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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA GES 101 - Estatística Prof. Tales Jesus Fernandes LISTA DE EXERCÍCIOS 7: Distribuições amostrais 1- Seja uma máquina que produz resistores elétricos com resistências média de 40 ohms e desvio padrão de 5 ohms. Calcule a probabilidade de que uma amostra aleatória de 36 desses resistores tenha uma resistência média de: a) mais de 41 ohms; b) menos de 38 ohms; c) Entre 37 e 42 ohms. 2- Seja X uma variável aleatória distribuída normalmente com média de 1000 ml e variância de 4 ml2, representando o volume de recipiente de determinado produto químico. Sabe-se que, de acordo com o engenheiro de controle de qualidade, o volume médio dos recipientes deve estar compreendido entre 998 e 1002 ml. Caso contrário, multas severas são aplicadas. Determinar a probabilidade de tais multas severas serem aplicadas, sabendo que são usadas amostras de 10 recipientes. 3- Um elevador tem suporte máximo de 700 kg para uma lotação de n = 10 pessoas. Sabendo que o peso médio de humanos é de 62 kg e cujo desvio padrão é igual a 10 kg, responder as seguintes questões, assumindo que o peso possui distribuição normal: a) Qual é a probabilidade de uma pessoa pesar mais de 70 kg? b) Qual é a probabilidade de o elevador ter sua carga máxima ultrapassada para um grupo aleatório de n = 10 pessoas que o utilizam? c) Com base na resposta dada no item (b), você julga que a carga de suporte máximo está bem especifi- cada para este elevador? Justifique. 4- Um catálogo de um fabricante indica para um determinado produto uma vida média de 1200 horas. Assuma o desvio padrão igual a 120 horas. Um cliente decide selecionar aleatoriamente 36 itens do re- ferido produto e rejeitar a amostra se X¯ < 1160 horas. Se a indicação do fabricante for verdadeira, qual a probabilidade de rejeitar a amostra? 5- A taxa de glicemia em pessoas com boa saúde, X , tem distribuição normal com média 100 mg/dL e desvio padrão de 10 mg/dL. Se X¯ é a taxa média de glicemia de uma amostra de n elementos retirados dessa população, calcule P (90 < X¯ < 110) para: a) n = 1; b) n = 4; c) n = 16. 6- Sejam xi (i = 1, 2, ..., n) variáveis aleatórias (independentes e com mesma distribuição de probabili- dade), com média µ e variância σ2. Considere a média amostral X¯ = ∑n i=1 xi n . Mostre que E(X¯) = µ e Var(X¯) = σ 2 n . DICA: Veja as propriedades de esperança e variância no campus virtual. 7- Se uma máquina produz resistores elétricos com resistência média de 40 ohms e desvio-padrão de 2 ohms, qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 36 desses resistores tenha uma resistência combinada (total) de mais de 1458 ohms? 8- Um empresário afirma que apenas 25% de seus produtos precisam passar novamente por algumas eta- pas da linha de produção, a fim de reparar pequenos defeitos. Calcule a probabilidade de em uma caixa com 90 destes produtos tenha mais de 30% com defeitos. 9- Um laboratório alega que um produto seu cura 80% dos casos de certa doença. Qual a probabilidade de, em uma amostra de 45 pessoas: a) mais de 87% das pessoas serem curadas? b) menos de 63% das pessoas serem curadas? c) entre 85% e 95% das pessoas curadas? d) Exatamente 80% das pessoas serem curadas? 10- O consumo de energia solar nos Estados Unidos tem média mensal de 65 milhões de BTU. No último ano foram observados os seguintes consumos (em milhões de BTU): 55.2 59.7 62.6 63.8 66.4 68.5 69.8 70.8 70.2 69.7 68.7 66.3 Admitindo que o consumo de energia solar possui distribuição normal, qual é a probabilidade de o consumo médio no próximo mês ser superior a 67 milhões de BTU? GABARITO 1- a) 0,1151 b) 0,0082 c) 0,9916 2- 0,00158; 3- a) 21,19%; b) 0,57% 4- 0,0228; 5- a) 0,68; b) 0,9554 ; c) ∼= 1 6- Dica: use as propriedades de esperança. 7- 0,0668; 8- 0,1379 9- a) 0,1210; b) 0,0023 ; c) 0,1971; d) 0 10- Dica: t0.0888,ν=11 = 1, 44 t0.0867,ν=12 = 1, 44 t0.0773,ν=65 = 1, 44
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