Matematica Aula 02 apostila polinomios 2 - cpma.comunidades.net

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Aula 02 
Polinômios 
 
 
 
 
Dispositivo prático de Briot-ruffini: 
 
 
 
 
 
 
Termo independente 
 
Todo polinômio que apresentar termo 
independente diferente de zero não terá raízes 
nulas. Porém se o termo independente for nulo 
(zero) então podemos dizer que o ZERO é raiz 
deste polinômio, e sua multiplicidade será 
igual ao menor valor do expoente da variável 
"x". 
 
 
 
 
 
 
Raízes reais e raízes imaginárias 
 
Todo polinômio tem um número par de raízes 
complexas, pois as raízes complexas são aos 
pares (o número complexo e seu conjugado). 
Portanto um polinômio de grau ímpar terá no 
mínimo uma raiz real! 
Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem 
a mesma qualidade do grau do polinômio: 
 
 
 
Polinômio com grau ímpar possui quantidade 
ímpar de raízes reais. 
Polinômio com grau par possui quantidade par 
de raízes reais. 
 
 
 
Teorema do resto 
 “O resto da divisão de um polinômio P(x) por 
um binômio do tipo (x – a) é o valor numérico 
para P(a)” 
Ou seja, para determinar o resto da divisão de 
um polinômio por um binômio do primeiro 
grau devemos substituir o “x” pela raiz do 
divisor. (igualar a zero e isolar o “x”) 
Obs: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) 
= 0 então dizemos que o polinômio P(x) é 
DIVISÍVEL pelo binômio (x – a), e, portanto "a" é 
uma raiz do polinômio P(x). 
Ex1: O resto da divisão de 
P(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 por x +2 é 9 
 
x + 2 = 0 2. (-2)3 + 5 . (-2)2 – 4 . (-2) – 3 
x = -2 2.(-8) + 5 . 4 + 8 – 3 
 -16 +20 + 8 – 3 = 9 
 
 
Ex2: O resto da divisão de P (x) = 2x2 – x – 1 
por P (x)= x – 1 é ZERO, pois fazendo-se 
x – 1 = 0, temos que x = 1 e como a soma dos 
coeficientes de P(x) resulta zero, “1” também é 
raiz desse polinômio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) (UFPR PR) O resto da divisão de P(x)= x4 – 
2x3 + 2x2 + 5x +1 por x-2 é: 
a) 1 
b) 20 
c) 0 
d) 19 
e) 2 
 
2) (UFRN RN) Seja P (x)= x3+ 6x – x – 30 . Se 
P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é: 
a) {-2, -3, -5} 
b) {2, -3, -5} 
c) {2, -2, -2} 
d) {2, 3, 5} 
e) {2, 6, 30} 
 
3) (PUC SP) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio 
f= x3 + x2 – 2x – 2. As demais raízes desse 
polinômio são os números: 
a) irracionais. 
b) não reais. 
c) racionais não inteiros. 
d) inteiros positivos. 
e) inteiros e opostos entre si. 
 
4) (UFMA MA) Sabendo que 2 é raiz da equação 
algébrica x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0 , então o produto 
das outras duas raízes desta equação é: 
a) 2 
b) 8 
c) 10 
d) -6 
e) -4 
 
5) (FAFI MG) O resto da divisão de P(x)= x5 – 3x4 
+ 2x3 – x2 + x – 1 por q(x)= x – 3 é: 
a) um múltiplo de 7. 
b) um número primo. 
c) um múltiplo de 12. 
d) um divisor de 100. 
e) maior que 50. 
 
 
 
 
Gabarito 
1 - D 2 - B 3 - A 4 - B 5 – B