2
1
−=
−=
=
Y
Y
Y
De onde se tem os valores de X1, X2 e X3:
20,2
20,4
60,20
3
2
1
=
=
=
X
X
X
Os valores acima são as três tensões principais:
MPa
MPa
MPa
20,2
20,4
60,20
3
2
1
=
=
=
σ
σ
σ
A maior tensão de cisalhamento é dada por:
24
MPa20,9
2
20,260,20
máx =
−
=τ
1.9- TENSOR DE TENSÃO DE CAUCHY
Na notação tensorial, os eixos coordenados x, y e z são substituídos por x1, x2 e x3,
respectivamente. As tensões de cisalhamento, da mesma forma que as tensões normais, são
representadas pela letra grega σ.
Figura 1.22- Notação tensorial
O tensor de tensão é de segunda ordem:
333231
232221
131211
σσσ
σσσ
σσσ
Pelo Teorema de Cauchy:
jiij σ=σ
Na notação tensorial as expressões (1.12) podem ser colocadas na forma:
jiji lX σ=
chamada convenção de Einstein e indica somatório:
3332321313
3232221212
3132121111
lllX
lllX
lllX
σ+σ+σ=
σ+σ+σ=
σ+σ+σ=
25
2 ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES
2.1 - INTRODUÇÃO
Da mesma forma que as tensões, se são conhecidas as deformações yx, εε e xyγ em um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, podem-se obter as deformações εθ e γθ
referentes a um outro sistema de coordenadas girado em relação àquele em que as deformações
são conhecidas. As equações da análise de deformações são semelhantes às obtidas na análise
de tensões e também formam uma equação paramétrica da circunferência. Para se colocar a
análise de deformações em seqüência lógica, deduz-se, em primeiro lugar, a lei de Hooke para
materiais isotrópicos solicitados por um estado geral de tensões. A seguir, demonstra-se a relação
entre as três constantes elásticas ( G,E e ν) dos materiais. Com estas relações, deduzem-se as
equações que fornecem a deformação linear específica e a distorção em função da direção do
sistema de coordenadas. Usando-se o círculo de Mohr das deformações, são deduzidas as
equações que permitem calcular as deformações extremas e as direções onde elas ocorrem.
A análise de deformações pode ser usada na determinação de um estado de tensões. Se são
conhecidas as deformações lineares específicas em três direções não colineares de uma
superfície, podem-se calcular as tensões que produziram as deformações. Uma outra aplicação
refere-se a estruturas estaticamente indeterminadas. Nesse caso é necessário conhecer a
deformação da estrutura e impor uma condição de compatibilidade dos deslocamentos, obtendo-
se, assim, outras equações que, juntamente com as equações de equilíbrio da estática, permitem
determinar as reações nas estruturas hiperestáticas.
2.2 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA
As aplicações da lei de Hooke, até o momento, limitaram-se a elementos solicitados por
tensão normal atuando em apenas uma direção. Entretanto, como já visto, um elemento estrutural
pode ficar solicitado por três tensões normais e seis cisalhantes (Figura 2.1(a)). Os materiais que
aqui se consideram são os chamados isotrópicos, isto é, apresentam as mesmas propriedades
físicas em todas as direções. Para obterem-se as deformações específicas εx, εy, e εz do elemento
da Figura 2.1(a), deve-se usar o princípio da superposição dos efeitos. A deformação linear
específica εx, por exemplo, depende da tensão σx e, devido ao efeito Poisson, depende também
das tensões σy e σz. A tensão σx origina na direção x a deformação E/xx σ=ε . A tensão σy,
26
aplicada separadamente, provoca na direção x a deformação yx νε−=ε , ou E/yx νσ−=ε . A
deformação referente a tensão σz na direção x é dada por: E/zzx νσ−=νε−=ε . Somando-se as
três deformações lineares na direção x e fazendo-se um raciocínio análogo para as direções y e
z, têm-se as componentes de deformação linear de um elemento solicitado por três tensões
normais:
( )[ ]zyxx E
1
σ+σν−σ=ε
( )[ ]zxyy E
1
σ+σν−σ=ε ( 2.1)
( )[ ]yxzz E
1
σ+σν−σ=ε
Figura 2.1 - (a) Estado geral de tensões (b) Cisalhamento puro
As equações (2.1) são chamadas lei de Hooke generalizada e não têm demonstração
analítica. A demonstração é intuitiva e foi deduzida supondo-se que as tensões normais sejam de
tração (positivas); se alguma tensão for de compressão, troca-se o sinal do termo
correspondente.
É interessante observar que as tensões de cisalhamento não foram consideradas no
cálculo das deformações εx, εy, e εz. A contribuição das tensões de cisalhamento para o cálculo
destas deformações é um infinitésimo de segunda ordem e pode ser desprezada (no exemplo
2.3 demonstra-se esta afirmação).
Os comprimentos de ab, bc, cd e da não são alterados depois de aplicada a tensão cisalhante τ
(Figura 2.1(b)). Entretanto, nas direções inclinadas ocorrem variações de comprimento, como, por
exemplo, a diagonal ac que alongou-se e a diagonal bd que encurtou-se. Estas variações no
comprimento devem-se ao fato do estado de cisalhamento puro produzir tensões normais (ver
equação (1.5)) nas direções de ac e bd, existindo, então, deformação específica nestas direções.
Este assunto é abordado no item 2.5.
27
As tensões de cisalhamento dão origem à deformação chamada distorção (γ ). A Figura
2.1(b) mostra um elemento deformado por cisalhamento puro onde, por conveniência, vê-se
apenas o deslocamento da face superior em relação à face inferior, considerada fixa. As
distorções nos planos xOy, xOz e yOz do elemento da Figura 2.1(a) são obtidas da seguinte
forma:
G
;
G
;
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy
τ
=γτ=γ
τ
=γ (2.2)
As expressões acima são denominadas lei de Hooke no cisalhamento ou extensão da lei
de Hooke, sendo G a constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação por
cisalhamento. A distorção γ é dada em radianos, logo, G tem a mesma dimensão de tensão.
Exemplo 2.1 : A chapa da Figura 2.2 está entre dois apoios indeformáveis. Calcule σy, εx e
εz quando for aplicada a tensão de compressão σx = 100 MPa.
Dados: Ε = 210 GPa , .33,0=νFigura 2.2- Chapa com deslocamento vertical impedido
Aplicando-se a tensão xσ de compressão, a barra tende a expandir-se lateralmente. Na
direção Oz a expansão está livre e não aparecem tensões∗. Na direção vertical, o deslocamento
está impedido (os apoios são indeformáveis), assim sendo, surgem tensões normais na direção
Oy impedindo a expansão da chapa nesta direção.
∆Ly = 0, então: 0
L
L
y
y
y =
∆
=ε
[ ]
466
9x
yyy
1024,4)103333,010100(
10210
1
MPa33)100(33,0
E
10
−×−=××+×−
×
=ε
−=σ→−−σ==ε
[ ] 4669z 10x09,2)10x10010x33(33,0010x210
1
−
=−−−=ε
∗
Existem forças de atrito que se opõem ao deslocamento na direção do eixo z. Essas forças são
desprezadas.
28
Exemplo 2.2: A barra prismática abaixo é fixada de maneira que a expansão nas
direções y e z fique impedida. Determine a variação do comprimento da barra ( xL∆ ) quando se
aplica a tensão .MPa200x −=σ Dados : E = 210 GPa, ν =0,33.
Figura 2.3 - Barra prismática
Este problema é conhecido como compressão uniaxial confinada. Para calcular-se a
deformação linear εx têm-se que obter as tensões normais σy e σz que aparecerão impedindo a
expansão lateral da barra.
( )[ ] ( )zxyzxyy E σσνσσσνσε +=→+−==
10
( )[ ] ( )yxzyxzz E
10 σ+σν=σ→σ+σν−σ==ε
Substituindo-se a expressão da tensão σy na expressão de σz tem-se:
[ ] z2x2xzxxz )( σν+σν+σν=σ+σν+σν=σ
de onde:
( )
ν−
σν
=σ→ν+σν=ν−σ
1
1)1( xzx2z
Os valores de xσ e ν são dados no exemplo:
MPazz 51,9833,01
)200(33,0
−=→
−
−
= σσ
Com o valor da tensão zσ , calcula-se o valor da tensão yσ , que é igual a zσ (o material da
barra é isotrópico). Então:
( )[ ]
mm45,0Lmm7001043,6L
1043,6
1051,981051,9833,010200
10210
1
x
4
x
4
x
666
9x
−=∆→××−=∆
×−=ε
×−×−−×−
×
=ε
−
−
Na Mecânica dos Solos, define-se coeficiente de empuxo em repouso ( 0k ) da seguinte
forma:
ν
ν
−
=
10
k
29
Para um solo solicitado por tensão axial ( xσ ) e com deslocamento lateral impedido, têm-
se as tensões:
xzy k σσσ 0==
2.3- RELAÇÃO ENTRE E , G E ν
Seja o caso particular de um estado plano de tensões em que a tensão normal xσ de
tração é igual à tensão yσ de compressão ( σ=σ−=σ yx ).
Figura 2.4 - (a) Estado de tensões (b) Tensões em planos inclinados
(c) Elemento deformado
As tensões que atuam em um plano qualquer do elemento da Figura 2.5(a) podem ser
calculadas usando-se as equações (1.3) e (1.4). Nos planos que formam um ângulo de 45o com o
eixo Ox, têm-se as tensões:
στσστ
σσσσ
θθ
θθ
−=→−−=
=→−=
oo
oo
45cos45sen)(
045cos45sen 22
e, nos planos formando um ângulo de 135o com o eixo Ox :
σ=τ→σ−σ−=τ
=σ→σ−σ=σ
θθ
θθ
oo
o2o2
135cos135sen)(
0135cos135sen
Essas tensões estão indicadas na Figura 2.4(b).
O quadrado de lados ab, bc, cd e da transforma-se em um losango depois de aplicadas as
tensões. Desprezando-se um infinitésimo de segunda ordem, os lados do quadrado não variam
durante a deformação, entretanto, os comprimentos de ac e bd se alteram em função das tensões
normais aplicadas nas direções vertical e horizontal. Simultaneamente ao alongamento de ac e
encurtamento de bd ocorre distorção devida a tensão de cisalhamento. Lembrando-se que ε é
função de σ , E e ν e a distorção γ é função de τ (no elemento inclinado igual a σ ) e G , pode-
se concluir que existe uma relação entre E , ν e G que será demonstrada a seguir.
A tangente do ângulo α pode ser calculada pela relação entre os segmentos 'ob e '.oc
30
( ) ( )
( )ν+σ−=νσ−σ−=ε
ν+
σ
=σν+σ=ε
ε+=ε+=
ε+=ε+=
1
E
)(
E
1
1
EE
1
)1(obobob'ob
)1(ocococ'oc
y
x
yy
xx
então:
( )
( )
ν+
σ
+
ν+
σ
−
==α
1
E
1oc
1
E
1ob
'oc
'ob
tg (a)
O ângulo α é igual a
24
γpi
− , uma vez que γ é a distorção do ângulo
2
pi
. Colocando-se o
valor de α na expressão (a) e lembrando-se que oc = ob, tem-se :
)1(
E
1
)1(
E
1
24
tg
ν+
σ
+
ν+
σ
−
=
γ
−
pi
(b)
Na trigonometria tem-se a relação:
2
tg
4
tg1
2
tg
4
tg
24
tg γpi
+
γ
−
pi
=
γ
−
pi
A teoria de pequenas deformações permite coincidir a tangente de um arco com o próprio arco.
Assim sendo, a equação (b) assume a forma:
)1(
E
1
)1(
E
1
2
1
2
1
ν+
σ
+
ν+
σ
−
=γ
+
γ
−
de onde se conclui que:
)1(
E2
ν+
σ
=
γ
Colocando-se na expressão acima a lei de Hooke no cisalhamento ( )γ=τ G e lembrando-se que
no estado de tensão em análise σ=τ , tem-se:
( )ν+σ=σ 1
EG2
31
de onde:
)1(2
EG
ν+
=
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento. Se duas constantes elásticas de um
certo material são determinadas experimentalmente, a terceira pode ser calculada. Sabendo-se
que o coeficiente de Poisson (ν) é positivo, pode-se concluir que G é sempre menor que E .
Exemplo 2.3: Determine a expressão exata do segmento ''cb do elemento da Figura 2.4(c).
O segmento ''cb é dado por:
( ) ( )22 'oc'ob'c'b +=
As expressões de 'ob e 'oc foram obtidas anteriormente, então:
( ) ( )2x22x2 1oc1ob'c'b ε++ε−=
Como ob = oc,
2
xx
2
xx 2121ob'c'b ε+ε++ε+ε−=
ou
2
x12ob'c'b ε+=
A expressão acima fornece o comprimento exato do segmento '.'cb O termo 2ob é o
valor da diagonal bc e o termo 21 xε+ é a contribuição da tensão de cisalhamento para a
variação do comprimento do lado bc (nos lados do quadrado não atuam tensões normais). Mas 1
>> 2xε e o termo
21 xε+ pode ser tomado como sendo igual a 1. Nesse caso, o lado ''cb não se
altera e permanece com o mesmo comprimento inicial bc.
2.4 – DILATAÇÃO CÚBICA ESPECÍFICA
Um elemento de comprimentos iniciais ,dx dy e dz depois de deformado tem os
comprimentos alterados para dydy,dxdx ∆+∆+ e .dzdz ∆+ Com a variação dos
comprimentos do elemento, o volume também varia. O volume inicial V do elemento é dado pelo
produto dos comprimentos iniciais:
dzdydxV ⋅⋅=
e o volume final VV ∆+ é dado pelo produto dos comprimentos finais do elemento, ou seja:
( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxVV ∆+∆+∆+=∆+
mas dydy,dxdx yx ε=∆ε=∆ e ,dzdz zε=∆ então:
( ) ( ) ( )dzdzdydydxdxVV zyx ε+ε+ε+=∆+
ou:
( ) ( ) ( )zyx 111dzdydxVV ε+ε+ε+=∆+
32
Fazendo-se o produto acima e lembrando que dzdydxV = , tem-se:
( )
zyxzyzxyxzyx1VVV εεε+εε+εε+εε+ε+ε+ε+=∆+
Desprezando os infinitésimos de ordem superior:
( )zyx1VVV ε+ε+ε+=∆+
de onde:
zyxV
V
ε+ε+ε=
∆
(2.3)
A relação VV∆ recebe o nome de dilatação cúbica específica sendo que as
deformações yx , εε e zε são obtidas usando-se a lei de Hooke generalizada.
Para um elemento solicitado por três tensões normais iguais de tração σ (esta solicitação
é conhecida como tração isotrópica), têm-se as deformações :
( )[ ] ( )ν−σ=σ+σν−σ=ε=ε=ε 21
EE
1
zyx
A dilatação cúbica específica desse elemento é dada por:
( )ν−σ=∆ 21
E
3
V
V
Não se pode admitir que um elemento solicitado por três tensões normais iguais de tração
diminua de volume, sendo assim, o maior valor que o coeficiente de Poisson pode assumir na fase
elástica-linear dos materiais isotrópicos é 0,5.
2.5 - ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES NOS ESTADOS PLANOS DE TENSÃO
A análise de deformações que aqui é abordada se restringe a elementos estruturais
solicitados porestados planos de tensões e, para simplificar, convenciona-se que as tensões
atuam no plano xOy. Conhecidas as tensões e as propriedades elásticas do material, podem-se
calcular, facilmente, as deformações yx, εε e .xyγ Entretanto, é de interesse conhecer as
deformações referentes a um outro sistema de coordenadas, bem como as deformações extremas
e as direções onde ocorrem.
Dado um estado de tensões onde:
0;0;0 xyyx ≠τ≠σ≠σ
0yzxzz =τ=τ=σ
a lei de Hooke generalizada assume a forma:
( )
( )
( )yxz
xyy
yxx
E
E
1
E
1
σ+σ
ν
−=ε
σν−σ=ε
σν−σ=ε
(2.4)
33
O fato de zε ser diferente de zero mostra que um estado plano de tensões causa,
geralmente, um estado tridimensional de deformações. Por exemplo, uma barra tracionada se
deforma em todas as direções. Pode ocorrer um estado plano de tensões particular em que
yx σ−=σ e, neste caso, .0z=ε
As componentes de tensão xσ e yσ podem ser expressas em função das componentes
de deformação xε e yε e das propriedades elásticas do material. Isolando-se as tensões xσ e
yσ nas duas primeiras equações (2.4), tem-se:
xyy
yxx
E
E
σν+ε=σ
σν+ε=σ
Colocando-se a expressão da tensão yσ na equação de xσ , tem-se: ( )
xyxx EE σν+εν+ε=σ
de onde: ( )
2
yx
x 1
E
ν−
⋅εν+ε
=σ (2.5a )
Analogamente, colocando-se a expressão da tensão xσ na equação de yσ , obtém-se:
( )
2
xy
y 1
E
ν−
⋅εν+ε
=σ (2.5b)
Por analogia com a primeira ou segunda equações (2.4), a deformação θε na direção 'x
(Figura 2.5) é dada por:
( )θθθ σν−σ=ε |E
1
Figura 2.5 – Estado plano de tensões
Colocando-se as expressões de |θσ e θσ , obtidas no item 1.4, na expressão de θε :
( )[ ]θθτ+θσ+θσν−θθτ−θσ+θσ=εθ sencos2cossensencos2sencosE
1
xy
2
y
2
xxy
2
y
2
x
ou: ( ) ( ) ( )[ ]ν+θθτ−θν−θσ+θν−θσ=εθ 1sencos2cossensencosE
1
xy
22
y
22
x
Com as equações (2.5a) e (2.5b) e lembrando-se que
xyxyxy )1(2
EG γ⋅
ν+
=γ⋅=τ , a expressão
34
acima assume a forma:
( ) ( ) ( ) ( )
θν−θ
ν−
νε+ε
+θν−θ
ν−
νε+ε
=εθ
22
2
xy22
2
yx
cossen
1
E
sencos
1
E
E
1
( ) ( )
ν+θθ
ν+
γ
− 1sencos
12
E2 xy
de onde se tem a expressão de θε em função das componentes de deformação yx εε , e xyγ e
do ânguloθ :
θθγ−θε+θε=εθ sencossencos xy2y2x (2.6)
Por analogia com a expressão Gxyxy τγ = , a distorção θγ do elemento inclinado (Figura
2.5) é dada por:
G
θ
θ
τ
=γ
Colocando-se a expressão de θτ na expressão de θγ , tem-se:
( ) ( )[ ]θ−θτ+θθσ−σ=γθ 22xyxy cossencossenG
1
Colocando-se, na expressão acima, as equações (2.5a) e (2.5b), e lembrando-se que
θγγτ ,Gxyxy ⋅= assume a forma:
( ) ( ) ( )
θ−θγ+θθ
ν−
εν+ε
−
ν−
εν+ε
=γ θ 22xy2
yx
2
xy
cossenGcossen
1
E
1
E
G
1
de onde:
( ) ( )θ−θγ+θθε−ε=γθ 22xyxy cossencossen2
ou:
( ) ( )θ−θγ+θθε−ε=γ θ 22xyxy cossen2cossen2 (2.7)
É oportuno salientar que o emprego das equações (2.6) e (2.7) é restringido aos estados
de tensões onde .0z =σ
2.6 – CÍRCULO DE MOHR PARA DEFORMAÇÕES
O lugar geométrico de todos os pares )2/,( θθ γε forma uma circunferência. Fazendo-se
um raciocínio análogo ao estado plano de tensões, tem-se:
2
xy
2
yx
22
yx
2222
γ
+
ε−ε
=
γ
+
ε+ε
−ε θθ
35
A equação acima é a equação de uma circunferência de centro c
ε+ε
0,
2
yx
,
sendo θε e 2
θγ
as coordenadas genéricas de um ponto da circunferência e
.
22
R
2
xy
2
yx2
γ
+
ε−ε
=
A construção do círculo de Mohr para deformações é semelhante à construção para
tensões. As deformações xε e yε são positivas quando correspondem a alongamentos e a
distorção xyγ é positiva quando xyτ é positivo, ou seja, quando xyτ tende girar o elemento no
sentido horário. O pólo para deformações é simétrico ao ponto ( )2, xyy γ−ε . A explicação é que
todas as deformações que ocorrem no elemento são dadas pelas coordenadas de um ponto da
circunferência, sendo que para o0=θ têm-se as deformações xε e xyγ e para o90=θ
têm-se as deformações yε e .xyγ−
Dado um estado plano de tensões, calculam-se as deformações:
( )
( )
G
E
1
E
1
xy
xy
xyy
yxx
τ
=γ
σν−σ=ε
σν−σ=ε
Conhecidas estas deformações, pode ser construído o círculo de Mohr. Para esta demonstração,
sem perder a generalidade, supõe-se que xε é maior que .yε
Figura 2.6 – Círculo de Mohr para deformações
Do círculo de Mohr, podem-se obter as expressões para calcular analiticamente
1máx21 ,,, θγεε e .2θ
36
2
xy
2
yxyx
2
2
xy
2
yxyx
1
222
222
γ
+
ε−ε
−
ε+ε
=ε
γ
+
ε−ε
+
ε+ε
=ε
( )
ε−ε
γ
−=θ
y1
xy
1 2
tg
( )2y
xy
2 2
tg
ε−ε
γ
=θ
2
xy
2
yxmáx
222
γ
+
ε−ε
=
γ
ou: 21máx
21máx
22
ε−ε=γ→ε−ε=γ
As deformações lineares específicas 1ε e 2ε são chamadas deformações principais e os
ângulos 1θ e 2θ fornecem as direções onde ocorrem, respectivamente, 1ε e 2ε . Pelo círculo de
Mohr conclui-se que a soma em módulo de 1θ e 2θ é igual a 900. A distorção γmáx é a maior
distorção do plano das tensões (plano xOy).
Exemplo 2.4: Um elemento estrutural está solicitado pelas tensões indicadas na Figura 2.7.
Calcule analítica e graficamente as deformações principais, as direções principais e a maior
distorção que ocorre no plano xOy. Dados: σx = 35 MPa, σy = 55 MPa, τxy = 8,6 MPa, E = 210
GPa e ν = 0,33.
Figura 2.7- Elemento em estado plano de tensões
As deformações nas direções x e y são as seguintes:
( ) 5x669x 10x02,810x55x33,010x3510x2101 −=ε→−=ε
( ) 4y669y 10x07,210x35x33,010x5510x2101 −=ε→−=ε
37
.rad10x09,1
10x210
)33,01(x2x10x6,8 4
xy9
6
xy
−
=γ→+=γ
Com as equações deduzidas anteriormente tem-se a solução analítica:
2
xy
2
yxyx
2
1 222
γ
+
ε−ε
±
ε+ε
=ε
Então:
2424545
1 2
1009,1
2
1007,21002,8
2
1007,21002,8
2
×
+
×−×±×+×=ε
−−−−−
de onde:
( )
( ) 0254
4
2
0
144
4
1
5
2
4
1
3,20
1061007,22
1009,1
tg
8,69
1007,21027,22
1009,1
tg
106
1027,2
=θ→
×−×
×
=θ
−=θ→
×−×
×
−=θ
×=ε
×=ε
−−
−
−−
−
−
−
.rad10x67,1
2
1009,1
2
1007,21002,8
2
4
máx
24245
máx −
−−−
=γ⇒
×
+
×−×
=
γ
Solução gráfica:
Figura 2.8 – Círculo de Mohr – Escala 1 cm: 2x10 − 5
38
Do círculo de Mohr, têm-se:
0
1
4
1 70;1026,2 −≅θ×≅ε −
0
2
5
2 20;108,5 ≅θ×≅ε −
.rad10x68,110x4,8
2
4
máx
5máx −− ≅γ→≅γ2.7 – ROSETA DE DEFORMAÇÃO
Se em um estado plano de tensões não se conhecem as tensões, elas podem ser
determinadas com o auxílio da equação (2.6). Com três extensômetros, obtêm-se, em laboratório,
as deformações lineares específicas de um elemento estrutural em três direções. Este conjunto de
extensômetros recebe o nome roseta de deformação. Este arranjo de extensômetros só é
possível em um estado plano de tensões, uma vez que na face onde está a roseta não podem
atuar tensões. Conhecidas as deformações em três direções, com a equação (2.6) obtêm-se os
valores de yx , εε e xyγ . Usando-se as equações (2.5a) e (2.5b) e a lei de Hooke no
cisalhamento calculam-se as tensões yx , σσ e xyτ que produziram as deformações no elemento.
Exemplo 2.5: Com uma roseta de deformação obtiveram-se as seguintes deformações
lineares específicas em um ponto de um elemento estrutural: εa = 500 x 10 −6; εb = 195,86 x 10 −6 e
εc = 628,87 x 10 −6. Calcule as tensões que produziram as deformações no elemento. Dados: Ε =
69 GPa e ν = 0,33
Figura 2.9 – ponto de uma estrutura e roseta de deformação
Para a direção “a”, a equação (2.6) fica da seguinte forma:
oo
xy
o2
y
o2
x
6 0sen0cos0sen0cos10x500 γ−ε+ε=−
Da expressão acima, tem-se que: εx = 500 x 10 −6
Para a direção “b”, tem-se:
oo
xy
o2
y
o2
x
6 06sen06cos60sen06cos10x86,195 γ−ε+ε=−
de onde:
39
433,075,025,010x86,195 xyyx6 γ−ε+ε=− (Ι)
Na direção θ = 120o (ou θ = −−−− 60o) tem-se a leitura no extensômetro “c”:
oo
xy
o2
y
o2
x
6 120sen012cos120sen012cos10x87,628 γ−ε+ε=−
então:
433,075,025,010x87,628 xyyx6 γ+ε+ε=− (ΙΙ)
Somando-se as expressões (Ι) e (ΙΙ), tem-se:
50,150,010x73,824 yx6 ε+ε=−
Com o valor da deformação εx , obtida no extensômetro “a”, e com a expressão acima calcula-se o
valor da deformação εy = 383,15 x 10 −6. Usando-se a equação (Ι) ou a equação (ΙΙ), calcula-se a
deformação γxy= 500 x 10 −6 rad.
Cálculo das tensões normais usando-se as equações (2.5a) e 2.5b):
9
2
66
x 10x69
33,01
)10x15,383x33,010x500(
⋅
−
+
=σ
−−
MPa51,48x =σ→
9
2
66
y 10x69
33,01
)10x500x33,010x15,383(
⋅
−
+
=σ
−−
MPa44,42y =σ→
MPa97,1210x500)33,01(2
10x69G xy6
9
xyxy =τ→⋅
+
=γ=τ −
Figura 2.10 – Tensões atuantes no elemento estrutural do exemplo 2.5
40
3 – MÉTODOS DE ENERGIA
3.1 – INTRODUÇÃO
Quando uma força externa atua em um corpo e o deforma1, o trabalho realizado pela força
é total ou parcialmente armazenado no corpo sob a forma de energia de deformação. Se a força
dividida pela área onde atua (ou seja, a tensão) permanecer na fase elástica o trabalho externo é
totalmente convertido em energia de deformação e o corpo retorna às dimensões iniciais quando
descarregado. Se a tensão for além da fase elástica, o corpo não adquire as suas dimensões
iniciais quando descarregado. Nesse caso, o trabalho externo é parcialmente convertido em
energia de deformação e ocorre dissipação de energia em forma de calor. Neste capítulo,
pressupõe-se que a tensão aplicada em um corpo é sempre menor, ou igual, que a tensão de
proporcionalidade, portanto, o corpo tem comportamento elástico-linear.
A energia de deformação pode ser usada no cálculo da tensão e deformação provocadas
por cargas aplicadas com impacto, no cálculo de deslocamentos e no cálculo das reações de
apoio de vigas hiperestáticas. A energia armazenada em um corpo é sempre um escalar positivo e
independe da convenção de sinais e da posição do sistema de referência.
3.2 – TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL
Seja uma barra prismática fixada em uma extremidade solicitada por uma força axial de
tração F .
Figura 3.1 - Barra prismática tracionada
A força F , quando aplicada estaticamente, causa um alongamento dado por:
EA
FLL =∆
1
Nos deslocamentos de corpo rígido não há deformação. Nesse caso, o trabalho externo é convertido em
energia cinética e, às vezes, em energia calorífica e sonora.
41
Esse alongamento é o deslocamento do ponto de aplicação da força F . Entretanto, o trabalho não
pode ser calculado como sendo o produto da força pelo deslocamento, uma vez que a força varia
de um valor zero até o valor final F . O trabalho realizado por uma força variável quando o seu
ponto de aplicação desloca-se da coordenada x1 até a coordenada x2 é calculado pela expressão:
∫=
2
1
x
x
dx)x(FW
A integral acima corresponde à área compreendida sob a curva )x(F entre os limites x1 e x2.
Assim sendo, o trabalho realizado por uma força aplicada estaticamente ao alongar uma barra de
L∆ é dado por:
2
LFW ∆=
Figura 3.2 - Gráfico Força x Alongamento
Esse trabalho externo é armazenado na barra na forma de energia de deformação )U( . Com as
considerações feitas anteriormente, pode-se fazer:
2
LFU ∆=
Nas barras prismáticas, U assume a forma:
EA2
LFU
2
= (3.1)
3.3 – ENEGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE ÀS TENSÕES NORMAIS
A equação (3.1) fornece a energia de deformação armazenada em uma barra prismática
solicitada por uma força axial. Essa equação pode ser colocada da seguinte forma:
42
2
2
EA2
LAFU =
ou:
E2
VU
2σ
=
Se a tensão normal não é uniformemente distribuída na seção transversal e/ou varia ao longo do
comprimento, a expressão acima deve ser empregada para cada elemento infinitesimal de
volume.
E2
dVdU
2σ
= (3.2)
Integrando-se os dois membros tem-se a energia de deformação total:
∫
σ
=
V
2
E2
dVU (3.3)
3.3.1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE À FORÇA NORMAL
Seja a barra da Figura 3.3 solicitada por uma força axial variável e seção transversal
também variável com a coordenada x.
Figura 3.3 - Barra de seção transversal variável
A tensão normal varia com o comprimento, entretanto, em uma seção transversal qualquer,
a tensão normal não varia e todos os pontos desta seção transversal estão solicitados por tensão
normal dada por:
)x(A
)x(F)x( =σ
Colocando-se a expressão acima na equação (3.3), tem-se:
∫= V 2
2
E2)x(A
dV)x(FU
43
Tomando-se dAdxdV = e separando-se os termos que dependem de x e o que depende da
área, tem-se:
( )dxdA)x(EA2 )x(FU AL 2
2
∫∫ ⋅=
onde:
∫ =A )x(AdA
então:
∫= L
2
)x(EA2
dx)x(FU
3.3.2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO FLETOR
Seja a viga AB da figura abaixo solicitada por um carregamento qualquer.
Figura 3.4 - Viga bi-apoiada
Chamando-se de )x(M o momento fletor e de )x(I z o momento de inércia de uma seção
transversal qualquer, a tensão normal nessa seção transversal é dada por:
)x(I
y)x(M)x(
z
=σ
Colocando-se a expressão acima na equação (3.3):
∫= V 2
z
22
E2)x(I
dVy)x(MU
Tomando-se dAdxdV = e lembrando-se de que o momento fletor e o momento de inércia variam
apenas em função da coordenada x, tem-se:
( )dxdAy)x(EI2 )x(MU A 2L 2z
2
∫∫ ⋅=
Por definição:
44
∫= A
2
z dAy)x(I
então:
∫= L
z
2
)x(EI2
dx)x(MU (3.5)
3.4 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE ÀS TENSÕES DE CISALHAMENTO
O procedimento para se obter a energia de deformação referente às tensões de
cisalhamento é análogo àquele usado paratensões normais. Da mesma forma que a barra da
Figura 3.1 é conveniente fixar uma das faces do elemento em estado de cisalhamento puro
(Figura 3.5). Por exemplo, se a face inferior do elemento for fixada, apenas a força que atua na
face superior produz trabalho.
Figura 3.5 - Elemento de uma viga solicitado por cisalhamento puro
Estabelecendo-se que o carregamento que provocou as tensões de cisalhamento acima
seja aplicado estaticamente, a energia acumulada no elemento de volume é dada por:
2
.dFdU ∆=
onde dF é a força que provocou o deslocamento ∆ . Chamando-se de dz a espessura do
elemento, a força dF é dada por dz.dx.τ e dy.γ=∆ , então:
dy.dxdz
2
1dU γτ=
Com a lei de Hooke no cisalhamento )G( γ=τ e lembrando-se de que dxdydz = dV, a expressão
acima assume a forma:
G2
dVdU
2τ
= (3.6)
Integrando-se os dois membros, tem se a energia de deformação armazenada em uma estrutura
referente às tensões de cisalhamento:
∫
τ
=
V
2
G2
dVU (3.7)
45
3.4.1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO DE TORÇÃO
Considere-se um eixo de seção transversal circular variável solicitado por um momento de
torção que também varia com a coordenada x.
Figura 3.6 - Eixo com seção transversal variável
Chamando-se de )x(T o momento de torção e )x(J o momento de inércia à torção, a tensão de
cisalhamento é dada por:
)x(J
r)x(T
=τ
Colocando-se a expressão acima na equação (3.7):
∫= V 2
22
G2)x(J
dVr)x(TU
Tomando-se dAdxdV = e separando os termos que variam em função do comprimento e os que
variam na área, a integral acima pode ser colocada da seguinte forma:
( )∫ ∫= L A 22 2 dxdArG2)x(J )x(TU
Por definição:
∫= A
2dAr)x(J
então:
∫= L
2
)x(GJ2
dx)x(TU (3.8)
3.4.2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE À FORÇA CORTANTE
Em função do momento estático, a tensão de cisalhamento referente à força cortante tem
uma equação particular para cada configuração da seção transversal. Na presente abordagem,
consideram-se apenas vigas prismáticas de seção transversal retangular. Esta forma de viga é
muito usada e a distribuição da tensão de cisalhamento é facilmente equacionada.
46
Seja a viga da Figura 3.7 sujeita a um carregamento qualquer. A tensão de cisalhamento
em uma seção transversal qualquer é dada pela equação:
zbI
Q)x(V
=τ
Figura 3.7 - Viga prismática com seção transversal retangular
Colocando-se a expressão acima na equação (3.7), tem-se:
∫= V 2
z
2
22
dV
G2Ib
Q)x(VU
ou:
( )∫ ∫= L A 22
z
2
2
dxdAQ
G2Ib
)x(VU (3.9)
Em vigas de seção transversal retangular, o momento estático Q assume a forma:
−=
2
2
y
4
h
2
bQ
então:
∫ ∫
+−=
A A
4
2242
2 dAy
2
yh
16
h
4
bdAQ
A integral acima independe da coordenada z, então o elemento de área dA pode ser tomado
como sendo .bdy Então:
∫ ∫
−
+−=
A
2/h
2/h
4
2242
2 bdyy
2
yh
16
h
4
bdAQ
de onde:
∫ =A
53
2
120
hbdAQ
Substituindo-se a expressão acima na equação (3.9) e lembrando que
12
bhI
3
z = , tem-se:
47
dx
120
hb
G2
144
hbb
)x(VU
53
L 62
2
2
⋅= ∫
donde:
∫= L
2 dx)x(V
GA5
3U (3.10)
Exemplo 3.1: Calcule a energia de deformação acumulada na viga prismática da Figura
3.8. Dados: =E 210 GPa, 33,0=ν , P=8500 N.
Figura 3.8 - Viga prismática em balanço
A viga está solicitada por momento fletor e força cortante. A energia de deformação total é
dada por:
VMT UUU +=
A energia de deformação referente ao momento fletor é determinada usando-se a equação (3.5).
∫
−
=
L
0
z
2
M EI2
dx)Px(U
donde:
z
32
M EI6
LPU =
Colocando-se os dados do exemplo: Nm43,0UM =
A energia referente à força cortante é calculada usando-se a equação (3.10).
Gbh5
LP3dx)P(
GA5
3U
2L
0
2
V =−= ∫
então: Nm014,0U V =
A energia de deformação total é: J444,0UT =
É interessante observar que: %85,96UM = de TU e %15,3U V = de TU
48
Com o resultado acima pode-se concluir que nas estruturas em que a relação 5h/L ≥ (ou seja,
vigas), a contribuição da força cortante para a deformação da viga pode ser desprezada em
relação a contribuição do momento fletor.
É oportuno fazer mais duas observações. A primeira é que a energia de deformação
referente ao momento fletor pode ser calculada através do trabalho externo.
2
v.PU M =
Onde v é o deslocamento do ponto de aplicação da força P levando-se em consideração
apenas a contribuição do momento fletor. Este deslocamento é dado pela expressão:
z
3
EI3
PL
v =
então:
z
32
M EI6
LPU =
A segunda observação refere-se ao cálculo da energia de deformação total. Calcularam-
se, separadamente, as energias referentes a cada esforço solicitante e depois somaram-se os
resultados obtidos. Esta adição procede no fato que a contribuição das tensões de cisalhamento
para a variação dos comprimentos dx e dy (Figura 3.5), conforme já demonstrado, é um
infinitésimo de segunda ordem e, conseqüentemente, se atuar tensão normal nas direções x e y, o
trabalho realizado por estas tensões durante a deformação por cisalhamento é também um
infinitésimo de segunda ordem e pode ser desprezado. Em outras palavras: a tensão normal (σ)
não realiza trabalho durante a deformação por cisalhamento (γ) e a tensão de cisalhamento (τ)
não realiza trabalho durante a deformação por tensão normal (ε).
49
3.5 – TEOREMA DA RECIPROCIDADE
Seja a viga abaixo sujeita a duas forças concentradas 1P e 2P .
Figura 3.9 - Eixo da viga e linha elástica
As componentes verticais dos deslocamentos dos pontos 1 e 2, respectivamente v1 e v2,
podem ser obtidas superpondo-se os efeitos das forças 1P e 2P . Aplicando-se estaticamente na
viga a força 1P (Figura 3.10(a)), os pontos 1 e 2 se deslocam de:
11111 Pv α=
12121 Pv α=
Onde ijv é o deslocamento vertical do ponto i devido à força aplicada no ponto j. Os parâmetros
11α e 21α são chamados coeficientes de influência e são determinados aplicando-se uma força
unitária no ponto 1. Da mesma forma, aplicando-se estaticamente a força 2P (Figura 3.10(b)), os
pontos 1 e 2 sofrem os seguintes deslocamentos:
Figura 3.10 - (a) Linha elástica da viga depois de aplicar-se 1P
(b) Linha elástica da viga depois de aplicarem-se 1P e 2P
21212 Pv α=
22222 Pv α=
onde 12α e 22α são determinados aplicando-se uma força unitária no ponto 2. Os deslocamentos
finais dos pontos 1 e 2 são:
21211112111 PPvvv α+α=+=
22212122212 PPvvv α+α=+=
50
O trabalho realizado pelas forças 1P e 2P é convertido em energia de deformação da
viga. O trabalho externo referente à aplicação da força 1P (Figura 3.10(a)), é dado pela expressão:
2
P
2
vP 11
2
1111 α
=
Aplicando-se a força 2P , o ponto 1 se desloca de 212Pα e a força 1P , que já está totalmente
aplicada, também realiza trabalho1. Assim sendo, ao aplicar-se a força 2P (Figura 3.10(b)), tem-se
o trabalho externo:
2121
22
2
2
121
222 PP
2
P
vP
2
vP
α+
α
=+
Somando-se as duas últimas expressões, tem-se a energia de deformação da viga:
2121
22
2
211
2
1 PP
2
P2
PU α+α+α= (3.11)
Uma outra forma de se carregar a viga é aplicar-se a força 2P e depois a força 1P .
Figura 3.11 - Segunda forma de se carregar a viga
A energia de deformação da viga da Figura 3.11 é dada pela expressão:
212
111222 vP
2
vP
2
vPU ++=
ou:
1212
11
2
122
2
2 PP
2
P
2
PU α+α+α=
A energia de deformação da viga independe da ordem de aplicação das forças 1P e 2P . Então:
=α+
α
+
α
2121
22
2
211
2
1 PP
2
P
2
P
1212
11
2
122
2
2 PP
2
P
2
P
α+
α
+
α
de onde:
2112 α=α
A expressão acima mostra que o deslocamento do ponto 1 devido a uma força
1
O princípio da superposição dos efeitos não é válido quando se calcula a energia de deformação usando-
se o trabalho das cargas externas.
51
unitária aplicada no ponto 2 é igual o deslocamento do ponto 2 devido a uma força unitária
aplicada no ponto 1. Essa conclusão é conhecida como teorema da reciprocidade ou teorema
de Maxwell. Pode-se demonstrar que o teorema da reciprocidade também é válido para
momentos (fletor e de torção), sendo que os deslocamentos correspondentes são rotações. O
teorema da reciprocidade apresentado por Maxwell é um caso particular do teorema de Betti que
trata de estruturas solicitadas por dois grupos de cargas.
3.6 – SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
O italiano Carlo Alberto Pio Castigliano demonstrou, em 1873, que a derivada parcial da
energia de deformação de uma estrutura em relação a uma força concentrada fornece o
deslocamento do ponto de aplicação na direção da força considerada. Esse teorema pode ser
demonstrado derivando-se a equação (3.11) em relação à força 1P :
1122111
1
vPP
P
U
=α+α=
∂
∂
ou, derivando-se a mesma equação em relação à força 2P :
2121222
2
vPP
P
U
=α+α=
∂
∂
Generalizando-se:
i
i
v
P
U
=
∂
∂
É oportuno frisar que se a derivada acima for negativa, o deslocamento ocorre em sentido
contrário ao sentido da força considerada. O segundo teorema de Castigliano também pode ser
demonstrado para momentos. Nesse caso, a derivada parcial da energia de deformação em
relação a um momento fornece a rotação no ponto de aplicação do momento, isto é:
i
iM
U θ=
∂
∂
Nas estruturas que estão solicitadas por mais de uma força é conveniente usar a “regra da
cadeia”. Por exemplo, o deslocamento vertical do ponto 1 (Figura 3.12) levando-se em
consideração apenas a contribuição do momento fletor é dado por:
∫ ∫ ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
a
0
L
a 1z1z11
1 dxP
)x(M
)x(EI
)x(Mdx
P
)x(M
)x(EI
)x(M
P
)x(M
)x(M
U
P
U
v
E o deslocamento do ponto 2 é dado por:
∫ ∫ ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
a
0
L
a 2z2z22
2 dxP
)x(M
)x(EI
)x(Mdx
P
)x(M
)x(EI
)x(M
P
)x(M
)x(M
U
P
U
v
52
Figura 3.12 - Viga em balanço solicitada por duas forças
Exemplo 3.2: Determine a deflexão do ponto A usando o segundo teorema de Castigliano.
Despreze a contribuição da força cortante. Dado: zEI = constante.
Figura 3.13 - Viga em balanço
A energia de deformação referente ao momento fletor é dada pela equação (3.5).
∫= L
z
2
)x(EI2
dx)x(MU
Como zEI é constante e Px)x(M −= , tem-se:
∫ =−=
L
0
z
32
2
z EI6
LPdx)Px(
EI2
1U
A deflexão do ponto A é dada por:
z
3
A EI3
PL
P
U
v =
∂
∂
=
Exemplo 3.3: Determine a deflexão e a inclinação da tangente à linha elástica no ponto A
da viga da Figura 3.14 usando o segundo teorema de Castigliano. Despreze a contribuição da
força cortante. Dado: zEI = constante.
53
Figura 3.14 - Viga em balanço solicitada por carga distribuída
Para se obter a deflexão de um ponto onde não há força concentrada coloca-se uma força
fictícia Pf (Figura 3.15(a)) na direção da deflexão procurada. Derivando-se U em relação à força Pf,
tem-se a deflexão do ponto de aplicação da força fictícia. Na expressão final, deve-se fazer Pf = 0.
Figura 3.15 (a) Força fictícia (b) Momento fletor fictício
A energia de deformação da viga da Figura 3.15(a), levando-se em consideração apenas a
contribuição do momento fletor, é dada por:
∫
−−=
L
0
2
f
2
z
dxxP
2
qx
EI2
1U
de onde:
++=
3
LP
4
qLP
20
Lq
EI2
1U
32
f
4
f
52
z
A deflexão do ponto A é dada por:
+=
∂
∂
=
3
LP2
4
qL
EI2
1
P
U
v
3
f
4
zf
A
Fazendo-se Pf = 0, tem-se:
z
4
A EI8
qL
v =
Usando-se a “regra da cadeia” a deflexão do ponto A é dada por:
54
∫ ∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
L
fzf
A dxP
)x(M
)x(EI
)x(M
P
)x(M
)x(M
U
v
O momento fletor )x(M é dado pela expressão:
2
qx
xP)x(M
2
f −−=
portanto:
x
P
)x(M
f
−=
∂
∂
então:
( )dxx
2
qx
xP
EI
1
v
L
0
2
f
z
A −
−−= ∫
donde:
+=
8
qL
3
LP
EI
1
v
43
f
z
A
Fazendo-se Pf = 0, tem-se:
z
4
A EI8
qL
v =
Para se obter a inclinação da tangente à linha elástica no ponto A, tem-se que colocar um
momento fletor fictício Mf neste ponto (Figura 3.15(b)).
∫ ∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
∂
∂
=θ
L
fzf
A dxM
)x(M
)x(EI
)x(M
M
)x(M
)x(M
U
O momento fletor à uma distância genérica x na viga da Figura 3.15(b) é dado pela expressão:
2
qxM)x(M
2
f −−=
1
M
)x(M
f
−=
∂
∂
então:
∫ −
−−=θ
L
0
2
f
z
A dx)1(2
qxM
EI
1
donde:
+=θ
6
qLLM
EI
1 3
f
z
A
Fazendo-se Mf = 0, tem-se:
z
3
A EI6
qL
=θ
55
Exemplo 3.4: Determine a deflexão do ponto A levando-se em consideração as
contribuições do momento fletor e da força cortante. Compare este resultado com o calculado
levando-se em consideração apenas a contribuição do momento fletor. A viga é prismática e tem
seção transversal retangular. Dados: 33,0=ν e IE = constante.
Figura 3.16 - Viga prismática em balanço
A energia de deformação total da viga é dada por:
∫ ∫+= L L
2
z
2
T dx)x(VGA5
3
)x(EI2
dx)x(MU
então:
∫∫ −+−=
L
0
2L
0
2
z
T dx)P(GA5
3dx)Px(
EI2
1U
donde:
GA5
LP3
EI6
LPU
2
z
32
T +=
Derivando-se a expressão acima em relação à força P, tem-se:
GA5
PL6
EI3
PL
P
U
v
z
3
T
A +=∂
∂
=
onde o termo GA5/PL6 é a contribuição da força cortante para a deflexão do ponto A.
Dividindo-se a contribuição do momento fletor )v( M pela contribuição da força cortante
)v( V , tem-se:
PL6
GA5
EI3
PL
v
v
z
3
V
M
⋅=
Simplificando-se a força P e colocando a relação entre G,E e ν, tem-se:
)1(2L6
EA5
EI3
L
v
v
z
3
V
M
ν+⋅
⋅=
Para áreas retangulares: 12/bhI 3z = , bhA= , então:
56
)33,01(12
bh5
bh3
L12
v
v
3
2
V
M
+
⋅=
de onde:
2
V
M
h
L25,1
v
v
=
Supondo-se que 5h/L = :
25,31
v
v
V
M
=
Uma vez que VM v25,31v = o efeito da força cortante para o cálculo da deflexão pode ser
desprezado. Se 10h/L = tem-se que VM v125v = . Portanto, aumentando-se a relação h/L a
contribuição da força cortante torna-seainda menor. Entretanto se a relação h/L for menor que 5
a força cortante deve ser levada em consideração quando calculam-se a deflexão e a inclinação
da tangente à linha elástica. Entretanto, as expressões deduzidas neste capítulo não podem ser
usadas nestas estruturas, uma vez que as fórmulas da flexão:
)x(I
y)x(M
z
⋅
=σ e )x(bI
Q)x(V
z
=τ
somente se aplicam quando .5h/L ≥
3.7 – APLICAÇÕES DO SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO NO CÁLCULO DE
REAÇÕES DE VIGAS HIPERESTÁTICAS
O segundo teorema de Castigliano pode ser usado no cálculo das reações de apoio das
vigas estaticamente indeterminadas. O procedimento consiste em se escolher uma das reações
de apoio (força ou momento) e determinar-se a energia de deformação da viga em função do
carregamento dado e da reação escolhida. Derivando-se a energia de deformação em relação à
reação de apoio, tem-se o deslocamento do ponto de aplicação da reação. Uma condição de
deslocamento deve ser imposta, que pode ser deslocamento nulo ou uma outra condição de
deslocamento conhecida. Com este procedimento, a reação de apoio escolhida é determinada. As
outras reações podem ser obtidas com as equações de equilíbrio da estática.
Exemplo 3.5: Determine a reação de apoio BV da viga da Figura 3.17(a) usando o método
da energia. =zIE constante.
Com a origem do sistema de referência no apoio B (Figura 3.17(b)), a equação do
momento fletor é dada por:
2
qx
xV)x(M
2
B −=
57
Figura 3.17 - (a) Viga hiperestática (b) Viga “solicitada” por q e VB
A energia de deformação da viga, desprezando-se a contribuição da força cortante, é dada pela
expressão:
∫
−=
L
0
22
B
Z
dx
2
qx
xV
EI2
1U
de onde:
+−=
20
Lq
4
qLV
3
LV
EI2
1U
524
B
32
B
Z
O apoio direito impede o deslocamento vertical do ponto B, então1:
0
V
U
B
=
∂
∂
Derivando-se U em relação à força BV , tem-se:
0
4
qL
3
LV2
EI2
1 43B
z
=
−
donde:
8
qL3VB =
Exemplo 3.6: Determinar a força de compressão )F( na mola da viga da Figura 3.18(a).
Dados: EI = 1,15x107Nm2, k = 1,25x106N/m.
Figura 3.18 - (a) Viga estaticamente indeterminada (b) Posição deformada da viga
1
Esta derivada indica um extremo de U. Uma vez que a segunda derivada de U é maior que zero, o
extremo é mínimo. Conclui-se que as reações de apoio das vigas hiperestáticas são aquelas que mininizam
a energia de deformação do sistema. Esta conclusão, chamada princípio do trabalho mínimo, deve-se ao
engenheiro italiano Ménabréa.
58
Colocando-se o sistema de referência no apoio B, a expressão da energia de deformação
assume a forma:
∫
−=
L
0
22
z
dx
2
qxFx
EI2
1U
donde:
+−=
20
Lq
4
FqL
3
LF
EI2
1U
52432
z
Derivando-se a energia de deformação em relação à força F , tem-se:
mF
U δ−=
∂
∂
então:
m
43
z 4
qL
3
FL2
EI2
1 δ−=
−
Onde o sinal negativo deve-se ao fato que o deslocamento ocorre em sentido contrário ao sentido
da força F . A expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
k
F
EI3
FL
EI8
qL
z
3
z
4
+=
É interessante observar nesta última expressão que se ∞=k , o apoio B é rígido e a força de
compressão na mola é igual a 8/qL3 . Este é o mesmo resultado encontrado no exemplo 3.5.
Colocando-se os dados do exemplo tem-se:
67
3
7
4
10x25,1
F
10x15,1x3
8.F
10x15,1x8
8.q
+=
donde:
q85,2F =
3.8 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO PROVOCADAS POR IMPACTO
Os carregamentos de uma estrutura podem ser aplicados estaticamente ou com impacto.
Todos os carregamentos até aqui considerados foram admitidos aplicados estaticamente.
Usando-se o princípio da conservação da energia, podem-se calcular as tensões e as
deformações em uma estrutura provenientes de cargas aplicadas com impacto. Para obterem-se
estas tensões e deformações, pressupõe-se que o choque é completamente inelástico, isto é, o
corpo que se choca e a estrutura permanecem juntos após o choque. Por hipótese, a energia
cinética do corpo é totalmente transferida para a estrutura transformando-se em energia de
59
deformação. Na realidade, esta hipótese nunca é verificada. No momento do choque há
dissipação de energia na forma de calor e som, ocorrendo, também, deformações localizadas no
corpo e na estrutura. Entretanto, admitindo-se que a energia cinética do corpo é totalmente
transferida para a estrutura o dimensionamento está sendo feito com segurança.
No momento em que o corpo é imobilizado, ocorrem as tensões e deformações máximas
da estrutura. O procedimento para calcularem-se estas tensões e deformações é substituir-se a
carga com impacto por uma força estática equivalente eP . Esta força eP deve provocar a mesma
deformação máxima que a carga com impacto provoca quando imobilizada.
Exemplo 3.7: Um bloco de massa m = 80kg, inicialmente em repouso, cai de uma altura h
= 120mm no ponto A da viga prismática abaixo. Calcule:
a) a força estática equivalente;
b) a deflexão máxima do ponto A;
c) as tensões normais extremas.
Dado: Ε = 69GPa.
Figura 3.19 - Viga prismática em balanço
A energia potencial do bloco se transforma-se em energia cinética e, quando este é
imobilizado, por hipótese, a energia cinética é totalmente transformada em energia de deformação
da viga. Então:
( )máxvhmgU += (3.12)
Figura 3.20 - (a) Deflexão máxima (b) Força estática equivalente
60
Uma força P aplicada estaticamente no ponto A provoca o deslocamento desse ponto dado pela
expressão:
z
3
A EI3
PL
v =
Portanto, a deflexão vmáx da viga da Figura 3.20(b) é dada por:
z
3
e
máx EI3
L.P
v =
onde eP é a força estática equivalente. A energia de deformação referente à força eP é dada por:
2
v.PU máxe= (3.13)
As energias de deformação dadas pelas equações (3.12) e (3.13) são iguais, uma vez que
provocam a mesma deformação da viga:
( ) =+
máxvhmg 2
v.P
máxe
Colocando-se os dados do exemplo:
12
804010x693
800P
2
P
12
804010x693
800P12081,980 3
3
3
ee
3
3
3
e
⋅
⋅⋅
⋅
⋅=
⋅
⋅⋅
⋅
+⋅
de onde:
094176P14,1P10x25,7 e2e4 =−−−
As raízes da equação acima são:
N6,12210Pel =
N2,10638P 2e −=
a) A intensidade da força que provoca a deflexão vmáx é um número real positivo, então, a força
estática equivalente é:
N6,12210Pe =
b)
12
804010x693
8006,12210
EI3
LP
v 3
3
3
z
3
e
máx
⋅
⋅⋅
⋅
==
de onde:
61
mm7,17vmáx =
c) As tensões normais extremas ocorrem na seção transversal do engaste, sendo que a maior
tensão de tração ocorre nos pontos de coordenada mm40y −= e a maior tensão de compressão
ocorre nos pontos de coordenada .mm40y =
MPa9,228máxt =σ
MPa9,228máxc −=σ
3.9 – ENERGIA ESPECÍFICA DE DEFORMAÇÃO
Por definição, energia específica de deformação )U( e é a relação entre a energia de
deformação e o volume. A energia específica de deformação referente à tensão normal é dada
pela expressão (ver equação 3.2):
E2dV
dUU
2
e σ
== (3.14)
ou, usando-se a lei de Hooke ε=σ E :
2
U e σε= (3.15)Com as equações (3.14) e (3.15) pode-se obter a energia específica de deformação de um
elemento solicitado pelas tensões normais xσ , yσ e zσ . Aplicando-se estaticamente uma tensão
de tração na direção do eixo Ox, tem-se:
E2
U
2
xe σ
=
Na segunda fase do carregamento, aplica-se estaticamente uma tensão de tração na direção do
eixo Oy. Com a aplicação da tensão yσ ocorre, entre outras, a deformação εx = −νεy = −νσy/E e
a tensão xσ , que já está aplicada, realiza trabalho durante esta deformação. A energia específica
de deformação referente à tensão xσ quando se aplica yσ é calculada usando-se a equação
(3.15) sem, entretanto, aparecer o fator 0,5 uma vez que xσ está totalmente aplicada. Portanto, a
energia específica de deformação ao aplicar-se yσ é:
EE2
U yx
2
ye νσ
⋅σ−
σ
=
Finalmente, aplicando-se estaticamente uma tensão de tração na direção do eixo Oz, a energia
específica de deformação correspondente é dada pela expressão:
62
EEE2
U zyzx
2
ze νσ
⋅σ−
νσ
⋅σ−
σ
=
Somando-se as três últimas expressões, tem-se a energia específica de deformação de um
elemento solicitado por três tensões normais.
( )[ ]zyxzyx2z2y2xe 2E2
1U σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= (3.16)
A energia específica de deformação referente à tensão de cisalhamento (ver equação 3.6)
é dada pela expressão:
G2
U
2
e τ
=
Em um elemento solicitado pelas tensões de cisalhamento xyτ , xzτ e yzτ , a energia específica de
deformação é obtida somando-se a energia correspondente a cada componente de tensão:
( )2yz2xz2xye G2
1U τ+τ+τ= (3.17)
Somando-se as equações (3.16) e (3.17), tem-se a energia específica de deformação de
um elemento solicitado por um estado geral de tensões:
( )[ ]zyxzyx2z2y2xe 2E2
1U σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= + ( )2yz2xz2xyG2
1
τ+τ+τ (3.18)
Uma vez que eU é a energia de deformação por unidade de volume, todos os elementos
de volume, inclinados ou não, têm a mesma energia específica de deformação. Sendo assim,
eU pode ser calculada usando-se as tensões normais e de cisalhamento de três direções
perpendiculares quaisquer. Usando-se as tensões principais 1σ , 2σ e 3σ , a equação (3.18) fica
da seguinte forma:
( )[ ]323121232221e 2E2
1U σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= (3.19)
A energia específica de deformação pode ser dividida em duas partes: a parte referente à
variação de volume evU e a parte referente à distorção edU .
e
d
e
v
e UUU += (3.20)
As energias evU e
e
dU são determinadas tomando-se a tensão normal média )(
__
σ das
tensões principais:
3
321 σ+σ+σ
=σ (3.21)
e fazendo-se:
|
11 σ+σ=σ
|
22 σ+σ=σ (3.22)
|
33 σ+σ=σ
63
onde |1σ ,
|
2σ e
|
3σ , chamadas tensões desviadoras, são as tensões normais que devem ser
somadas com a tensão normal média para que o estado de tensões não seja alterado. Somando-
se as equações (3.22), tem-se:
|
3
|
2
|
1321 3 σ+σ+σ+σ=σ+σ+σ
Com a equação acima e a equação (3.21) conclui-se que:
0|3
|
2
|
1 =σ+σ+σ
As tensões (3.22) podem ser obtidas somando-se dois estados de tensões, como mostra a
Figura 3.21.
Figura 3.21 - Superposição de um estado de tensões
A dilatação cúbica específica do estado de tensões (c) pode ser determinada usando-se a
equação (2.3).
321V
V
ε+ε+ε=
∆
onde:
( )[ ]|3|2|11 E1 σ+σν−σ=ε
( )[ ]|3|1|22 E1 σ+σν−σ=ε
( )[ ]|2|1|33 E1 σ+σν−σ=ε
Somando-se as deformações específicas 1ε , 2ε e 3ε , tem-se:
( )( )|3|2|1321 E21 σ+σ+σν−=ε+ε+ε
Então:
( )( )|3|2|1E21VV σ+σ+σν−=∆
de onde:
64
0
V
V
=
∆
Portanto, o estado de tensões (c) não altera o volume do elemento. No caso geral, as tensões |1σ ,
|
2σ e
|
3σ assumem valores diferentes entre si. Serão iguais somente em um estado de tensões
particular em que 321 σ=σ=σ e, neste caso, não tem sentido a existência de
|
1σ ,
|
2σ e
|
3σ que
são todas iguais a zero. Sendo assim, o estado de tensões (c) provoca a distorção do elemento
sem variar o volume e o estado de tensões (b), solicitado por três tensões normais iguais
(chamadas tensões esféricas), varia o volume do elemento sem produzir distorção (τ = 0 em todas
as direções do estado de tensões (b)).
A energia específica de deformação referente à variação de volume evU é determinada
colocando-se na equação (3.19) o estado de tensões (b).
σ⋅ν−σ= 2
__
2
__
e
v )(32)(3E2
1U
Colocando-se na expressão acima a expressão da tensão média (equação 3.21), tem-se:
( )( )2321ev E6
21U σ+σ+σν−= (3.23)
A parte da energia específica de deformação referente à distorção edU é dada por:
e
v
ee
d UUU −=
Com as equações (3.19) e (3.23) edU assume a forma:
( )[ ] ( )( )2321323121232221ed E6 212E21U σ+σ+σν−−σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ=
Elevando-se ao quadrado e reagrupando:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]211323233222222121ed 222E61U σ+σσ−σ+σ+σσ−σ+σ+σσ−σν+=
ou:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]213232221ed E61U σ−σ+σ−σ+σ−σν+= (3.24)
A equação (3.24), que será usada no próximo capítulo no critério da máxima energia de distorção,
também pode ser demonstrada (com mais trabalho) aplicando-se a equação (3.19) no estado de
tensão (c) da Figura 3.21.
3.10 −−−− ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO FLETOR EM FUNÇÃO DE
DESLOCAMENTOS
Da Resistência dos Materiais Ι tem-se a equação diferencial da linha elástica quando se
considera apenas a contribuição do momento fletor:
65
)x(M)x(''EIv −=
Elevando-se a expressão acima ao quadrado, tem-se:
[ ] [ ] 22 )x(M)x(''vIE −=
Então:
[ ] )x(M)x(''vIE 2222 =
Substituindo-se a expressão acima na expressão (3.5), tem-se:
[ ]
∫= L
222
EI2
dx)x(''vIEU
ou:
[ ]∫= L
2 dx)x(''vIE
2
1U (3.25)
Se IE é constante no comprimento L , tem-se:
[ ]∫= L
2 dx)x(''v
2
IEU (3.25a)
Sendo a energia de deformação expressa em função de deslocamentos )v( pode-se usar
o primeiro teorema de Castigliano:
P
v
U
=
∂
∂
66
4 – CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
4.1 – INTRODUÇÃO
Segundo Schiel (1984) o objetivo dos critérios de resistência é informar se um componente
estrutural está em segurança quando submetido a diferentes solicitações. Por exemplo, uma barra
tracionada está em segurança enquanto a tensão normal estiver abaixo da tensão de escoamento
Yσ , sendo que esta tensão Yσ é obtida em ensaios de laboratório usando-se corpos-de-prova de
mesmo material que a barra tracionada. Esta comparação entre a tensão solicitante e a tensão de
escoamento é o critério utilizado para julgar a segurança de uma barra tracionada. No entanto,
pela comparação direta com ensaios de laboratório, torna-se inconveniente investigar a segurança
de um componente estrutural solicitado por um estado de tensões mais geral, uma vez que
inúmeras combinações de tensões podem ocorrer. Com base em teorias e em ensaios de
laboratório, existem vários critérios para analisar tais casos, são os chamados critérios de
resistência. Um determinado critério pode ser comprovado experimentalmente para um material e
não aceito em um outro com característicasdiferentes, como exemplo é interessante lembrar que
os materiais dúcteis rompem por tensão cisalhante (τ) e os materiais frágeis por tensão normal
(σ), portanto, não se pode adotar um único critério.
Na Mecânica dos Solos, a questão é saber se um determinado material irá se romper, por
isso, nesta disciplina, os critérios de resistência são chamados critérios de ruptura.
4.2 – CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO
Este critério é usado para materiais dúcteis e também conhecido como Critério de Tresca.
Este critério origina-se no fato do escoamento dos materiais dúcteis, quando solicitados
por força axial, ocorrer segundo planos inclinados de aproximadamente 45o em relação ao seu
eixo. Esse fato mostra que o escoamento dos materiais dúcteis é devido às tensões de
cisalhamento.
Segundo este critério, um componente estrutural está em segurança enquanto a tensão de
cisalhamento máxima máxτ for menor que a tensão de cisalhamento máxima Yτ em uma barra
de mesmo material que escoa em ensaio de tração simples. A maior tensão de cisalhamento em
uma barra tracionada é σ5,0 (conforme item 1.2). No escoamento, YY 5,0 σ=τ , então:
67
22
Y31 σ<
σ−σ
ou:
Y31 σ<σ−σ (4.1)
Todo estado plano de tensão tem uma tensão principal nula. Chamando-se de aσ e bσ
as tensões principais não nulas, o critério da máxima tensão de cisalhamento informa que um
componente estrutural, quando solicitado por um estado plano de tensão, estará em segurança
nas seguintes situações:
Yaba 00se σ<−σ→>σ>σ
Ybab 00se σ<−σ→>σ>σ
Ybaba 0se σ<σ−σ→σ>>σ
Yabab 0se σ<σ−σ→σ>>σ
|||0|0se Yaab σ−<σ−→σ>σ>
|||0|0se Ybba σ−<σ−→σ>σ>
A Figura 4.1 mostra a representação gráfica das condições acima. Os pontos situados no
interior do hexágono informam que o componente estrutural está em segurança, enquanto os
pontos situados sobre o hexágono informam que o componente está escoando.
Figura 4.1 – Hexágono de Tresca
4.3 – CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO
Este critério é utilizado para materiais dúcteis e foi formulado pelo engenheiro alemão
Richard von Mises.
Este critério origina-se na constatação que um estado de tensões esféricas (Figura
3.21(b)) não provoca o escoamento dos materiais dúcteis. Este fenômeno ocorre porque a tensão
de cisalhamento, responsável pelo escoamento, é nula em todas as direções deste estado de
tensões. Portanto, o escoamento dos materiais dúcteis é devido às tensões desviadoras (Figura
3.21(c)).
68
Segundo este critério, um componente estrutural está em segurança enquanto a energia
específica de distorção edU for menor que a energia específica de distorção necessária para
provocar o escoamento edYU em um corpo-de-prova de mesmo material submetido a um ensaio
de tração simples. As tensões principais em uma barra que escoa em um ensaio de tração são:
Y1 σ=σ , 032 =σ=σ . Usando-se a equação (3.24), a energia edYU é dada por:
2
Y
e
dY 2E6
)1(U σ⋅ν+=
Dado um estado de tensões, calculam-se as tensões principais 1σ , 2σ e 3σ . Segundo este
critério um componente estrutural está em segurança quando:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 2Y213232221 2E61E61 σ⋅ν+<σ−σ+σ−σ+σ−σν+
ou:
( ) ( ) ( ) 2Y213232221 2σ<σ−σ+σ−σ+σ−σ (4.2)
Particularizando-se o critério para o estado plano de tensões e chamando-se de aσ e
bσ as tensões principais não nulas, a equação (4.2) assume a forma:
2
Y
2
bba
2
a σ<σ+σσ−σ
A representação gráfica deste caso particular está indicada na Figura 4.2(a). A Figura
4.2(b) confronta os dois critérios para materiais dúcteis quando solicitados por um estado plano de
tensões. Nesta figura, a região hachurada mostra que existe uma pequena discordância entre
eles: o critério da máxima tensão de cisalhamento informa que o componente estrutural não está
em segurança, enquanto o critério da máxima energia de distorção informa que o componente
está em segurança.
Figura 4.2 – (a) Elipse de von Mises (b) Comparação entre os dois critérios
69
Observação: O critério da máxima energia de distorção (equação (4.2)) pode ser colocado
em função de tensões não principiais, ou seja, em função de σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz. Usando-se o
primeiro e o segundo invariantes de tensão, pode-se demonstrar que a equação (4.2) assume a
forma:
2
Y
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
z
2
y
2
x )(3 σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ (4.3)
Particularizando para estados planos de tensão: σx ≠ 0; σy ≠ 0; τxy ≠ 0; σz= τxz = τyz = 0:
2
Y
2
xyyx
2
y
2
x 3 σ<τ+σσ−σ+σ
Particularizando para cisalhamento puro: τxy ≠ 0; σx = σy = σz = τxz = τyz = 0, tem-se:
2
Y
2
xy3 σ<τ → 3
Y
xy
σ
<τ
4.4 – CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL
Este critério é utilizado para materiais frágeis e foi formulado pelo inglês Rankine.
Segundo este critério, a ruptura de um componente estrutural ocorre quando a tensão
normal máxima atinge o valor da tensão Uσ , que é obtida em ensaios de laboratório usando-se
corpos-de-prova de mesmo material que o elemento estrutural. De acordo com este critério,
apenas a tensão principal de maior valor deve ser levada em consideração para analisar a
eventual ruptura de um componente estrutural. Para que não ocorra ruptura:
U1 σ<σ
ou, se for o caso:
U3 σ<σ
4.5 – CRITÉRIO DE MOHR
Este critério, usado para materiais frágeis, interpreta a ruptura de um material segundo
uma envoltória obtida ensaiando-se corpos-de-prova de um mesmo material a vários tipos de
solicitações crescentes até a ruptura. As tensões principais extremas 1σ e 3σ ( o critério
desconsidera a tensão intermediária 2σ ) encontradas nas proximidades da ruptura são
representadas no círculo de Mohr. A envoltória de todos os círculos define uma zona sem ruptura.
Definida a zona sem ruptura de um material, ele não irá romper se o círculo de Mohr
correspondente às tensões principais extremas ficar no interior da envoltória. Se o círculo for
tangente à envoltória, o material estará na iminência da ruptura. A terceira hipótese corresponde a
uma situação física impossível de ocorrer: o círculo de Mohr é secante à envoltória e as tensões
provocam a ruptura do material.
70
Figura 4.3 – Envoltória de Mohr
4.6 – CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB
Este critério é o mais usado na Mecânica dos Solos e baseia-se na observação que os
solos rompem-se quando a resistência ao cisalhamento é excedida. A resistência ao cisalhamento
τ dos solos pode ser expressa pela equação:
φσ+=τ tgc
chamada reta de Coulomb, onde c e φ são parâmetros de resistência: φ é o ângulo de atrito e c a
coesão. A coesão é uma propriedade resultante das forças atrativas existentes entre as moléculas
de um corpo e independe de quaisquer tensões aplicadas.
O critério de Mohr-Coulomb é o critério de Mohr sendo que a envoltória é assimilada como
sendo a reta de Coulomb.
Figura 4.4 − (a) solo coesivo (b) solo não coesivo (c=0)
71
Este critério pode ser interpretado da seguinte forma: impõe-se uma reta tangente ao
círculo de Mohr correspondente às tensões normais extremas ( 1σ e 3σ ). Calcula-se um ângulo α
(Figura 4.5(b)) para que isto ocorra e compara-se com o valor do ângulo de atrito φ : se φ<α não
vai haver ruptura; se φ=α o material está na iminência da ruptura e se φ>α o material irá
romper-se.
Figura 4.5 – Critério de Mohr–Coulomb
Da Figura 4.5(b), que pode ser feita sem escala, tem-se a expressão de sen α :
2tg
c
2
rL
r
sen
31
3
31
3 σ−σ
−σ−φ
σ−σ
=−σ−
=α
ou:
φσ+σ−
φσ−σ
=α
tg)(c2
tg)(
sen
31
31
(4.4)
Na expressão (4.4) os valores das tensões principais 31 e σσ seguem a convenção de
sinais adotada: positivas para a tração e negativas para a compressão.
72
5 – SEÇÕES DE PAREDES DELGADAS
5.1 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS DE PAREDES FINAS
Neste item, analisam-se as tensões de cisalhamento que ocorrem nas vigas formadas por
elementos retangulares de espessura t muito menor que as outras dimensões. Consideram-se
vigas de paredes finas aquelas em que a relação entre t e a altura h for menor ou igual que 0,1.
Seja a viga de seção transversal em forma de "I" (Figura 5.1(a)), em que todos os elementos têm
a mesma espessura t. Considere-se um elemento abcd retirado da mesa superior da viga.
Chamando-se de M o momento fletor que atua na seção transversal numa distância x, a força
resultante F que atua no elemento retirado da viga (Figura 5.1(b)) é dada por:
∫ ∫=σ= A A Zx dAI
MydAF
onde s.tA = . O momento fletor varia ao longo do comprimento dx e a força resultante dFF + é
dada pela expressão:
dA
I
y)dMM(dFF
A Z∫
+
=+
Figura 5.1 – Viga "I" em balanço solicitada por uma força P
73
Todo o elemento retirado de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. Nas três
faces externas do elemento não ocorre nenhuma ação, portanto, no plano de corte no sentido da
força resultante F surge tensão de cisalhamento τ para que o equilíbrio do elemento seja
verificado. O equilíbrio de forças fornece a expressão:
0)dFF(tdxF =+−τ+
ou:
∫ ∫ =
+
−τ+
A A ZZ
0dA
I
y)dMM(
tdxdA
I
My
de onde:
dA
I
dMy
tdx
A Z∫=τ
Como dM e ZI não variam na área A, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
∫=τ AZ ydAtdxI
dM
Por definição:
∫= A dAyQ
a tensão de cisalhamento assume a forma:
ZIt
VQ
=τ (5.1)
Portanto, em uma seção transversal qualquer de um viga de parede fina com espessura t
constante, a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático.
Nas vigas de paredes finas, a tensão normal assume praticamente o mesmo valor nos
pontos c e c' (Figura 5.2(a)). Nesse caso, as dimensões podem ser tomadas em função da linha
média dos componentes da viga, chamada linha do esqueleto. O momento estático da área
representada por st ⋅ é dado por:
2
h
stQ ⋅= (5.2)
Portanto, o momento estático varia linearmente nas mesas. Na alma, como já visto, Q varia
segundo uma equação do segundo grau. A Figura 5.2 mostra as tensões de cisalhamento que
ocorrem em uma viga de seção transversal em forma de "I" solicitado por um momento fletor
negativo. Se a viga ficar solicitada por um momento fletor positivo as tensões de
cisalhamento terão sentido contrário ao indicado na figura. τ1 e τmax são dadas por:
2
h
2
tb
It
V
z
1 ⋅⋅=τ
⋅+⋅=τ
4
h
2
th
2
h
tb
It
V
z
máx
74
Figura 5.2 – Tensões de cisalhamento em viga "I"
Considerem-se, agora, as tensões de cisalhamento em uma viga caixão de parede fina
(Figura 5.3). Fazendo-se um corte imaginário vertical passando pelos pontos A e B e supondo-se
que a viga está solicitada por um carregamento vertical que produz momento fletor negativo,
ocorrem as forças resultantes mostradas na Figura 5.3(b). Neste caso, as forças resultantes estão
equilibradas e a tensão de cisalhamento é nula no plano de corte. Fazendo-se dois cortes verticais
passando pelos pontos A e C (Figura 5.4(a)), surgem tensões de cisalhamento no plano de corte
C, uma vez que no ponto A: 0=τ . As tensões de cisalhamento que ocorrem em uma viga caixão
estão indicadas na Figura 5.4(c), onde as tensões cisalhantes τ1 e τmax são dadas por:
2
h
2
tb
It
V
z
1 ⋅⋅=τ
⋅+⋅=τ
4
h
2
th
2
h
2
tb
It
V
z
máx
Figura 5.3 – Viga caixão
75
Figura 5.4 – Tensões de cisalhamento em uma viga caixão
5.2 – CENTRO DE CISALHAMENTO
A flexão de uma estrutura pode estar acompanhada de força cortante, força normal e
momento de torção. O momento de torção pode ser suprimido se o plano de carregamento passar
por um ponto chamado centro de cisalhamento. Nas seções transversais que possuem dois eixos
de simetria, o centro de cisalhamento coincide com o centróide. Este é o caso da viga "I" e da
viga caixão analisadas no item anterior. Nas seções transversais que possuem apenas um eixo de
simetria, o centro de cisalhamento está situado neste eixo. Neste caso, o centróide, que também
está situado no eixo de simetria, não coincide com o centro de cisalhamento. A posição do centro
de cisalhamento é uma propriedade geométrica e independe do valor e da direção do
carregamento, isto é, qualquer que seja a força e a sua direção, esta força não provocará torção
na estrutura se o plano de carregamento passar pelo centro de cisalhamento.
Exemplo 5.1: Calcular a posição do centro de cisalhamento de uma viga com seção
transversal em forma de “ U ” (Figura 5.5). Todos os elementos têm a mesma espessura. Dados:
mm200h = , mm80b = , mm5,7t =
Figura 5.5 – Seção transversal em forma de “ U ”
76
Para se calcular a posição do centro de cisalhamento, deve-se aplicar uma força P
neste ponto e impor a condição que não ocorre torção na viga. Para simplificar é conveniente
tratar a viga como se estivesse em balanço. Nestas condições, a força P produz as tensões de
cisalhamento indicadas na Figura 5.6(a). As forças resultantes em cada um dos componentes da
viga estão indicadas na Figura 5.6(b). Em função da pequena espessura t , admitem-se que nas
mesas não ocorram tensões de cisalhamento verticais e que a força P é totalmente absorvida
pela alma1.
A força resultante referente às tensões de cisalhamento é dada pela expressão:
∫ τ= A dAF
Figura 5.6 – Centro de cisalhamento
Tomando-se tdsdA = e substituindo-se a expressão da tensão de cisalhamento dada pela
equação (5.1), a força resultante 1F assume a forma:
∫=
b
0 Z
1 tdstI
VQF
A força cortante V é igual a P e o momento estático da mesa é dado pela expressão (5.2),
então:
∫=
b
0 Z
1 dst2
h
st
It
PF
donde:
Z
2
1 I4
PhtbF =
Na Figura 5.6(c) estão indicadas as reações das forças resultantes 1F e 2F . Estas reações
produzem um momento de torção igual e em sentido contrário ao momento da força P , uma vez
1
Na viga deste exemplo a alma absorve 97,2% da força P e as mesas, 2,8%.
77
que não ocorre torção na viga. O momento de torção em qualquer ponto do plano da seção
transversal é nulo. A condição do momento de torção nulo no ponto A fornece a expressão:
0h.Fd.P 1 =−
então:
P
h.Fd 1=
ou, colocando-se a expressão da força 1F :
Z
22
I4
bthd =
O momento de inércia ZI é calculado da seguinte forma:
++=
233
Z 2
hbt
12
bt2
12
htI
O termo 12/bt3 é muito menor que os outros termos e pode ser desprezado. Sendo assim, ZI
assume a forma:
( )b6h
12
h.t
2
h.t.b
12
h.tI
223
Z +=+=
substituindo-se ZI na expressão de d , tem-se:
b6h
b3d
2
+
=
donde:
mm2,28d =
Portanto, qualquer força atuando à distância mm2,28d = não produz torção na viga do
exemplo. O centro de gravidade está à direitada linha média da alma, sendo assim, o peso da
viga produz torção.
Exemplo 5.2: Considerando-se que a viga do exemplo anterior está solicitada por flexão
simples (M+V), coloque em um gráfico a distribuição das tensões de cisalhamento produzida por
uma força vertical V=90000N atuando no centro de cisalhamento.
Figura 5.7 – Força vertical atuando no centro de cisalhamento
78
A força está atuando no centro de cisalhamento e não produz torção na viga. As tensões
de cisalhamento devidas à força cortante são dadas pela equação (5.1). Na mesa AB (Figura 5.8),
a tensão de cisalhamento varia linearmente e em qualquer ponto dessa mesa τ é dada pela
expressão:
2
h.s.t
I.t
P
Z
⋅=τ
No ponto A 0s = e, portanto, .0=τ No ponto B mm80bs == , então:
2
200.80.5,7
17000000.5,7
90000
B ⋅=τ
de onde: 2B mmN4,42=τ
Figura 5.8 – Tensões de cisalhamento
Na alma BD a variação de τ é parabólica e no ponto C ocorre a maior tensão de cisalhamento.
+⋅=τ 50.100.5,7
2
200.80.5,7
17000000.5,7
90000
c
então:
2
c mmN8,68=τ
79
6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DA ELASTICIDADE
6.1 – INTRODUÇÃO
A Resistência dos Materiais é a ciência que estuda as tensões e deformações que ocorrem
nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas. Esta ciência introduz hipóteses
simplificadoras que estão próximas do comportamento real dos sólidos. A Teoria da Elasticidade tem
o mesmo objetivo da Resistência dos Materiais e aborda os problemas que exigem solução com
tratamento matemático mais rigoroso. A Teoria da Elasticidade também faz uso de hipóteses
simplificadoras e a diferença entre as duas ciências, pode-se dizer, está no âmbito dos problemas
abordados e na profundidade do exame dos mesmos. Por exemplo, a Resistência dos Materiais
fornece apenas a componente vertical do deslocamento dos pontos localizados no eixo de uma viga,
enquanto a Teoria da Elasticidade fornece as componentes vertical e horizontal do deslocamento de
todos os pontos da viga (ver exemplo 6.1).
Neste capítulo apresentam-se algumas noções de Teoria da Elasticidade e aplicações da
função da tensão de Airy.
6.2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO
A derivada ordinária é empregada nas funções que dependem de uma única variável. Este é o
caso do momento fletor, que depende somente da coordenada x. Se em uma coordenada x qualquer
o momento fletor assumir o valor genérico M, na coordenada x + dx assume o valor M + dM, onde dM
representa a variação do momento fletor ao longo do comprimento dx. A derivada parcial é
empregada nas funções que dependem de duas ou mais variáveis. Este é o caso da tensão normal
xσ que, no caso geral da flexão composta, depende das coordenadas x, y e z. Retirando-se um
elemento infinitesimal de uma estrutura sob tensão (Figura 6.1) e chamando-se de
xσ a tensão que
atua na face esquerda, a tensão normal na face direita é dada por:
dx
x
x
x ∂
σ∂
+σ
onde
x
x
∂
σ∂
é a taxa de variação da tensão σ x segundo a coordenada x que multiplicada pelo
comprimento dx fornece o quanto esta tensão variou ao longo deste comprimento. Da mesma forma,
80
as tensões xyτ horizontal e yσ recebem acréscimo de tensão segundo a coordenada y e a tensão
xyτ vertical recebe acréscimo de tensão segundo a coordenada x.
Figura 6.1 - Diferenciais de tensão
A força por unidade de volume tem as componentes representadas por X e Y segundo as direções
x e y, respectivamente. Estas forças são chamadas forças volumétricas e podem ser de origem
gravitacional, magnética ou inercial. Chamando-se de dz a espessura do elemento o equilíbrio de
forças na direção x fornece a expressão:
0Xdxdydzdxdzdy
y
dxdzdydzdx
x
dydz xyxyxyxxx =+
∂
τ∂
+τ+τ−
∂
σ∂
+σ+σ−
de onde:
0X
yx
xyx
=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
(6.1)
Analogamente, fazendo-se o somatório de forças na direção y e igualando-se a zero, tem-se:
0Y
xy
xyy
=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
(6.2)
As equações (6.1) e (6.2) são chamadas equações diferenciais de equilíbrio.
81
6.3 – RELAÇÕES ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES
Para demonstrarem-se as relações entre deslocamentos ( u e v ) e deformações (ε e γ)
pressupõe-se que não ocorra deslocamento de corpo rígido (deslocamento sem deformação). Assim
sendo, o deslocamento de qualquer partícula do corpo somente ocorre se este se deformar.
A Figura 6.2 mostra três pontos adjacentes P, Q e R. Os pontos P’, Q’ e R’ indicam as
posições dos pontos P, Q e R na situação deformada. As componentes do deslocamento do ponto
P são u e v , enquanto os pontos Q’ e R’, além de u e v , sofrem outros deslocamentos em função da
variação dos comprimentos dx e dy, visto que o deslocamento de corpo rígido está impedido.
Figura 6.2 - Posição inicial e deformada de três pontos adjacentes
A componente horizontal do deslocamento do ponto |Q é dada por:
dx
x
u
u
∂
∂
+
onde
x
u
∂
∂
é a taxa de variação de u segundo a coordenada x. A componente vertical do
deslocamento do ponto |Q é dada por v mais a variação de v ao longo do comprimento dx.
Raciocínio análogo deve ser feito para obterem-se as componentes do deslocamento do ponto |R . A
geometria da Figura 6.2 fornece as seguintes relações:
x
u
dx
dx
x
u
dx
dx
x ∂
∂
=
∂
∂
=
∆
=ε
82
y
v
dy
dy
y
v
dy
dy
y ∂
∂
=
∂
∂
=
∆
=ε
y
u
x
v
dy
dy
y
u
dx
dx
x
v
21xy ∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+∂
∂
=γ+γ=γ
As três últimas expressões somente são válidas para pequenas deformações. De fato, as
considerações:
dx
x
udx
∂
∂
=∆
dy
y
vdy
∂
∂
=∆
têm sentido, respectivamente, se:
dx
x
vdx
∂
∂
>>
e:
dy
y
udy
∂
∂
>>
Nestas circunstâncias, os ângulos 1γ e 2γ são pequenos e pode-se fazer tg 1γ = 1γ e tg 2γ = 2γ .
Portanto, dentro das considerações lineares e pequenas deformações, as expressões:
x
u
x ∂
∂
=ε
y
v
y ∂
∂
=ε (6.3)
y
u
x
v
xy ∂
∂
+
∂
∂
=γ
estabelecem a relação entre deslocamentos e deformações.
Exemplo 6.1 : Determine, para a viga da Figura 6.3, as equações das componentes ( u e v )
dos deslocamentos. Dado: EI = constante.
83
Figura 6.3 - Viga bi-apoiada
Para obterem-se as equações de u e v têm-se que integrar as duas primeiras equações (6.3).
Os esforços que solicitam a viga são momento fletor e força cortante e as equações destes esforços
são:
x
L
M)x(M =
L
M)x(V =
Estes esforços produzem as tensões:
LI
Mxy
I
y).x(M
x ==σ
LbI
Q.M
I.b
Q).x(V
xy ==τ
As deformações xε , yε e xyγ podem ser obtidas usando-se as equações (2.1) e (2.2).
ELI
Mxy
E
x
x =
σ
=ε
ELI
Mxy
E
x
y
ν
−=
νσ
−=ε (6.4)
GLbI
Q.M
G
xy
xy =
τ
=γ
sendo que em vigas de seção transversal retangular, o momento estático da área |A em relação ao
eixo Oz é dado por:
−=
2
2
y
4
h
2
bQ
Usando-se as duas primeiras equações (6.3) pode-se escrever:
84
ELI
Mxy
x
u
x =∂
∂
=ε
ELI
Mxy
y
v
y
ν
−=
∂
∂
=ε
deonde:
)y(f
ELI2
yMx
u
2
+=
(6.5)
)x(g
ELI2
Mxy
v
2
+
ν
−=
sendo )y(f e )x(g funções que desempenham o papel da constante arbitrária de integração
indefinida.
Com as equações (6.5), a terceira equação (6.3) pode ser escrita da seguinte forma:
dy
)y(df
ELI2
Mx
dx
)x(dg
ELI2
My 22
xy +++
ν
−=γ
ou:
dy
)y(df
ELI2
Mx
dx
)x(dg
ELI2
Myy
4
h
GLI2
M 2222 +++ν−=
−
Na equação acima alguns termos são funções apenas de x, outros de y e um é constante. Assim
sendo, pode-se escrever:
)x(G)y(FK += (6.6)
onde:
dy
)y(df
GLI2
My
ELI2
My)y(F
22
++
ν
−=
dx
)x(dg
ELI2
Mx)x(G
2
+=
GLI8
MhK
2
=
Entretanto, a equação (6.6) somente será satisfeita para qualquer x e qualquer y se )x(G e
)y(F forem constantes. Então:
85
1
22
C
dy
)y(df
GLI2
My
ELI2
My
=++
ν
−
2
2
C
dx
)x(dg
ELI2
Mx
=+
21 CCK +=
de onde se tem:
31
33
CyC
GLI6
My
ELI6
My)y(f ++−ν=
42
3
CxC
ELI6
Mx)x(g ++−=
Colocando-se as expressões de )y(f e )x(g nas equações (6.5) :
31
332
CyC
GLI6
My
ELI6
My
ELI2
yMx
u ++−
ν
+=
(6.7)
42
32
CxC
ELI6
Mx
ELI2
Mxy
v ++−
ν
−=
As constantes 321 C,C,C e 4C serão determinadas a partir de três condições de contorno, uma vez
que existe uma relação entre 1C e 2C . Estas condições são:
v = 0 no ponto de coordenadas x = 0 e y = h/2
v = 0 no ponto de coordenadas x = L e y = h/2
u = 0 no ponto de coordenadas x = 0 e y = h/2
Impondo-se as condições de contorno, tem-se:
EI6
ML
ELI8
Mh
GLI8
MhC
22
1 −
ν
−=
EI6
ML
ELI8
MhC
2
2 +
ν
=
EI12
MLh
GLI24
Mh
ELI24
MhC
33
3 +−
ν
=
0C4 =
86
Colocando-se as expressões de 321 C,C,C e 4C nas equações (6.7), tem-se:
EI12
MLh
GLI24
Mh
ELI24
Mhy
EI6
ML
ELI8
Mh
GLI8
Mh
GLI6
My
ELI6
My
ELI2
yMx
u
3322332
+−
ν
+
−
ν
−+−
ν
+=
x
EI6
ML
ELI8
Mh
ELI6
Mx
ELI2
Mxy
v
232
+
ν
+−
ν
−=
As expressões acima fornecem as componentes dos deslocamentos de todos os pontos da viga. As
componentes verticais dos deslocamentos dos pontos com coordenada y = 0 são dadas por:
x
EI6
ML
ELI8
Mh
ELI6
Mx
v
23
+
ν
+−=
Nas estruturas em que o comprimento longitudinal é muito maior que a altura, o segundo termo da
equação acima pode ser desprezado. Neste caso, os resultados da Teoria da Elasticidade coincidem
com os resultados da Resistência dos Materiais.
6.4 – EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE
As três componentes do estado de deformação (6.3) estão relacionadas com duas
componentes do estado de deslocamento, portanto, existe uma relação entre xε , yε e xyγ , que é
demonstrada a seguir.
Derivando-se a primeira equação (6.3) duas vezes em relação a y, a segunda duas vezes em
relação a x e a terceira uma vez em relação a x e outra em relação a y , tem-se:
2
3
2
x
2
yx
u
y ∂∂
∂
=
∂
ε∂
2
3
2
y
2
xy
v
x ∂∂
∂
=
∂
ε∂
xy
u
yx
v
yx 2
3
2
3
xy
2
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂∂
γ∂
então:
2
x
2
2
y
2
xy
2
yxyx ∂
ε∂
+
∂
ε∂
=
∂∂
γ∂
(6.8)
87
A equação (6.8) é chamada equação de compatibilidade e relaciona as três componentes do estado
de deformação. Esta pode ser colocada em função das componentes de tensão normal σx e σy.
Particularizando-se a lei de Hooke para elementos estruturais solicitados por tensões atuando apenas
no plano xOy, tem-se:
)(
E
1
yxx νσ−σ=ε
)(
E
1
xyy νσ−σ=ε
E
)1(2 xy
xy
τν+
=γ
Substituindo-se estas expressões na equação (6.8) e lembrando que nos materiais homogêneos e
isotrópicos o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν independem das coordenadas x
e y, tem-se:
( )
∂
σ∂ν
−
∂
σ∂
+
∂
σ∂ν
−
∂
σ∂
=
∂∂
τ∂
⋅
ν+
2
y
2
2
x
2
2
x
2
2
y
2
xy
2
yyE
1
xxE
1
yxE
12
(6.9)
Desprezando-se as forças volumétricas, as equações diferenciais de equilíbrio são dadas da
seguinte forma:
0
yx
xyx
=
∂
τ∂
+
∂
σ∂
(6.10)
0
xy
xyy
=
∂
τ∂
+
∂
σ∂
Derivando-se a primeira das equações (6.10) em relação a x e a segunda em relação a y, tem-se:
0
yxx
xy
2
2
x
2
=
∂∂
τ∂
+
∂
σ∂
0
yxy
xy
2
2
y
2
=
∂∂
τ∂
+
∂
σ∂
donde:
88
2
y
2
2
x
2
xy
2
yxyx
2
∂
σ∂
−
∂
σ∂
−=
∂∂
τ∂
(6.11)
Substituindo-se a expressão (6.11) na expressão (6.9) e simplificando o termo comum E , tem-se:
2
y
2
2
x
2
2
x
2
2
y
2
2
y
2
2
x
2
yyxxyx
)1(
∂
σ∂
ν−
∂
σ∂
+
∂
σ∂
ν−
∂
σ∂
=
∂
σ∂
−
∂
σ∂
−ν+
donde:
0
yxyx 2
x
2
2
y
2
2
y
2
2
x
2
=
∂
σ∂
+
∂
σ∂
+
∂
σ∂
+
∂
σ∂
ou:
0)(
yx yx2
2
2
2
=σ+σ
∂
∂
+
∂
∂
(6.12)
A equação (6.12) é a equação de compatibilidade (6.8) em função das componentes de tensão
normal. Por definição:
2
2
2
2
2
yx ∂
∂
+
∂
∂
=∇
onde 2∇ é chamado operador laplaciano e a equação (6.12) pode ser colocada da seguinte forma:
0)( yx2 =σ+σ∇
6.5 – FUNÇÃO DE TENSÃO DE AIRY )(Φ
Os esforços internos (momento fletor, momento de torção, força normal e força cortante)
produzem tensões. Estas tensões seguem, dentro de algumas hipóteses, uma determinada lei de
variação. O problema pode ser abordado de forma inversa, isto é, conhecendo-se a lei de variação
das tensões, procurar os esforços solicitantes que as produziram. Para se usar deste procedimento
deve-se introduzir a função da tensão de Airy )(Φ . Como é facilmente verificado as equações de
equilíbrio (6.10), onde as forças volumétricas são desprezadas, são satisfeitas se as componentes de
tensão assumirem as seguintes expressões:
2
2
x y∂
Φ∂
=σ
2
2
y
x∂
Φ∂
=σ (6.13)
yx
2
xy ∂∂
Φ∂
−=τ
89
As expressões (6.13) também têm que satisfazer a equação de compatibilidade (6.12).
Substituindo-se as expressões de xσ e yσ , dadas pelas duas primeiras equações (6.13), na
equação (6.12), tem-se:
0
xyyx 2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
∂
∂
+
∂
∂
donde:
0
yyx
2
x 4
4
22
4
4
4
=
∂
Φ∂
+
∂∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
(6.14)
A equação (6.14) é condição fundamental para que a função )(Φ seja função de tensão. Por
definição:
4
4
22
4
4
4
4
yyx
2
x ∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=∇
onde 4∇ é chamado operador biarmônico e a equação (6.14) pode ser escrita da seguinte forma:
04 =Φ∇
Exemplo 6.2: Dada a função:
−=Φ 2
3
c
yy3
bc4
Px
Sendo P constante, determine o problema resolvido por esta função.
Figura 6.4 -
Referencial da função do exemplo 6.2
Inicialmente, deve-se investigar se a função dada satisfaz a equação (6.14):
0
c
yy3
bc4
Px
yc
yy3
bc4
Px
yx
2
c
yy3
bc4
Px
x 2
3
4
4
2
3
22
4
2
3
4
4
=
−
∂
∂
+
−
∂∂
∂
+
−
∂
∂
90
A expressão acima é verdadeira, então, a função dada é uma função de tensão. As tensões
correspondentes são obtidas a partir das equações (6.13):
3x bc2
Pxy3
−=σ
0y =σ
−−=τ 2
2
xy
c
y33
bc4
P
Os esforços internos que dão origem à tensão normal xσ são: força normal na direção do eixo Ox,
momento fletor na direção do eixo Oz e momento fletor na direção do eixo Oy. A força normal na
direção do eixo Ox é dada por:
dAN
A
xx ∫σ=
Substituindo-se a expressão da tensão xσ e tomando-se bdydA = , tem-se:
( )[ ] 0cc
c4
Px3
c4
Pxy3bdy
bc2
Pxy3N
c
c
22
3
c
c3
2
3x ] =−−−=−=−= ∫
−
−
Na equação acima x é uma constante quando faz-se integral na área .A
O momento fletor na direção do eixo Oz é dado por:
ydAM
A
xz ∫σ=
colocando-se a expressão da tensão
xσ na equação acima e novamente tomando-se bdydA = ,
tem-se:
( )[ ]∫
− −
−−−=−=−=
c
c
33
3
c
c
3
33z ccc2
Pxy
c2
Pxybdy
bc2
Pxy3M ] PxM z −=→
O momento fletor na direção do eixo Oy é dado por:
zdAM
A
xy ∫σ=
Tomando-se dydzdA = e colocando a expressão de xσ na equação do momento fletor yM , tem-se:
∫∫
− −−−
⋅⋅−=−=
c
c
2/b
2/b
2
c
c
2
33
2/b
2/by ]] 2
z
2
y
bc2
Px3
zdydz
bc2
Pxy3M
de onde:
0M y =
91
Os esforços que dão origem à tensão de cisalhamento são momento de torção e força
cortante. Uma vez que a seção transversal da barra é retangular, o momento de torção não será
considerado. A força cortante é dada por:
∫ τ= A xydAV
Tomando-se bdydA = e colocando-se a expressão de xyτ na expressão acima, tem-se:
∫
− −
−−=
−−=
c
c
c
c2
3
2
2
][
c3
y3y3
c4
Pbdy
c
y33
bc4
PV
Colocando os limites da integração, tem-se:
+−−−−= 2
3
2
3
c
c
c3
c
c
c3
c4
PV
donde:
PV −=
A força cortante tem a direção do eixo Oy, visto que PxM z −= e 0=yM . Para atender as
equações PxM z −= e PV −= , o problema resolvido pela função dada é uma viga em balanço
solicitada por uma força P aplicada no extremo livre.
Figura 6.5 - Problema resolvido pela função do exemplo 6.2
Para a viga da figura acima, a Resistência dos Materiais fornece as seguintes expressões:
33
z
z
x bc2
Pxy3
12
)c2(b
Pxy
I
y)x(M
−=−==σ
( ) ( )2232232
z
xy ycbc4
P3yc
2
b
)c2(b
P12
bI
Q)x(V
−−=−⋅−==τ
Os resultados acima são idênticos àqueles obtidos pela função de tensão de Airy.
92
6.6 – TENSOR DE DEFORMAÇÃO
Sendo ,u v e w as componentes do deslocamento nas direções x , y e z , respectivamente,
pode-se escrever, considerando-se que não houve deslocamento de corpo rígido, as relações entre
as componentes do deslocamento e as componentes de deformação ( ε e γ ):
z
w
;
y
v
;
x
u
zyx ∂
∂
=ε
∂
∂
=ε
∂
∂
=ε
x
v
y
u
xy ∂
∂
+
∂
∂
=γ ;
x
w
z
u
xz ∂
∂
+
∂
∂
=γ ;
y
w
z
v
yz ∂
∂
+
∂
∂
=γ
Na notação tensorial os eixos coordenados x , y e z são chamados de 21 x,x e 3x e as
componentes do deslocamento ,u v e w são chamados de 21 u,u e 3u . Assim sendo, as
componentes de deformação podem ser colocadas na forma concisa:
x
1
1
1
1
1
1
11
x
u
x
u
x
u
2
1
ε=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=ε y
2
2
2
2
2
2
22
x
u
x
u
x
u
2
1
ε=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=ε
z
3
3
3
3
3
3
33
x
u
x
u
x
u
2
1
ε=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=ε yx
1
2
2
1
21 2
1
x
u
x
u
2
1 γ=
∂
∂
+
∂
∂
=ε
zx
1
3
3
1
31 2
1
x
u
x
u
2
1 γ=
∂
∂
+
∂
∂
=ε zy
2
3
3
2
32 2
1
x
u
x
u
2
1 γ=
∂
∂
+
∂
∂
=ε
Colocando-se na forma matricial tem o tensor de deformações:
εεε
εεε
εεε
=ε
333231
232221
131211
ji =
εγγ
γεγ
γγε
zzy2
1
zx2
1
yz2
1
yyx2
1
xz2
1
xy2
1
x
O tensor de deformações é de segunda ordem e é simétrico: jiij ε=ε .
93
7 – INTRODUÇÃO AO MÉTODO PLÁSTICO
7.1 – INTRODUÇÃO
O objetivo principal deste capítulo é determinar as cargas que provocarão colapso plástico
de vigas por flexão. Nas vigas isostáticas a formação da primeira rótula plástica determina seu
colapso, quando a viga torna-se hipostática com um grau de liberdade. Nas vigas hiperestáticas,
na maioria dos casos, tal fato só ocorre ao se formar a rótula n+1, onde n é o número de vezes
em que a viga é hiperestática.
Um material elástico-plástico idealizado é aquele que segue a lei de Hooke até a
tensão de proporcionalidade e, então, inicia-se o escoamento sob tensão constante. Na Figura 7.1
σY representa a tensão de escoamento do material. Em todo o capítulo consideram-se apenas
materiais dúcteis, ou seja, materiais que se deformam muito antes de se romperem e a tensão de
escoamento (σY) à tração é igual a tensão de escoamento à compressão.
Figura 7.1 – Material elástico-plástico idealizado
7.2 – MOMENTO FLETOR DE PLASTIFICAÇÃO
Seja uma viga com seção transversal mostrada na Figura 7.2 solicitada por um momento
fletor positivo. Na fase elástica-linear o diagrama de tensão normal (σ) é linear, conforme mostra a
Figura 7.2(b). Aumentando-se o momento fletor o material que está mais afastado da linha neutra
atinge a tensão σY e começa a escoar, sendo que o restante ainda está na fase elástica-linear.
Aumentando-se o momento fletor toda a seção transversal fica plastificada, como mostra a Figura
94
7.2(d). A Fig. 7.2(e) mostra uma simplificação do diagrama (d) sem o trecho de transição da
tração para compressão. Na Figura 7.2, e. i. a. quer dizer eixo de igual área, F1 é a força
resultante na região comprimida e F2, na região tracionada. Estas forças atuam nos centróides
das áreas A1 e A2, respectivamente.
Figura 7.2 – Plastificação de uma área referente ao momento fletor
As forças resultantes F1 e F2 são dadas por:
∫ σ=
1A
Y1 dAF = 1YAσ
∫ σ=
2A
Y2 dAF = 2YAσ
O equilíbrio de forças (F1 = F2) fornece a expressão: 2Y1Y AA σ=σ . Portanto:
2
AAA 21 ==
O momento fletor de plastificação da seção transversal (MP) é dado por:
2211P yFyFM +=
onde y1 e y2 são, respectivamente, as ordenadas dos centróides das áreas A1 e A2 em relação ao
eixo de igual área. Colocando-se na equação do momento fletor de plastificação as expressões
de F1e F2, tem-se:
22Y11YP yAyAM σ+σ=
ou:
)yy(
2
AM 21YP +σ=
Por definição:
)yy(
2
AZ 21 +=
onde Z é chamado módulo plástico de resistência à flexão e depende somente da geometria da
área. Então o momento fletor de plastificação assume a forma:
ZM YP σ=
95
Na fase elástica-linear as tensões produzidas pelo momento fletor são obtidas pela
fórmula da flexão:
zI
My
=σ
A maior tensão normal ocorrerá no ponto mais afastado da linha neutra de coordenada genérica
“ d ” :
σ
z
máx I
Md
=
ou:
σ
d
I
M
z
máx =
Por definição:
d
IW z= → σmáx
W
M
=
onde W é chamado módulo elástico de resistência à flexão e também depende somente da
geometria da área. Por definição, momento fletor de plastificação incipiente )M( Y é o valor do
momento fletor para o qual dá-se o início do escoamento. É evidente que .MM PY < Para se
obter YM usa-se a fórmula da flexão válida na fase elástica-linear, admitindo-se que
.YPmáx σ=σ=σ Então:
WM YY σ=
na expressão acima W é o menor valor entre sW e .Wi
Exemplo 7.1 – Determine o módulo elástico e o módulo plástico de resistência à flexão de
uma área retangular de base b e altura h .
6
bh
2
h
12
bh
d
I
WW
2
3
z
is ====
4
bh)
4
h
4
h(
2
bh)yy(
2
AZ
2
21 =+=+=
Por definição, fator de forma ( α ) é a relação entre o módulo plástico ( Z ) e o módulo
elástico :)W(
6
bh
4
bh
W
Z
2
2
==α
Portanto, para seção transversal retangular α = 1,5.
96
Exemplo 7.2: Determine o fator de forma de uma área circular com diâmetro D .
3
R4)
3
R4
3
R4(
2
RZ
32
=
pi
+
pi
pi
=
32
D
2
D
64
D
W
3
4
pi
=
pi
=
então:
698,1
32
D
24
D4
3
3
=
pi
=α
Exemplo 7.3: Determine Z e W da área abaixo.
Figura 7.3 – Área em forma de “ I ”
A área tem um eixo de simetria horizontal (z), portanto, o eixo de igual área coincide com
este eixo. As coordenadas dos centróides das áreas 1 e 2 são iguais e dadas por:
mm33,216
8025070380
1258025028570380yy 21 =
⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅
==
então:
3mm20161956)33,21633,216(
2
93200Z =+=
Tendo-se um eixo de simetria horizontal, os módulos elásticos de resistência à flexão
superior e inferior são iguais. O momento de inércia zI é dado por:
97
42
33
z mm51762266672857038012
703802
12
50080I =
⋅⋅+
⋅
+
⋅
=
Então:
3
is mm16175708320
5176226667WW ===
Neste problema o fator de forma α é igual a 1,246.
7.3 – RÓTULAS PLÁSTICAS
Na formação de rótulas plásticas a contribuição da força cortante pode ser desprezada, isto
é, considera-se apenas a contribuição do momento fletor. O material começa a plastificar nas
superfícies onde a tensão normal é máxima. Aumentando-se o valor da força P, forma-se uma
rótula plástica quando o momento fletor atinge o valor MP. Para vigas isostáticas o valor da força P
que correspondente ao MP é chamado carga de colapso (PC).
Figura 7.4 – (a) Início da plastificação (b) Formação da rótula plástica
7.4 – MÉTODO DO EQUILÍBRIO
O método do equilíbrio pode ser usado para determinarem-se a carga de colapso plástico
de estruturas de barras. Neste método admite-se a redistribuição dos momentos fletores após o
surgimento de rótulas plásticas. Seja a viga hiperestática da Figura 7.5. A primeira rótula vai ser
formada no engaste A, onde tem-se o maior momento fletor. O primeiro passo é determinar o
valor da força necessário para a formação da rótula. Para isto, deve-se igualar o momento fletor
em A com o momento de plastificação MP:
MA = MP
98
Figura 7.5 – Viga e diagrama de momento fletor
Então:
27
LP4M 1P =
de onde tem-se o valor de P1:
L4
M27P P1 =
Após a formação da primeira rótula plástica, calcula-se o valor da força P2 que deve ser
somada à força P1 para a formação da segunda rótula. Os diagramas de momentos fletores das
Figuras 7.5 e 7.6 mostram que a segunda rótula vai se formar no ponto B.
P
21 M
27
LP67,4
27
LP67,2
=+
ou colocando-se a expressão de P1:
P
2P M
27
LP67,4
L427
LM2767,2
=+
⋅
⋅
de onde se tem a expressão de P2:
L
M92,1P P2 =
É interessante observar que com o valor de P2 acima tem-se material plastificado apenas
nos pontos A e B, onde formaram-se as duas rótulas. Em todos os outros pontos da viga o
material está na fase elástica-linear. Finalmente, aplica-se a força P3 para surgir a terceira rótula
(ponto C).
99
Figura 7. 6 – Aplicação de P2 e diagrama de momento fletor
Figura 7.7 – Aplicação da força P3 e diagrama de momento fletor
Para a formação da rótula em C, o momento fletor neste apoio deve ser igual ao momento
de plastificação:
P
321 M
3
L2P
27
LP4
27
LP2
=++
Colocando-se na expressão acima os valores de P1 e P2, tem-se:
L
M323,0P P3 =
Após a formação da terceira rótula tem-se o diagrama de momentos fletores mostrado na
Figura 7.8. Nesta situação, tem-se material plastificado apenas nos pontos A, B e C. Depois da
formação da terceira rótula ocorre o colapso da viga e a carga de colapso plástico é determinada
somando-se as força P1, P2 e P3:
PC = P1+ P2 + P3
Então carga de colapso é dada por:
100
L
M99,8P PC =
Figura 7.8 – Diagrama de momentos fletores
Exemplo 7.4: Determine a carga de colapso plástico da viga abaixo.
Figura 7.9 – Viga e diagrama de momentos fletores
Neste caso, quando a força P atingir o valor de colapso PC aparecem simultaneamente
rótulas plásticas nos pontos A, B e C, sendo que os outros pontos da viga estão na fase elástica-
linear. Devido a simetria (carga e geometria) nesta viga não se procede nenhuma redistribuição
de momentos fletores. A Figura 7.10 mostra o diagrama de momentos fletores quando P atinge o
valor de colapso. A carga de colapso plástico é calculada da seguinte forma:
L
M8P
8
LPM PCCP =→=
101
Figura 7.10 – Diagrama de momentos fletores
7.5 – MÉTODO DO TRABALHO
O trabalho realizado por uma força externa (Pi) durante um pequeno movimento do
mecanismo de colapso é igual ao trabalho realizado pelos momentos fletores de plastificação
(MPi). Equação do princípio dos trabalhos virtuais:
∑ ∑ θ=δ iPiii MP
onde iδ é a componente vertical do deslocamento do ponto de aplicação da força Pi e θi a
rotação na rótula plástica.
Exemplo 7.5: Determine a carga de colapso plástico da viga abaixo usando o método do
equilíbrio e o método do trabalho.
Figura 7.11 – Viga bi-apoiada
O momento fletor máximo ocorre no meio da viga. Igualando-se este momento fletor com o
de plastificação, tem-se a carga de colapso plástico usando o método do equilíbrio:
L
M4PM
4
LP
M PCP
C
=→==
102
A Figura 7.12 mostra a viga no instante do colapso. A fase elástica-linear não aparece na
figura, sendo o que é de interesse, para se usar o método do trabalho, é a posição da viga ao se
formar a rótula plástica.
Figura 7.12 – Colapso de uma viga bi-apoiada
A teoria de pequenos deslocamentos permite coincidir a tangente com o arco. Então:
2
L
2
L
tg θ=δ→δ=θ≅θ
O trabalho externo é dado por:
2
LPPW CCext
θ
=δ⋅=
e o trabalho interno:
θ⋅= 2MW Pint
Igualando-se o trabalho externo com o interno, tem-se:
L
M4P2M
2
LP PCPC =→θ⋅=
θ
Exemplo 7.6: Usando o método do trabalho, determine a carga de colapsoplástico da viga
da Figura 7.13.
Figura 7.13 – Viga hiperestática e mecanismo de colapso
103
A viga é duas vezes hiperestática, portanto, para ocorrer o colapso é necessário o
aparecimento de três rótulas plásticas, conforme mostra a Figura 7.13(b). Chamando-se de θ a
rotação no apoio esquerdo, a rotação no apoio direito é igual a θ/2. Então:
θ=→θ+θ+θ= 3MW)5,12/(MW PintPint
3
LPPW CCext
θ
=δ=
Igualando-se os trabalhos externo e interno, tem-se:
L
M9P3M
3
LP PCPC =→θ=
θ
Este é o mesmo resultado encontrado no item 7.4 usando-se o método do equilíbrio.
Exemplo 7.7: Determine a carga de colapso plástico da viga da Figura 7.14.
Figura 7.14 – Viga e dois possíveis mecanismos de colapso plástico
Uma rótula plástica vai se formar no engaste esquerdo, outra no engaste direito e a
terceira pode ser formada no ponto de aplicação da força P (Figura 7.14(b)) ou no ponto de
aplicação da força 2P (Figura 7.14(c)). Considerando o primeiro mecanismo, tem-se:
aP4aP2a2PWext θ=θ+θ=
)2(MW Pint θ+θ+θ=
104
Igualando-se o trabalho externo com o trabalho interno, tem-se:
a
MP4MaP4 PP =→θ=θ
Considerando-se o segundo mecanismo:
aP8a3P2a2PWext θ=θ+θ=
)43(MW Pint θ+θ+θ=
Então:
a
MP8MaP8 PP =→θ=θ
Portanto, a carga de colapso plástico da viga da Figura 7.14(a) é a seguinte:
a
MP PC =
Neste exemplo, pode-se determinar a carga de colapso plástico, mas o mecanismo de colapso
não pode ser determinado, que pode ser aquele mostrado na Figura 7.14(b) ou o mecanismo de
colapso mostrado na Figura 7.14(c).
BIBLIOGRAFIA
BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais – McGraw-Hill.1982.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7a ed. – Prentice Hall. 2009.
PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático – LTC Editora. 1995.
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais – Prentice Hall. 1984.
QUEIROZ, G. Elementos de Estruturas de Aço. Impressa Universitária/UFMG, 1988.
SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. HARBRA, 1984.
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – v. 1. Editora Globo. 1973.
TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos – LTC Editora. 1982.Mais conteúdos dessa disciplina
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